周周练17 30.2 三角形的内切圆（数学新教材人教版九年级上册）

2026-2027学年九年级上学期数学周周测17 30.2 三角形的内切圆 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 2．（2026·河北邯郸·一模）将三角形按下列方式折叠得到线段，其中满足三角形的内心一定在上的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东青岛·一模）如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·江苏南通·自主招生）已知的三条高，，交于点，称为的垂心，则是的（   ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 5．（2026·山西运城·一模）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图，这是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2026九年级·吉林·专题练习）如图，的内切圆与分别相切于点，若的半径为，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）如图：已知O是的内心，，为平面上一点，点O恰好又是的外心，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 9．（2023九年级·山东济南·专题练习）如图，已知中，，内切圆半径为3，则图中阴影部分面积和是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·山东济宁·二模）已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，的周长为，点为的内心，连接、，于点．若，则的面积是________． 12．（2026·广西柳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是__________． 13．（2026·宁夏银川·一模）若等边三角形的边长为2，则其内切圆半径为______________． 14．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______． 15．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则___________． 16．（2026·江苏南京·三模）是的内切圆，与边分别相切于点，若点在内部（含边界）且满足，则所有点组成的区域的面积为__________． 三、解答题：本题共8小题,第17~22题7分，第23~24题10分，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，为等边三角形，，图中大圆为的外接圆，小圆为的内切圆． (1)请分别求出的外接圆和内切圆的半径； (2)求阴影部分面积． 18．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于，过作直线． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 19．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，已知内接于⊙，且是⊙的直径． (1)实践与操作： 尺规作图：作出的内心；（不写作法，保留作图痕迹） (2)推理与计算： 连接并延长，与⊙交于另一点．若，，则的长为________，的长为________． 20．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点，，在上，是直径，点是的内心，连接，并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 21．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，． (1)实践与操作：在图1中用尺规作图法作出的内心I；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)证明与应用：如图2，与的三边分别相切于，连接ID、IE， ①判断四边形的形状并证明； ②若，求的半径． 22．（2025九年级·全国·专题练习）阅读材料：已知的周长为l，面积为S，内切圆的半径为r，探究r与S，l之间的关系． 解：如图①，连接OA，OB，OC． ，， ，，． 解决问题： (1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形的内切圆半径． (2)如图（2），若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式． 23．如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r． 小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为，所以，即． 小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r． (1)尝试按照小丽的思路求出r； (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释． 24．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测17 30.2 三角形的内切圆 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 2．（2026·河北邯郸·一模）将三角形按下列方式折叠得到线段，其中满足三角形的内心一定在上的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东青岛·一模）如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·江苏南通·自主招生）已知的三条高，，交于点，称为的垂心，则是的（   ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 5．（2026·山西运城·一模）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图，这是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2026九年级·吉林·专题练习）如图，的内切圆与分别相切于点，若的半径为，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）如图：已知O是的内心，，为平面上一点，点O恰好又是的外心，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 9．（2023九年级·山东济南·专题练习）如图，已知中，，内切圆半径为3，则图中阴影部分面积和是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·山东济宁·二模）已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，的周长为，点为的内心，连接、，于点．若，则的面积是________． 12．（2026·广西柳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是__________． 13．（2026·宁夏银川·一模）若等边三角形的边长为2，则其内切圆半径为______________． 14．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______． 15．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则___________． 16．（2026·江苏南京·三模）是的内切圆，与边分别相切于点，若点在内部（含边界）且满足，则所有点组成的区域的面积为__________． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，为等边三角形，，图中大圆为的外接圆，小圆为的内切圆． (1)请分别求出的外接圆和内切圆的半径； (2)求阴影部分面积． 18．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于，过作直线． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测17 30.2 三角形的内切圆 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【详解】解：∵三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离相等， 又∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点． 2．（2026·河北邯郸·一模）将三角形按下列方式折叠得到线段，其中满足三角形的内心一定在上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三角形内心的性质：因为三角形内心是三个内角角平分线的交点，所以若内心在上，则一定是某一个内角的角平分线，因为折叠前后对应角相等，所以分析各选项中折叠后得到的相等角，判断是否能推出AD平分△ABC的某一个内角，逐一验证选项即可． 【详解】解：选项A：折叠后点落在边上，根据折叠前后对应角相等，可得，即平分，因此的内心一定在上， 选项A正确； 选项B：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项B不符合题意； 选项C：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项C不符合题意； 选项D：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项D不符合题意． 3．（2026·山东青岛·一模）如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由三角形内切圆的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24九年级下·江苏南通·自主招生）已知的三条高，，交于点，称为的垂心，则是的（   ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【分析】本题根据垂心的定义，结合四点共圆的性质，推导得到点是三个内角角平分线的交点，再根据内心的定义即可得到结论． 【详解】解：如图： ，，是的三条高，是垂心， ， ， ，，，四点共圆， ， 又， ，，，四点共圆， ， ， 、C、E、F四点共圆， ， ，即平分， 同理可得，平分，平分， 是内角角平分线的交点，根据内心定义，是的内心， 故选：A． 5．（2026·山西运城·一模）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图，这是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质，求出，则可证明是等边三角形．得到，；根据三角形内心的定义可得，则可求出的度数；过点作于点，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，求出扇形和的面积即可得到答案． 【详解】解：∵六条等弧对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心， ， ． 是等边三角形． ∴，； ∵点是的内心， ∴， ∴ ， ∴； 如图，过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ． 6．（2026九年级·吉林·专题练习）如图，的内切圆与分别相切于点，若的半径为，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，．利用切线性质可知，则，再利用圆周角定理解决问题即可． 【详解】解：如图，连接，．    的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，， ∴， ， ． 故选：C． 7．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）如图：已知O是的内心，，为平面上一点，点O恰好又是的外心，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内心和外心、三角形的内角和定理、圆周角定理，连接、，根据三角形的内心是三角形的内角平分线的交点，结合三角形的内角和定理求得，再根据圆周角定理得到即可求解． 【详解】解：连接、， ∵， ∴， ∵是的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵是的外心， ∴点在上， ∴， 故选：C． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四边形内切圆的性质与面积法求半径，解题的关键是通过圆心到各边的距离（即半径）分割四边形，利用面积和建立方程． 设内切圆圆心为，半径为，利用，即；代入，，，解得． 【详解】解：设内切圆圆心为，半径为，连接及四个切点（如图）； 根据切线的性质定理可知，每条半径r都与四边形的各边垂直。 ∵， ， ∴， 即， ∴． 故选：B． 9．（2023九年级·山东济南·专题练习）如图，已知中，，内切圆半径为3，则图中阴影部分面积和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是的面积与扇形的面积的差，进而即可求解． 【详解】解：如图令，分别交于，， ∵是的内切圆，切点分别为G，D，R， ∴图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积， ∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（2026·山东济宁·二模）已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】连接、、．根据内心的性质可知平分，结合为直径，利用垂径定理可得且．在中利用勾股定理求出，进而得到的长．在中求出的长．利用圆周角定理和三角形外角性质证明，最后根据求解． 【详解】解：连接、、． ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∵为的直径， ∴，． 在中，，， ， ∴． 在中，， ∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，的周长为，点为的内心，连接、，于点．若，则的面积是________． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，于点，由内心的定义和角平分线的性质可得，根据，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， 点为内心， ，，分别平分，，， ，，， ， ． 12．（2026·广西柳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是__________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求解，连接，，，过作，，，垂足分别为，，，根据是的内心，利用，，，得出，求解即可． 【详解】解：点，点， ，， ∴在中， ； 连接，，，过作，，，垂足分别为，，， 是的内心， ∴分别平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可得，，， 设，则，， ， 解得：， ∴， 的坐标为， 点关于轴对称的点的坐标是． 13．（2026·宁夏银川·一模）若等边三角形的边长为2，则其内切圆半径为______________． 【答案】 【分析】先利用等边三角形的性质确定相关线段长度和角度，再通过直角三角形中的三角函数关系求出内切圆半径． 【详解】解：是边长为2的等边三角形，是其内切圆，与切于点D，连接，，如图： ∵是的内切圆， ∴，是的平分线， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 即内切圆的半径是． 14．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内心、角平分线的性质、平行线的性质，三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，根据点为的内心，可知，，根据平移的性质可证，，根据等角对等边可知，，根据周长的公式可得阴影部分的周长就是的长度． 【详解】解：如图所示，连接、， 点为的内心， 平分，平分， ，， 由平移的性质可知：，， ，， ，， ，， 阴影部分的周长为． 故答案为：. 15．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则___________． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形内心的性质，角平分线的定义等，熟练掌握三角形内心的性质是解题的关键． 根据折叠的性质和三角形内心的性质得出，平分，平分，求得，然后用周角定义即可求解． 【详解】解：∵沿折叠，点恰好与的内心重合， ∴，平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：40． 16．（2026·江苏南京·三模）是的内切圆，与边分别相切于点，若点在内部（含边界）且满足，则所有点组成的区域的面积为__________． 【答案】/ 【分析】过点作，交于点，连接，由题意易得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可知要使点在内部（含边界）且满足，则有所有点组成的区域为的下方半圆，然后根据内心的性质可得的半径，进而问题可求解． 【详解】解：过点作，交于点，连接，如图所示： ∴，即垂直平分， ∴当点在上时，则根据线段垂直平分线的性质可知：， ∴， ∴要使点在内部（含边界）且满足，则有所有点组成的区域为的下方半圆， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的内切圆， ∴点到的三边距离都是的半径， ∵， ∴， ∴半圆的面积为， 即所有点组成的区域的面积为． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，为等边三角形，，图中大圆为的外接圆，小圆为的内切圆． (1)请分别求出的外接圆和内切圆的半径； (2)求阴影部分面积． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）先用等边三角形的外接圆和内切圆求得，，延长交于点，即为的中垂线求出，，利用三角函数即可求解； （2）先求内部阴影部分面积，再求外接圆与之间阴影部分面积，相加即为阴影部分面积，即可求解． 【详解】（1）解：为等边三角形，大圆为的外接圆，小圆为的内切圆， ，， 延长交于点，即为的中垂线， ，， 在直角中，，， ， ， 同理得， 的外接圆半径为，内切圆的半径为； （2）由（1）得，， ， 内部阴影部分面积为：， 外接圆与之间阴影部分面积为：， 阴影部分面积为:． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形的外接圆和内切圆、三角函数、圆的面积，掌握相关知识解题的关键． 18．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于，过作直线． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：连接，与交于点，如下图所示： ∵点为的内心， ∴平分， 即， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 且为的半径， ∴是的切线． (2) 证明：连接，如下图所示： ∵点为的内心， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴． (3)的半径为 【分析】本题主要考查了三角形的内心性质，切线的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心，圆周角定理． （1）连接，与交于点，由的内心得到平分，再由得到 垂直平分，由即可得到，即可证明是的切线； （2）连接，通过内心的性质，圆周角定理，可证出，即可证明； （3）在中，由勾股定理求出的长度，令的半径为，则，，在中，由勾股定理得，得出方程，求解得出的值即可． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：∵，， 在中，由勾股定理得， 令的半径为， 则，， 在中，由勾股定理得， 得方程， 解得， 故的半径为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测17 30.2 三角形的内切圆 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【详解】解：∵三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离相等， 又∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点． 2．（2026·河北邯郸·一模）将三角形按下列方式折叠得到线段，其中满足三角形的内心一定在上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三角形内心的性质：因为三角形内心是三个内角角平分线的交点，所以若内心在上，则一定是某一个内角的角平分线，因为折叠前后对应角相等，所以分析各选项中折叠后得到的相等角，判断是否能推出AD平分△ABC的某一个内角，逐一验证选项即可． 【详解】解：选项A：折叠后点落在边上，根据折叠前后对应角相等，可得，即平分，因此的内心一定在上， 选项A正确； 选项B：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项B不符合题意； 选项C：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项C不符合题意； 选项D：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项D不符合题意． 3．（2026·山东青岛·一模）如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由三角形内切圆的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24九年级下·江苏南通·自主招生）已知的三条高，，交于点，称为的垂心，则是的（   ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【分析】本题根据垂心的定义，结合四点共圆的性质，推导得到点是三个内角角平分线的交点，再根据内心的定义即可得到结论． 【详解】解：如图： ，，是的三条高，是垂心， ， ， ，，，四点共圆， ， 又， ，，，四点共圆， ， ， 、C、E、F四点共圆， ， ，即平分， 同理可得，平分，平分， 是内角角平分线的交点，根据内心定义，是的内心， 故选：A． 5．（2026·山西运城·一模）窗花是我们节日装饰的元素之一．如图，这是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的性质，求出，则可证明是等边三角形．得到，；根据三角形内心的定义可得，则可求出的度数；过点作于点，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长，求出扇形和的面积即可得到答案． 【详解】解：∵六条等弧对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心， ， ． 是等边三角形． ∴，； ∵点是的内心， ∴， ∴ ， ∴； 如图，过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ． 6．（2026九年级·吉林·专题练习）如图，的内切圆与分别相切于点，若的半径为，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，．利用切线性质可知，则，再利用圆周角定理解决问题即可． 【详解】解：如图，连接，．    的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，， ∴， ， ． 故选：C． 7．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）如图：已知O是的内心，，为平面上一点，点O恰好又是的外心，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内心和外心、三角形的内角和定理、圆周角定理，连接、，根据三角形的内心是三角形的内角平分线的交点，结合三角形的内角和定理求得，再根据圆周角定理得到即可求解． 【详解】解：连接、， ∵， ∴， ∵是的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵是的外心， ∴点在上， ∴， 故选：C． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四边形内切圆的性质与面积法求半径，解题的关键是通过圆心到各边的距离（即半径）分割四边形，利用面积和建立方程． 设内切圆圆心为，半径为，利用，即；代入，，，解得． 【详解】解：设内切圆圆心为，半径为，连接及四个切点（如图）； 根据切线的性质定理可知，每条半径r都与四边形的各边垂直。 ∵， ， ∴， 即， ∴． 故选：B． 9．（2023九年级·山东济南·专题练习）如图，已知中，，内切圆半径为3，则图中阴影部分面积和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是的面积与扇形的面积的差，进而即可求解． 【详解】解：如图令，分别交于，， ∵是的内切圆，切点分别为G，D，R， ∴图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积， ∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（2026·山东济宁·二模）已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】连接、、．根据内心的性质可知平分，结合为直径，利用垂径定理可得且．在中利用勾股定理求出，进而得到的长．在中求出的长．利用圆周角定理和三角形外角性质证明，最后根据求解． 【详解】解：连接、、． ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∵为的直径， ∴，． 