17.2026年安徽省合肥市经开区二模-【木牍中考】2027安徽中考数学试题汇编配套课件

数 学 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 17.2026年合肥市经开区二模 本卷共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 每小题都给出代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是正确的. 1.＝(　　) A.4 B.－4 C.－0.25 D.0.25 1 A -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2 2.下列运算正确的是(　　) A.(a4)3＝a7 B.a6÷a3＝a2 C.(3ab)3＝9a3b3 D.－a5·a5＝－a10 D -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 3 3. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是(　　) 第3题图 A B C D C -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 4 4.安徽省2026年第一季度货物出口总额为1948亿元，其中1948亿用科学记数法表示为(　　) A.1948×108 B.194.8×109 C.19.48×1010 D.1.948×1011 D -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 5 5.若关于x的方程2x2＋x＋m＝－1有两个不相等的实数根，则m的取值范围为(　　) A.m＞－ B.m＜－ C.m＜ D.m＞ B 【解析】原方程变形，得2x2＋x＋m＋1＝0，由题意知Δ＝12－4×2(m＋1)＝－7－8m＞0，解得m＜－. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 6 6.为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们开了一节手工课，教同学们编织“中国结”.为了了解同学们的学习情况，随机抽取了20名学生，对他们的编织数量进行统计，结果如下表： 编织数量/个 2 3 4 5 6 人数/人 3 6 5 4 2 下列说法正确的是(　　) A.样本为20名学生 B.众数是4个 C.中位数是3个 D.平均数是3.8个 D -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】A项：样本为20名学生编织的“中国结”数量，说法错误；B项：∵编织数量为3个的人数为6，人数最多，∴众数是3个，说法错误；C项：∵编织数量在第10位和第11位的数量分别为4个、4个，∴中位数为4个，说法错误；D项：∵×(2×3＋3×6＋4×5＋5×4＋6×2)＝3.8，∴平均数为3.8个，说法正确. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 7 7.若两个实数a，b满足0＜a＜1，－1＜b＜0，则(　　) A.2a＋b＞0 B.0＜a－2b＜3 C.0＜2a－b＜2 D.＞－1 B -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】∵0＜a＜1，－1＜b＜0，∴0＜2a＜2，0＜－2b＜2.A项：∵－1＜b＜0，0＜2a＜2，∴－1＜2a＋b＜2，∴A项错误；B项：∵0＜a＜1，0＜－2b＜2，∴0＜a－2b＜3，∴B项正确；C项：∵0＜2a＜2，0＜－b＜1，∴0＜2a－b＜3，∴C项错误；D项：∵－1＜b＜0，∴＜－1，∴D项错误. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【小妙招】(特殊值法)由题意，不妨先取b＝－，对于A项，取a＝则不成立；对于B项，a取任意符合条件的数都成立；对于C项，取a＝则不成立；对于D项，－＝－2＜－1，不成立.故选B. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 8 8.如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，点P在对角线BF上，记图中各三角形的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，已知该正六边形的边长为6，下列代数式中，其代数式的值不能确定的是(　　) A.S3＋S6 B.S4＋S5 C.S5＋S6 D.S1＋S3＋S5 第8题图 C -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 本题优先考虑定性分析(只关注值是否变化，不关注值是多少)，也可定量分析(设未知数，把各代数式的值表示出来). 如图，连接BD，AD，FD，设AD交BF于点M. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 由正六边形的性质，可得AD⊥BF，BF⊥EF，BF⊥BC，AM＝3，MD＝9，BF＝6，∴S△ABF＝S△BCD＝S△DEF＝×6×3＝9.设BP＝x，则FP＝BF－BP＝6－x，∴S1＝×FP×AM＝×(6－x)×3＝9x，S2＝×BP×AM＝×3×x＝x，S3＝×BP×BC＝×6×x＝3x，S4＝S△BCD＋S△PBD－S3＝9x－3x＝9x， -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 S6＝×FP×EF＝×(6－x)×6＝18－3x，S5＝S△DEF＋S△DPF－S6＝9(6－x)－(18－3x)＝18x，∴S3＋S6＝18，S4＋S5＝27，S5＋S6＝36x，S1＋S3＋S5＝27，故S3＋S6，S4＋S5，S1＋S3＋S5均为定值，S5＋S6的值不能确定. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【小妙招】易得S5＋S6＝S△PFD＋S△EFD，其中S△PFD＝PF，S△EFD为定值，PF的值不确定，∴S△PFD的值不能确定，∴S5＋S6的值不能确定. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 9 9.已知双曲线y＝(k≠0)过抛物线y＝x2－2x＋3的顶点，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在该双曲线上，若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A.y1＜y3＜y2 B.y2＜y1＜y3 C.y1＜y2＜y3 D.y3＜y1＜y2 A -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】∵y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，∴抛物线的顶点坐标为(1，2).将点(1，2)代入y＝，得k＝2，∴双曲线y＝的图象在第一、三象限，且每个象限内y随x的增大而减小.∵x1＜0，∴点A(x1，y1)在第三象限，y1＜0.∵0＜x2＜x3，∴点B，C都在第一象限，0＜y3＜y2，∴y1＜y3＜y2. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 10 10.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，P是BC边上的动点，将△ABP沿AP翻折得到△AQP，连接BQ，CQ，DQ.下列结论错误的是(　　) A.当△CPQ为直角三角形时，BP＝ B.AB2－BP2＝AQ2－PQ2 C.tan ∠BQP的最大值为 D.线段CQ的最小值为2－4 第10题图　 A -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】A项：∵将△ABP沿AP翻折得到△AQP，∴PQ＝BP，∠AQP＝∠ABP＝90°.∵在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∴BC＝AD＝6，∴AC＝＝2.当△CPQ为直角三角形时，分两种情况讨论：当∠PQC＝90°时，如图1，∠AQP＋∠PQC＝180°，∴A，Q，C三点共线.易证△CPQ∽△CAB， ∴，即， -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 解得BP＝(利用勾股定理求BP亦可，即设BP＝x，则PQ＝x，PC＝6－x，由PQ2＋CQ2＝PC2得x2＋(2－4)2＝(6－x)2，解得BP＝x＝)；当∠QPC＝90°时，如图2，∠BPQ＝90°，∴四边形ABPQ是矩形，∵PQ＝BP，∴四边形ABPQ是正方形，∴BP＝AB＝4，综上，A项错误； 图1　 图2 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 B项：∵AB＝AQ，BP＝PQ，∴AB2－BP2＝AQ2－PQ2，B项正确；C项：由翻折的性质，得AP垂直平分BQ，易得∠BQP＝∠PBQ＝∠BAP，∴tan ∠BQP＝tan ∠BAP.∵tan ∠BAP＝，∴当BP最大时，即当点P与点C重合时，tan ∠BAP的值最大(关键点)，tan ∠BAP＝，∴tan ∠BQP的最大值为，C项正确； -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 D项：∵AQ＝AB＝4，∴点Q在以点A为圆心、4为半径的圆上(关键点)，∴AQ＋CQ≥AC，∴CQ≥AC－AQ，且当A，Q，C三点共线时，CQ取得最小值，如图3所示，此时CQ＝AC－AQ＝2－4，D项正确. 图3 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【小妙招】由题易得，当△CPQ为直角三角形时，存在∠PQC＝90°和∠QPC＝90°两种情况，故BP的值有2个，即可判断A项错误，符合题意. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 11 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11.计算：1－＝________. －9 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 12 12.分解因式：2m3－4m2＋2m＝____________. 2m(m－1)2 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 13 13. 图1是某化学实验室的一个装有液体的圆底烧瓶，其底部球形的截面示意图如图2所示，液体水平宽度AB为8 cm，竖直高度CD为2 cm，则☉O的半径为________ cm. 第13题图1　　　第13题图2 5 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】连接AO，∵OC⊥AB，∴AC＝AB＝4 cm，设☉O的半径为x cm，∴OA＝OD＝x cm，∴OC＝OD－CD＝(x－2) cm，在Rt△AOC中，AC2＋OC2＝OA2，即42＋(x－2)2＝x2，解得x＝5，∴☉O的半径为5 cm. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14 14.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝的图象上，且x1＞0，x2＞0，x1≠x2，请探究下列问题： (1)若，则y1与y2的大小关系为y1 ________y2；(填“＞”“＜”或“＝”) (2)若方程y＝t有3个不同的实数根，则实数t的取值范围为____________. 0＜t＜1 ＜ -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【解析】(1)∵x1＞0，x2＞0，x1≠x2，∴点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝－x2＋2x(x≥0)的图象上.∵y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝1，∴该函数图象上的点距离对称轴越远，函数值y越小.∵|x1－1|＞|x2－1|，∴点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，∴y1＜y2. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)函数的图象如图所示， ∵方程y＝t有3个不同的实数根，∴直线y＝t与函数y＝的图象有3个交点(关键点)，观察图象，可得此时实数t的取值范围为0＜t＜1. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 15 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15.先化简，再求值：a－b＋，其中a＝2，b＝－1. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【参考答案】原式＝................2分 ＝..................4分 ＝...................6分 当a＝2，b＝－1时， 原式＝＝8...................8分 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 16 16.皖南某古城文创店售卖徽墨与歙砚两种特色文创商品，已知购买2盒徽墨、1方歙砚共需130元；购买1盒徽墨、2方歙砚共需170元.某校计划购进这两种文创商品共30件，总费用不超过1800元，则最多可以购进多少方歙砚？ -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【参考答案】设每盒徽墨x元，每方歙砚y元. 根据题意，得..................2分 解得..................4分 设购进歙砚m方，则购进徽墨(30－m)盒. 根据题意，得70m＋30(30－m)≤1800，..................6分 解得m≤22.5，由于m为整数，故m的值最大为22. 答：最多可以购进22方歙砚...................8分 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 17 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点(网格线的交点)A，B，C的坐标分别为(3，2)，(1，4)，(5，3). 第17题图 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (1)画出△ABC的重心G，并写出重心G的坐标； (2)以原点O为位似中心，将△ABC按位似比1∶2放大得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； (3)填空：△A1B1C1的面积为________. 12 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【参考答案】(1)点G如图所示；重心G的坐标为(3，3)...................4分 (2)如图所示，△A1B1C1即为所求...................6分 (3)12...................8分 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 18 18.如图，某风景区为方便游客登山，在某观景台D处修建一条登山索道DE.已知观景台D到出发点A构成的坡面AD＝400 m，AD的坡度i＝∶1，CE⊥AC于点C，BD⊥AC于点B，测绘人员在观景台D处测得坡底C处的俯角为30°，坡顶E处的仰角为45°.求山峰CE的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.732) 第18题图 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【参考答案】作DF⊥CE于点F，连接CD. 由题意，得∠EDF＝45°，∠CDF＝30°. ∵AD的坡度i＝tan ∠DAB＝∶1， ∴∠DAB＝60°，∴∠ADB＝30°...................2分 在Rt△DAB中，AD＝400 m， ∴AB＝AD＝200 m，DB＝200 m. 易得四边形BCFD为矩形， -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∴CF＝BD＝200 m...................4分 在Rt△DCF中，DF＝＝200＝600(m). 在Rt△DEF中，∠EDF＝45°，∴EF＝DF＝600 m，..................6分 ∴CE＝CF＋EF＝200＋600≈946.4(m). 答：山峰CE的高度约为946.4 m...................8分 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 19 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19.为进一步宣传推广安徽文旅，某校开展“最想去的安徽特色景点”问卷调查，每人限选一项：A黄山，B九华山，C寿县古城，D阜阳八里河，收集数据后绘制了如下不完整的条形统计图、扇形统计图，已知选C寿县古城的人数占总抽取人数的25%. 第19题图 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (1)本次一共抽取多少名学生？补全条形统计图； (2)求扇形统计图中“B九华山”对应扇形的圆心角度数； (3)甲、乙两名同学各自随机任选一个景点，用画树状图法或列表法，求两人恰好各自选中安徽名山A和B的概率. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【参考答案】(1)＝0.3， ∴总抽取人数为30÷0.3＝100(名)...................2分 C寿县古城人数为100×25%＝25(名)， B九华山人数为100－40－25－30＝5(名)， 补全条形统计图如图所示. ..................4分 (2)×360°＝18°...................6分 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (3)列表如下： 乙 甲 A B C D A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) ..................8分 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 由表可知所有等可能的结果有4×4＝16(种)， 其中符合条件的有(A，B)，(B，A)，共2种， ∴两人恰好各自选中安徽名山A和B的概率＝...................10分 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 20 20.如图，AB为☉O直径，C为☉O上一点，CD平分∠ACB交☉O于点D，过点D作☉O的切线，交CB的延长线于点E. (1)求证：DE∥AB； (2)若AC＝3，BC＝4，求DE的长. 第20题图 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【参考答案】(1)如图，连接OD. ∵AB为☉O直径，∴∠ACB＝90°. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝45°， ∴∠AOD＝2∠ACD＝90°...................3分 ∵DE是☉O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°， ∴∠AOD＝∠ODE，∴DE∥AB...................5分 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)如图，过点B作BF⊥DE于点F，∴∠DFB＝90°. ∵AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝5， ∴OD＝OB＝AB＝. 易证四边形ODFB是正方形， ∴BF＝...................7分 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 由(1)得，AB∥DE，∴∠ABC＝∠E，∴tan ∠ABC＝tan E， ∴，即，∴FE＝， ∴DE＝DF＋FE＝...................10分 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 21 六、(本题满分12分) 21. 【项目主题】 若一个正数可以表示为两个正整数的平方差，即n＝a2－b2(a，b为正整数，且a＞b)，则称这个数为智慧数.例如：3＝22－12，5＝32－22，7＝42－32，因此3，5，7均是智慧数.某思维体操数学学习小组对智慧数的分布规律展开探究. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【项目分析】 小组讨论提出如下四种选项的猜想： 选项 猜想 A 智慧数的分布与正整数的奇偶性有关 B 智慧数的分布与正整数是否为质数有关 C 智慧数的分布与正整数的因数个数有关 D 智慧数的分布与正整数除以4的余数有关 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【项目解决】 探究多变量问题时，常用控制变量法：保持其他量不变，只改变一个量，观察结论变化. 任务一：问题筛选 (1)质数3，5是智慧数，质数2不是智慧数，由此说明猜想　①　不成立；(填猜想对应的选项字母即可)；  (2)奇数、偶数中既有智慧数，也存在非智慧数，仅依靠奇偶性无法判定一个数是否为智慧数，由此说明猜想　②　不成立；(填猜想对应的选项字母即可)  -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 任务二：探究论证 由智慧数定义及平方差公式变形：n＝a2－b2＝(a＋b)(a－b)， 可知a＋b与a－b同奇、同偶，且a＋b＞a－b≥1. 按正整数除以4的余数分类探究，整理表格如下： 除以4的余数 1 2 3 0 举例 5，9 2，6，10 3，7，11 8，12，16 是否为智慧数 是 否 是 是 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 归纳核心规律： 形如4k＋2(k为自然数)的数一定不是智慧数； 大于等于3的奇数、大于等于8的4的倍数，都是智慧数； 特例：1，4不是智慧数. (3)完成下表填空： 正整数n 13 14 15 16 是否为智慧数 是 　③　  是 　④　  -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 任务三：项目应用 (4)计算：在1~2026这2026个正整数中，智慧数一共有　⑤　个.  (5)若一个智慧数n有3种不同的平方差表示方法，且满足n＜100，则满足此条件的最大智慧数为　⑥　.  请完成以上填空：①________　②________　③________　④________　⑤________　⑥________ 99 1517 是 否 A B -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【参考答案】①B；②A；③否；④是；⑤1517；⑥99...................12分 提示：③14符合4k＋2(k＝3)的形式，故由规律，可得14一定不是智慧数.④16是大于等于8的4的倍数，故由规律，可得16一定是智慧数. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⑤∵大于等于3的奇数是智慧数，且1不是智慧数，∴在1~2026这2026个正整数中，满足此条件的智慧数有－1＝1012(个)；∵大于等于8的4的倍数是智慧数，且4不是智慧数，∴在1~2026这2026个正整数中，满足此条件的智慧数有－1＝505(个).综上，在1~2026这2026个正整数中，智慧数一共有1012＋505＝1517(个). -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ⑥∵大于等于3的奇数是智慧数，n＜100，∴n最大为99，∵99＝1×99＝3×33＝9×11，∴99＝502－492＝182－152＝102－12，满足题意，∴满足此条件的最大智慧数为99. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 22 七、(本题满分12分) 22.如图1，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在对角线AC上，点F，G分别在边BC，CD上，且∠FEG＝60°，连接FG，延长FE交AD于点P. 第22题图1 第22题图2 第22题备用图 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (1)如图2，当点A，E重合时，求证：△EFG是等边三角形； (2)如图1，若CE＝3AE，AP＝，CG＝5，求BF的长； (3)连接PG，当CE＝3AE，△PEG∽△GCF时，求的值. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【参考答案】(1)∵在菱形ABCD中，∠B＝60°， ∴AB＝CB＝CD＝AD，∠D＝60°， ∴△ABC，△ADC均为等边三角形， ∴AB＝AC，∠ACD＝60°，∠BAC＝60°，即∠BAF＋∠FAC＝60°， ∵∠FEG＝∠BAC＝60°，∴∠CAG＋∠FAC＝60°， ∴∠BAF＝∠CAG，∴△BAF≌△CAG(ASA)，∴AF＝AG. 又∵∠FEG＝60°，∴△EFG是等边三角形...................4分 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)过点E作EK∥AB，交BC于点K. 由(1)知△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠CAB＝∠ABC＝60°， ∵EK∥AB，∴∠CEK＝∠CAB＝60°，∠EKC＝∠ABC＝60°， ∴△EKC是等边三角形， ∴EK＝EC，∠EKF＝∠KEC＝60°. ∵∠ACG＝60°，∠FEG＝60°， ∴∠EKF＝∠ACG，∠KEF＝∠CEG， -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∴△EKF≌△ECG，∴EF＝EG， ∴△EFG是等边三角形(关键点)...................6分 ∵AD∥BC，∴△AEP∽△CEF， ∴，∴CF＝3AP＝4. ∵△EKF≌△ECG，∴KF＝CG＝5， ∴KC＝KF＋CF＝5＋4＝9. ∵△EKC是等边三角形，∴CE＝KC＝9，∴AE＝CE＝3， ∴BC＝AC＝AE＋CE＝3＋9＝12， ∴BF＝BC－CF＝12－4＝8...................8分 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (3)易知△EFG是等边三角形， ∴∠EGF＝60°＝∠ECF，∴∠CEG＝∠CFG. 当△PEG∽△GCF时，∠EGP＝∠CFG＝∠CEG， ∴PG∥AC，∴AP＝CG. ∵CE＝3AE，AP∥CF，∴CF＝3AP＝3CG(关键点)...................10分 过点E作EK∥AB，交BC于点K. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 设CG＝a，则CF＝3a， 由(2)知△EKC是等边三角形，△EFK≌△EGC，∴KF＝CG＝a，∴CE＝KC＝4a，∴AE＝a， ∴CD＝AC＝a＋4a＝a，∴DG＝a－a＝a， ∴...................12分 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 23 八、(本题满分14分) 23.若函数G：y＝ax2－4ax＋3a(a≠0)，在m≤x≤n(m＜n)上的最大值记为ymax，最小值记为ymin，且满足ymax－ymin＝2，则称函数G是在m≤x≤n上的“和谐函数”. (1)已知函数G，当a＞0时，函数G是在2≤x≤4上的“和谐函数”，求a的值； (2)当a＝1时，若函数G是在t≤x≤t＋1上的“和谐函数”，请求出t的值； -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (3)已知函数G，当a＞0时，函数G是在m＋1≤x≤2m＋1(m为正整数)上的“和谐函数”，且存在整数k，使得k＝，直接写出a的值. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 【参考答案】(1)∵函数y＝ax2－4ax＋3a＝a(x－2)2－a(a＞0)， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为(2，－a)， ∴当2≤x≤4时，y随x的增大而增大， ∴当x＝2时，ymin＝－a；当x＝4时，ymax＝3a. ∵该函数在2≤x≤4上是“和谐函数”， ∴3a－(－a)＝2，解得a＝...................4分 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (2)显然属于“定轴动区间”问题，需要结合对称轴与区间的相对位置分类讨论. 当a＝1时，函数G为y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， ∴对称轴为直线x＝2，顶点为(2，－1)， 当t＋1≤2，即t≤1时，函数在t≤x≤t＋1上，y随x的增大而减小， ∴ymax＝t2－4t＋3，ymin＝(t＋1)2－4(t＋1)＋3＝t2－2t. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 令t2－4t＋3－(t2－2t)＝2， 解得t＝，符合题意；..................6分 当t＜2＜t＋1时，ymin＝－1. 若t＋1－2≤2－t时，1＜t≤，则ymax＝t2－4t＋3， 令t2－4t＋3－(－1)＝2， 解得t＝2±，不符合题意，舍去； 若t＋1－2＞2－t时，＜t＜2，则ymax＝(t＋1)2－4(t＋1)＋3＝t2－2t， -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 令t2－2t－(－1)＝2， 解得t＝1±，不符合题意，舍去；..................8分 当t≥2时，在t≤x≤t＋1上，y随x的增大而增大， ∴ymax＝t2－2t，ymin＝t2－4t＋3， 令t2－2t－(t2－4t＋3)＝2， 解得t＝，符合题意. 综上所述，t＝或t＝...................10分 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 (3)核心条件有2个：ymax－ymin＝2与k＝，都需要将ymax，ymin先表示出来，也就自然需要先判断函数G在m＋1≤x≤2m＋1上的增减性. a的值为2或...................14分 -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 提示：函数G：y＝ax2－4ax＋3a＝a(x－2)2－a(a＞0)，∴当x≥2时，y随x的增大而增大，∵m为正整数，∴m＋1≥2，∴在m＋1≤x≤2m＋1上，y随x的增大而增大，∴ymax＝a(2m－1)2－a，ymin＝a(m－1)2－a，由题意得a(2m－1)2－a－［a(m－1)2－a］＝2，整理得a＝. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ∵k＝，∴k＝＝4＋，∵m为正整数，k为整数，∴m－2的值为－1或1或2或4，∴m的值为1或3或4或6，由a＝，得a的值为2或. -‹#›- -‹#›- 17.2026年合肥市经开区二模 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 $