四川南充市嘉陵第一中学2026-2027学年高二上学期第一次学情调研数学试题

《高2025级高二上期第一次学情调研》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 0 C D O ⊙ ⊙ C AC ABD 题号 11 答案 ABD 1.D 【详解】由题意， 得m×25=16,解得n=80, 2.C 【详解】对于A,当k=-时，石=（，-1,0，显然不存在实数使得冠=石，故A错误： 对于B,当k=时，万=(G,-1,2),显然不存在实数使得a=石，故B错误； 对于C,当k=-3时，五=(-3，-1，-5)，a.=-3×1+(-1)×2+(-5)×(-1)=0, 故C正确： 对于D,当k=-1时，b=(-1,-1,-1),a.b=-1×1+(-1)×2+(-1)×(-1)=-2≠0， 故D错误 3.D 【分析】对于A,由百分位数的定义即可判断：对于B,由平均数公式列方程即可判断：对 于C,由分层抽样的性质即可判断：对于D,由标准差的性质即可判断 【详解】对于A,因为5个数据从小到大排列为1,3,5,6,8，且5×0.6=3，所以第60 百分位数是5=5.5，则A错误， 2 对于B,一组样本数据4,6,7,8,9，α的平均数为7，可知+6+7+8+9+a=7,解得a=8, 6 B错误 对于C,因为在分层抽样中，每一层的抽样比是相同的，都等于总的抽样比，所以C错误 对于D,因为x1,x2,…,x10的标准差为4，所以它的方差为16， 而-2x1+3,-2x2+3,-2x3+3,…,-2x10+3的方差为4×16=64，所以它的标准差是8， 故D正确. 故选：D 4.C 【分析】利用事件相互独立的定义判断A项：利用随机事件的概率加法公式计算判断B项： 根据互斥事件的概率公式判断C项：利用事件相互独立的性质计算判断D项， 【详解】对于A,由P网)=可得P(W)=1-P网-吾 答案第1页（共13页） 因P(M)P=号×=}P(MW,则事件M与N相互独立，故A正确： 对于B,因PM+)=P(M+PO)-P(MM=+后器放B正确： 对于C,因P(MW)=≠0，故事件M与N不互斥，即C错误： 对于D,由A项可得事件风，N相互独立，故P网)=P(网P网=(1-)×君二名< P(MN),即D正确. 5.C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得 【详解】如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，令AC=2, 则A(2,0,0),C(0,0,0),B(0,2,0),D(1,1,0),B1(0,2,2), 设平面B1CD的法向量为元=(x,y,Z), CD=(11,0),cB=02,2,则元.CD=x+y=0 元.CB1=2y+2z=0 令x=1,则y=-1,z=1,.=(1,-1,1), 又平面ABC的法向量为m=(0,0,1), 放ms优网一篇点停 1 3 设平面ABC与平面B1CD所成角为9,0∈[D,月引，则cos9=号 故平面ABC与平面B1CD夹角的正弦值为sin8=V1-cos9-5 故选：C C B A B y X 6.B 【详解】由频率分布直方图可知，样本数据在左侧较集中，右侧尾部较长，分布呈右偏 在频率分布直方图中，众数是最高矩形底边中点的横坐标，中位数是使左右两侧面积均为0.5 的分界点，平均数受右侧较大数据的影响更明显 因此平均数最大，中位数居中，众数最小，即众数<中位数<平均数 答案第2页（共13页） 7.B 【分析】建立空间直角坐标系，写出相应的点坐标，求出相应向量的坐标，利用向量法判断 两条直线的位置关系即可， 【详解】以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， D B A E卧 D A.- E B 设AB=1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),D1(0,0,1), 由A1E=A1D,AF=号AG,则E(6,0,),F(G,0) 所以41D=(-1,0-10,AC=(-11,0),丽=(G3,-),BD=(-1,-1,1), 因为EF=-BD1,所以EF/BD,又EF与BD1无公共点，所以EFI/BD1,故C,D错误： 由A1D.EF=(-1)×3+0×3+(-1)×(-)=0, 且AC-EF=(-1)×+1×+0×(-)=0, 所以EF1A1D,EF1AC→EF1A1D,EF1AC,故A错误，B正确. 8.C 【详解】由DM=xDA1+yDB+ZDC1和x+y+z=1结合共面向量定理得M、A1、B、C1 四点共面， 即点M在平面A1C1B上，则DM的最小值为点D到平面A1C1B的距离. Z D D 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),B(2,2,0), 答案第3页（共13页） 所以A1C1=（-2,2,0),A1B=(0,2,-2),DA1=(2,0,2), 设叶自AG,B的注向最-化小则{十。 取i=(110,点D到平而A1G,B的距离d=-言- 3 9.AC 【详解】对于A,由题意知这组数据中数字9出现了3次，次数最多，故A正确： 对于B,将这组数据从小到大排列，可得6,6,7,8,9,9,9,10， 由8×40%=3.2，可知分位数是第4个数8，故B错误； 对于C,这组数据的极差是10一6=4，故C正确： 对于D,这组数据的平均数是6+6+7+8+9+9+9+10=8，故D错误. 8 10.ABD 【分析】先计算不放回抽取2个球的总基本事件数，再分别计算各事件对应的基本事件数， 结合古典概型公式、事件包含关系、独立事件判定规则逐一分析选项， 【详解】根据题意，所有可能的组合为：（红1，红2），（红1，红3），（红1，白1），（红1，白2），（红2，红 3),(红2，白1)，（红2，白2），（红3，白1），（红3，白2），（白1，白2），共10种， 对于A,事件A为两球颜色不同，对应共6种组合，P(A=品=故A正确： 对于B,事件B为两球数字相同，仅（红1，白1），（红2，白2）2种情况，且均满足颜色不同，即BCA, 故AB=B,P(AB)=P(B),故B正确： 对于C,事件C为数字之和小于4，对应共5种组合，P(©=哥=+号故C错误： 对于D,事件AC为两球颜色不同且数字和小于4，对应共3种组合，P(AC)=品而P(A)P(C) x品 满足独立事件判定条件P(AC)=P(A)P(C),故事件A与C相互独立，故D正确 11.ABD 【分析】对于A.根据等体积转化，可证明体积为定值：对于B.取B1C1、C1C中点E、F,连 接D,E、D,F、EF、PF,证明平面A1PD//平面D,EF,则Q点的轨迹为线段EF;对于C.以D1 为原点，建立空间直角坐标系，设Q(x,1,z),0≤x≤1,0≤z≤1，求出平面A1PD的法向量， 根据D1Q=求出x、z即可判断；对于D.利用线面角的向量公式，得到点Q的轨迹方程， 即可求得点Q的轨迹长度 【详解】A三棱柱的体积V-AD,0=Vg-AD1D=SaAD,D×,SaAD,D=×1×1=点Q 答案第4页（共13页) 到平面A1D1D的距离为1，所以三棱锥D一A1D1Q的体积为定值，故A选项正确： B.取B1C1、C1C中点E、F,连接D1E、D1F、EF、PF, D A B 由PF/BC1/∥A1D1且PF=B1C1=A1D1,知A1PFD1是平行四边形， .D1F//A1P,.D1F￠平面A1PD,A1PC平面A1PD,D1F//平面A1PD, 同理可得EF/平面A1PD,,EF∩D1F=F,EF,D1FC平面D1EF, .平面A1PD/平面D1EF,则Q点的轨迹为线段EF,故B选项正确： C如图，建立空间直角坐标系， 则A1(1,00),P(11,)D(00,1),设Q(x,1,2).0≤x≤1,0≤z≤1， 则A1D=(-1,01),A1P=(0,1》D10=(x,1,2. 设m=(a,b,c)为平面A1PD的一个法向量， 低A8R公专=1，则） 则m·AD=0即 (-a+c=0, x=λ 若DQ1平面A1PD,则D1Q/元，即存在AER,使得D0=m,则1=-分，解得x=z=-2g z=λ [0,1],故不存在点Q使得D1Q⊥平面A1PD,故C选项错误； D.平面BCC1B1的法向量为元=(0,1,0)，D1Q=(x,1,z), 若直线D1Q与平面BCC1B1所成角的正切值为V2,则此角的正弦值是5， 所以si6=losD1,训=肥副 6 D1d刷 Vx2+1+z2 3 所以x2+z2=2 因为点Q为正方形BB1C1C内一动点（含边界)， 所以点Q是以C为圆心， 号为半径的圆弧（正方形BB,CC内），即圆，心角为的圆弧，弧长为 故D正确， 答案第5页（共13页） 故选：ABD 12.-8 【详解】因为BD=CD-CB=e-4e2,AB=2e1+ke2,又A,B,D三点共线， 由向量共线的充要条件得=女所以k=一8. 13.品 【分析】先求P(AUB),再根据P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)即可求解 【详解】设小王参加甲款游戏闯关成功为事件A,参加乙款游戏闯关成功为事件B, 则P(A=,P(B)=,PaB)= 所以P(AUBD)=1-P(aB=1-号= P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB), 所以P4B)=P(A+P(®)-P(AUB)=+写名0 14.2g 【分析】由三棱锥的性质结合已知条件求出PD,构造空间直角坐标系，求出相关点坐标，利 用正三角形的性质求出重心坐标，进而设圆心坐标，利用三棱锥外接球的性质构造方程求出 半径R,进而利用球的面积公式求解. 【详解】己知AB=BC=AC=2,则△ABC是等边三角形， 面积为SA4c-×2×2×5-V3, 三棱锥的体积Vp-ABc=S△ABC·PD=号×V3.PD=1,解得PD=V3, 以D为坐标原点，AB为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立下图所示空间直角坐标系， ZA 则D(0,0,0),B(1,0,0),A(-1,0,0),C(0,V3,0),P(0,0,V3), 等边三角形△ABC的外接圆圆心为01(O,号，0)，设外接球球心为0(0，，)， 则04=(-1，-，-t),0驴=(0，-豆3-t 答案第6页（共13页） OA=丽=R,则+t2-号-2V3t+t2,解得t- 31 4R=, +- 外接球的面积5=4红2=4×号=20 3 15.(1)5 2 (3)1 【详解】(1)因为a=(-1,0,1),b=(1,-2,0), 所以a+b=(-1+1,0-2,1+0)=(0,-2,1), 所以a+b=V02+(-22+卫=V5, (2)因为a=(-1,0,1),b=(1,-2,0), 所以a-b=(-1-1,0+2,1-0)=（-2,2,1) 所以a.(a-b=(-1)×(-2)+0×2+1×1=3, =V-1)2+02+亚=V2,a-8=V-2)2+2+1亚=3， 设a与(a-b)的夹角为0， 则cos0= a(a-b创 3-2 lala- V2×3-2 又8E[0,,得8= (3)因为a=(-1,0,1),b=(1,-2,0), 所以2a+万=(-1，-2,2)，a-tb=(-1-t,2t,1), 因为2a+b与a-tb垂直，所以(2d+b)(a-tb)=0, 故-1×(-1-t)+(-2)×2t+2×1=0,解得t=1. 16.(l)AM-a+b+ic,BE--a+ib+c (2)2 【分析】(1)用向量的线性运算即可求解： (2)用向量数量积的运算律即可求解， 答案第7页（共13页） 【详解】(1)由于CM=CC,CC1=AA1=c,所以cM=C,因此AM=AB+BC+CM=a+ b+3c 又因为E为A1D的中点，AE=A1D1=台A0=五，因此B正=BA+AA1+AB=-a+片6+ c. (2)由(1)可知AM=at6+号c,BE=-a+号b+d, 所以AM.B亚=(a+6+习(a+6+)=-同++引-.i+a.+ 6 因为a.方=a.2=五.=2×2cos60=2,同°===22=4 所以AM.BB=-4+×4+3×4-×2+子×2+名×2=2 17.(1)a=0.025 (2)众数为65，平均数为71 6明 【分析】(1)根据频率和为1求a的值， (2)利用频率分布表估计众数和平均数. (3)先确定满意度评分值在40,50)内男性与女性的人数，再结合古典概型求概率 【详解】(1)由10×(0.005+0.010+2×0.015+a+0.03)=1→a=0.025 (2)估计众数为65， 估计平均数为：45×0.05+55×0.15+65×0.30+75×0.25+85×0.15+95×0.10=71. (3)由题意，满意度评分值为[40,50)的人有100×0.05=5人， 其中男性5×品2=3人，记为m,n: 女性有2人，记为m1,m2 从这5人中随机抽取2人进行座谈，所有的样本点有：(n1,2),(n1,n3),(n1,m1),(n1,m2), (n2,n3),(n2,m1),(n2,m2),(3,m1),(n3,m2),(m1,m2),共10个 记恰有1名女性为事件A,则事件A包含：(n1,m1),(n1,m2),(n2,m1),(n2,m2),(n3,m1), (n3,m2)6个样本点 所以P(A=品=号 18.(1)解法一：以A为原点，建立如图空间直角坐标系. 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),C1(2,2,2). 答案第8页（共13页） 因为P为棱BC的中点，所以P(2,1,0), 因为Q为侧面A1ABB1内的一点，且BQ=AQ,所以可设Q(1,0,t),0≤t≤2. 因为PQ=2,所以(2-1)2+(1-0)2+(0-t)2=4→t=V2. 所以Q(1,0,V2, 所以P0=(-1,-1,V2: 又因为BD1AC,BD1AA1,AC,AA1C平面AA1C1C,且AC∩AA1=A, 所以BD1平面AA1C1C. 所以BD=(-2,2,0)为平面AA1C1C的法向量， 因为P0·BD=(-1,-1,V2·(-2,2,0)=0,且PQ￠平面AA1C1C, 所以PQ//平面AA1C1C. 解法二：因为BQ=AQ,设AB的中点为M,连接QM,则QM1AB, 所以在正方形ABB1A1中，QM//AA1,且QM女平面ACC1A1,AA1C平面ACC1A1, 所以QM/平面ACC1A1· 又因为P为棱BC的中点，M为AB中点，连接PM,则PM/AC, 且PM女平面ACC1A1,ACC平面ACC1A1,所以PM/平面ACC1A1, 因为QMOPM=M,QM,PMc平面PQM,所以平面PQM/平面ACC1A1, PQc平面PQM,所以PQ/平面ACC1A1: D O D B (片 e9 【分析】(1)解法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而证明出线面平行； 解法二；证明出面面平行，进而得到线面平行： (2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角正弦公式进行求解： (3)建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式进行求解 答案第9页（共13页） 【详解】（1)略 (2)以A为原点，建立如图空间直角坐标系. 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),C1(2,2,2) 因为P为棱BC的中点，所以P(2,1,0) 因为Q为侧面A1ABB1内的一点，且BQ=AQ,所以可设Q(1,0,t),0≤t≤2. 因为PQ=2,所以(2-1)2+(1-0)2+(0-t)2=4→t=V2. 所以Q(1,0,V2),所以P0=(-1,-1,V2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1平面ABB1A1, 所以AD=(0,2,0)是平面ABB1A1的一个法向量， 又因为P可=(-1，-1，V2,设PQ与平面ABB1A1所成角为0， 则sin6=lcos(Po,AD= =品分 POIADI 即直线PQ与平面ABB1A1所成角的正弦值为号 ZA A B Q 4 M D方 B D C (3)因为A1C1=(2,2,0),A1P=(2,1,-2). 设平面A1C1P的法向量为m=(x,y,Z), 则元1G→元AC=2x+2y=0。,令x=2可得元=2，-2,1) (m 1A P (m.A P=2x+y-2z=0 所以P0m=(-1,-1,V2)·(2,-2,1)=V2. 所以Q点到平面A1C1P的距离为P®列 √2 V2 22+(-2)2+12 3 19.(1)证明：因为ABCD为平行四边形，所以AB/CD, 又AB丈平面PCD,CDc平面PCD,所以AB//平面PCD, 因为平面PAB∩平面PCD=L,所以AB/l, 因为L1BC,所以AB⊥BC: 答案第10页（共13页） ai2(o） 【分析】(1)由线面平行的性质得线线平行，从而证明出AB1BC; (2)()法一：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到线面角的正 弦值； 法二：补体成长方体BADC-PQFE,得到∠DQO为直线DQ与平面BCFQ所成角，求出各边长， 求出正弦值： (i)令6=LABM,日∈(0习，则M(2cos6,0,2sin8),求出平面ACM和平面BCM的法向量， 利用面面角的余弦公式和换元得到os<>=V3×、1+是 根据函数的单调性，得 到平面ACM与平面BCM所成角的余弦值的取值范围. 【详解】（1)略： (2)(i)(法一：向量法)因为PBI平面ABCD,且AB⊥BC,所以BA,BC,BP两两互相垂 直， 以B为原点，BA、BC、BP分别为x,y,z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， ZA 则B(0,0,0),C(0,2√3,0)，D(2,2V3,0),P(0,0,4),Q(2,0,4), 所以D0=(0,-2W3,4),B0=(2,0,4),C0=(2,-2V3,4), 设平面QBC的法向量为m=(xo,yo,z0), 2x0+4z0=0, 元B0=0可得22N5十42=0取x=2,=0,21 m.C0=0, 所以元=(2,0，-1)， 设直线DQ与平面QBC所成角为0， 则sin={ |0×2-2V3×0+4×(-1)l 2店2@ 4 359 (法二：几何法)补体成长方体BADC-PQFE, 过点D作DO垂直FC于点O,连接OQ,BQ,则D01平面BCFQ, 答案第11页（共13页） 所以∠DQO为直线DQ与平面BCFQ所成角， 在Rt△CDF中DO LFG,所以D0=后 在Rt△0DQ中，DQ=2W7,D0=后 所以snn00-8-言：27-6402源 35 (ii)因为BC⊥平面ABPQ,BMC平面ABPQ,所以BC⊥BM, 因为CM=4,所以BM=√42-(2W3=2, 又M是四边形ABPQ(不含边界)内的动点，则点M在以B为圆心，2为半径的圆上， 令8=LABM,6∈(09)，则M(2cos0,0,2sin0), 又B(0,0,0),C(0,2W3,0),A(2,0,0),AC=(-2,2W3,0),BC=(0,2W3,0), AM=(2cos0-2,0,2sin8),BM=(2cos0,0,2sin0), 设平面ACM的法向量为n1=(x1,y1,z1), i·Ac=0✉{2xt20 71·AiM=0(2cos8-2)x1+2sin6z1=0, 则取n1=（V3sim0,sin0,V3(1-cos0), 设平面BCM的法向量为n2=(x2,y2,z2), ·BC=0,→{。 23y2=0, 元2·BM=0 (2cos0x2 2sinez2 =0, 则取n2=(-sin0,0,cos0), 故lcos<m>= nrn2 lV3cos0-V3 |V3(cos8-1) 3V1-c0s0 同-cos20-6c0s0+7-V-cms60(c0s9+厉 √(cos6+7) 令x=os0e0.则os<m>=5×层=5x、1+ x+7 答案第12页（共13页) 因为函数)=7在(0,1)上单调递减，则y=,e(（1,) 则las<n,>=v3×√1+是e(0, 设平面ACM与平面BCM所成角为a,则cosa=cos<,2>E(0,牙) 所以平面ACM与平面BCM所成角的余弦值的取值范围为(0，牙) 答案第13页（共13页）《高2025级高二上期第一次学情调研》 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的 1.D2.C3.D4.C5.C6.B7.B8.C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.AC 10.ABD. 11.ABD 【详解】A.三棱柱的体积V-AD,Q=Vg-4DD=号S△AD1D×,S△ADD=×1×1=?点Q 到平面A1D1D的距离为1，所以三棱锥D-A1D1Q的体积为定值，故A选项正确； B.取B1C1、C1C中点E、F,连接D1E、D1F、EF、PF, 由PF//BC1/A1D1且PF=B1C1=A1D1,知A1PFD1是平行 四边形， .D1F/IA1P,.D1F平面A1PD,A1PC平面A1PD,D1F/ 平面A1PD, 同理可得EF/平面A1PD,,EF∩D1F=F,EF,D1FC平面 D EF, .平面A1PD//平面D1EF,则Q点的轨迹为线段EF,故B选项正确： C如图，建立空间直角坐标系， 则A1(1,0,0),P(1,1,),D(0,0,1),设Q(x,1,2),0≤x≤1,0≤z≤1， 则A1D=(-1,01),A1P=（0,1,),D10=(x,1,z) 设m=(a,b,c)为平面A1PD的一个法向量 则·A0=0即a+c0, (a=C, m·,P=0即b+0,符6=取c=1,则m=(1,- x=λ 若DQ1平面A1PD,则D1Q/元，即存在AER,使得D10=m,则1=-子，解得x=z=-2g z=λ [0,1],故不存在点Q使得D1Q1平面A1PD,故C选项错误； D.平面BCC1B1的法向量为元=(0,1,0)，D1Q=(x,1,z), 若直线D1Q与平面BCC1B1所成角的正切值为V2,则此角的正弦值是6， 答案第1页（共6页） 所以sin0=lcos@,=P副 D1@刷 Vx2+1+22 3 所以x2+z2= 因为点Q为正方形BB1C1C内一动点（含边界）， 所以点Q是以G,为圆心，号为半径的圆弧（正方形B,C1C内），即圆心角为的圆弧，弧长为， 故D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-8 13.8 14.g 【详解】已知AB=BC=AC=2,则△ABC是等边三角形， 面积为SaAc=×2×2×=V3, 三棱锥的体积V,-ABc-S△ABc·PD=专×V3.PD=1,解得PD=V3, 以D为坐标原点，AB为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立下图所示空间直角坐标系， 则D(0,0,0),B(1,0,0),A(-1,0,0),C(0,V3,0),P(0,0,V3), ZA 等边三角形△ABC的外接圆圆心为0(0，，0)， 设外接球球心为0(0，，t), D 则0A=(-1,-，-),0丽=(0，-3- 0A=oP=R,则+t2=9-23t+t2,解得t=, R=店+四 外接球的面积S=4nR2=4红×号= 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)1)5(2片(3)1 【详解】(1)因为a=(-1,0,1),b=(1,-2,0), 所以a+b=(-1+1,0-2,1+0)=(0,-2,1), 所以a+b=V02+(-22+1=V5, (2)因为a=(-1,0,1),b=(1,-2,0), 所以d-b=(-1-1,0+2,1-0)=(-2,2,1), 所以·(a-b=(-1)×(-2)+0×2+1×1=3, 答案第2页（共6页） d=V(-12+02+1卫=V2,a-=-2+22+1-3, 设a与(a-b)的夹角为0， 则cos0= a-(a-b) a-可2xg= 5,又0e[0,m,得0=是 (3)因为a=(-1,0,1),b=（1,-2,0), 所以2a+万=(-1，-2,2)，a-tb=(-1-t,2t,1), 因为2a+b与a-tb垂直，所以(2a+月-(a-tb)=0, 故-1×(-1-t)+(-2)×2t+2×1=0,解得t=1. 16.(15分)（①）AM=a+b+,BE=-a+b+c (2)2 【详解】1D由于CM=cC,cd=AA1=C,所以CM=号c,因此AM=AB+BC+CM=a+ b+8, 又因为E为A1D1的中点，A1E=A1D1=AD=B, 因此BE=BA+AA1+A1E=-a+号b+C (2)由(1)可知AM=a+6+c,B驼=-a+b+c, 所以AMB驱=(a+6+写⊙)(-a+6+o)=-同+8+引非-a.6+a.c+ 名6 因为a.6=a.c=6.c=2×2cs60=2,l同=|同==2=4 所以AM:BE=-4+×4+后×4-×2+号×2+名×2=2 6 17.（15分)(1)a=0.025 (2)众数为65，平均数为71 6月 【详解】(1)由10×(0.005+0.010+2×0.015+a+0.03)=1→a=0.025 (2)估计众数为65， 估计平均数为：45×0.05+55×0.15+65×0.30+75×0.25+85×0.15+95×0.10=71. （3)由题意，满意度评分值为[40,50)的人有100×0.05=5人， 其中男性5×32=3人，记为m,,: 女性有2人，记为m1,m2 从这5人中随机抽取2人进行座谈，所有的样本点有：(n1,n2),(n1,n3),(n1,m1),(1,m2), 答案第3页（共6页） (n2,ng),(n2,m1),(n2,m2),(g,m1),(ng,m2),(m1,m2),共10个 记恰有1名女性”为事件A,则事件A包含：(n1,m1),(n1,m2),(n2,m1),(n2,m2),(n3,m1), (n3,m2)6个样本点 所以P(A=合-号 18.(17分)(1)解法一：以A为原点，建立如图空间直角坐标系. 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),C1(2,2,2). 因为P为棱BC的中点，所以P(2,1,0), 因为Q为侧面A1ABB1内的一点，且BQ=AQ,所以可设Q(1,0,t),0≤t≤2. 因为PQ=2,所以(2-1)2+(1-0)2+(0-t)2=4→t=V2. ZA 所以Q(1,0,V2,所以P0=(-1,-1,V2. 又因为BD1AC,BD⊥AA1,AC,AA1C平面AA1C1C,且ACN AA1=A,所以BD1平面AA1C1C. 所以BD=(-2,2,0)为平面AA1C1C的法向量， M D方 B 因为P0.BD=(-1,-1,V2·(-2,2,0)=0,且PQ￠平面AA1C1C 所以PQ/平面AA1C1C. 解法二：因为BQ=AQ,设AB的中点为M,连接QM,则QM⊥AB, 所以在正方形ABB1A1中，QM//AA1,且QM+平面ACC1A1,AA1C平面ACC1A1, 所以QM//平面ACC1A1· 又因为P为棱BC的中点，M为AB中点，连接PM,则PM/AC, 且PM平面ACC1A1,ACC平面ACC1A1,所以PM/平面ACC1A1, 因为QM∩PM=M,QM,PMc平面PQM,所以平面PQM/平面ACC1A1, PQc平面PQM,所以PQ//平面ACC1A1: (2)以A为原点，建立如图空间直角坐标系. 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),C1(2,2,2). 因为P为棱BC的中点，所以P(2,1,0). 因为Q为侧面A1ABB1内的一点，且BQ=AQ,所以可设Q(1,0,t),0≤t≤2. 因为PQ=2,所以(2-1)2+(1-0)2+(0-t)2=4→t=V2. 所以Q(1,0,2,所以P0=(-1,-1,V②) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1平面ABB1A1, 答案第4页（共6页） 所以AD=(0,2,0)是平面ABB1A1的一个法向量， D 又因为PQ=(-1,-1,V2),设PQ与平面ABB1A1所成角为0， B 则sm9=os(p网，al-周隔-品-专 M D方 即直线PQ与平面ABB1A1所成角的正弦值为号 B (3)因为A1C=(2,2,0),A1P=(2,1,-2). 设平面A1C1P的法向量为元=(x,y,z), 则m1AC→{m:AC=2x+2y=0 ，令x=2可得m=(2,-2,1), (m 1AP (m.A1P=2x+y-2z=0 所以P0·m=(-1,-1,V2·(2,-2,1)=V2. 所以Q点到平面A1C1P的距离为P@列 V2 、22+(-2)2+12 3 19.(17分)(1)证明：因为ABCD为平行四边形，所以AB/CD, 又AB平面PCD,CDC平面PCD,所以AB//平面PCD, 因为平面PAB∩平面PCD=L,所以AB//L, 因为L⊥BC,所以AB⊥BC: (2)(i)(法一：向量法)因为PB⊥平面ABCD且AB⊥BC,所以BA,BC,BP两两互相垂直， 以B为原点，BA、BC、BP分别为x,y,z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0,0,0),C(0,2W3,0),D(2,2V3,0),P(0,0,4),Q(2,0,4), 所以D0=(0,-2V3,4),B0=(2,0,4),C0=(2,-2W3,4), ZA 设平面QBC的法向量为元=(xo,yo,z0), 由m·=0可得2 2x0+4z0=0, 。取x0=2,则 B (m.C0=0, 2x0-2W3y0+4z0=0, y0=0,z0=-1, 所以元=(2,0，-1)，设直线DQ与平面QBC所成角为0， 则sin0= cos<DQ,m> 10×2-2V3×0+4×(-1 4 N(-2同2+42×J2+-D2 2店2@ 35 (法二：几何法)补体成长方体BADC-PQFE, 过点D作DO垂直FC于点O,连接OQ,BQ,则DO1平面BCFQ, 所以∠DQO为直线DQ与平面BCFQ所成角， 答案第5页（共6页） 在Rt△CDF中，DO FC,所以DO=G 在Rt△0DQ中，D0=2W7,D0=G 所以sinD00-器-店：27=65万- 4 35 (ii)因为BC⊥平面ABPQ,BMc平面ABPQ,所以BC⊥BM, 因为CM=4,所以BM=42-(2V3=2, 又M是四边形ABPQ(不含边界)内的动点，则点M在以B为圆心，2为半径的圆上， 令8=∠ABM,日E(0),则M(2cos8,0,2sin0), 又B(0,0,0),C(0,2W3,0),A(2,0,0),AC=(-2,2W3,0),BC=(0,2V3,0), AM=(2cos0-2,0,2sin8),BM=(2cos0,0,2sin0), 设平面ACM的法向量为n1=(x1y1,Z1), 1·AC=0,→ -2x1+2V3y1=0, n1·AM=0 (2cos0-2)x1+2sin6z1=0, 则取元1=(V3sin0,sin6,V3(1-cos6), 设平面BCM的法向量为n2=(x2,y2,Z2), ·BC=0,→ 2V3y2=0, 2·BM=0 (2cos0x2 +2sin0z2 =0, 则取n2=(-sin6,0,cos0), s同 rirnz V3cos0-V3 W3(cos9-1)儿 31-c0s6 √-c0s20-6c0s0+7 √(1-cos)(cos8+7) √(cos8+7) 令x-o6co,1),则cos<m>-5x后-5x1品 因为函数y=,在(0,1)上单调递减，则y=,(1,别 则cos<m,应>=V5×、1+,e(o,, 设平面ACM与平面BCM所成角为a,则cosa=cos<,>e(0,), 所以平面ACM与平面BCM所成角的余弦值的取值范围为(O,习) 答案第6页（共6页） 保密★启用前 高2025级高二上期第一次学情调研 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 第一部分 （选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法，抽出一个容量为的样本，样本中型号的产品有16件，那么此样本的容量等于（   ） A．100 B．200 C．90 D．80 2．设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3．下列说法正确的是（   ） A．数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5 B．若一组样本数据4，6，7，8，9，的平均数为7，则 C．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D．若的标准差为4，则的标准差是8 4．若，，，则下列结论错误的是（   ） A．事件与相互独立 B． C．事件与互斥 D． 5．如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（     ） A． B． B． C． D．1 6．某数据样本的频率分布直方图如下图所示，则该组数据的众数、平均数、中位数的大小关系为（    ） A．众数<平均数<中位数 B．众数<中位数<平均数 C．中位数<平均数<众数 D．众数=平均数=中位数 7．如图，在正方体中，分别在上，且，则（    ） A．至多与之一垂直 B．是的公垂线 C．与相交 D．与异面 8．已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（    ） A．这组数据的众数为9 B．这组数据的40%分位数是7.5 C．这组数据的极差是4 D．这组数据的平均数是9 10．盒中有个大小、质地均相同的小球，其中三个红球上分别写有，两个白球上分别写有．从中不放回地随机取出两个小球，记事件为“取出的两个球颜色不同”，事件为“取出的两个球上的数字相同”，事件为“取出的两个球上的数字之和小于”，那么（     ） A． B． C． D．事件与相互独立 11．如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段 C．存在Q点，使得平面 D．若直线与平面所成角的正切值为，那么Q点的轨迹长度为 第二部分 （非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设是不共线的向量，已知 ，若A，B，D三点共线，则实数k为 ． 13．小王参加了甲、乙两款闯关游戏，小王闯关甲款游戏成功的概率为，小王闯关乙款游戏成功的概率为，两款游戏闯关都不成功的概率为，则小王甲、乙两款游戏都闯关成功的概率为__________． 14．在三棱锥中，，点在平面内的射影为棱的中点，三棱锥的体积为1，则三棱锥的外接球的表面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 16．（15分）如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. (1)用表示； (2)求的值. 17．（15分）国务院2026年印发的《关于推进服务业扩能提质的意见》，将物业服务纳入社区服务的重点提升领域．某社区为提升物业服务质量，随机选取了100名业主就小区物业服务情况进行问卷调查，并将业主的满意度评分值（百分制）按照，，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)估计这组数据的众数与平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值代替）； (3)已知这100名业主中满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为．若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率． 18．（17分）如图，在正方体中，棱长为，为棱的中点，为侧面内的一点，已知，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 19．（17分）如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，且，设平面平面，且． (1)证明：； (2)若，， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）点是四边形（不含边界）内的动点，且，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $保密★启用前 高2025级高二上期第一次学情调研 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 第一部分（选择题共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合要求的. 1.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现 用分层抽样方法，抽出一个容量为的样本，样本中A型号的产品有16件，那 么此样本的容量n等于() A.100 B.200 C.90 D.80 2.设k为实数，空间向量a=(1,2,-1),b=(k,-1,2k+1),则以下说法正确 的是() A.当k=-时，a B.当k=时，a历 C.当k=-3时，ab D.当k=-1时，a1 3.下列说法正确的是() A.数据1,8,3,5,6的第60百分位数是5 B.若一组样本数据4,6,7,8,9，a的平均数为7，则a=7 C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D.若x1,x2,…,x10的标准差为4，则-2x1+3,-2x2+3,-2x3+3,…, 2x10+3的标准差是8 4.若P(MW)=P(M-子，P(四)-&则下列结论错误的是() A.事件M与N相互独立 B.P(M+)= C.事件M与N互斥 D.P(MN)<P(MN) 试卷第1页（共6页) 5.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC1BC,AC=BC=CC1,点D是棱AB 的中点，则平面ABC与平面B,CD夹角的正弦值为 () A.30 6 B. 6 B.C.6 D.1 6.某数据样本的频率分布直方图如下图所示，则该组数据的众数、平均数、中 位数的大小关系为() A.众数<平均数<中位数 B.众数<中位数<平均数 C.中位数<平均数<众数 D.众数=平均数=中位数 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别在A1D,AC上，且A1E= 子A1D,A=AC,则() D A.EF至多与A1D,AC之一垂直 B.EF是A1D,AC的公垂线 E D C.EF与BD1相交 D.EF与BD1异面 B 8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M满足DM=xDA1+yDB+ zDC,且x+z=1-y,则DM的最小值是() A.23 3 B.22 3 C.3 3 D.② 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 试卷第2页（共6页) 9.小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9,8,6,10,9， 7,6,9(单位：环)，则下列说法正确的是() A.这组数据的众数为9 B.这组数据的40%分位数是7.5 C.这组数据的极差是4 D.这组数据的平均数是9 10.盒中有5个大小、质地均相同的小球，其中三个红球上分别写有1,2,3，两 个白球上分别写有1,2.从中不放回地随机取出两个小球，记事件A为取出的 两个球颜色不同”，事件B为取出的两个球上的数字相同”，事件C为取出的两 个球上的数字之和小于4”，那么() A.P④= B.P(AB)=P(B) C.P(C)= D.事件A与C相互独立 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q 为正方形BB1C1C内一动点（含边界），则下列说法正确的是() A.三棱锥D-A1D1Q的体积为定值 B.若D1Q/平面A1PD,则动点Q的轨迹是一条线段 D C.存在O点，使得D1Q1平面A1PD D.若直线D1Q与平面BCC1B1所成角的正切值为V2, B 那么Q点的轨迹长度为 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设e1,e2是不共线的向量，已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2, CD=2e1-e,若A,B,D三点共线，则实数k为 试卷第3页（共6页） 13.小王参加了甲、乙两款闯关游戏，小王闯关甲款游戏成功的概率为，小王 闯关乙款游戏成功的概率为，两款游戏闯关都不成功的概率为后，则小王甲、 乙两款游戏都闯关成功的概率为 14.在三棱锥P-ABC中，AB=BC=AC=2,点P在平面ABC内的射影为棱AB 的中点，三棱锥P-ABC的体积为1，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15.(13分)已知向量a=(-1,0,1),b=(1,-2,0): (1)求a+: (2)求a与d-b的夹角： (3)若2a+b与a-tb垂直，求实数t的值. 16.(15分)如图，己知平行六面体ABCD-A1B1C1D1所有的棱长均为2， ∠DAB=∠DAA1=∠A1AB=60,CM=CC1,E为A1D1的中点，设AB= a,AD=五nA41=C (I)用a,b,c表示AM,BE: B (2)求AM·BE的值， 试卷第4页（共6页) 17.(15分)国务院2026年印发的《关于推进服务业扩能提质的意见》，将物 业服务纳入社区服务的重点提升领域.某社区为提升物业服务质量，随机选取 了100名业主就小区物业服务情况进行问卷调查，并将业主的满意度评分值（百 分制)按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，.，[90,100]分成6组，制成如图所示 的频率分布直方图. 频率组距 (I)求图中a的值： 0.03 (2)估计这组数据的众数与平均数（同一组 数据用该组数据区间的中点值代替)： 0.015 0.010 (3)已知这100名业主中满意度评分值在 0.005 [40,50)内的男性人数与女性人数的比为 O405060708090100满意度 3:2.若在满意度评分值为[40,50)的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名 女性的概率。 18.(17分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，P为棱BC的中点， Q为侧面A1ABB1内的一点，已知BQ=AQ,PQ=2. (1)求证：PQ//平面AA1C1C: B (2)求PQ与平面ABB1A1所成角的正弦值： O. (3)求点Q到平面A1C1P的距离. 4 D 试卷第5页（共6页） 19.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD,底面ABCD为平行 四边形，且AC=PB=2AB=4,设平面PAB∩平面PCD=L,且L⊥BC. (1)证明：AB1BC; (2)若PQ=BA,PQ/BA, (i)求直线DQ与平面QBC所成角的正弦值： (ii)点M是四边形ABPQ(不含边界)内的动点，且CM=4, 求平面ACM与平面BCM所成角的余弦值的取值范围. D 试卷第6页（共6页）