2026-2027学年八年级上学期10月月考数学模拟试卷（河南开封适用）

2026-2027学年度初中数学10月月考卷 本卷满分120分，考试时间100分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列关于三角形的描述，正确的是（    ） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三角形的内角和为，外角和为 C．锐角三角形的三个外角都是钝角 D．直角三角形只有一条高 2．（本题3分）在如图所示的图形中，三角形的个数为（     ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 3．（本题3分）如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 4．（本题3分）如图，在方格纸上，A，B是格点，网格中存在格点C使得是以为顶角的等腰三角形，这样的格点C的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（本题3分）如图，，两点在数轴上，点所对应的数是，若的长为个单位长度，的长为个单位长度，则点对应的数可能是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（本题3分）如图，中，，，，下列选项不正确的是（    ）． A．是的角平分线 B．是的高 C．是的中线 D． 7．（本题3分）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 8．（本题3分）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 9．（本题3分）如图，AD是的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F．若，，，则EF的长度为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．（本题3分）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）如图，汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 12．（本题3分）如图，在中，已知，，分别是，，的中点，且的面积为，则的面积为_________． 13．（本题3分）如图所示的是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于地面的垂线上．若，在某次运动过程中，秋千向前和向后的最高点分别为点和点，点到的距离为，点到的距离为，，则点到地面的距离为____________． 14．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点分别在轴，轴的正半轴上．若，则___________． 15．（本题3分）如图，已知和均是等边三角形，点在同一条直线上，与相交于点，与交于点，与相交于点，连接．随下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有_____． 三、解答题（共75分） 16．（本题9分）如图，是的外角，且， (1)请用尺规作图法在内部求作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接、、证明： 17．（本题8分）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简． 18．（本题8分）如图,在中,点D、E分别在上，相交于点F，； (1)求的度数； (2)求的度数. 19．（本题9分）完成下面的证明． 已知，如图，是直线，，．求证：． 证明：∵（已知） （ ） ∴（            ） ∵（已知） 在中， 同理，在中， ； ∴ （等量代换） ∵（已知） ∴ （两直线平行，同位角相等） ∴ （等量代换） ∴（ ） 20．（本题9分）如图，在中，于点，于点，，，与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 21．（本题10分）为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度：将旗杆顶部处的绳子拉直至地面点，使，两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在处放置直角三角板，让直角顶点与点重合，边与绳子重合．随后小明后退，当看到点共线时（即共线），停在点． (1)小明认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． (2)若米，米，求旗杆高度． 22．（本题11分）如图，在中，，，为边的中点，点分别在射线上，且，连接． (1)如图1，当点分别在边和上时，连接， ①判断的形状，并说明理由； ②写出、和的关系，并说明理由； (2)探究：如图2，当点分别在边的延长线上时，写出、和的关系，并说明理由； (3)应用：若，，利用上面的结论，直接写出的面积：______． 23．（本题11分）学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字型全等的方法来解决问题，如图1，已知中，点E为中点，连结并延长到点D，使，连接则有“8”字全等型．利用这种方法解下列问题． 【课例回顾】（1）如图2，为测量河对岸点A到点B的距离，借鉴上述方法，过点B画直线l，并在直线l上依次取点C和点D，使得，，请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长； 【猜想探究】（2）如图3，在中，D是的中点，，，，猜想线段与有什么数量关系？并证明； 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，为中线，且，过点D作交于点E．请求线段的长．（用含d的式子表示） 试卷第1页（共3页） 《2026-2027学年度初中数学10月月考卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B D A D B B D 1．C 【分析】本题考查三角形的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． 根据三角形的定义、三角形内角和定理、直角三角形的性质进行逐项判断即可． 【详解】解：选项A、三角形是由三条不在同一直线的线段首尾顺次连接组成的图形，则 A错误； 选项B、根据三角形内角和定理得，三角形的内角和为，外角和为，则 B错误； 选项C、锐角三角形的每个内角小于，每个外角内角，则三个外角都是钝角，C正确； 选项D、直角三角形有两条直角边作为高，还有从直角顶点向斜边所作的高，有三条高，则D错误； 故选：C． 2．C 【分析】根据三角形的定义，即可得结论． 【详解】解：由图可得，图形中的三角形有：，，，，，， ∴图形中三角形的个数有6个． 3．D 【分析】根据三角形按角分类的定义，仅凭一个锐角无法确定另外两个角的度数，从而无法确定三角形的具体形状，分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵ 三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 ， ∴确定三角形形状需看其最大内角是锐角、直角还是钝角， ∵图中只露出一个锐角，另外两个角未知 ， ∴另外两个角可能均为锐角，此时为锐角三角形 ；另外两个角中可能有一个为直角，此时为直角三角形 ；另外两个角中可能有一个为钝角，此时为钝角三角形， 综上所述，该三角形的形状以上三种都有可能． 4．B 【分析】本题考查等腰三角形的判定，关键是掌握有两边相等的三角形是等腰三角形． 由等腰三角形的定义和图形，即可得到答案． 【详解】解：如图，这样的格点C的个数为5个， 故选：B． 5．D 【分析】先根据点的数和的长度，确定点的位置；再设点对应的数为，表示出的长度；最后利用三角形三边关系（两边之差小于第三边，两边之和大于第三边）列不等式，求出的取值范围，结合选项得到答案． 【详解】解：设点对应的数为，则 ，， ， ， ． 由得或， ∴或． 由|得 ∴． ∴（不符合题意，舍去）或 结合选项，只有满足． 6．A 【分析】此题考查了三角形的角平分线、中线和高， 根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可． 【详解】解：∵， ∴是的中线，，C、D选项正确． ∵， ∴是的角平分线；没有条件能证明是的角平分线；A选项错误． ∵， ∴是的高． 故选：A． 7．D 【分析】首先得到点P到达点B的时间为，，然后分两种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意得，点P到达点B的时间为，， 当时，，， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 当时，，， ∵， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为1或． 8．B 【分析】以为圆心，长为半径画弧，与射线有1个交点，则可得到形状唯一确定的，否则不能得到形状唯一确定的．根据此观点进行解答便可．本题主要考查全等三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：①当，时，以为圆心，6为半径画弧，与射线有两个交点，则的形状不能唯一确定，故①错误； ②当，时，以为圆心，10为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故②正确； ③当，时，以为圆心，12为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故③正确； 故选：B． 9．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 延长，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求的长． 【详解】解：如图，延长，使，连接， ∵是的中线， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：B. 10．D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 11．三角形的稳定性 【详解】解：当汽车前机盖打开时，支撑杆、车身与机盖之间形成了一个三角形，这是利用了三角形的稳定性． 12．2 【分析】连接，由，分别是，的中点，可得，再由是的中点，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴． 13． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意可知，，，，通过定理可证明，得出，最后通过线段的和差求出的长即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，． 在和中， ， ． ， ， 即点到地面的距离为． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了平面直角坐标系和全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点分别作轴，轴于点和点，构造全等三角形，先根据已知条件利用角边角证得，再根据全等三角形的性质得到，最后通过等量代换将换成即可得出答案． 【详解】解：如图， 过点分别作轴，轴于点和点，则， 点的坐标为， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， ． 故答案为：． 15．①②④ 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 首先判定，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；同理，得到是等边三角形，即可得到②正确，又由，可得④正确． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 故①正确； ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； 在和中，， ∴， ∴，， 故③不正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故④正确； 故答案为：①②④． 16．(1) (2)证明：是的外角， ， ， ， ， 又，， ． 【分析】（1）根据题意，作的平分线即可； （2）根据证明两个三角形全等即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，，∴；图略 （2）略 17． 【分析】根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，得；，得；，得， ∴原式 ． 18．(1) (2) 【分析】（1）利用三角形外角的性质即可求解； （2）利用对顶角相等及三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵是的外角, ∴， 即； （2）解： ， 即． 19．；对顶角相等；等量代换；；；；；内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的性质与判定定理，三角形内角和定理和已给证明过程求解即可． 【详解】略 20．(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 在和中， ， ∴； (2)证明：∵， ∴． 又， ∴， ∴． 【分析】（1）由和可以证明，，即可求解． （2）由全等三角形的性质即可得到，再由即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 21．(1) 解：认同小明的观点，理由如下： 由题意可知： ，，，， ，，， ． 在和中， ， ， ， 因此认同小明的观点． (2)米 【分析】（1）利用全等三角形判定定理证明和全等，进而判断线段相等． （2）因为已知、的长度，且，可求的长度，且由第（1）问的结论可知，即可得解． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴米， 又∵米， 米， 由（1）已证， 米． 22．(1) ①是等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接， 在中，，为边的中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形． ②，理由如下： ∵ ， ∴， 根据图中所示，， ∵为边的中点， ∴， ∴． (2)， 理由如下： 如图，连接， 在中，，为边的中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．， ∴， 根据图中所示可得：， ∵为边的中点， ∴， ∴． (3)5或17 【分析】本题主要等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，根据图形构造全等三角形成为解题的关键． （1）①如图：连接，再证明可得即可判断的形状； ②根据，再结合图形即可解答； （2）如图：连接，即同（1）可证明，根据的性质结合图形即可解答； （3）根据（1），（2）中的结论，代入相关数据求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①如（1）中结论， ∵，， ∴， ， ∵， ∴； ②如（2）中结论， ∵，， ∴， ， ∵， ∴ 故答案为：5或17． 23．（1）补充如图 知道就可知道的长； （2），理由如下： 延长到G，使得，则， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】（1）作交l于点D，延长交于点，证明即可得到结论； （2）延长到G，使得，由得，，根据平行线的性质得到，求得，证明即可得到结论； （3）如图4，延长到F使，证明得，，再证明，得出，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）①作交l于点D，延长交于点M，则，即知道就可知道的长； 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴；        （2）略 （3）如图4，延长到F使， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $