第3讲：轴对称 讲义 -2026-2027 学年人教版八年级上册数学

第3讲：轴对称 题型一：轴对称图形 2 题型二：轴对称的性质 3 题型三：垂直平分线的性质 4 题型四：垂直平分线的判定 6 题型五：尺规作图 8 题型六：轴对称的坐标问题 9 题型七：线段问题（轴对称） 11 题型八：面积问题（轴对称） 13 题型九：角度问题(轴对称) 17 知识点一：轴对称 轴对称图形： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是轴 对称图形；这条直线叫做它的对称轴；也称这个图形关于这条直线对称； 两个图形关于这条直线对称： 一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点； 轴对称图形与两个图形成轴对称的区别： 轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分 能完全重合；而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够 重合； 轴对称图形与两个图形成轴对称的联系： 把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。 知识点二：轴对称性质 1 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2 对应线段相等、对应角相等。 3 对应线段（或延长线）的交点一定在对称轴上。 知识点三：垂直平分线 1垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线； 2如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 3.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 4.对称的两个图形是全等的； 5.垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 6.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 题型一：轴对称图形 【例1】．（26-27八年级上·湖北·期中）下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意． 【变式1】．（26-27八年级上·湖北·期中）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中是轴对称图形的是（    ） A． ①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④ 【答案】C 【详解】解：根据轴对称图形的定义得，① “悬链线”、③ “三叶玫瑰线”、④ “笛卡尔心形线”是轴对称图形， 故其中是轴对称图形的是①③④． 【变式2】．（26-27八年级上·全国·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项：是轴对称图形，不符合题意； 选项：是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； 选项：是轴对称图形，不符合题意； 选项：是轴对称图形，不符合题意． 题型二：轴对称的性质 【例2】．（26-27八年级上·广东湛江·开学考试）如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则_______． 【答案】/50度 【详解】解：四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质可知， ． 【变式1】．（26-27八年级上·四川绵阳·开学考试）如图①是长方形纸条，点E，F在和上，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的的度数是_____ 【答案】 【详解】解：由图①，∵，∴，∴， ∵将纸带沿折叠成图②，∴，∵纸带沿折叠成图③，∴． 【变式2】．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）如图，已知长方形纸片，对边平行，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将纸片两端分别沿着，折叠至如图所示的位置，若，则的度数为_________． 【答案】 【详解】解：，， ， ， ， 由折叠可得，， ． 题型三：垂直平分线的性质 【例3】．（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）如图，△中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、，若△的周长为18，则边的长度是_______ ． 【答案】18 【详解】解：，边的垂直平分线分别交于点，， ，， △的周长为18， ， ． 【变式1】．（22-23八年级上·山东菏泽·开学考试）如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义分别求出、，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得出，计算即可． 【详解】解：平分，， ，， ， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ． 【变式2】．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，是线段的垂直平分线，若的周长为38，，则的长为________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 垂直平分，， ，， 是线段的垂直平分线， ，， ， 的周长为38， ， ， ， ． 题型四：垂直平分线的判定 【例4】．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 【详解】（1）证明：，， ． 在和中， ． ， 平分． （2）由（1）知， ． 又， 点、都在的垂直平分线上． ． 【变式1】．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E，连接交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． 【详解】（1）解： ，， ， 平分， ， ． （2）证明：平分，，， ， ， ， ， 垂直平分． 【变式2】．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【详解】（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； (2) 点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 题型五：尺规作图 【例5】．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，、表示两条互相交叉的公路，点处是一个大型货物批发站，现在要在内部建一个货物中转站．要求货物中转站到公路、的距离相等，且，请用尺规作图法找到货物中转站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，P点即为所求． 【详解】解：由作图可知点在的平分线上， ∴点到公路、的距离相等， 又∵由作图可知点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴P点就是货物中转站的位置． 【变式1】．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，点D在边上，请用尺规作图法在内部作一点P，使得点P到边的距离相等，且点P到点C和点D的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，点P即为所求． 【变式2】．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，作的角平分线，边的垂直平分线，与相交于点P．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】解：如图所示即为所作， 题型六：轴对称的坐标问题 【例6】．（26-27八年级上·湖北·期中）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点关于对称轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得，剪纸的对称轴为y轴，则点关于对称轴对称的点的坐标为． 【变式1】．（25-26八年级下·湖南湘潭·期末）已知点，，则下列说法正确的是（    ） A．直线平行于轴 B．直线平行于轴 C．点与点关于轴对称 D．点与点关于轴对称 【答案】A 【详解】解：已知点，， ∵点和点的纵坐标相等，横坐标不相等， ∴直线平行于轴，不平行于轴，故A符合题意，B不符合题意； 若两点关于轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数，两点横坐标不相等，故C不符合题意； 若两点关于轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，与不互为相反数，故D不符合题意． 【变式2】．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变得出，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵点的坐标和点的坐标关于轴对称， ∴，， ∴． 题型七：线段问题（轴对称） 【例7】．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，分别以线段的两个端点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线上取一点C，连接，点D是线段的延长线上一点，且，点P是直线上一动点，连接，若，则的最小值为________ 【答案】9 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵（点A、P、D共线时取等号）， ∴的最小值为9， ∴的最小值为9． 【变式1】．（25-26九年级下·广东珠海·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，，点，分别在轴、上运动，连接，，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】解：如下图所示，先找出点B关于y轴对称的对称点，截取，此时点D与点关于y轴对称，从而可知． 再根据垂线段最短可知，当是线段的垂线段，与y轴交于点C时，即有最小值． ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴点的坐标为， ． ，， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式2】．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点、点分别为，上一点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点， 由于为的角平分线，则点落在上，连接交于点， 当时，最小， ∵，则， 在中，， ∴ ， 的最小值为． 故答案为：． 题型八：面积问题（轴对称） 【例8】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为________．(用含a，b的代数式表示) 【答案】 【详解】解：连接， 根据轴对称的性质可知：， ，，， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ， 故答案为：． 【变式1】．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以x轴为对称轴，画出的轴对称图形，并写出的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1) 如图所示即为所求： 点的坐标为 (2)3 【详解】（1）解：由图可知，此时点的坐标为． （2）解：如图，连接，， ∴四边形由和组成， ∴， 即， ∴四边形的面积为3． 【变式2】．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图， ， 点、分别在射线、上， ，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、， 当点在直线上运动时， 则面积的最小值是__________． 【答案】8 【详解】解：连接， ∵点P关于的对称点是，点P关于的对称点是， ∴，，， ∵， ∴当在线段上时，， 当在左侧时，， 当在右侧时，， 综上所述是等腰直角三角形， ∴， 过点O作，交的延长线于点H，，， ∴， 根据垂线段最短可知，当点P与点H重合时，取最小值，即， ∴的面积最小值为． 题型九：角度问题(轴对称) 【例9】．（25-26七年级下·福建泉州·期末）在一次数学活动课上，老师要求同学以“折纸中的数学”为主题开展折纸活动．如图1，在长方形纸片中，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处；再将沿折叠，使点落在点处，且，，三点在同一条直线上． (1)求的大小； (2)图2是由图1得到的四边形纸片，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图1，由图形折叠的特征可得：，， ， ， ． （2）解：如图2： 由（1）可知：， 设，， 则，， ∵，， 故，， 解得，， 在四边形中，， 在四边形中，． 【变式1】．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点为线段上一动点（点不与点重合），连接． (1)如图1，求证：． (2)过点作，交延长线于点．设． ①如图2，求的度数（用含的代数式表示）； ②如图3，当点与点关于直线对称时，求的值． 【详解】(1) 证明：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， 根据等腰三角形的三线合一得， 垂直平分线段， ∴； （2）解：①∵， ， 由（1）得， ， ∴， 即， 由（1）得为等腰直角三角形， ， ， ∵， ∴为直角三角形， ∴； ②∵点与点关于直线对称， ， 又, ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式2】．（25-26七年级下·河南郑州·期末）新定义：若两个角的差的绝对值等于，我们把这两个角叫做“奋进角”． (1)如图1，在长方形纸条中，点分别为上一个动点，以为对称轴将四边形折叠得到四边形，点的对应点分别为点，，若与为“奋进角”，求的度数； (2)如图，点为线段上一个动点，点分别为射线上一个动点，分别以为对称轴将和折叠，得到和，点的对应点分别为点． ①当点在一条直线上时，若与为“奋进角”，求的度数； ②当点不在一条直线上时，若与为“奋进角”，，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)或 (2)①或；②或 【详解】（1）解：如图所示，当点M在下方时， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∵与为“奋进角”， ∴， ∴， ∴，或， ∴或； 如图所示，当点M在上方时， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∵与为“奋进角”， ∴， ∴， ∴，或， ∴或（舍去）； 综上所述，的度数为或； （2）解：①由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵与为“奋进角”， ∴， ∴， ∴或， ∴或； ②由轴对称的性质可得， ∵与为“奋进角”，， ∴，即， ∴； 设，则， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或，当时，， 当时，， 综上所述，的度数为或． 一、单选题 1．（26-27八年级上·浙江·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意， B．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意， C．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意， D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意． 2．（26-27八年级上·天津·期中）已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由轴对称的性质得出对应线段相等、对应点的连线被对称轴垂直平分，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，， 无法得到， 故选项不一定成立． 3．（26-27八年级上·天津·期中）（学年八上·天津天津红桥区·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：关于轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， 故点关于轴的对称点坐标是． 4．（25-26七年级下·广西桂林·期末）已知和直线，求作关于直线对称的图形，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果如下，其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】解：根据轴对称的性质可知，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果中正确的是乙． 5．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，易得点和点关于直线对称，即可得出结果. 【详解】解：∵的顶点坐标分别为，，， ∴轴， ∵，且点在第四象限， ∴点和点关于直线对称， ∴. 6．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在正方形中，顶点A的坐标为，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点，轴，且边长为2， ∴点的坐标为， ∴点B关于x轴对称的点为，向左平移1个单位长度后的坐标为 同理可得，第2次变换后的坐标为， 第3次变换后的坐标为， 第4次变换后的坐标为， …… ∴当为奇数时，第n次变换后的坐标为；当为偶数时，第n次变换后的坐标为， ∴连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先连接，作底边上的高，再利用线段垂直平分线的性质得出，进一步得出，根据两点之间线段最短及垂线段最短可知，当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长，最后利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，连接，作底边上的高， ∵垂直平分， ∴， ∴， 故当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长． ∵等腰三角形底边的长为，面积是， ∴， ∴， ∴的最小值是． 二、填空题 8．（2026七年级上·全国·专题练习）已知，则关于y轴的 对称点的坐标是__________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列方程组求解得到点坐标，再利用关于轴对称点的坐标规律计算对称点坐标． 【详解】解∶  ∵，，且 ∴，解得， ∴点的坐标为， ∵关于轴对称的点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴关于轴的对称点坐标是． 9．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【答案】 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，据此解答即可． 【详解】解：根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称可知： 时间应该是． 10．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，依据尺规作图的作图痕迹，若，，可知的度数为________． 【答案】 【详解】解：是的外角， ， ，， ， ， 由作图可知是的平分线， ， 由作图可知是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 11．（26-27八年级上·四川眉山·开学考试）如图，在直角三角形中，度，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点关于边的对称点分别为，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是___________． 【答案】 【分析】连接，由轴对称的性质可得，即得，可知当时，的值最小，此时的长度也最小，利用三角形的面积求出的最小值即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由条件可知， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的长度也最小， 当时，， ∴，解得：， ∴， 即线段长度的最小值是． 三、解答题 12．（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，有两条国道相交于点O，在的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到、的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【详解】以点O为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点G，作射线；连接，再分别以点C、D为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线，直线与射线交于点P，点P 即为所作， 作图见答案． 简单证明：角平分线上任意一点到角两边的距离相等，即有点P到、的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到这条线段两个端点的距离相等，即有，问题得证． 13．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据垂直平分线的性质得出，，即可证明，得出，，根据平行线的性质得出，，，根据平角的定义即可求出的度数； （2）根据的周长为，结合得出，根据的周长为得出，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵垂直平分， ∴，， 在与中，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为，， ∴， ∵的周长为， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 14．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图的顶点坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于x轴对称的； (3)在x轴上求作一点P，使得的值最小，并直接写出此时点P的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求； (3)如图，点即为所求；由图可知， 15．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图1，平面直角坐标系中，点，，点在轴负半轴上，，且，满足． (1)直接写出点，，的坐标； (2)点关于轴的对称点为点，点是线段上一点，若直线平分三角形的面积，求点的横坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度向轴负半轴运动，动点从点出发以每秒个单位长度向轴正半轴运动，设直线、交于点，设动点、运动的时间为秒， ①如图2，当时，试探究与面积的数量关系，并说明理由； ②若的面积为，请写出一个满足条件的点坐标是__________． 【详解】（1）解：， ， ， ， 点的坐标为，点的坐标为， ， 点的坐标为． （2）解：点关于轴的对称点为点， 点的坐标为， ，， ，， ， 直线平分三角形的面积， ， 设点的坐标为， ，即， 解得， 点是线段上一点， ． （3）①解：当时，，， 则， ， 可得， 则， 故． ②解：设点的坐标为， 当，点与点重合，，故； 当，如图，点在第四象限， ， ，可得， ，， ，， ， ， ， ，， ，， ，即， 由， 解得， 点为； 若，如图，，点不存在； 若，如图，点在第二象限， ， ，可得， 同上法可证，，， 可得， 解得， 点为， 综上，点为或． 16．（25-26八年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，对点P，R定义如下：图形M关于直线l的对称图形为图形N，点Q是图形N上一点，点R是直线上与点P不重合的一点，且，称点R为点P关于（图形M，l）的中似点．如图1，已知点． (1)在点中， 是点C关于（点B，x轴）的中似点； (2)直线l是一三象限角平分线所在直线，点D是点B关于（线段，l）的中似点，直接写出点D纵坐标的范围； (3)已知点，直线m是经过且平行于一三象限角平分线的一条直线，若坐标轴上始终只有两个点是关于的中似点，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)S (2) (3)或 【详解】（1）解：如图1， ∵点关于x轴的对称点，， ∴S是点C关于（点B，x轴）的中似点， 故答案为：S； （2）如图2， 线段关于直线l的对称线段是，其中， 当时，， 当时，， ∴； （3）如图， 设直线与直线的交点记作， 点B关于直线m的对称点，点E关于直线m的对称点， 当y轴上只有两点时，P关于上一点的对称点在y轴上， 当P关于的对称点在y轴时，，此时， 当点P关于的对称点在y轴上时，，此时， ∴， 如图， 当x轴上只有两点时， 当P关于的对称点在x轴时， ，此时， 当P关于的对称点在y轴时， ，此时， ∴， 综上所述：或． 17．（25-26八年级上·广东惠州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点、的坐标分别为，，且满足． (1)求点B、点C的坐标； (2)的顶点在轴的正半轴上，，的高交轴于点，点的坐标为，求证； (3)在（2）的条件下，动点M从点O出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，动点N从点A出发沿折线轴负方向以每秒5个单位长度的速度运动．M、N两点同时出发，且M点到达点B处时，M、N两点同时停止运动．设点M运动的时间为t秒，问：是否存在t值，使得是以坐标轴为对称轴的轴对称图形?若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：∵是的高， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当点N在上时，， ∴， ∵关于x轴对称， ∴， ， 解得； ②当点N在轴负半轴上时，， ∵关于y轴对称， ∴， ， 解得； ∴综上所述，存在t值，使得是以坐标轴为对称轴的轴对称图形，符合条件的t值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究2 ·2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲：轴对称 题型一：轴对称图形 2 题型二：轴对称的性质 3 题型三：垂直平分线的性质 3 题型四：垂直平分线的判定 4 题型五：尺规作图 5 题型六：轴对称的坐标问题 6 题型七：线段问题（轴对称） 6 题型八：面积问题（轴对称） 7 题型九：角度问题(轴对称) 8 知识点一：轴对称 轴对称图形： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是轴 对称图形；这条直线叫做它的对称轴；也称这个图形关于这条直线对称； 两个图形关于这条直线对称： 一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点； 轴对称图形与两个图形成轴对称的区别： 轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分 能完全重合；而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够 重合； 轴对称图形与两个图形成轴对称的联系： 把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。 