江苏省如皋市长江高级中学2026-2027学年度第一学期高二数学国庆练习3

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2026-2027学年度第一学期高二数学国庆练习3 1、 单选题 1.椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 2.若直线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 3.已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4.已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5.直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 6.已知圆，若直线上存在唯一点P，使得过点P作圆C的两条切线相互垂直，则（    ） A． B．1 C． D．2 7.已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8.已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 2、 多选题 9.过点作圆：的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 10.已知斜率的直线过定点，圆：，为圆上的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为 11.已知点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两圆只有一个公共点 B．圆与轴相切 C．的取值范围为 D．面积的最大值为5 3、 填空题 12.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______ 13.已知圆的圆心为，斜率为1的直线与该圆相切，且与轴交于点，则______． 14.已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 4、 解答题 15.已知直线均过点． (1)若直线过点，且，求直线的方程（写成斜截式）； (2)若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程（写成斜截式）； (3)若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程（写成斜截式）． 16.（1）如图，为圆：上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，求点的轨迹方程； （2）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 17.已知圆C：，P是直线l：上的一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B． (1)当点P的横坐标为6时，求切线的方程； (2)当点P在直线l上运动时且点P的横坐标，求四边形PACB面积的取值范围． 江苏省如皋市长江高级中学2026-2027学年度第一学期高二数学国庆练习3 解析版 5、 单选题 1.椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆方程知，故短轴长为. 2.若直线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于直线与垂直，故，解得． 3.已知圆截轴所得的弦长为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由题意，圆，所以圆的圆心为， 因为圆截轴所得的弦长为，    所以，即. 4.已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，所以， 则根据椭圆的定义可知， 由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时点在椭圆的短轴的端点处，符合题意， 因此的最大值是. 5.直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点在直线和上， 所以有，从而点、均满足， 故过点、的直线方程是即. 6.已知圆，若直线上存在唯一点P，使得过点P作圆C的两条切线相互垂直，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】圆，圆心，圆的半径． 若直线上存在唯一点，使得过点作圆的两条切线相互垂直， 由几何关系可知，此时，即， 即，解得或（舍）． 7.已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两圆方程相减得，，令，则. 由两圆相交知，，解得， 又，则，易得在上单调递增， 且，所以. 8.已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 【答案】A 【详解】设原点关于直线的对称点为， 则，故，故. 设，因为，为非负实数，且，欲求的最小值， 即求线段上的点到轴的距离与到原点距离之和最小， 即为的最小值，如图，设在轴上的垂足为， 则， 当且仅当共线时等号成立， 故的最小值为. 6、 多选题 9.过点作圆：的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】将代入圆的方程左侧得，故点在圆外，存在两条切线. 当斜率不存在时：直线，过，圆心距，切线：； 当斜率存在时，设，即. 由圆心到切线距离等于半径：，两边平方： ，整理得. 代入得，化简得. 综上所述，切线方程为或. 10.已知斜率的直线过定点，圆：，为圆上的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为 【答案】BC 【详解】由圆：，得圆心，半径， 对于A，表示点到原点的距离的平方，原点到圆心的距离为， 所以到原点的最大距离为，的最大值为，A错误； 对于B，是直线的斜率，当直线与圆相切时斜率取最值， 由圆心到直线距离等于半径得，解得， 所以最大值为，B正确； 对于C，直线的方程为， 相切时圆心到直线的距离等于半径，即，解得，C正确； 对于D，直线过定点，，但距离取时直线为，斜率不存在， 不符合题干“存在斜率”的要求，故距离的最大值小于，D错误． 11.已知点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两圆只有一个公共点 B．圆与轴相切 C．的取值范围为 D．面积的最大值为5 【答案】BD 【详解】由题知圆的圆心，半径， 圆可化为16，故圆的圆心，半径，则，所以两圆相交，故A错误； 因为圆心到x轴的距离，所以圆与x轴相切，故B正确； 由圆的性质可得，且， 所以的取值范围为，故C错误； 由圆的性质可知点到直线的距离最大值为， 所以面积的最大值为，故D正确； 7、 填空题 12.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______ 【答案】 【详解】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 故，解得，即实数k的取值范围是. 13.已知圆的圆心为，斜率为1的直线与该圆相切，且与轴交于点，则______． 【答案】 【详解】圆的圆心，半径， 设斜率为1的直线为， 直线与该圆相切，则，解得， 又直线与轴交于点，则， 所以． 14.已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____. 【答案】 【详解】圆的圆心为，设， 则以为直径的圆的方程为， 即， 又圆，代入上式可得，即 即，令，解得， 所以直线经过定点． 8、 解答题 15.已知直线均过点． (1)若直线过点，且，求直线的方程（写成斜截式）； (2)若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程（写成斜截式）； (3)若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程（写成斜截式）． 【详解】（1），又，所以， 所以直线的方程为，即； （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不满足条件； 当直线斜率为时，直线的方程为，不满足条件； 当斜率存在且不为时，设直线的方程为， 令，则，令，则， 因为直线在轴和轴上的截距互为相反数， 所以，所以或， 又因为直线过点，所以， 所以当时，；当时，； 所以直线的方程为或； （3）因为直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，所以直线的斜率一定存在且不为， 又直线过点，所以设直线的方程为， 令，则，令，则， 所以，解得， ， 当且仅当，即时，取得最小值， 所以直线的方程为，即. 16.（1）如图，为圆：上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，求点的轨迹方程； （2）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 【详解】（1）连接，由垂直平分线得，所以， 且大于，即点轨迹为以为焦点的椭圆，且，，， 轨迹方程为. （2）设d是点M到直线的距离， 根据题意，动点M的轨迹就是集合，则， 将上式两边平方，并化简，得，即． 所以点M的轨迹方程为：． 17.已知圆C：，P是直线l：上的一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B． (1)当点P的横坐标为6时，求切线的方程； (2)当点P在直线l上运动时且点P的横坐标，求四边形PACB面积的取值范围． 【详解】（1）圆的圆心C为，半径为2， 因为P是直线上的一动点，则当点P的横坐标为6时，P点坐标为， 当切线的斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得， 此时切线方程为，即， 综上，所求的切线方程为或； （2）， 则要使四边形PACB面积的最小值，只需的值最小， 因为点P在直线上， 所以的最小值为圆心C到直线l的距离， 所以， 此时，解得， 即此时点P符合要求； 由，则当或时，取得最大值， 若，则， 若，则， 故，即， 所以四边形PACB面积的最小值为， 最大值为， 即四边形PACB面积的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $