30.1《直线与圆》分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册 第30章 直线与圆的位置关系 30.1 直线与圆 本节知识点总结 1. 直线与圆的三种位置关系： （1）相离：直线和圆没有公共点，这时称这条直线与圆相离； （2）相切：直线和圆只有一个公共点，这时称这条直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个点叫作切点； （3）相交：直线和圆有两个公共点，这时称这条直线与圆相交，这条直线叫作圆的割线。 2. 直线与圆位置关系的数量判定：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则： 直线l与⊙O相离 ⇔ d > r； 直线l与⊙O相切 ⇔ d = r； 直线l与⊙O相交 ⇔ d < r。 3. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 4. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 5. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。 6. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型一：直线与圆位置关系的识别 【考查要点】直线与圆相离、相切、相交的定义及公共点个数。 【解题方法】根据直线与圆公共点的个数判断：0个公共点为相离，1个公共点为相切，2个公共点为相交。 1. 直线与圆有两个公共点时，这条直线与圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2. 圆的切线和圆的公共点有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3. 下列直线中，是圆的切线的是（ ） A．与圆有一个公共点的直线 B．与圆有两个公共点的直线 C．经过圆外一点的直线 D．与圆的圆心距离大于半径的直线 题型二：根据d与r判断直线与圆的位置关系 【考查要点】圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判定直线与圆的位置关系。 【解题方法】比较d与r的大小：d>r相离，d=r相切，d<r相交。 4. 已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为3 cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 5. 已知⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 6. 圆的直径是13，如果圆心与直线的距离分别是：(1) 4.5；(2) 6.5；(3) 8。那么直线与圆的位置关系分别是什么？有几个公共点？ 7. （课本练习）如图，∠AOB=30°，M为OB上一点，OM=5。判断直线OA与以点M为圆心、下列r为半径的圆的位置关系：(1) r=2；(2) r=4；(3) r=2.5。 题型三：切线的性质 【考查要点】圆的切线垂直于过切点的半径。 【解题方法】见切线，连半径，得垂直。利用直角三角形的性质求解。 8. 如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，连接OA，则下列结论正确的是（ ） A．OA∥l B．OA⊥l C．OA=l D．OA与l相交但不垂直 9. 已知PA是⊙O的切线，A为切点，PO=13，OA=5，则切线长PA的长为（ ） A．12 B．8 C．18 D．14 10. （课本练习）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°。求∠P的度数。 题型四：切线的判定 【考查要点】经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 【解题方法】有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，证半径。 11. 下列直线中，可以判定为圆的切线的是（ ） A．垂直于圆的半径的直线 B．经过半径外端的直线 C．经过半径外端并且垂直于这条半径的直线 D．与圆有公共点的直线 12. （课本练习）如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=45°，AC=AB。求证：AC是⊙O的切线。 13. （课本练习）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，点P为切点。求证：AP=BP。 题型五：切线长定理 【考查要点】从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，连线平分夹角。 【解题方法】PA=PB，OP平分∠APB，且OP垂直平分AB。 14. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，下列结论错误的是（ ） A．PA=PB B．∠APO=∠BPO C．OA⊥PA D．AB垂直平分OP 15. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若∠APB=60°，PA=4，则PB的长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 16. （课本例题）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，连接AB，若∠APO=30°，OP=2，求△PAB的周长。 二、进阶思维题 （一）选择题 1. （2024·山西·中考真题）如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，连接OD。若∠AOD=80°，则∠C的度数为（ ） A．30° B．40° C．50° D．60° 2. （2025·山东烟台·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D。若∠A=35°，则∠D的度数为（ ） A．20° B．25° C．30° D．35° 3. （2024·金东区·模拟）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线。若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（ ） A．7 B．8 C．9 D．16 4. 已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 6. （课本习题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4。判断以点C为圆心、下列r为半径的⊙C与AB的位置关系：(1) r=2；(2) r=2.4；(3) r=3。 A．(1)相离；(2)相切；(3)相交 B．(1)相切；(2)相离；(3)相交 C．(1)相交；(2)相切；(3)相离 D．(1)相离；(2)相交；(3)相切 （二）填空题 8. PA切⊙O于点A，若PO=10，⊙O的半径为6，则切线长PA=______。 9. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点C，D，交AB于点E。如果PA=4，PD=2，则⊙O的半径长为______。 10. 从圆外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB=60°，OP=4，则圆的半径OA=_____。 11. （课本习题）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是25 cm。如果∠UVW=60°，则VT的长为_____cm。 （三）解答题 12. 如图，AB是⊙O的直径，直线分别切⊙O于A，B两点。l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论。 13. 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D。求证：AC是⊙O的切线。 14. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点C，D，交AB于点E。 （1）写出图中所有的垂直关系； （2）若PA=4，PD=2，求⊙O的半径长。 15. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∠APB=60°。 （1）求∠APO的度数； （2）若⊙O的半径为3，求切线长PA。 三、中考链接题 1. （2025·云南·中考真题）已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O相离，则d的取值范围是（ ） A．d<5 B．d=5 C．d>5 D．d≤5 2. （2024·山西·中考真题）如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，连接OD。若∠AOD=80°，则∠C的度数为（ ） A．30° B．40° C．50° D．60° 3. （2025·四川乐山·中考真题）下列关于切线的说法中，正确的是（ ） A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 C．经过半径外端的直线是圆的切线 D．经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 4. PA，PB分别切⊙O于A、B两点，若PA=6，则PB的长为（ ） A．3 B．6 C．12 D．无法确定 5. （2024·江西·中考真题）AB是半圆O的直径，点D在弦AC延长线上，连接BD，BC。若∠D=∠ABC=60°，求证：BD是半圆O的切线。 6. （2024·广东深圳·中考真题）在△ABD中，AB=BD，⊙O为△ABD的外接圆，BE为⊙O的切线。若∠ABE=40°，则∠ADB的度数为（ ） A．40° B．50° C．60° D．70° 7. 1.（2026·湖北中考）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 8.（25-26·安徽中考）如图，为的直径，点在上，点，分别在的边，上，，分别与相切于点，． （1）求证：四边形为正方形； （2）若，，求的长． 9.（2026·四川中考）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． （1）若的半径为，，求的长； （2）求证：是的切线． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册 第30章 直线与圆的位置关系 30.1 直线与圆 本节知识点总结 1. 直线与圆的三种位置关系： （1）相离：直线和圆没有公共点，这时称这条直线与圆相离； （2）相切：直线和圆只有一个公共点，这时称这条直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个点叫作切点； （3）相交：直线和圆有两个公共点，这时称这条直线与圆相交，这条直线叫作圆的割线。 2. 直线与圆位置关系的数量判定：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则： 直线l与⊙O相离 ⇔ d > r； 直线l与⊙O相切 ⇔ d = r； 直线l与⊙O相交 ⇔ d < r。 3. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 4. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 5. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。 6. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型一：直线与圆位置关系的识别 【考查要点】直线与圆相离、相切、相交的定义及公共点个数。 【解题方法】根据直线与圆公共点的个数判断：0个公共点为相离，1个公共点为相切，2个公共点为相交。 1. 直线与圆有两个公共点时，这条直线与圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆相交的定义。直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交。 