知识点二：轴对称性质 1 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 2 对应线段相等、对应角相等。 3 对应线段（或延长线）的交点一定在对称轴上。 知识点三：垂直平分线 1垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线； 2如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 3.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 4.对称的两个图形是全等的； 5.垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 6.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 题型一：轴对称图形 【例1】．（26-27八年级上·湖北·期中）下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27八年级上·湖北·期中）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”、“黄金螺旋线”、“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中是轴对称图形的是（    ） A． ①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④ 【变式2】．（26-27八年级上·全国·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 题型二：轴对称的性质 【例2】．（26-27八年级上·广东湛江·开学考试）如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则_______． 【变式1】．（26-27八年级上·四川绵阳·开学考试）如图①是长方形纸条，点E，F在和上，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的的度数是_____ 【变式2】．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）如图，已知长方形纸片，对边平行，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将纸片两端分别沿着，折叠至如图所示的位置，若，则的度数为_________． 题型三：垂直平分线的性质 【例3】．（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）如图，△中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、，若△的周长为18，则边的长度是_______ ． 【变式1】．（22-23八年级上·山东菏泽·开学考试）如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，则的度数为______． 【变式2】．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，是线段的垂直平分线，若的周长为38，，则的长为________． 题型四：垂直平分线的判定 【例4】．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，射线在内，点为射线上一点，过点作，，且． (1)求证：是的平分线； (2)连接，求证：． 【变式1】．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E，连接交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． 【变式2】．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 题型五：尺规作图 【例5】．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，、表示两条互相交叉的公路，点处是一个大型货物批发站，现在要在内部建一个货物中转站．要求货物中转站到公路、的距离相等，且，请用尺规作图法找到货物中转站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，点D在边上，请用尺规作图法在内部作一点P，使得点P到边的距离相等，且点P到点C和点D的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式2】．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，作的角平分线，边的垂直平分线，与相交于点P．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 题型六：轴对称的坐标问题 【例6】．（26-27八年级上·湖北·期中）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点关于对称轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级下·湖南湘潭·期末）已知点，，则下列说法正确的是（    ） A．直线平行于轴 B．直线平行于轴 C．点与点关于轴对称 D．点与点关于轴对称 【变式2】．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型七：线段问题（轴对称） 【例7】．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，分别以线段的两个端点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线上取一点C，连接，点D是线段的延长线上一点，且，点P是直线上一动点，连接，若，则的最小值为________ 【变式1】．（25-26九年级下·广东珠海·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，，点，分别在轴、上运动，连接，，则的最小值为__________． 【变式2】．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点、点分别为，上一点，则的最小值为______． 题型八：面积问题（轴对称） 【例8】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为________．(用含a，b的代数式表示) 【变式1】．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以x轴为对称轴，画出的轴对称图形，并写出的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 【变式2】．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图， ， 点、分别在射线、上， ，，点是直线上的一个动点，点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接、、， 当点在直线上运动时， 则面积的最小值是__________． 题型九：角度问题(轴对称) 【例9】．（25-26七年级下·福建泉州·期末）在一次数学活动课上，老师要求同学以“折纸中的数学”为主题开展折纸活动．如图1，在长方形纸片中，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处；再将沿折叠，使点落在点处，且，，三点在同一条直线上． (1)求的大小； (2)图2是由图1得到的四边形纸片，，分别是边，上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，，，求的大小． 【变式1】．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点为线段上一动点（点不与点重合），连接． (1)如图1，求证：． (2)过点作，交延长线于点．设． ①如图2，求的度数（用含的代数式表示）； ②如图3，当点与点关于直线对称时，求的值． 【变式2】．（25-26七年级下·河南郑州·期末）新定义：若两个角的差的绝对值等于，我们把这两个角叫做“奋进角”． (1)如图1，在长方形纸条中，点分别为上一个动点，以为对称轴将四边形折叠得到四边形，点的对应点分别为点，，若与为“奋进角”，求的度数； (2)如图，点为线段上一个动点，点分别为射线上一个动点，分别以为对称轴将和折叠，得到和，点的对应点分别为点． ①当点在一条直线上时，若与为“奋进角”，求的度数； ②当点不在一条直线上时，若与为“奋进角”，，当时，直接写出的度数． 一、单选题 1．（26-27八年级上·浙江·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·天津·期中）已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·天津·期中）（学年八上·天津天津红桥区·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·广西桂林·期末）已知和直线，求作关于直线对称的图形，甲、乙、丙、丁四位同学的作图结果如下，其中正确的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在正方形中，顶点A的坐标为，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2026七年级上·全国·专题练习）已知，则关于y轴的 对称点的坐标是__________． 9．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 10．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，依据尺规作图的作图痕迹，若，，可知的度数为________． 11．（26-27八年级上·四川眉山·开学考试）如图，在直角三角形中，度，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点关于边的对称点分别为，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是___________． 三、解答题 12．（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，有两条国道相交于点O，在的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到、的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法） 13．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 14．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图的顶点坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于x轴对称的； (3)在x轴上求作一点P，使得的值最小，并直接写出此时点P的坐标． 15．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图1，平面直角坐标系中，点，，点在轴负半轴上，，且，满足． (1)直接写出点，，的坐标； (2)点关于轴的对称点为点，点是线段上一点，若直线平分三角形的面积，求点的横坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度向轴负半轴运动，动点从点出发以每秒个单位长度向轴正半轴运动，设直线、交于点，设动点、运动的时间为秒， ①如图2，当时，试探究与面积的数量关系，并说明理由； ②若的面积为，请写出一个满足条件的点坐标是__________． 16．（25-26八年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，对点P，R定义如下：图形M关于直线l的对称图形为图形N，点Q是图形N上一点，点R是直线上与点P不重合的一点，且，称点R为点P关于（图形M，l）的中似点．如图1，已知点． (1)在点中， 是点C关于（点B，x轴）的中似点； (2)直线l是一三象限角平分线所在直线，点D是点B关于（线段，l）的中似点，直接写出点D纵坐标的范围； (3)已知点，直线m是经过且平行于一三象限角平分线的一条直线，若坐标轴上始终只有两个点是关于的中似点，直接写出t的取值范围． 17．（25-26八年级上·广东惠州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点、的坐标分别为，，且满足． (1)求点B、点C的坐标； (2)的顶点在轴的正半轴上，，的高交轴于点，点的坐标为，求证； (3)在（2）的条件下，动点M从点O出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，动点N从点A出发沿折线轴负方向以每秒5个单位长度的速度运动．M、N两点同时出发，且M点到达点B处时，M、N两点同时停止运动．设点M运动的时间为t秒，问：是否存在t值，使得是以坐标轴为对称轴的轴对称图形?若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究2 ·2 学科网（北京）股份有限公司 $