3.3 轴对称与坐标变化 随堂练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

3.3 轴对称与坐标变化 随堂练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，则点A关于x轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．点关于轴对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．已知点和关于轴对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在直角坐标系中，点的横坐标不变，纵坐标乘，得到点，则与的关系是（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．将点向轴负方向平移一个单位 5．在平面直角坐标系中，已知，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知、两点的坐标分别是和，则下面四个结论正确的是（   ） A．、关于轴对称 B．、关于轴对称 C．、关于原点对称 D．、之间的距离为6 7．如图，在正方形网格中，均为格点，若以其中一点为坐标原点，以互相垂直的网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则坐标原点应选（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 二、填空题 8．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，则的值为______． 9．如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 10．如图是一幅老北京城示意图，其中西直门和东直门关于中轴线对称．如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为轴和轴建立平面直角坐标系，若东直门坐标为，则西直门坐标为_______． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，在x轴上存在一点C，使得的周长最小，则的周长的最小值是________． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，在轴上找一点，使得的周长最小，则当的周长取得最小值时，点坐标是________． 三、解答题 13．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的； (2)若点是内一点，则其在内的对应点的坐标是______． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点C在y轴正半轴上，． (1)求点C的坐标； (2)设点P为x轴上的一点，若，试求点P的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，连接．动点在以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动到点停止，连接．设点运动时间为秒． (1) ， ． (2)①当点在线段上时， ．（用含的式子表示） ②当点在线段上时， ．（用含的式子表示） ③当点在线段上时， ．（用含的式子表示） (3)当的面积等于3时，求的值． (4)设点到直线的距离为，点到直线的距离为． ①当时， ．（填“”，“”或“”） ②当时，直接写出的取值范围． 16．在平面直角坐标系中，若两点关于过原点的一条直线对称，则我们称这两点关于这条直线互为“镜面点”，这条直线叫“镜面直线”． 例如：M（﹣1，2）和M′（1，2）关于y轴对称，则我们称M和M′关于y轴互为“镜面点”，y轴为“镜面直线”． 若已知两点坐标P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则P1、P2之间的距离为． 如M（﹣1，2）和N（3，5）的距离为． 实验与探究： （1）直线l为∠AOA′角平分线所在的直线，由图观察易知A（0，2）关于直线l的镜面点A′的坐标为（2，0），在图中找出B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点B′、C′的位置，请写出他们的坐标：B′　 　、C′　 　； 归纳与发现： （2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于直线l的镜面点P'的坐标为 　 　；（不必证明） 拓展与应用： （3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出这个和的最小值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D A D A B B B 1．【答案】D 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题主要考查关于轴对称的点的特征，熟练掌握关于轴对称的点的特征是关键．根据关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：点A的坐标为， 点A关于x轴的对称点的坐标是． 故选：D． 2．【答案】A 【知识点】坐标系中的对称 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是． 3．【答案】D 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标，两点关于轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点和关于轴对称， ，， ， ． 故选：D． 4．【答案】A 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标与轴对称，根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点的横坐标不变，纵坐标乘，得到点， ∴点与点横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点与点关于轴对称， 故选：． 5．【答案】B 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、垂线段最短、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】直线轴且过，可得直线上点的纵坐标均为；根据垂线段最短，最短时，结合轴推出轴，可得点横坐标与横坐标相同，即可求解． 【详解】解：∵直线轴，且过点， ∴直线上所有点的纵坐标均为，设点， ∵当线段长度最短时，， 又轴， ∴轴， ∴点与点横坐标相同， ∵， ∴， ∴点坐标为． 6．【答案】B 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查坐标与图形变化——轴对称，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据两点的坐标特征逐一判断各选项即可． 