第27章 反比例函数单元自测基础卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第27章 反比例函数单元自测基础卷 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：人教版九年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·重庆·期末）已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（     ） A．6 B． C．12 D． 3．（25-26八年级下·吉林·期中）若反比例函数的图象在第二、第四象限内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意实数 4．（2026·云南楚雄·三模）已知a，b互为相反数，且，则反比例函数y=的图象所在的象限为（     ） A．第二、四象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第一、二象限 5．（2026·天津北辰·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·四川·开学考试）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）对于反比例函数，下列说法中不正确的是（    ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 8．（北京市首都师范大学附属中学2025-2026学年九年级上学期月考数学试题）小明在学习了一次函数、二次函数和反比例函数后，对从解析式的角度研究函数有了新的体会．现有函数（其中为常数，且），经小明研究得出了下面几个关于函数图象特征的结论，其中错误的是（    ） A．经过原点 B．不经过第二、四象限 C．关于直线对称 D．与直线有三个交点 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）反比例函数中，比例系数是________，当时，________． 10．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）反比例函数y=的图象经过点A，若A点在第二象限，则k的取值范围是__________ ． 11．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）已知正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是_____． 12．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，已知反比例函数和的图象，点为图象上一点，过点作轴于点与图象交于点，若的面积为1，则的值为___________． 13．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 14．（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（25-26八年级下·河南周口·期中）已知反比例函数的图象经过点． （1）求函数解析式； （2）判断点是否在该函数图象上． 16.（8分）（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点，．直线，分别交该双曲线另一支于点C，D，顺次连接，，，．求证：四边形是矩形． 17.（8分）（2025·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，，是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）观察图象，直接写出不等式的解集． 18.（8分）（2026·河南周口·一模）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图1）时，浸入液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图2所示． （1）求h与之间的函数关系式； （2）当液体密度从增加到时，求密度计浸入该液体中的高度h怎么变化，变化了多少． 19.（8分）（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，轴于点E，已知C点的坐标是，． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求的面积． （3）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围 20.（8分）（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，且，点在反比例函数的图像上． （1）求反比例函数的表达式； （2）若直线交轴于点，求的面积． 21.（10分）（2025·湖北·三模）如图，在平面直角坐标系中，与直线平行的直线与函数的图象交于点． （1）求直线的解析式及k的值； （2）若点B是函数的图象上的点，设点B的横坐标为m，过点B作平行于y轴的直线，交直线于点C，交直线于点D． ①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，结合函数的图象，直接写出点B的横坐标m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章 反比例函数单元自测基础卷 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：人教版九年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一般地，形如（k为常数，且）的函数称为反比例函数．根据反比例函数的定义逐项判断即可． 解：A、不是反比例函数，故本选项不合题意； B、是反比例函数，故本选项符合题意； C、不是反比例函数，故本选项不合题意； D、不是反比例函数，故本选项不合题意． 2．（25-26八年级下·重庆·期末）已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（     ） A．6 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 解：把点代入可得． 3．（25-26八年级下·吉林·期中）若反比例函数的图象在第二、第四象限内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】当反比例函数图象分布在第二、第四象限时，其比例系数小于0，据此列出不等式求解即可得到k的取值范围． 解：∵反比例函数的图象在第二、第四象限内， ∴，解得． 4．（2026·云南楚雄·三模）已知a，b互为相反数，且，则反比例函数y=的图象所在的象限为（     ） A．第二、四象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第一、二象限 【答案】A 【分析】根据题意，得到a，b异号，进而得到，根据反比例函数的性质，即可得出结果. 解：∵a，b互为相反数，且， ∴， ∴反比例函数的图象所在的象限为第二、四象限. 5．（2026·天津北辰·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用反比例函数图象上的点满足函数解析式的性质，将各点横坐标代入解析式求出对应纵坐标，即可比较大小得到结果． 解：∵点，，都在反比例函数的图象上 ∴将各点横坐标分别代入解析式计算，得 ∵ ∴． 6．（26-27九年级上·四川·开学考试）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据k的正负性，分别判断反比例函数图象所在的象限以及一次函数图象经过的象限，从而确定正确选项． 解：当 时，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项B符合题意； 当 时，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 选项A、C、D均不符合题意． 7．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）对于反比例函数，下列说法中不正确的是（    ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，根据反比例函数的图象及性质逐一判断即可． 解：A选项：把点代入函数中，得成立， ∴点在函数的图象上，本选项说法正确； B选项：∵， ∴函数图象在第一、三象限，本选项说法正确； C选项：∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小，本选项说法错误； D选项：∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小，本选项说法正确． 故选：C 8．（北京市首都师范大学附属中学2025-2026学年九年级上学期月考数学试题）小明在学习了一次函数、二次函数和反比例函数后，对从解析式的角度研究函数有了新的体会．现有函数（其中为常数，且），经小明研究得出了下面几个关于函数图象特征的结论，其中错误的是（    ） A．经过原点 B．不经过第二、四象限 C．关于直线对称 D．与直线有三个交点 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数等性质，根据二次函数和反比例函数知识逐一判断即可得出答案． 解：A.当时，，说法正确，故选项不符合题意； B.当时，，当且时，，说法正确，故选项不符合题意； C.当时，无意义，说法正确，故选项不符合题意； D.由得，可以求得，只有两个交点，选项错误，故选项符合题意； 故选：D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）反比例函数中，比例系数是________，当时，________． 【答案】 【分析】将函数解析式变为，根据反比例函数的定义即可得出答案，再将代入反比例函数解析式求解即可． 解：∵， ∴反比例函数的比例系数是， 当时，； 故答案为：，． 【点拨】本题考查了反比例函数的定义．形如的函数称为反比例函数，其中为自变量，为函数，为反比例系数，还考查了反比例函数的函数值，熟练掌握知识点是解题的关键． 10．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）反比例函数y=的图象经过点A，若A点在第二象限，则k的取值范围是__________ ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象所在象限与比例系数的关系列不等式求解即可． 解：∵点在第二象限，反比例函数经过点， ∴该反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴可得不等式 ，解得 ． 11．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）已知正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的图象性质，中心对称的性质，先求出已知交点的坐标，再根据交点关于原点中心对称的性质求解即可． 解：因为交点在反比例函数的图象上， 所以将代入，得， 即已知交点坐标为． 因为正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称， 所以两个函数的交点关于原点中心对称． 关于原点中心对称的点，横纵坐标分别互为相反数，因此另一个交点坐标为． 12．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，已知反比例函数和的图象，点为图象上一点，过点作轴于点与图象交于点，若的面积为1，则的值为___________． 【答案】3 【分析】根据反比例函数的几何意义得，由求解即可． 解：由题意可得点在图象上， ∴， ∵， ∴， ∵点为图象上一点， ∴， ∴． 13．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】直接利用图象法找到直线在双曲线上方时的自变量的范围即可. 解：由图象可知，当时，的取值范围是 或 . 14．（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与一次函数交点问题，线段最短问题，以及勾股定理，数形结合是解题的关键． 先求出，根据中点坐标公式求出，根据轴对称图形的性质确定点P位置，并求出点P的坐标，再求出的长即可． 解：∵一次函数与两坐标轴分别交于，两点， 当时，，当时， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴点， ∵直线是第一象限的角平分线，且， ∴直线垂直直线， ∵对于，当时，， ∴在直线上， ∴当时，线段最小，此时点P在直线上， ∵点P在反比例函数的图象上， 联立与得： ，解得：或， ∴点， ∴，， ∴的最小值为． 故答案为： 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（25-26八年级下·河南周口·期中）已知反比例函数的图象经过点． （1）求函数解析式； （2）判断点是否在该函数图象上． 【答案】（1）；（2）点在函数图象上 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入，可得，进一步求解即可. （1）解：把代入， ∴， ∴解析式为. （2）解：当时，， ∴点在图象上. 16.（8分）（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过点，．直线，分别交该双曲线另一支于点C，D，顺次连接，，，．求证：四边形是矩形． 【答案】解：将代入中，得： ， ∴，将代入中， ∴，即， ∴，， ∴， 由反比例函数对称性可得：，， 即， ∴四边形是矩形． 【分析】将点A代入中求出k，再将点B代入中，求出点B坐标，求出，的长，根据对称性得到，即可证明结论． 解：略 【点拨】本题考查了反比例函数图像上的点，对称性，矩形的判定，勾股定理，解题的关键是求出和的长，熟练运用矩形的判定定理． 17.（8分）（2025·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，，是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）先把点坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点坐标代入反比例函数解析式求出点的坐标，再把、坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可； （2）只需要找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可． （1）解：由题意，将代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， 将代入， 得：， 解得：， 则， 将，代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由函数图象可知不等式的解集为或． 18.（8分）（2026·河南周口·一模）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图1）时，浸入液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图2所示． （1）求h与之间的函数关系式； （2）当液体密度从增加到时，求密度计浸入该液体中的高度h怎么变化，变化了多少． 【答案】（1）；（2）密度计浸入该液体中的高度h减少了，减少了3cm 【分析】（1）设，把求出k，即可得出解析式； （2）把代入（1）中求解的函数解析式即可． （1）解：设h与之间的函数关系式为（）． 由题可知，图象过， 将，代入， 得． 解得． 所以h与之间的函数关系式为． （2）解：当时，． ． 答：密度计浸入该液体中的高度h减少了，减少了． 19.（8分）（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，轴于点E，已知C点的坐标是，． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求的面积． （3）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围 【答案】（1）反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为；（2）6；（3）或 【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可求解； （2）根据即可求得； （3）观察函数图象即可求解． （1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 点在反比例函数上，且， ，代入得：，解得， 点的坐标为． 、两点在直线上，则，解得， 一次函数的关系式为； （2）解：； （3）解：由图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． 20.（8分）（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，且，点在反比例函数的图像上． （1）求反比例函数的表达式； （2）若直线交轴于点，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）过点作轴于，则，通过证得，求得的横坐标，代入一次函数解析式求得坐标，把点的坐标代入即可求得反比例函数的解析式； （2）通过反比例函数解析式求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，即可求得点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求解． （1）解：如图所示， 过点作轴于，则， ∴， ∴， ∵一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的横坐标为， 把代入得，， ∴C（2，6）， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴反比例函数为． （2）解：∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求得反比例函数、一次函数的解析式，三角形面积，求得交点坐标是解题的关键． 21.（10分）（2025·湖北·三模）如图，在平面直角坐标系中，与直线平行的直线与函数的图象交于点． （1）求直线的解析式及k的值； （2）若点B是函数的图象上的点，设点B的横坐标为m，过点B作平行于y轴的直线，交直线于点C，交直线于点D． ①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，结合函数的图象，直接写出点B的横坐标m的取值范围． 【答案】（1）；；（2）①②或 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，反比例函数，一次函数与反比例函数交点问题． （1）先由平行的性质，设直线的解析式为，代入即可求出直线的解析式为，则将点代入中，得，即可作答． （2）①当时，分别得出，，，则，即可作答． ②先整理得，解得或，当时，则或，再运用数形结合思想分析，即可作答． （1）解：∵直线与直线平行， ∴设直线的解析式为， 依题意，将点代入解析式，得， 解得， ∴直线的解析式为， 将点代入中，则， 解得； （2）解：①当时，， 依题意，如图所示： 理由：由（1）得，， 当时，， 故， 依题意，得， 则， 当时，， ∴， ∴， ∴； ②或 ∵直线与直线平行， ∴， 依题意，， 解得或， 当时，则或， ∴观察图象，当时，或． 学科网（北京）股份有限公司 $