在中，，， ， ∴． 在中，， ∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，的周长为，点为的内心，连接、，于点．若，则的面积是________． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，于点，由内心的定义和角平分线的性质可得，根据，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， 点为内心， ，，分别平分，，， ，，， ， ． 12．（2026·广西柳州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是__________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求解，连接，，，过作，，，垂足分别为，，，根据是的内心，利用，，，得出，求解即可． 【详解】解：点，点， ，， ∴在中， ； 连接，，，过作，，，垂足分别为，，， 是的内心， ∴分别平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可得，，， 设，则，， ， 解得：， ∴， 的坐标为， 点关于轴对称的点的坐标是． 13．（2026·宁夏银川·一模）若等边三角形的边长为2，则其内切圆半径为______________． 【答案】 【分析】先利用等边三角形的性质确定相关线段长度和角度，再通过直角三角形中的三角函数关系求出内切圆半径． 【详解】解：是边长为2的等边三角形，是其内切圆，与切于点D，连接，，如图： ∵是的内切圆， ∴，是的平分线， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 即内切圆的半径是． 14．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内心、角平分线的性质、平行线的性质，三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，根据点为的内心，可知，，根据平移的性质可证，，根据等角对等边可知，，根据周长的公式可得阴影部分的周长就是的长度． 【详解】解：如图所示，连接、， 点为的内心， 平分，平分， ，， 由平移的性质可知：，， ，， ，， ，， 阴影部分的周长为． 故答案为：. 15．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点恰好与的内心重合，若，则___________． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形内心的性质，角平分线的定义等，熟练掌握三角形内心的性质是解题的关键． 根据折叠的性质和三角形内心的性质得出，平分，平分，求得，然后用周角定义即可求解． 【详解】解：∵沿折叠，点恰好与的内心重合， ∴，平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：40． 16．（2026·江苏南京·三模）是的内切圆，与边分别相切于点，若点在内部（含边界）且满足，则所有点组成的区域的面积为__________． 【答案】/ 【分析】过点作，交于点，连接，由题意易得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可知要使点在内部（含边界）且满足，则有所有点组成的区域为的下方半圆，然后根据内心的性质可得的半径，进而问题可求解． 【详解】解：过点作，交于点，连接，如图所示： ∴，即垂直平分， ∴当点在上时，则根据线段垂直平分线的性质可知：， ∴， ∴要使点在内部（含边界）且满足，则有所有点组成的区域为的下方半圆， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的内切圆， ∴点到的三边距离都是的半径， ∵， ∴， ∴半圆的面积为， 即所有点组成的区域的面积为． 三、解答题：本题共8小题,第17~22题7分，第23~24题10分，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，为等边三角形，，图中大圆为的外接圆，小圆为的内切圆． (1)请分别求出的外接圆和内切圆的半径； (2)求阴影部分面积． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）先用等边三角形的外接圆和内切圆求得，，延长交于点，即为的中垂线求出，，利用三角函数即可求解； （2）先求内部阴影部分面积，再求外接圆与之间阴影部分面积，相加即为阴影部分面积，即可求解． 【详解】（1）解：为等边三角形，大圆为的外接圆，小圆为的内切圆， ，， 延长交于点，即为的中垂线， ，， 在直角中，，， ， ， 同理得， 的外接圆半径为，内切圆的半径为； （2）由（1）得，， ， 内部阴影部分面积为：， 外接圆与之间阴影部分面积为：， 阴影部分面积为:． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形的外接圆和内切圆、三角函数、圆的面积，掌握相关知识解题的关键． 18．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于，过作直线． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：连接，与交于点，如下图所示： ∵点为的内心， ∴平分， 即， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 且为的半径， ∴是的切线． (2) 证明：连接，如下图所示： ∵点为的内心， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴． (3)的半径为 【分析】本题主要考查了三角形的内心性质，切线的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心，圆周角定理． （1）连接，与交于点，由的内心得到平分，再由得到 垂直平分，由即可得到，即可证明是的切线； （2）连接，通过内心的性质，圆周角定理，可证出，即可证明； （3）在中，由勾股定理求出的长度，令的半径为，则，，在中，由勾股定理得，得出方程，求解得出的值即可． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：∵，， 在中，由勾股定理得， 令的半径为， 则，， 在中，由勾股定理得， 得方程， 解得， 故的半径为． 19．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，已知内接于⊙，且是⊙的直径． (1)实践与操作： 尺规作图：作出的内心；（不写作法，保留作图痕迹） (2)推理与计算： 连接并延长，与⊙交于另一点．