【详解】解：、两点的坐标分别是和，横坐标互为相反数，纵坐标相同， 则、关于轴对称， 、之间的距离为：， 故选：B． 7．【答案】B 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题考查了平面直角坐标系，以每个点作为原点建立直角坐标系判断是否满足题意即可． 【详解】解：由图可知，A和C中间隔了一个点，故以B作为原点建立坐标系即可使得它们关于一条坐标轴对称，如图所示：    故选：B． 8．【答案】 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征．关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，可求出点B的坐标，进而计算的值即可． 【详解】解：∵点关于轴对称的点的坐标为， ∴，， 即， ∴． 故答案为：． 9．【答案】或 【知识点】坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 10．【答案】 【知识点】坐标与图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查点的对称，根据题意，数形结合，掌握平面直角坐标系中点关于轴对称的性质是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，西直门和东直门关于轴对称，若东直门坐标为，则西直门坐标为， 故答案为：． 11．【答案】 【知识点】两点之间线段最短、已知两点坐标求两点距离、坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了两点之间的距离公式、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．先求出，再作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则点即为所求，求出的长，由此即可得． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∴的周长为， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，点即为所求，此时的值最小，最小值为， ∴的周长的最小值是， 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则点即为所求． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则点 故答案为：． 13．【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接可画出； （）根据关于轴对称的点的坐标符号特点求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：点是内一点，则其在内的对应点的坐标是． 14．【答案】(1) (2)或． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查坐标与图形，掌握数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）先得出，再根据，进行求解即可； （2）设，根据列出方程，整理得，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点P为x轴上的一点， ∴设， 则， ∵， ∴， ∴， 解得：或； ∴或． 15．【答案】(1) (2)①;②;③ (3)或或 (4)①；②或 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中动点问题，涉及线段长度的计算、三角形面积公式以及点到直线距离的相关知识．对于每个小问，根据动点的不同位置，利用相应的几何关系和公式进行求解．关键在于根据动点的运动路径和时间，准确确定线段长度的表达式，并结合面积条件列出方程或不等式求解． （1）根据平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系求解即可； （2）①当点在线段上时，根据路程速度时间求解即可；②当点在线段上时，点P在上的运动时间为，，由即可求解；③当点在线段上时，根据点点P在上的运动时间即可求解； （3）分情况讨论，根据三角形的面积公式求解即可； （4）①当时，直接根据三角形面积公式判断即可；②当时，，分情况讨论不同情况下t的取值范围． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为， 点到轴的距离；点到轴的距离， 故答案为：； （2）①当点在线段上时， 动点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒， ； 故答案为：． ②当点在线段上时， 点P从A到O运动的时间为速度秒， ，， ， ， ； 故答案为：． ③当点P在线段上时， 点P从A到O再到B运动的时间为速度秒， 点P在上的运动时间为， （）； 故答案为：． （3）当点P在线段上时（）， ， ，， ， 解得； 当点P在线段上时（）， ， ，，， ， 解得； 当点在线段上时（）， ， ，，， ， 解得； （4）①当时， 根据三角形面积公式（a为底，这里底都为）， ， ； 故答案为：． ②当时， ， 当时，． 当点P在线段上时（），，由，解得， ； 当点P在线段上时（），，由，，，，所以； 当点在线段上时()，，由，，，，所以． 综上，t的取值范围是或． 16．【答案】（1）（3，5）、（5，﹣2）；（2）（b，a）；（3）图见解析， 【知识点】已知两点坐标求两点距离、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）求得线段AA′的中点，然后根据待定系数法求得镜面直线，进而即可求得B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点； （2）结合图形观察以上三组点的坐标即可得出结论； （3）求得E点关于直线l的镜面点E′，连接DE′，交直线l于点Q，Q点即为所求． 【详解】解：（1）设镜面直线的解析式为y＝kx， ∵A（0，2），A′（2，0）， ∴线段AA′的中点为（1，1）， ∵镜面直线经过原点和（1，1）， ∴镜面直线为y＝x， ∵B（5，3）、C（﹣2，5）， ∴B（5，3）、C（﹣2，5）分别关于直线l的镜面点B′（3，5）、C′（5，﹣2）， 故答案为：B′（3，5）、C′（5，﹣2）； （2）结合图形观察以上三组点的坐标，会发现：平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于直线l的镜面点P'的坐标为（b，a）； 故答案为：（b，a）； 拓展与应用： （3）∵E（﹣1，﹣4），平面直角坐标系内任一点P（a，b）关于直线l的镜面点P'的坐标为（b，a）； ∴E点关于直线l的镜面点E'的坐标为（﹣4，﹣1）， ∵D（1，﹣3）， ∴DE′＝＝， ∴点Q到D、E两点的距离之和的最小值为：． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，勾股定理的应用，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $