江苏省如皋市长江高级中学2026-2027学年度第一学期高二数学国庆练习4

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2026-2027学年度第一学期高二数学国庆练习4 1、 单选题 1.已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2.已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 3.一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 4.如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 5.已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 7.若圆上至少有 个点到直线的距离等于 ，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 2、 多选题 9.下列选项正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．直线的倾斜角为 C．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 D．圆被直线截得的弦长为2，则或 10.已知圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若过原点作的切线，则其中一条切线的方程为 B．若是上一点，则的最大值为 C．若直线与相交，且交点为，，则有最小值 D．若上到直线（）的距离为的点有且仅有个，则实数的取值范围是 11.已知点是圆上一动点，点，点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．点到直线的距离的最小值为 C．面积的最大值为 D．若点满足，则的最大值为 三、填空题 12.直线被圆所截得的线段的长为______． 13.若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离是__________. 14.已知直线与圆相交于A、B两点，且，则实数a的值等于______． 3、 解答题 15.（1）已知直线经过两直线和的交点，且平行于直线，求直线的一般方程； （2）已知圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程； （3）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆经过点，求椭圆的标准方程. 16.若直线是圆的一条对称轴． (1)求圆的圆心坐标与半径； (2)求与直线平行的圆的切线方程． 17.已知圆的圆心坐标为，与直线交于两点，且． (1)求过点的圆的切线方程． (2)已知两定点，动点与的距离之比，那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，求的值． 江苏省如皋市长江高级中学2026-2027学年度第一学期高二数学国庆练习4 解析版 1.已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由两条直线垂直的充要条件得，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 2.已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，椭圆的长轴在轴上，长半轴长为，短半轴长为．设椭圆的半焦距为，则.因为椭圆的焦距为，即. 解得.代入，得.即. 所以.解得.因为，所以. 3.一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】法一：由题可知：直线的斜率，则反射光线所在直线的斜率为，且反射光线所在直线经过点，所以反射光线所在直线方程为，即； 法二：因为点关于轴的对称点在反射光线所在直线上，可知反射光线所在直线经过点和点， 所以反射光线所在直线方程为，即.故选：D． 4.如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 5.已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径为， 依题意，以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则， 而，因此，解得， 所以的取值范围为. 6.点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【详解】把直线的方程重新整理得：， 因为该等式对任意都成立，所以，解得， 即直线恒过定点. 当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化， 而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离， 此时. 7.若圆上至少有 个点到直线的距离等于 ，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的方程为，圆心坐标为， 直线方程为，即，圆心到直线的距离为 ，因为圆上至少有3个点到直线的距离等于1， 所以圆的半径大于等于圆心到直线的距离与1的和，即，即， 则半径的取值范围是. 8.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 由椭圆定义得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以的离心率. 4、 多选题 9.下列选项正确的是（    ） A．直线（）恒过定点 B．直线的倾斜角为 C．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 D．圆被直线截得的弦长为2，则或 【答案】BCD 【详解】对于A，由，， 联立，解得，， 所以定点为，不是，A错误； 对于B，由，得， 斜率，倾斜角，，得，B正确； 对于C，圆，圆心，半径， 圆心到直线距离， 到直线距离为的点，即与已知直线平行、距离1的两条平行线与圆交点： 一条在圆心外侧，距圆心，无交点； 一条朝向圆心，距圆心，过圆心，与圆交于个点； 因此圆上只有2个点满足条件，C正确； 对于D，圆，圆心，半径，弦长， 弦长公式：，即， 圆心到直线距离， 解得或， D正确． 10.已知圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若过原点作的切线，则其中一条切线的方程为 B．若是上一点，则的最大值为 C．若直线与相交，且交点为，，则有最小值 D．若上到直线（）的距离为的点有且仅有个，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【详解】对于A,将配方得标准方程，显然圆心到轴距离为1，一条切线为，A正确； 对于B，令，，则，其中，所以的最大值为16，B正确； 对于C，直线，亦即，恒过定点，恰在上，所以，两点可以无限接近，但不能重合，所以没有最小值，C错误； 对于D，若上到直线（）的距离为1的点有且仅有2个，等价于圆心到直线的距离小于2，即，解得，所以的取值范围是，D正确. 11.已知点是圆上一动点，点，点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．点到直线的距离的最小值为 C．面积的最大值为 D．若点满足，则的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A选项，将圆化为标准方程，故圆心为，所以A正确； 对于B选项，直线的方程为，所以圆心到直线距离，半径，故点到直线的距离最小值，所以B正确； 对于C选项，，点到距离最大值为， 所以面积最大为，不是，所以C错误； 对于D选项，由，设， 所以 整理得，所以 所以点的轨迹是圆心为，半径的圆， 因为在圆上，在圆上， 两圆圆心距，两圆半径分别为，， 所以最大距离为：，所以D正确． 5、 填空题 12.直线被圆所截得的线段的长为______． 【答案】 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 由于圆的半径，所以弦长为. 13.若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离是__________. 【答案】4 【详解】由椭圆方程，可知焦点在轴上，长半轴长为， 根据椭圆的定义知，而， 则点到另一个焦点的距离. 14.已知直线与圆相交于A、B两点，且，则实数a的值等于______． 【答案】 【详解】设，， 由可得； 因为直线与圆有两个交点，故，解得， 因为，故； 根据韦达定理可得，； 则； 因为，； 则，解得． 6、 解答题 15.（1）已知直线经过两直线和的交点，且平行于直线，求直线的一般方程； （2）已知圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程； （3）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆经过点，求椭圆的标准方程. 【详解】（1）联立两直线方程，解得，即两直线的交点坐标为. 因为直线平行于直线，所以， 所以直线的方程为，即. 故直线的一般方程为； （2）圆心在直线上，可设圆心的坐标为. 因为圆经过两点，所以, 即， 即，解得， 所以圆心的坐标为，半径， 故圆的标准方程为； （3）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为. 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，所以，即. 又椭圆经过点，所以，解得，所以， 此时椭圆的标准方程为； 当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为. 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，所以，即. 又椭圆经过点，所以，解得，所以， 此时椭圆的标准方程为. 故椭圆的标准方程为；. 16.若直线是圆的一条对称轴． (1)求圆的圆心坐标与半径； (2)求与直线平行的圆的切线方程． 【详解】（1）由圆的方程可知，圆心， 由题意可知直线过圆心，即，解得， 所以圆心，半径. （2）设与直线平行的直线方程为，可得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或， 所以所求的直线的方程为或． 17.已知圆的圆心坐标为，与直线交于两点，且． (1)求过点的圆的切线方程． (2)已知两定点，动点与的距离之比，那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，求的值． 【详解】（1） 已知圆的圆心坐标为，设圆心到直线的距离为， 则， 已知，由弦长定理得，解得，即， 圆的方程为． 当斜率不存在时，圆心到直线的距离为，故是圆切线； 当斜率存在时，设斜率为，设切线方程为，即， 圆心到切线距离，即，化简整理得， 解得，故切线方程为， 综上，切线方程为和． （2）设动点，由得，平方后移项整理得： ， ，， 已知轨迹方程为，则， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $