27.2 反比例函数的图象和性质（第1课时）-课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

27.2反比例函数的图象和性质 （第1课时） 2026--2027学年人教版九年级数学上册 第二十七章　反比例函数 1 回顾一次函数、二次函数的图象和性质的研究过程，我们是如何开展函数图象和性质研究的？ 问题 画出函数图象 研究函数的性质 利用图象 结合函数解析式 这一研究方法同样可以用于反比例函数的学习 x≠0 研究一次函数、二次函数时，我们直接采用描点法画出函数图象．反比例函数的解析式为 （k 为常数，k≠0），它与之前学习的函数有哪些不同？画图时需要注意什么？ 问题 一次函数：y＝kx＋b（k≠0） 二次函数：y＝ax2＋bx＋c（a≠0） x 取任意实数 反比例函数： （k≠0） 图象不连续 由数想形 画图验证 归纳性质 与一次函数，二次函数的研究方式相同，我们需要对反比例函数 （k为常数，k≠0）中的比例系数 k 进行分类讨论，分为 k＞0与 k＜0 两种情况．我们先研究 k＞0 的情况，从具体的反比例函数开始． 问题1 对于反比例函数 与 结合它们的解析式，分析自变量的取值范围，以及 y 随 x 的变化而变化的规律，你能想象一下它们图象的位置和形状吗？你能画出它们图象的示意图吗？ x≠0 x 与 y 的符号有怎样的关联性？ k＞0 x，y 同号 y≠0 函数图象不会与 x 轴、y 轴相交 图象与坐标轴没有交点 x＞0 时，y＞0 第一象限 x＜0 时，y＜0 第三象限 x ， x ， 问题1 画出反比例函数 与 的示意图． ① 函数图象与坐标轴没有交点； ② 图象位于第一、第三象限； ③ 在每一个象限，y 随 x 的增大而减小． 问题2 下面用描点法画出函数 与 的图象，看看它们与你画出的示意图是否大致相同． 列表．① 由于 x≠0，列表时 x 的值应选取负数和正数； ② x 的值优先选取整数，且以 0 为中心对称选取，便于后续计算与描点． x ··· －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 ··· ··· ··· ··· ··· －1 －1 －3 3 1 －2 －3 －6 6 3 2 1 问题2 画出函数 与 的图象． 描点． 连线． x y O －6 －5 －4 －3 －2 －1 －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ① 图象由两支互相独立的曲线组成，分别位于第一象限和第三象限，两支曲线之间不能连接； ② 连线应当使用平滑的曲线，不能用直线段连接； ③ 连线时，曲线两端应无限接近于坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 问题2 画出函数 与 的图象． 描点： 连线： x y O －6 －5 －4 －3 －2 －1 －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ① 图象由两支互相独立的曲线组成，分别位于第一象限和第三象限，两支曲线之间不能连接； ② 连线应当使用平滑的曲线，不能用直线段连接； ③ 连线时，曲线两端应无限接近于坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 问题2 观察用描点法画出的函数 与 的图象，与你之前猜想的示意图是否大体一致？每个函数的图象分别分布在哪些象限？ 第一象限 第三象限 两个函数的图象都分布在第一、第三象限． 问题2 观察函数 与 的图象，在每一个象限内，随着 x 的增大，y 如何变化？这和我们利用解析式分析得到的结论一致吗？ 从左往右，图象呈下降趋势 从左往右，图象呈下降趋势 在每一个象限内，图象从左到右呈下降趋势，即 y 随 x 的增大而减小． 结论一致 问题2 随着 k 的变化，观察反比例函数 (k＞0)的图象，上述结论还能成立吗？你能利用解析式说明理由吗？ 从解析式角度说明： 设 x1，x2 为双曲线同一支上任意两点的横坐标，且 x1＜x2． 当 k＞0 时， 即 y1＞y2，因此 y 随 x 的增大而减小． 归纳 一般地，当 k＞0 时，对于反比例函数 ： （1）函数图象的两支分别位于第一、第三象限； （2）在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小． 问题3 你能用类似的方法研究反比例函数 (k＜0)的图象和性质吗？ 在同一平面直角坐标系中画出 和 的函数图象． O x y －6 －5 －5 －4 －4 －3 －3 －2 －2 －1 －1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 －6 两个函数的图象都分布在第二、第四象限； 在每一个象限内，图象从左到右呈上升趋势，即 y 随 x 的增大而增大． 问题3 随着 k 的变化，观察反比例函数 (k＜0)的图象，上述结论还能成立吗？你能利用解析式说明理由吗？ 从解析式角度说明： 设 x1，x2 为双曲线同一支上任意两点的横坐标，且 x1＜x2． 当 k＜0 时， 即 y1＜y2，因此 y 随 x 的增大而增大． 归纳 一般地，当 k＜0 时，对于反比例函数 ： （1）函数图象的两支分别位于第二、第四象限； （2）在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小． 问题4 你能归纳出反比例函数 的图象特征和性质吗？ 反比例函数 k 的符号 图象 图象位置 增减性 k＞0 k＜0 第一、第三象限 第二、第四象限 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大 (k≠0) 反比例函数的图象由两支曲线共同构成，我们称之为双曲线． 描述反比例函数的增减性时，必须强调“在每一个象限内”． 例 在同一平面直角坐标系中，画出函数 的图象． 解：列表． x ··· －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 ··· ··· ··· ··· ··· －1 －2 1 2 1 2 －2 －1 例 在同一平面直角坐标系中，画出函数 的图象． 描点． 连线． x y O －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 反比例函数是轴对称图形吗？ x y O －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 y＝x y＝－x 反比例函数的图象是轴对称图形，共有两条对称轴，分别是直线 y＝x 和直线 y＝－x． 解析：图象是双曲线，所以是反比例函数的图象，排除 A，B 选项； 又因为双曲线在第一、第三象限，所以 k＞0，故选 C． 1．如图所示的图象对应的函数解析式为（ ） A．y＝5x B．y＝2x＋3 C． D． C 正比例函数 一次函数 双曲线 × × 2．反比例函数的图象如图所示，则 k 0；在每个象限内，y 随 x的增大而 ． 解析：由图象知，双曲线在第二、第四象限， 所以 k＜0， 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大． ＜ 增大 反比例函数的图象和性质 图象特征 性质 k＞0，图象位于第一、第三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小 反比例函数的图象是双曲线 k＜0，图象位于第二、第四象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大 谢谢 $