2026-2027学年北师大版数学八年级上册第一次月考卷

北师大版数学八年级第一学期 第一次月考卷 （第一章 勾股定理 + 第二章 实数） 学校：______　　班级：______　　姓名：______　　学号：______ 试卷信息 项目 内容 考试时间 120分钟 全卷满分 120分 测试范围 第一章 勾股定理、第二章 实数 难度指数 ★★★★☆（四颗星） 试卷结构 选择题10题（30分）＋填空题6题（18分）＋解答题8题（72分） 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列各数中，是无理数的是（　） A. 　B. 　C. 　D. 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　） A. 　B. 　C. 　D. 3. 下列说法中，正确的是（　） A. 的平方根是 B. 的算术平方根是 4 C. 立方根等于它本身的数只有 0 和 1 D. 4. 如图，在 中，，若 ，，则 的长为（　） A. 13　B. 15　C. 　D. 17 5. 估算 的值在（　） A. 2和3之间　B. 3和4之间　C. 4和5之间　D. 5和6之间 6. 下列计算正确的是（　） A. 　B. C. 　D. 7. 如图，有一个圆柱形玻璃杯，它的底面周长为 ，高为 。在杯内壁离杯底 的点 处有一只蚂蚁，此时与蚂蚁相对的外壁离杯口 的点 处有一滴蜂蜜。若蚂蚁从点 沿玻璃杯侧面爬到点 ，则蚂蚁爬行的最短路程为（　） A. 　B. 　C. 　D. 8. 实数 ， 在数轴上的位置如图所示（数轴上： 在 左侧， 在 右侧，且 ），化简 的结果是（　） A. 　B. 　C. 　D. 9. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道"折竹抵地"问题："今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？"其大意是：有一根竹子高 1 丈（1丈=10尺），从某处折断，竹梢触地面处离竹根 3 尺，问折断处离地面多高？设折断处离地面 尺，则可列方程为（　） A. 　B. C. 　D. 10. 定义一种新运算：对于任意实数 ，，规定 。例如 。则 的值为（　） A. 　B. 　C. 　D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 的平方根是 ______。 12. 比较大小：　______　。（填""""或""） 13. 一个正数的两个平方根分别是 和 ，则这个正数是 ______。 14. 如图，在 中，，， 边上的中线 ，则 的长为 ______。 15. 若 ， 为实数，且 ，则 的值为 ______。 16. 如图，在长方形 中，，，将长方形沿对角线 折叠，点 落在点 处， 与 交于点 ，则 的长为 ______。 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题6分） 计算： （1） （2） 18.（本题6分） 如图，每个小正方形的边长均为 1， 的三个顶点都在格点上。 （1）判断 的形状，并说明理由； （2）求 的面积。 19.（本题8分） 已知 ，。 （1）求 和 的值； （2）求 的值。 20.（本题8分） 如图，在 中， 于点 ，，，。 （1）求 的长； （2）判断 的形状，并说明理由。 21.（本题10分） 如图，某小区有一个四边形空地 ，，，，，。 （1）求 的长； （2）求这块空地的面积。 22.（本题10分） 某数学兴趣小组在探究 的近似值时，发现 的小数部分无法精确表示。小明的做法是：因为 ，所以 的整数部分为 1，小数部分为 。 （1）请按照小明的方法，求出 的整数部分和小数部分； （2）已知 的整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值。 23.（本题12分） 如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 和 ，其中 ，，。由于某种原因，村庄 到取水点 的路被封了，现要在河边新建一个取水点 （点 在直线 上），使得村庄 到取水点 的距离最短。 （1）求河流的宽度（即点 到直线 的距离 ）； （2）求 的长； （3）若在 处建一个泵站，从 到 铺设水管，已知水管每米造价为 100 元，求铺设水管的总造价。 24.（本题12分） 【综合探究题】 在数学课上，老师提出了一个问题：在 中，若 ，，，求 的面积。 小明的解法是：因为 ，即 ，所以 ，所以 。 （1）请判断小明的解法是否正确，并说明理由； （2）已知 的三边长分别为 ，，，请用类似的方法判断 是否为直角三角形，并求其面积； （3）在（2）的条件下，求 最长边上的高。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D A B A A C A B 部分试题解析： 第1题：A、B、C 均为有理数， 是无理数，故选 D。 第2题：A 中 ，满足勾股定理逆定理，能构成直角三角形；B 中 ；C 中 ；D 中 。故选 A。 第3题：A 中 ，9 的平方根是 ，错误；B 中 ，4 的算术平方根是 2，错误；C 中立方根等于本身的数有 ，0，1，错误；D 中 ，正确。故选 D。 第4题：由勾股定理 。故选 A。 第5题：因为 （），所以 。故选 B。 第6题：A 中 ，正确；B 中 和 不是同类二次根式，不能合并；C 中 ，不是 ；D 中 ，不是 。故选 A。 第7题：将圆柱侧面展开。内壁点 距杯底 1cm，即距杯口 ；外壁点 距杯口 1cm。两点水平距离为底面周长的一半，即 ，纵向距离为 。最短路程为 。故选 A。 第8题：由图可知 ，，且 ，所以 ，。则 。故选 C。 第9题：竹子高 10 尺，折断处离地 尺，则折断部分长 尺，触地点距竹根 3 尺。由勾股定理得 。故选 A。 第10题：，则 。故选 B。 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 解析：，9 的平方根是 。 12. 解析：。 13. 49 解析：正数的两个平方根互为相反数，所以 ，解得 。则两个平方根为 和 ，这个正数为 。 14. 13 解析：， 为 中点，。在 中，，所以 ，即 。则 ，。 15. 1 解析：由非负性得 ，，所以 ，。。 16. （即 8.2） 解析：由折叠性质得 。又 ，所以 ，故 ，。设 ，则 ，。在 中，，即 ，解得 。 三、解答题 17.（6分） （1）　......（3分） （2） 　......（3分） 18.（6分） （1）由网格可得：，，。 因为 ，所以 不是直角三角形。　......（3分） （2）　......（3分） 19.（8分） （1）　......（2分） 　......（2分） （2）　......（4分） 20.（8分） （1）在 中，　......（4分） （2）。 ，所以 。 因为 ，所以 不是直角三角形。　......（4分） 21.（10分） （1）在 中，，　......（4分） （2）在 中，，所以 。 　......（6分） 22.（10分） （1）因为 ，所以 的整数部分为 2，小数部分为 　......（4分） （2）由（1）得 ，。 　......（6分） 23.（12分） （1）在 中，，。 由面积法：，即 ，解得 　......（5分） （2）在 中，　......（4分） （3）铺设水管的总造价为 元　......（3分） 24.（12分） （1）小明的解法正确。因为 ，满足勾股定理逆定理，所以 ， 的面积 　......（3分） （2）在 中，三边分别为 ，，，最长边为 。 因为 ，所以 不是直角三角形。 又因为 ，，故三边均不满足勾股定理逆定理。　......（4分） （3）方法一： 的面积为 ，最长边上的高 。 （提示：可用海伦公式求面积，也可过顶点作最长边上的高，利用勾股定理列方程求解；本书鼓励学生用多种方法探究。）　......（5分） 答题卡模板（A4版） 第Ⅰ卷 选择题答题区 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [A] ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ [B] ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ [C] ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ [D] ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 第Ⅱ卷 非选择题答题区 二、填空题 11. ______　　12. ______　　13. ______ 14. ______　　15. ______　　16. ______ 三、解答题 17.（6分） _________________________________________________________ _________________________________________________________ 18.（6分） _________________________________________________________ _________________________________________________________ 19.（8分） _________________________________________________________ _________________________________________________________ 20.（8分） _________________________________________________________ _________________________________________________________ 21.（10分） _________________________________________________________ _________________________________________________________ 22.（10分） _________________________________________________________ _________________________________________________________ 23.（12分） _________________________________________________________ _________________________________________________________ 24.（12分） _________________________________________________________ _________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $