25.1 一元二次方程的概念 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程的概念，涵盖定义、一般形式、根的定义及检验。通过面积问题和比赛场次问题导入，引导学生列方程并化简，类比一元一次方程归纳新知，搭建从实际问题到数学概念的学习支架。 以“实际问题建模—观察对比—归纳概念”为主线，运用类比迁移培养抽象能力，结合典例辨析二次项系数不为0等难点，发展推理意识。中考真题融入检测，强化模型意识，小组合作提升探究能力，教师可直接使用例题与练习，高效落实教学目标。

25.1 一元二次方程的概念 教学设计 课题 25.1 一元二次方程的概念 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 （1）理解一元二次方程的定义，掌握其三大判定特征；熟记一般形式，能准确识别各项及系数；掌握方程的根的定义，会检验一个数是否为方程的根； （2）经历「实际问题列方程—观察对比—归纳概念—辨析应用」的全过程，提升抽象概括、类比迁移、数学建模的能力； （3）感受方程与生活的联系，体会数学建模的实用性，培养严谨的数学辨析思维。 教学重点 一元二次方程的定义、一般形式及各项系数、方程的根及检验。 教学难点 理解一般形式中二次项系数 a≠0 的意义；复杂整式方程化简后的一般形式化与精准辨析；结合实际问题建立一元二次方程模型。 教学方法 讲授法、探究法、类比迁移、小组合作、演示法 教学准备 多媒体课件、直尺、学案 课后练习 完成课本P3-4课堂练习及课后巩固练习 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情景，引入新课 展示课本中的实际问题，引导学生设未知数、列方程： 1. 面积问题：一块矩形铁皮，长 100cm、宽 50cm，在四个角截去相同的正方形，折起后无盖长方体纸盒的底面积为 3600cm²。设截去正方形的边长为 xcm，如何列方程？ 2. 比赛场次问题：组织排球邀请赛，每两队之间赛一场，7 天赛程、每天 4 场，共 28 场。设参赛队伍为 x 支，如何列方程？ 学生独立列式、化简，教师巡视指导，最终板书化简后的两个方程： ① 面积问题：（底面长为 (100−2x)cm、宽为 (50−2x)cm） ，整理得 。 ② 比赛场次问题：任意两队间赛一场，第 1 支队伍要与其他 (x−1) 支队伍交手，总场次为 ，）， 即 ，整理得 。 教师小结：这两个方程都含有一个未知数，且未知数的最高次数都是 2，与一元一次方程不同，这就是今天要研究的一元二次方程。（板书课题） 列并化简两个方程 与 → ，观察其共同特征 依托教材原生情境，让学生自主经历实际问题转化为数学方程的过程，感知新知生成背景，培养建模能力，为后续概念归纳提供具体素材。 二、探究点1： 类比旧知，归纳定义 探究点1：类比旧知，归纳定义。 活动1：对比所学一元一次方程 ，观察上述两个方程，有哪些相同点和不同点？ 追问1：上面两个方程含有几个未知数？——一个。 追问2：未知数的最高次数是多少？——2。 追问3：等式两边的代数式有什么特点？——两边都是整式。 师生共同总结共性：只含有一个未知数（一元）；未知数的最高次数是 2（二次）；等式两边都是整式（整式方程）。 学生尝试给方程下定义，教师规范并板书定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程。 对比 ，回答三个追问并归纳一元、二次、整式三大特征，尝试给一元二次方程下定义 采用类比迁移方法，以旧知引新知降低认知难度；通过小组合作自主归纳概念，替代教师直接灌输，加深对概念三大核心特征的理解。 三、探究点2： 规范一般形式，辨析各项系数 探究点2：规范一般形式，辨析各项系数。 活动2：任意一元二次方程经过整理可以统一化为什么形式？ 学生讨论：任意一元二次方程经过整理（去括号、移项、合并同类项），都可化为统一形式，这就是一元二次方程的一般形式。 规范定义：一元二次方程的一般形式是 ，其中 是二次项，a 是二次项系数； 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 强调核心条件：若 a=0，方程变为 ，即为一元一次方程，不再是一元二次方程；b、c 可以为 0。 总结一般形式 ，指出各项及系数，辨析核心条件 而 可为 0 明确方程的标准化形式，拆解各项概念，针对性突破「a≠0」这一难点，帮助学生建立规范的代数认知，为后续化简辨析打基础。 四、探究点3： 认识方程的根 探究点3：认识方程的根。 活动3：什么是一元二次方程的解（根）？ 复习：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元一次方程的解。 学生尝试类比给出定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫方程的根。 活动4：如何检验一个数是否是一元二次方程的解（根）？ 学生讨论依据和方法：依据是方程的解（根）的定义，方法是代入方程两边，根据所得左右是否相等判断。 实际检验：以方程 为例，检验 x=8、x=7 是否为方程的根，规范检验步骤： ① 当 x=8 时，左边 =64−120+56=0，右边 =0，左边 = 右边，所以 x=8 是方程的解； ② 当 x=7 时，左边 =49−105+56=0，右边 =0，左边 = 右边，所以 x=7 也是方程的解。 教师小结：方程的根可以有多个；检验的关键是代入并严格比较左右两边是否相等。 类比给出一元二次方程解的定义，按代入、计算左右、对比判断三步检验 中 x=8 与 x=7 均为根 延续类比思想衔接新旧知，通过示范解题让学生掌握根的检验规范步骤，落实基础技能目标。 五、典例精讲 【典型例题】 例1 已知 是关于 x 的一元二次方程，求 m 的值。 【分析】此题考查一元二次方程的定义：含一个未知数、最高次数为 2 的整式方程。由「最高次数为 2」得 |m|+1=2，同时二次项系数 m−1≠0。 【详解】解：∵ 是关于 x 的一元二次方程， ∴ |m|+1=2 且 m−1≠0，解得 m=±1 且 m≠1，所以 m=−1。 例2 将一元二次方程 化为一般形式，其中二次项系数为 1，一次项系数和常数项分别是什么？ 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式。将方程整理、移项、合并同类项化为 ax²+bx+c=0（a≠0）后，找出一次项系数与常数项即可。 【详解】解：去括号、移项得 ， 合并同类项得 ，则一次项系数为 −5，常数项为 3。 例3 已知关于 x 的方程 的一个根为 3，求 m 的值。 【分析】此题考查一元二次方程根的定义：方程的一个根为 3，说明 x=3 能使方程左右两边相等，将其代入方程即可求得 m 的值。 【详解】解：把 x=3 代入方程得 ， 整理得 ，解得 m=5，即 m 的值为 5。 教师用课件展示例题答案，规范书写「设、列、代入、验证、作答」过程。 完成例1 且 得 m=−1；例2 化为 指出 −5、3；例3 代入得 得 m=5 落实本节课重点知识，规范各类型题的解题书写过程，提升学生分析问题、解决问题的能力。 六、当堂检测 1. 课本课堂练习（P3-4）。通过课件展示，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知。 2. 中考真题： （1）（2025·贵港统考）关于 x 的方程 是一元二次方程，则 m 满足的条件是（　）, A．m=1　　B．m=−1　　C．m=±1　　D．m≠−1 【详解】由一元二次方程的定义，得 且 ，解得 m=1，故选 A。 （2）（2025·长沙·九年级统考）已知 x=2 是关于 x 的一元二次方程 的一个根，则 m 的值是（　）, A．−2　　B．0　　C．2　　D．4 【详解】把 x=2 代入方程得 ，解得 m=4，故选 D。 （3）（2025·贵港·九年级统考）若关于 x 的一元二次方程 的一个根为 1，求 m 的值。 【详解】把 x=1 代入方程，得 ，解得 m=2。 教师巡视、个别指导，结合中考真题讲解应考方法，强化易错点辨析。 课本练习 + 中考真题：解析 得 m=1；代入 得 m=4；代入 得 m=2 学完新知后及时巩固练习，既强化记忆、加深理解、反馈学情；又通过中考真题明确考试方向、熟悉题型、提升应考能力，激发学习动力。 七、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1. 知识与技能：（1）方程定义：一元、二次、整式三大核心特征；（2）一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及各项系数、二次项系数不为 0；（3）方程的根：能使左右两边相等的未知数的值，掌握规范检验方法。 2. 思想方法：（1）类比思想：类比一元一次方程的定义、解、一般形式；（2）建模思想：将实际问题转化为一元二次方程模型；（3）分类讨论思想：按二次项系数是否为 0 区分一元二次与一元一次方程。 3. 易错提醒：（1）判定类型前必须先化简为整式方程，分式方程、根式方程一定不是一元二次方程；（2）一般形式中二次项系数 a≠0 是必备条件，参数题优先考虑；（3）识别各项、系数必须包含符号，常数项可正、可负、可为 0；（4）方程的根可有多个，检验须严格代入计算。 　三要素：一元二次整式　检验：代入左右等。 回顾定义三要素、一般形式 与根检验，整理类比、建模、分类讨论思想及易错点 对本课知识进行总结，强调概念三要素、a≠0 条件、含符号系数及多根检验等易错点，帮助学生增强学习的主动性与连贯性。 板书设计 25.1 一元二次方程的概念 主板书 一、定义（三要素） 一元：一个未知数；二次：最高次数2 整式：两边都是整式方程 二、一般形式 ax²：二次项；bx：一次项；c：常数项 二次项系数 a≠0；b、c 可为 0 三、方程的根 使左右两边相等的未知数的值 检验：代入 → 计算 → 比较 根可有多个 四、易错点 先化简再判型；a≠0 必备 项含符号；常数可正负零 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $