江苏省如皋市长江高级中学2026-2027学年度第一学期高二数学国庆练习1

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2026-2027学年度第一学期高二数学国庆练习1 1、 单选题 1.若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.与椭圆有公共焦点的椭圆是（   ） A． B． C． D． 3.已知直线：，直线：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4.已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 5.设直线的方程为（），则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.直线绕原点逆时针旋转后所得直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且相交弦长为 B．相交且相交弦长为 C．相切 D．相离 7.已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8.已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 9.关于椭圆，下列结论正确的有（   ） A．长轴长为4 B．短轴长为4 C．焦距为4 D．离心率为 10.已知圆的半径为2，则（    ） A． B．点在圆的内部 C．圆与圆外切 D．当直线平分圆的周长时， 11.已知圆：，点是直线：上一动点，则下列选项正确的是（    ） A．将圆与坐标轴的所有公共点顺次连接围成的图形面积为 B．圆心到的距离的最大值为 C．若圆上存在两点关于对称，则 D．若，是圆的一条切线（为切点），则可以为 3、 填空题 12.若直线与圆相切，则实数的值为__________． 13.设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 14.已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 4、 解答题 15.某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. (1)求圆拱桥所在圆的标准方程； (2)现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？ 16.在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 17.已知圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)是否存在斜率为1的直线与圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 江苏省如皋市长江高级中学2026-2027学年度第一学期高二数学国庆练习1 解析版 5、 单选题 1.若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为方程 表示一个焦点在轴上的椭圆， 所以 ，解得. 2.与椭圆有公共焦点的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】椭圆的焦点在轴上，故排除选项A，D． 在椭圆中，；在椭圆中，，故排除选项B； 在椭圆中，，易知中的椭圆符合题意． 3.已知直线：，直线：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】因为，所以且， 又因为、， 所以，整理得，解得或， 若，代入两条直线得，， 即，两直线完全重合，不满足平行， 因此的唯一解就是， 当时，可直接推出，同时也只能推出， 因此""是""的充要条件. 4.已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 5.设直线的方程为（），则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时倾斜角， 当时，， 直线的斜率，此时倾斜角． 综上所述，直线的倾斜角的范围是． 故选：C． 6.直线绕原点逆时针旋转后所得直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且相交弦长为 B．相交且相交弦长为 C．相切 D．相离 【答案】B 【详解】设直线的倾斜角为，直线绕原点逆时针旋转后所得直线的倾斜角为，则，， 所以， 所以，即， 圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为：， 所以圆与直线相交， 相交弦长为：. 7.已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】设，由，得，化简整理，得. 由题意得，圆（）与有公共点，故， ，，解得，所以实数的最小值是3. 8.已知圆：，直线为（），已知直线与圆相离，若在直线上存在点，在圆上存在两点、，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过作分别与圆相切于两点，连接， 在中，由正弦定理得， 当点相对固定时，均为定值，要使得最大， 则需要最大.当时，即与圆相切时，最大， 即为，所以,同理，， 故 即，所以要使圆上存在两点使得只需要 平分只需要 只需要 则直线与圆相交或相切，又已知直线与圆相离， 则弦心距满足           6、 多选题 9.关于椭圆，下列结论正确的有（   ） A．长轴长为4 B．短轴长为4 C．焦距为4 D．离心率为 【答案】BCD 【详解】由可知椭圆的焦点在轴上，且长半轴长为，短半轴长为，则半焦距为，离心率为. 故A错误，B，C，D均正确. 故选：BCD. 10.已知圆的半径为2，则（    ） A． B．点在圆的内部 C．圆与圆外切 D．当直线平分圆的周长时， 【答案】AC 【详解】对于A中，由圆的半径为， 可得，解得，即，所以A正确； 对于B中，由，可得点在圆外，所以B不正确； 对于C中，由圆，可得圆心，半径为， 又由圆的圆心，半径为， 可得两圆心距离为， 即两圆的圆心距等于半径之和，所以两圆相外切，所以C正确； 对于D中，当直线平分圆的周长时，圆心在直线上， 可得，解得，所以D错误． 11.已知圆：，点是直线：上一动点，则下列选项正确的是（    ） A．将圆与坐标轴的所有公共点顺次连接围成的图形面积为 B．圆心到的距离的最大值为 C．若圆上存在两点关于对称，则 D．若，是圆的一条切线（为切点），则可以为 【答案】ABC 【详解】圆，圆心为，半径． 对于A，圆C与坐标轴的公共点围成三角形，且三角形的三个顶点为，，围成的三角形面积为，故A正确； 对于B，直线过定点，圆心C到该定点的距离为，故圆心C到l的距离最大值为，故B正确； 对于C，若圆C上存在两点关于l对称，则l过圆心，由，得，故C正确； 对于D，当时，直线， 圆心到其距离为，由知，， 此时，不能为，故D错误． 7、 填空题 12.若直线与圆相切，则实数的值为__________． 【答案】2或 【详解】圆的圆心为，半径， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，化简得，即或. 13.设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________. 【答案】 【详解】因为，，，， 所以或， 所以斜率的取值范围是； 当时，. 14.已知实数、、、满足，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】因为， 所以，， 所以在圆上，在直线上， 要求的最小值， 即求圆上的点与直线上点的距离的平方的最小值， 又因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最短距离为， 所以的最小值为. 8、 解答题 15.某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. (1)求圆拱桥所在圆的标准方程； (2)现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？ 【详解】（1）建立如图所示的坐标系. 依题意，有 设所求圆的方程是， 于是有， 解此方程组，得， 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是. （2）根据（1）拱圆的方程是， 把点D的横坐标代入上式，得， 由于船在水面以上高3m，所以该船可以从桥下通过. 16.在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以,解得：. 所以直线的方程为，即. 由解得：，即. （2）因为点C在直线上，所以可设，则中点为. 把代入直线：， 有，解得：，所以. 又∵，∴，即， 所以BC所在直线方程为：． 17.已知圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)是否存在斜率为1的直线与圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）将圆的一般方程配方得：， 所以圆心， 因为圆心在直线上，代入得：，得， 将代入原方程，得圆C的方程为：， 配方为标准方程：. （2）假设存在斜率为1的直线，设， 联立方程组，消去得； 因为直线与圆有两个交点，所以， 解得， 由韦达定理得， 所以， 因为以为直径的圆过原点，所以，即， 所以，即， 代入得：， 化简得：，解得或.且满足， 故存在这样的直线，方程为或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $