27.2反比例函数的图象和性质（第2课时）-课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

27.2反比例函数的图象和性质 （第2课时） 2026--2027学年人教版九年级数学上册 第二十七章　反比例函数 1 上节课，我们通过描点法画出了反比例函数 （k 为常数，k≠0）的图象，探究得到了它的图象特征和函数性质．回顾一下，反比例函数的图象是什么形状？当 k＞0 和 k＜0 时，图象分别分布在哪些象限？y 随 x 的变化规律是怎样的？ 问题 反比例函数的图象是双曲线 当 k＞0 时， 图象的两支分别位于第一、第三象限， 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； 问题 当 k＜0 时， 两支分别位于第二、第四象限， 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大． 上节课，我们通过描点法画出了反比例函数 （k 为常数，k≠0）的图象，探究得到了它的图象特征和函数性质．回顾一下，反比例函数的图象是什么形状？当 k＞0 和 k＜0 时，图象分别分布在哪些象限？y 随 x 的变化规律是怎样的？ 反比例函数的图象是双曲线 我们已经掌握了反比例函数的图象和性质，那么如何运用这些知识解决具体问题？ 本节课，我们就借助例题学习反比例函数图象和性质的应用． 问题1 已知反比例函数的图象经过点 A（－2，4）． （1）这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ 分析： 第二象限 反比例函数的图象分布情况 第一、第三象限 第二、第四象限 √ 每个象限内，y 随 x 的增大而增大 还有没有其他方法也能判断图象的位置？ 求出 k 值 由点 A（－2，4） 设 判断图象位置 问题1 对比这两种思路，它们各有什么特点？ 求出 k 值 由点 A（－2，4） 设 判断图象位置 由点所在象限的位置 结合双曲线的分布 判断图象位置 看点所在象限：无需计算，直接由点的位置作定性判断，快捷直观． 先求参数 k：需要计算，但结果更精确，求出 k 之后，还可以解决判断点是否在图象上等定量问题． 两种方法各有优势，解题时可以根据问题灵活选择． 问题1 已知反比例函数的图象经过点 A（－2，4）． （2）点 B（1，－8）， D（2，4）是否在这个函数的图象上？ 思考：要判断 B，C，D 三点是否在函数图象上，仅靠第（1）问得到的图象性质够不够？还需要获得什么？ 分析：知道图象所在象限，无法检验某一个点是否在这条双曲线上，需要求出函数解析式． 问题1 已知反比例函数的图象经过点 A（－2，4）． （2）点 B（1，－8）， D（2，4）是否在这个函数的图象上？ 分析：借助待定系数法求反比例函数解析式． 仅含有一个参数 k，已知图象上任意一点坐标，就可以确定函数解析式. 怎样判断一个点是否在反比例函数图象上？ 验证该点坐标是否满足函数解析式 问题1 已知反比例函数的图象经过点 A（－2，4）． （1）这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ （2）点 B（1，－8）， D（2，4）是否在这个函数的图象上？ 解：（1）反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限． 因为点 A（－2，4）在第二象限，所以这个函数的图象位于第二、第四象限．在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大． 为什么要强调“在每一个象限内”？ 举例说明： 点 A（－2，4），点 B（1，－8）， 自变量 －2＜1，但是对应的函数值 4＞－8，并不满足“y 随 x 的增大而增大”． 因此，增减规律只在同一个象限内成立． 问题1 已知反比例函数的图象经过点 A（－2，4）． （1）这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ （2）点 B（1，－8）， D（2，4）是否在这个函数的图象上？ 解：（2）设这个反比例函数的解析式为 因为点 A（－2，4）在其图象上，所以点 A 的坐标满足 即 解得 k＝－8． 因此，这个反比例函数的解析式为 因为点 B，C 的坐标都满足 点 D 的坐标不满足 所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上． 归纳 把点的横、纵坐标相乘，将所得乘积与比例系数 k 比较： 若相等，则该点在反比例函数图象上； 若不相等，则该点不在反比例函数图象上． 判断点是否在反比例函数图象上的方法 问题2 下图中的曲线是反比例函数 的图象的一支．根据图象，回答下列问题： （1）图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？ 分析： 由两支曲线组成 第一象限 图象的另一支在第三象限． k＞0 k＝m－5 m＞5 问题2 下图中的曲线是反比例函数 的图象的一支．根据图象，回答下列问题： （2）在这个函数图象的某一支上任取点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）．如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？ 分析： 点 A 和点 B 在同一分支上． 直接使用增减性 所以当 x1＞x2 时，y1＜y2． 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小． 若点 A 和点 B 不在图象的同一支上，还能直接利用增减性比较 y1 和 y2 的大小吗？ 由两支曲线组成 问题2 点 A（x1，y1） 和点 B（x2，y2）不在图象的同一支上，比较 y1和 y2 的大小． 分析： 当 k＞0 时，第一象限内 y＞0，第三象限内 y＜0； 同支看增减，异支看符号 A B y1 y2 当 k＜0 时，第二象限内 y＞0，第四象限内 y＜0； 举例：点 A 在第三象限，点 B 在第一象限. 归纳 利用函数性质比较反比例函数值的大小时： 若两点位于图象的同一分支，可以比较横坐标的大小，结合增减性判断函数值的大小； 若两点位于图象的不同分支，则先分别判断两点纵坐标的正负，再依据正负完成函数值的大小比较． 比较反比例函数值大小的方法 解：（1）反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限． 因为点 A（2，6）在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、第三象限．在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小． 1．已知一个反比例函数的图象经过点 A（2，6）． （1）这个函数的图象位于哪些象限？在每一个象限内，y 随x 的增大如何变化？ 第一象限 y 随x 1．已知一个反比例函数的图象经过点 A（2，6）． （2）点 B（3，4）， D（2，－6）是否在这个函数的图象上？为什么？ 解得 k＝12． 因此，这个反比例函数的解析式为 解：（2）设这个反比例函数的解析式为 因为点 A（2，6）在其图象上，所以点 A 的坐标满足 即 y 随x 1．已知一个反比例函数的图象经过点 A（2，6）． （2）点 B（3，4）， D（2，－6）是否在这个函数的图象上？为什么？ 因为点 B，C 的坐标都满足 点 D 的坐标不满足 所以点 B，C 在函数 的图象上，点 D 不在这个函数的图象上． y 随x 2．反比例函数 的图象的一支位于第二象限，图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？ 解：因为这个函数的图象的一支位于第二象限，所以另一支位于第四象限． 因为这个函数的图象位于第二、第四象限，所以 m＋2＜0． 解得 m＜－2． 3．已知点 A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数 的图象上．如果 x1＜x2，且 x1，x2 同号，那么 y1，y2 有怎样的大小关系？为什么？ 解：y1＞y2 ． 因为反比例函数 中 k＝1＞0， 所以图象位于第一、第三象限，且在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小． x1，x2 同号说明 A，B 两点位于同一象限内， 又 x1＜x2，所以 y1＞y2 ． 反比例函数图象和性质的应用 判断图象增减性 由点所在象限，结合双曲线分布，定位图象 比较函数值大小 判断图象位置 由图象位置，确定每一象限内的增减性 同支看增减，异支看符号 谢谢 $