【详解】解：直线与圆有两个公共点时，这条直线与圆相交。 故选C。 2. 圆的切线和圆的公共点有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查切线的定义。切线与圆只有一个公共点。 【详解】解：直线和圆只有一个公共点时叫作切线，这个公共点叫切点。 故选B。 3. 下列直线中，是圆的切线的是（ ） A．与圆有一个公共点的直线 B．与圆有两个公共点的直线 C．经过圆外一点的直线 D．与圆的圆心距离大于半径的直线 【答案】A 【分析】本题考查切线的定义。切线与圆只有一个公共点。 【详解】解：与圆有一个公共点的直线是切线，故A正确；与圆有两个公共点的直线是割线，故B错误；经过圆外一点的直线可能与圆相离或相交，故C错误；与圆心距离大于半径的直线与圆相离，故D错误。 故选A。 题型二：根据d与r判断直线与圆的位置关系 【考查要点】圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判定直线与圆的位置关系。 【解题方法】比较d与r的大小：d>r相离，d=r相切，d<r相交。 4. 已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为3 cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查根据d与r判断位置关系。d=3 < r=5，所以相交。 【详解】解：∵⊙O半径r=5 cm，圆心O到直线l的距离d=3 cm，且d<r，∴直线l与⊙O相交。故选C。 5. 已知⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】B 【分析】本题考查d=r时直线与圆相切。 【详解】解：∵d=6=r=6，∴直线l与⊙O相切。 故选B。 6. 圆的直径是13，如果圆心与直线的距离分别是：(1) 4.5；(2) 6.5；(3) 8。那么直线与圆的位置关系分别是什么？有几个公共点？ 【答案】(1)相交，2个公共点；(2)相切，1个公共点；(3)相离，0个公共点 【分析】本题考查课本练习题。圆直径13，则半径r=6.5，分别比较d与r。 【详解】解：圆的直径为13，∴半径r=6.5。 (1) ∵d=4.5 < 6.5，∴直线与圆相交，有2个公共点； (2) ∵d=6.5 = 6.5，∴直线与圆相切，有1个公共点； (3) ∵d=8 > 6.5，∴直线与圆相离，有0个公共点。 7. （课本练习）如图，∠AOB=30°，M为OB上一点，OM=5。判断直线OA与以点M为圆心、下列r为半径的圆的位置关系：(1) r=2；(2) r=4；(3) r=2.5。 【答案】(1)相离；(2)相交；(3)相切 【分析】本题考查根据d与r判断位置关系。过M作MD⊥OA于D，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半求MD。 【详解】解：过点M作MD⊥OA，垂足为D。 在Rt△OMD中，∠DOM=30°，OM=5， ∵直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半， ∴MD=OM=×5=2.5。 (1) ∵r=2 < 2.5，∴直线OA与⊙M相离； (2) ∵r=4 > 2.5，∴直线OA与⊙M相交； (3) ∵r=2.5 = 2.5，∴直线OA与⊙M相切。 题型三：切线的性质 【考查要点】圆的切线垂直于过切点的半径。 【解题方法】见切线，连半径，得垂直。利用直角三角形的性质求解。 8. 如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，连接OA，则下列结论正确的是（ ） A．OA∥l B．OA⊥l C．OA=l D．OA与l相交但不垂直 【答案】B 【分析】本题考查切线的性质定理。圆的切线垂直于过切点的半径。 【详解】解：∵直线l是⊙O的切线，A为切点，OA是半径，∴OA⊥l。 故选B。 9. 已知PA是⊙O的切线，A为切点，PO=13，OA=5，则切线长PA的长为（ ） A．12 B．8 C．18 D．14 【答案】A 【分析】本题考查切线的性质和勾股定理。PA⊥OA，在Rt△POA中用勾股定理。 【详解】解：∵PA是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥PA。 在Rt△POA中，PA====12。 故选A。 10. （课本练习）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°。求∠P的度数。 【答案】50° 【分析】本题考查切线的性质和切线长定理。PA=PB，OA⊥PA。 【详解】解：∵PA是⊙O的切线，AC是直径，∴OA⊥PA，即∠CAP=90°。 ∵∠BAC=25°，∴∠PAB=90°-25°=65°。 ∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴PA=PB，∴∠PBA=∠PAB=65°。 ∴∠P=180°-65°-65°=50°。 题型四：切线的判定 【考查要点】经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 【解题方法】有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，证半径。 11. 下列直线中，可以判定为圆的切线的是（ ） A．垂直于圆的半径的直线 B．经过半径外端的直线 C．经过半径外端并且垂直于这条半径的直线 D．与圆有公共点的直线 【答案】C 【分析】本题考查切线的判定定理。两个条件缺一不可：经过半径外端、垂直于这条半径。 【详解】解：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。两个条件缺一不可。 故选C。 12. （课本练习）如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=45°，AC=AB。求证：AC是⊙O的切线。 【答案】证明见详解 【分析】本题考查切线的判定。AB是直径，需证明AB⊥AC。 【详解】证明：∵AB=AC，∠ABC=45°， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，即AB⊥AC。 ∵AB是⊙O的直径，即AC经过半径OA的外端A，且AC⊥AB， ∴AC是⊙O的切线。 13. （课本练习）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，点P为切点。求证：AP=BP。 【答案】证明见详解 【分析】本题考查切线的性质和垂径定理。连接OP，由切线性质得OP⊥AB，再由垂径定理得AP=BP。 【详解】证明：连接OP。 ∵AB与小圆相切于点P，∴OP⊥AB。 ∵AB是大圆的弦，OP过圆心O，∴由垂径定理得AP=BP。 题型五：切线长定理 【考查要点】从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，连线平分夹角。 【解题方法】PA=PB，OP平分∠APB，且OP垂直平分AB。 14. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，下列结论错误的是（ ） A．PA=PB B．∠APO=∠BPO C．OA⊥PA D．AB垂直平分OP 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理。PA=PB，∠APO=∠BPO，OA⊥PA，OP垂直平分AB而非AB垂直平分OP。 【详解】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴PA=PB，∠APO=∠BPO，OA⊥PA，故A、B、C正确； OP垂直平分AB，但AB不一定平分OP，故D错误。 故选D。 15. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若∠APB=60°，PA=4，则PB的长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查切线长定理。从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。 【详解】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PB=PA=4。 故选B。 16. （课本例题）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，连接AB，若∠APO=30°，OP=2，求△PAB的周长。 【答案】3 【分析】本题考查切线长定理和直角三角形性质。先求PA，再证△PAB为等边三角形。 【详解】解：连接OA。 ∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO，OA⊥PA。 又∵∠APO=30°，∴∠APB=60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB=PA=PB。 在Rt△POA中，∠APO=30°，OP=2，∴OA=1（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半）。 PA===。 ∴△PAB的周长=3PA=3。 二、进阶思维题 （一）选择题 1. （2024·山西·中考真题）如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，连接OD。若∠AOD=80°，则∠C的度数为（ ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质和圆周角定理。AC切⊙O于A，则AB⊥AC。 【详解】解：∵AC与⊙O相切于点A，AB是直径，∴AB⊥AC，即∠BAC=90°。 ∵OA=OD，∠AOD=80°， 在△AOD中，∠OAD=∠ODA=(180°-80°)÷2=50°。 ∴∠DAC=∠BAC-∠OAD=90°-50°=40°。 ∵AB是直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ADC=90°。 在Rt△ADC中，∠C=90°-∠DAC=90°-40°=50°。 故选C。 2. （2025·山东烟台·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D。若∠A=35°，则∠D的度数为（ ） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】A 【分析】本题考查切线的性质和等腰三角形性质。连接OC，OC⊥CD。 【详解】解：连接OC。 ∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，即∠OCD=90°。 ∵OA=OC，∠A=35°，∴∠OCA=∠A=35°。 ∠COD是△AOC的外角，∠COD=∠A+∠OCA=35°+35°=70°。 在Rt△OCD中，∠D=90°-∠COD=90°-70°=20°。 故选A。 3. （2024·金东区·模拟）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线。若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（ ） A．7 B．8 C．9 D．16 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理。从圆外一点引圆的两条切线长相等。 【详解】解：设⊙O与AB、AC、BC分别相切于点F、G、H。 由切线长定理：BF=BH，CH=CG，DF=DE，EG=DE。 △ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DF+EG+AE=AF+AG。 ∵△ABC周长=AB+AC+BC=25，BC=9，∴AB+AC=16。 ∵AF=AG，BF=BH，CH=CG， ∴AF+AG=AB+AC-(BF+CG)=AB+AC-(BH+CH)=AB+AC-BC=16-9=7。 即△ADE的周长=7。 故选A。 4. 已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查d与r的大小关系判定。d=3 < r=5。 【详解】解：∵d=3 < r=5，∴直线l与⊙O相交。故选C。 5. PA，PB分别切⊙O于点A、B，若PA=8，则PB的长为（ ） A．4 B．8 C．16 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查切线长定理。PA=PB。 【详解】解：∵PA，PB分别切⊙O于A、B，∴PB=PA=8。 故选B。 6. （课本习题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4。判断以点C为圆心、下列r为半径的⊙C与AB的位置关系：(1) r=2；(2) r=2.4；(3) r=3。 A．(1)相离；(2)相切；(3)相交 B．(1)相切；(2)相离；(3)相交 C．(1)相交；(2)相切；(3)相离 D．(1)相离；(2)相交；(3)相切 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆位置关系判定。先求C到AB的距离d，再比较d与r。 【详解】解：在Rt△ABC中，AB=√(3²+4²)=5。 设C到AB的距离为d，由面积法： ×3×4=×5×d，解得d=2.4。 (1) ∵r=2 < 2.4，∴⊙C与AB相离； (2) ∵r=2.4 = 2.4，∴⊙C与AB相切； (3) ∵r=3 > 2.4，∴⊙C与AB相交。 故选A。 （二）填空题 7. 已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离是4，则直线l与⊙O的位置关系是__相切____。 【答案】相切 【分析】本题考查d=r时直线与圆相切。 【详解】解：∵d=4=r=4，∴直线l与⊙O相切。 8. PA切⊙O于点A，若PO=10，⊙O的半径为6，则切线长PA=__8____。 【答案】8 【分析】本题考查切线的性质和勾股定理。 【详解】解：∵PA切⊙O于A，∴OA⊥PA。在Rt△POA中，PA===8。 9. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点C，D，交AB于点E。如果PA=4，PD=2，则⊙O的半径长为__3____。 【答案】3 【分析】本题考查切线长定理和勾股定理。设半径为r，在Rt△OAP中列方程。 【详解】解：设⊙O的半径为r，则OA=r，OP=OD+PD=r+2。 ∵PA切⊙O于A，∴OA⊥PA。在Rt△OAP中： OA²+PA²=OP²，即r²+4²=(r+2)²， r²+16=r²+4r+4，解得4r=12，r=3。 10. 从圆外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB=60°，OP=4，则圆的半径OA=___2___。 【答案】2 【分析】本题考查切线长定理和直角三角形性质。∠APO=30°。 【详解】解：∵PA、PB是切线，∴OP平分∠APB，∠APO=30°，OA⊥PA。 在Rt△OAP中，∠APO=30°，OP=4， ∵直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半， ∴OA=OP=2。 11. （课本习题）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是25 cm。如果∠UVW=60°，则VT的长为___50___cm。 【答案】50 【分析】本题考查切线长定理和直角三角形。VT平分∠UVW，TU⊥UV。 【详解】解：由切线长定理，VT平分∠UVW，∴∠UVT=30°。 ∵TU⊥UV（切线性质），TU=25， 在Rt△TUV中，∠UVT=30°，TU是∠UVT所对的直角边， ∴TU=VT，即VT=2TU=2×25=50。 （三）解答题 12. 如图，AB是⊙O的直径，直线分别切⊙O于A，B两点。l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论。 【答案】∥，证明见详解 【分析】本题考查切线的性质。⊥AB，⊥AB，垂直于同一直线的两直线平行。 【详解】证明：∵直线切⊙O于点A，AB是直径，∴⊥AB。 ∵直线切⊙O于点B，∴⊥AB。 ∵和都垂直于AB，∴∥。 13. 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D。求证：AC是⊙O的切线。 【答案】证明见详解 【分析】本题考查切线的判定。作OE⊥AC于E，证明OE=OD即可。 【详解】证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA。 ∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB。 又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线（等腰三角形三线合一）。 ∴OE=OD（角平分线上的点到角两边距离相等），即OE是⊙O的半径。 ∵AC经过半径OE的外端E，且OE⊥AC，∴AC是⊙O的切线。 14. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点C，D，交AB于点E。 （1）写出图中所有的垂直关系； （2）若PA=4，PD=2，求⊙O的半径长。 【答案】（1）OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP；（2）半径为3 【分析】本题考查切线的性质和切线长定理。 【详解】解：（1）垂直关系有：OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP。 （2）设⊙O半径为r，则OA=r，OP=OD+PD=r+2。 在Rt△OAP中，OA²+PA²=OP²，即r²+4²=(r+2)²， r²+16=r²+4r+4，解得r=3。∴⊙O的半径为3。 15. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∠APB=60°。 （1）求∠APO的度数； （2）若⊙O的半径为3，求切线长PA。 【答案】（1）30°；（2）3 【分析】本题考查切线长定理和直角三角形。OP平分∠APB，OA⊥PA。 【详解】解：（1）∵PA，PB是⊙O的两条切线， ∴OP平分∠APB，∠APO=∠BPO。 ∵∠APB=60°，∴∠APO=30°。 （2）∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA。 在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°， ∴OP=2OA=6（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半）。 PA====3。 三、中考链接题 1. （2025·云南·中考真题）已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O相离，则d的取值范围是（ ） A．d<5 B．d=5 C．d>5 D．d≤5 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆相离的条件，是中考基础题。相离时d>r。 【详解】解：∵直线l与⊙O相离，∴d>r=5。 故选C。 2. （2024·山西·中考真题）如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，连接OD。若∠AOD=80°，则∠C的度数为（ ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质和圆周角定理，是中考中档题。 【详解】解：∵AC切⊙O于A，AB是直径，∴AB⊥AC。 ∵OA=OD，∠AOD=80°，∴∠OAD=50°。 ∴∠DAC=90°-50°=40°。 ∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=90°。 在Rt△ADC中，∠C=90°-40°=50°。 故选C。 3. （2025·四川乐山·中考真题）下列关于切线的说法中，正确的是（ ） A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 C．经过半径外端的直线是圆的切线 D．经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定定理，是中考概念辨析题。 【详解】解：与圆有唯一公共点的直线才是切线，故A错误； 垂直于半径且经过半径外端的直线才是切线，两个条件缺一不可，故B、C错误；D正确。 故选D。 4. PA，PB分别切⊙O于A、B两点，若PA=6，则PB的长为（ ） A．3 B．6 C．12 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长相等。 【详解】解：∵PA，PB分别切⊙O于A、B，∴PB=PA=6。 故选B。 5. （2024·江西·中考真题）AB是半圆O的直径，点D在弦AC延长线上，连接BD，BC。若∠D=∠ABC=60°，求证：BD是半圆O的切线。 【答案】证明见详解 【分析】本题考查切线的判定。AB是直径，则∠ACB=90°，需证明AB⊥BD。 【详解】证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°。 在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴∠BAC=30°。 在△ABD中，∠D=60°，∠BAD=30°， ∴∠ABD=180°-30°-60°=90°，即AB⊥BD。 ∵BD经过半径OB的外端B，且BD⊥AB，∴BD是半圆O的切线。 6. （2024·广东深圳·中考真题）在△ABD中，AB=BD，⊙O为△ABD的外接圆，BE为⊙O的切线。若∠ABE=40°，则∠ADB的度数为（ ） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】A 【分析】本题考查切线的性质和弦切角定理。切线与弦的夹角等于所对圆周角。 【详解】解：∵BE是⊙O的切线，AB是弦，∴∠ABE=∠ADB（弦切角等于所对的圆周角）。 ∵∠ABE=40°，∴∠ADB=40°。 故选A。 7. 1.（2026·湖北中考）如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】 证明：如图，连接CD， 为 O的直径， 又 【解析】 （1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出BD的长，利用垂径定理求出DE的长，在Rt 中利用勾股定理求出BE的长，设 的半径为r，则 ，在Rt 中利用勾股定理即可求出r. 【解答】 （1）证明：如图，连接CD， 为 O的直径， 又 ； （2）解：如图，连接 弦DF BC，BC为直径，DF=8, 在Rt 中，BE 设 的半径为r，则OD=r，OE=r-3， 在Rt 中， ， ，化简得6r=25，解得 ， 的半径为 8.（25-26·安徽中考）如图，为的直径，点在上，点，分别在的边，上，，分别与相切于点，． （1）求证：四边形为正方形； （2）若，，求的长． 【答案】 证明： 为 O的直径， (1)证明： 为 的直径， 四边形CDEF是平行四边形， ，EF分别与 相切于点M，N， 四边形OMEN为矩形， 四边形OMEN为正方形； 8 【解析】 （1）先根据直径所对的圆周角是直角得到 ，然后根据平行四边形的性质得到 ，再由圆的切线的性质证明即可； （2）过点O作OT BC于点T，由垂径定理得BT=CT，然后求出EN=ON=OB ，再证明四边形ONFT是矩形，则 ，OT=NF=EF-EN=9-5=4，再由勾股定理求解BT，最后由CF=CT+TF求解即可. 【解答】 （1）证明： 为 O的直径， (1)证明： 为 的直径， 四边形CDEF是平行四边形， ，EF分别与 相切于点M，N， 四边形OMEN为矩形， 四边形OMEN为正方形 （2）解：过点O作 于点T，则 经过圆心， 经过圆心， 在 中， 四边形CDEF是矩形， ，四边形OMEN为正方形， 四边形ONFT是矩形， ， 9.（2026·四川中考）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． （1）若的半径为，，求的长； （2）求证：是的切线． 【答案】 ； 证明：连接 点G在EF的垂直平分线上， 是 O半径， 是 O的切线。 【解析】 （1）连接OC，先求出OH长度，利用垂径定理得 ，再在Rt 中由勾股定理算出CH，进而求出CD； CH=DH -，连接OE，田垂直平分线性质得GE=GF，等边对等角得 ，结合CD AB推出 ，再利用OA=OE得 ，等量代换证明 ，依据切线判定定理证EG为切线。 【解答】 （1）解：连接OC. O半径为3， ，AB为直径， ，CD=2CH， 在Rt 中， （2）证明：连接 点G在EF的垂直平分线上， 是 O半径， 是 O的切线。 学科网（北京）股份有限公司 $