若，，则的长为________，的长为________． 【答案】(1) 如图1，点I为所求， (2)， 【分析】（1）因为的内心I是角平分线的交点，所以作出任意两个角的平分线即可； （2）根据是的直径，，，得，然后根据勾股定理求出，作于点，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据角的等量代换得，即可求的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，连接，，， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 作于点，则为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵，，，， ∴， ∴． 20．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，点，，在上，是直径，点是的内心，连接，并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； (2)． 【分析】（）连接，由圆周角定理得，又点是的内心，即平分，所以，通过圆周角定理得， 然后通过平行线的性质可得，最后通过切线的判定方法即可求证； （）过作于点，则，证明四边形是正方形，所以，由，设，则，，，由勾股定理得，即，求得，所以，，再由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：过作于点，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 由，设，则，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积公式，三角形内心，切线的判定，正方形的判定与性质，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 21．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，． (1)实践与操作：在图1中用尺规作图法作出的内心I；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)证明与应用：如图2，与的三边分别相切于，连接ID、IE， ①判断四边形的形状并证明； ②若，求的半径． 【答案】(1) 解：如图，点I为所求， (2) ①四边形是正方形，理由如下： ∵是的内切圆，即、、都是的切线， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ② 【分析】（1）三角形内心是三条角平分线的交点，用尺规作、的角平分线，交点即为内心I． （2）①由切线性质得，，结合，先证四边形是矩形；再由（半径相等），证得矩形为正方形．②先在中求出，；设半径为，得，；根据切线长定理，列方程求解得． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②已知，，， 则． 在中，，由勾股定理得： 设的半径为， 因为四边形是正方形， 所以，则，． 由切线长定理，，． 因为， 所以： ； 所以，的半径为． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，切线长的性质，勾股定理、角平分线的定义、解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心的含义与性质． 22．（2025九年级·全国·专题练习）阅读材料：已知的周长为l，面积为S，内切圆的半径为r，探究r与S，l之间的关系． 解：如图①，连接OA，OB，OC． ，， ，，． 解决问题： (1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形的内切圆半径． (2)如图（2），若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用探究的结论，计算边长分别为的三角形内切圆半径； （2）若四边形存在内切圆（与各边都相切的圆），且四边形的面积为，各边长分别为，利用四边形面积等于个三角形的面积之和，可得四边形的内切圆半径公式． 【详解】（1）解：， 此三角形为直角三角形， 三角形的面积， ． （2）解：如图，设四边形ABCD内切圆的圆心为O，连接OA，OB，OC，OD，则 ， ． 【点睛】本题考查了三角形和四边形分别与内切圆的半径关系． 23．如图，在中，，为的内切圆，切点分别为D、E、F，的半径为r．试用含a、b、c的代数式表示r． 小亮的思路：连接、．因为为的内切圆，切点分别为D、E、F，所以，且，易证四边形ODCE为正方形，所以．因为，所以，即． 小丽的思路是分别连接、和，把分割成3个小三角形：、和，利用这3个小三角形的面积之和等于的面积求出r． (1)尝试按照小丽的思路求出r； (2)小亮感到很奇怪：“我发现按照小丽的思路求出的结果与我求出的结果‘不一样’，但是它们都等于的半径呀！这是怎么回事呢？”请你给出解释． 【答案】(1) (2)两种思路求出来的r的表达式在数值上是相等的． 理由：要证明， 只需证， 即证， 故只需证， 故即证， 又∵为直角三角形，由勾股定理显然有， ∴原等式成立，即． 【分析】（1）按照题目要求求解即可． （2）利用勾股定理证明两式相等即可． 【详解】（1） 如图，连接，，， ∵为的内切圆，且点D、E、F分别为切点， ∴，，， ， 即， ∴， 解得． （2）略． 24．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 【答案】(1) 证明：中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， 点是的内心； (2)． 【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得，再根据平分得，进而可求出，则，由此得平分，然后根据三角形内心的定义可得出结论； 连接，，，，，依题意得，，在同一条直线上，且，，，由此得，则，在中由勾股定理可求出，则；根据三角形内心性质得，再根据可求出，由此可得的内心与外心的距离． 【详解】（1）略 （2）解：连接，，，，，如图所示： 是等腰三角形，点是内心，点是外心 ，，在同一条直线上，且，， ， 在中，，， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， 点为的内心，，，为切点， ， ， ， ， 解得：， ， ， 外接圆的半径；的内心与外心的距离． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的内心和外心的定义及性质是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $