周周练14 29.1-29.2圆的有关概念和性质（数学新教材人教版九年级上册）

2026-2027学年九年级上学期数学周周测14 29.1-29.2圆的有关概念和性质 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 2．如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 3．已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 4．在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 5．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 6．如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 7．如图，为的直径，为的弦，C为优弧的中点，，垂足为D．若，，则的半径为（     ） A．6 B．5 C． D． 8．如图，是劣弧上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．水车是中国古代重要的灌溉工具，罗江太平廊桥旁也保留了几座大水车．图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（）       A． B． C．或 D．或 10．如图，在半圆中，直径，是半圆上两点，是直径上一点，若，，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．用反证法证明“在中，若，则”时，应提出假设__________． 12．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 13．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 14．如图，是的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边上，若，则的度数是______度． 15．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 16．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在中，，．求证：． 18．如图，是的外接圆，，连接并延长，交边于点，交于点，且为弧的中点，．求： (1)边的长； (2)的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测14 29.1-29.2圆的有关概念和性质 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的基本概念：直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径；半径相等的半圆属于等弧；只长度相等，半径不同的不是等弧；只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，逐一分析各项即可． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦， ∴弦不一定是直径，故①错误； ∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧， ∴②正确； ∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误； ∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧， ∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误． 综上所述，正确的说法有个． 2．如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据圆的半径相等确定的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：，都是的半径， ， ， ， 所对的圆心角等于． 3．已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为3； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为2． 故选：C． 4．在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】作的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小． 【详解】解：如图，作的平分线，交于点，连接、、、， 则， ∵， ∴， ∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴， 在中，， ∴，即． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：的外心坐标是； 故选B． 6．如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，先利用圆心角与弦、弧的关系求出，再由圆周角定理可得，结合三角形内角和定理可得．容易判断和是等边三角形，则，作差求出即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵弦， ∴， 又∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 7．如图，为的直径，为的弦，C为优弧的中点，，垂足为D．若，，则的半径为（     ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，延长交于点T，设的半径为r，证明，推出，在中，根据，构建方程求解． 【详解】解：连接，延长交于点T，设的半径为r， ∵C为优弧的中点， ∴， 由垂径定理得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据， ∴ 解得． 8．如图，是劣弧上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先过点O作，运用垂径定理，勾股定理进行列式计算，得，再结合是上的一动点，与交于点，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，过点O作，交于一点，连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵是上的一个动点，与交于点． ∴当时，即点与点重合时，则有最小值，且为3， 故选：B 9．水车是中国古代重要的灌溉工具，罗江太平廊桥旁也保留了几座大水车．图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（）       A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】作，设，先说明四边形是矩形，得到，证明，得到，根据勾股定理列出方程，求出，最后根据垂径定理，计算即可求解． 【详解】解：如图，作交于点，作于点， 设， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点到水面的距离为， ∴，则， ∵圆形轮盘分布了个水斗，水斗和中间还有个水斗， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得，，即， 整理得：， 解得：， ∴或， ∵， ∴点是的中点，即， ∴或， 则水面宽度为或． 10．如图，在半圆中，直径，是半圆上两点，是直径上一点，若，，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，轴对称最短路线问题等，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接，可得，即得，即得到最小值为的长度，再利用已知条件和圆周角定理求得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接， ∵为直径，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴最小值为的长度， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．用反证法证明“在中，若，则”时，应提出假设__________． 【答案】 【分析】反证法证明命题时，第一步需要假设命题的结论不成立，因此只需找出原结论的反面，即可得到反证法需要提出的假设． 【详解】解：该命题需要证明的结论为，反证法需假设结论不成立，即不小于， 因此应提出的假设为． 12．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 【答案】26 【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，可得寸，再设出圆的半径为x寸，表示出，最后根据勾股定理建立关于x的方程进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ，且寸， 寸， 设圆O的半径的长为x寸， 寸， 在中， 解得， ， 寸． 13．．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 【答案】 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 14．如图，是的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边上，若，则的度数是______度． 【答案】120 【分析】连接，根据已知条件得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是的内接正三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 15．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【答案】 【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r， 则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E， ∴点E是的中点， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得：． 16．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 【答案】 或 【分析】分圆心在弦与的同侧和异侧两种情况，结合垂径定理和勾股定理分别求出圆心到两条弦的距离，再根据线段的和差计算弦之间的距离即可. 【详解】解：的直径为， 的半径为， 当圆心在弦和的同侧时， 连接，，过点作于点，延长交于点， ， ， 由垂径定理得，，， 在中，由勾股定理得：； 在中，由勾股定理得：； ； 当圆心在弦和的异侧时， 同理可得，， . 综上：与之间的距离为或. 三、解答题：本题共8小题,第17~22题7分，第23~24题10分，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在中，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴． 【分析】根据弧、弦、圆心角之间的数量关系证明是等边三角形，再结合等边三角形性质即可证明． 【详解】略 18．如图，是的外接圆，，连接并延长，交边于点，交于点，且为弧的中点，．求： (1)边的长； (2)的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理证明点C在垂直平分线上，即可解题； （2）连结，先证明是等边三角形，再结合已知可证，继而根据直角三角形的性质以及勾股定理解题． 【详解】（1）解：∵点为的中点，为直径， ∴， ∴，，即垂直平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，如图， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得，即， 解得， ∴， 即的半径为． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识，掌握相关知识是解题关键． 19．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高，现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图． 解答下列问题： (1)如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)如图， (2)的半径长为 【分析】（1）作的垂直平分线交于点D，以点D为圆心，a为半径画弧交于点C，连接，作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径画弧； （2）如图，连接，设的半径为，则，，由垂径定理得到，然后在直角中利用勾股定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，设的半径为，则，， 由题意可知，垂直平分， ，， 在直角中，， ， 解得． 答：的半径长为． 20．定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【答案】(1) 解：如图，即所求． (2)不是， 【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点O，连接以O为圆心，为半径作即可； （2）的外接圆不是它的最小覆盖圆，以为直径的圆是最小覆盖圆． 【详解】（1）略 （2）解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆． 如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ，， ， ， 的最小覆盖圆的直径为． 21．已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，作于点，连接，，用垂径定理得到，算出长，在中利用勾股定理求出，由三个直角判定四边形为矩形，得到、长度，再在利用勾股定理求出，最后由求得； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设，，将整理为，由勾股定理得到，利用完全平方公式推出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， 同（1）得，，四边形是矩形， 设，，则， ∴， 故求的最大值，只需求的最大值， 在中，，即， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． 22．如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）连接，根据垂径定理，以及弧、弦、圆心角之间的关系推出，再结合圆周角定理求解即可； （2）利用勾股定理推出，再结合垂径定理求解即可． 【详解】（1）解：连接． ∵，且为的半径， ∴，． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 23．汽车盲区是造成交通事故的罪魁祸首之一，它是指驾驶员位于正常驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．如图1，有一种汽车盲区叫做内轮差盲区，内轮差是车辆在转弯时前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差，由于内轮差的存在，汽车在转弯时都会产生这种盲区．为了安全，许多路口都设置右转“危险区”标线．图2是货车在路口右转“危险区”的示意图，后内轮转弯半径米，前内轮转弯半径米，． (1)图2中、，弧围成的扇形面积为_______平方米；（结果保留） (2)用a的代数式表示“危险区”的面积，并求出当时，“危险区”的面积（结果保留）； (3)小明站在线段的延长线上，且与的距离为米的地方，若、之间的距离为3米，请判断小明是否有危险，并说明理由．（取） 【答案】(1) (2)平方米 (3)解：有危险，理由如下： 如图，连接并延长一定长度过点E， 米，， （米）， 、之间的距离为3米， （米），延长线与弧的交点到的距离为（米）， 四边形是正方形， ，， ， ， 小明有危险． 【分析】（1）运用扇形面积的公式计算即可； （2）根据题意补全图形，则四边形，均是正方形，进而得到，代入计算即可； （3）如图所示，连接并延长一定长度过点E，由勾股定理得到（米），则（米），再根据勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：后内轮转弯半径米，， 弧围成的扇形面积为（平方米）； （2）解：当时，后内轮转弯半径米，前内轮转弯半径米，， 如图，补全内轮所在半圆的正方形，则四边形，均是正方形， 弧围成扇形面积为（平方米），正方形的面积为（平方米），正方形的面积为（平方米）， （平方米）； （3）略 24．我们知道：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫做三角形的外心．对于三角形的外心，课本第138页有如下一个关于角度的问题： 5．如图，在中，，边、的垂直平分线相交于点P，连接、．求的度数． 对于类似的问题会不会有一般性的结论呢？ (1)如图1，在锐角三角形中， ①请用直尺和圆规作出的外心O（保留作图痕迹）； ②在所作图中连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (2)如图2，在钝角三角形中，，点O是的外心，连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (3)如果三角形的外心恰好落在这个三角形的一条边上，那么这个三角形的最大角的度数是 度； (4)通过以上问题的解决，对于三角形的外心的位置你能得到怎样的结论？请写出得到的结论． 【答案】(1)解：①如图，外心即为所求； ② (2) (3) (4)解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部. 【分析】（1）①分别作的垂直平分线，交点即为所求；②利用线段的垂直平分线的性质结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理解答即可； （2）连接，结合外心的性质，等腰三角形的性质与三角形的内角和定理解答即可； （3）先画图，再结合外心与等腰三角形的性质，三角形的内角和定理解答即可； （4）根据（1）（2）（3）进行归纳总结即可. 【详解】（1）解：①略 ②如图，连接， ∵为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴. （2）解：如图，连接， ∵点O是的外心， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. （3）解：如图，为三角形的外心， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大角为. （4）略 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测14 29.1-29.2圆的有关概念和性质 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的基本概念：直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径；半径相等的半圆属于等弧；只长度相等，半径不同的不是等弧；只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，逐一分析各项即可． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦， ∴弦不一定是直径，故①错误； ∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧， ∴②正确； ∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误； ∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧， ∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误． 综上所述，正确的说法有个． 2．如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据圆的半径相等确定的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：，都是的半径， ， ， ， 所对的圆心角等于． 3．已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为3； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为2． 故选：C． 4．在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】作的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小． 【详解】解：如图，作的平分线，交于点，连接、、、， 则， ∵， ∴， ∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴， 在中，， ∴，即． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：的外心坐标是； 故选B． 6．如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，先利用圆心角与弦、弧的关系求出，再由圆周角定理可得，结合三角形内角和定理可得．容易判断和是等边三角形，则，作差求出即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵弦， ∴， 又∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 7．如图，为的直径，为的弦，C为优弧的中点，，垂足为D．若，，则的半径为（     ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，延长交于点T，设的半径为r，证明，推出，在中，根据，构建方程求解． 【详解】解：连接，延长交于点T，设的半径为r， ∵C为优弧的中点， ∴， 由垂径定理得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据， ∴ 解得． 8．如图，是劣弧上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先过点O作，运用垂径定理，勾股定理进行列式计算，得，再结合是上的一动点，与交于点，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，过点O作，交于一点，连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵是上的一个动点，与交于点． ∴当时，即点与点重合时，则有最小值，且为3， 故选：B 9．水车是中国古代重要的灌溉工具，罗江太平廊桥旁也保留了几座大水车．图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（）       A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】作，设，先说明四边形是矩形，得到，证明，得到，根据勾股定理列出方程，求出，最后根据垂径定理，计算即可求解． 【详解】解：如图，作交于点，作于点， 设， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点到水面的距离为， ∴，则， ∵圆形轮盘分布了个水斗，水斗和中间还有个水斗， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得，，即， 整理得：， 解得：， ∴或， ∵， ∴点是的中点，即， ∴或， 则水面宽度为或． 10．如图，在半圆中，直径，是半圆上两点，是直径上一点，若，，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，轴对称最短路线问题等，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接，可得，即得，即得到最小值为的长度，再利用已知条件和圆周角定理求得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接， ∵为直径，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴最小值为的长度， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．用反证法证明“在中，若，则”时，应提出假设__________． 【答案】 【分析】反证法证明命题时，第一步需要假设命题的结论不成立，因此只需找出原结论的反面，即可得到反证法需要提出的假设． 【详解】解：该命题需要证明的结论为，反证法需假设结论不成立，即不小于， 因此应提出的假设为． 12．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 【答案】26 【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，可得寸，再设出圆的半径为x寸，表示出，最后根据勾股定理建立关于x的方程进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ，且寸， 寸， 设圆O的半径的长为x寸， 寸， 在中， 解得， ， 寸． 13．．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 【答案】 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 14．如图，是的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边上，若，则的度数是______度． 【答案】120 【分析】连接，根据已知条件得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是的内接正三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 15．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【答案】 【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r， 则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E， ∴点E是的中点， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得：． 16．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 【答案】 或 【分析】分圆心在弦与的同侧和异侧两种情况，结合垂径定理和勾股定理分别求出圆心到两条弦的距离，再根据线段的和差计算弦之间的距离即可. 【详解】解：的直径为， 的半径为， 当圆心在弦和的同侧时， 连接，，过点作于点，延长交于点， ， ， 由垂径定理得，，， 在中，由勾股定理得：； 在中，由勾股定理得：； ； 当圆心在弦和的异侧时， 同理可得，， . 综上：与之间的距离为或. 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在中，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴． 【分析】根据弧、弦、圆心角之间的数量关系证明是等边三角形，再结合等边三角形性质即可证明． 【详解】略 18．如图，是的外接圆，，连接并延长，交边于点，交于点，且为弧的中点，．求： (1)边的长； (2)的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理证明点C在垂直平分线上，即可解题； （2）连结，先证明是等边三角形，再结合已知可证，继而根据直角三角形的性质以及勾股定理解题． 【详解】（1）解：∵点为的中点，为直径， ∴， ∴，，即垂直平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，如图， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得，即， 解得， ∴， 即的半径为． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识，掌握相关知识是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测14 29.1-29.2圆的有关概念和性质 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 2．如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 3．已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 4．在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 5．如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 6．如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 7．如图，为的直径，为的弦，C为优弧的中点，，垂足为D．若，，则的半径为（     ） A．6 B．5 C． D． 8．如图，是劣弧上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．水车是中国古代重要的灌溉工具，罗江太平廊桥旁也保留了几座大水车．图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（）       A． B． C．或 D．或 10．如图，在半圆中，直径，是半圆上两点，是直径上一点，若，，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．用反证法证明“在中，若，则”时，应提出假设__________． 12．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 13．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 14．如图，是的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边上，若，则的度数是______度． 15．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 16．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 三、解答题：本题共8小题,第17~22题7分，第23~24题10分，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在中，，．求证：． 18．如图，是的外接圆，，连接并延长，交边于点，交于点，且为弧的中点，．求： (1)边的长； (2)的半径． 19．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高，现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图． 解答下列问题： (1)如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的半径长． 20．定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 21．已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 22．如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 23．汽车盲区是造成交通事故的罪魁祸首之一，它是指驾驶员位于正常驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．如图1，有一种汽车盲区叫做内轮差盲区，内轮差是车辆在转弯时前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差，由于内轮差的存在，汽车在转弯时都会产生这种盲区．为了安全，许多路口都设置右转“危险区”标线．图2是货车在路口右转“危险区”的示意图，后内轮转弯半径米，前内轮转弯半径米，． (1)图2中、，弧围成的扇形面积为_______平方米；（结果保留） (2)用a的代数式表示“危险区”的面积，并求出当时，“危险区”的面积（结果保留）； (3)小明站在线段的延长线上，且与的距离为米的地方，若、之间的距离为3米，请判断小明是否有危险，并说明理由．（取） 24．我们知道：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫做三角形的外心．对于三角形的外心，课本第138页有如下一个关于角度的问题： 5．如图，在中，，边、的垂直平分线相交于点P，连接、．求的度数． 对于类似的问题会不会有一般性的结论呢？ (1)如图1，在锐角三角形中， ①请用直尺和圆规作出的外心O（保留作图痕迹）； ②在所作图中连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (2)如图2，在钝角三角形中，，点O是的外心，连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (3)如果三角形的外心恰好落在这个三角形的一条边上，那么这个三角形的最大角的度数是 度； (4)通过以上问题的解决，对于三角形的外心的位置你能得到怎样的结论？请写出得到的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $