河北省沧州市部分校联考2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.设全集U=(x∈N|x≤4)，集合A={0,1,2},B={2,4),则(CuA)∩B= A.(4) B.(2,4) C.(1,4) D.(0,1,2,4) 2.已知复数z=2一i(1为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点在 A.第一象限 B第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3若sina十cosa=Y,则in2a A号 B C、4 9 n- 4.已知圆锥的体积为9√3π，侧面积是底面积的2倍，则其底面圆的半径为 A.√2 B.3 C.3 D.22 5.已知函数f(x)=(x-1)(x十1)(x一2)(x十3)，则f'(2)= A.10 B.15 C.25 D.30 6,科研团队有4种卫星载荷：光学相机、雷达探测仪、红外传感器、通信应答机.甲、乙两位工 程师各从中随机选取2种载荷开展仿真测试，则甲、乙选取的载荷恰有1种相同的概率为 1 1 6 c号 D.6 第1页（共4页） 闔 7.斐波那契数列在螺旋星系，叶脉生长等自然模型中经常出现，斐波那契数列（αn)满足 a1=a2=1,am+2=am+1十an（n∈N),设a1十a3十a5十a7十ag十…十a227=ak,则k= A.2026 B.2027 C.2028 D.2029 E直三棱柱ABC-A,B,C,中，∠ABC三AB=2,BC=4,若其外接球球O的E 为32π，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为 3√10 A B.3V0 c.vio 20 10 20 D. 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.随机变量X,Y分别服从正态分布和二项分布，即X~N(3,4),Y~B6,号则 A.P(X≤3)=1 80 B.E(X)<E(Y) C.D(X)>D(Y) D.P(Y=2)= 243 10.已知椭圆C的两个焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C上的动点，|PF1|十1PF2|=16, 且|PF,的最小值为4，则椭圆C的标准方程可能是 y2 64+48-1 .L y2 64十16=1 6448=1 64+i6=1 11.已知数列{an一2n十1)是正项等比数列，且a1=2,a3=14,则下列说法正确的是 A.as=86 B.数列(a,}的前n项和为S,=3”+2m2-1 2 C.am+1-an=2X3m-1+2 D若c,-,则数列c)为递增数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在二项式(3x一√x)的展开式中，x4项的系数为 13.已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|=2,且a+2b十c=0,则a·c= 14.已知P是抛物线C:y2=4x上一点，A,B是圆D:(x一2)2+y2=3上的两点，则∠APB 的最大值为 第2页（共4页） 觸四王 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)为研究高中生参加课后体育锻炼与心理抗压能力提升的关联性，某教研机构随 机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人） 心理抗压能力 课后体育锻炼 合计 心理抗压能力显著提升 心理抗压能力未显著提升 坚持参加课后体育锻炼 90 30 120 未坚持参加课后体育锻炼 20 60 80 合计 110 90 200 (1)用频率估计概率，从200名学生中任意抽取一名学生，设事件A为“该学生坚持参加 课后体育锻炼”，事件B为“该学生心理抗压能力显著提升”，求P(B|A); (2)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为高中生坚持参加课后体育锻炼与心 理抗压能力显著提升有关？ n(ad-bc)2 附：X2=a十bc十)(a十c)6+,其中n=a+b+c+d. a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x。 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(15分)如图，在△ABC中，∠ABC-,D为AC边上的动点，∠ABD=0, ,AB=4,BC=2. 1)若0=写，BD= 3,求DC的长； (2)求△AD的取值范围。 S△BCD 第3页（共4页） 器巴王 17.(15分)如图，已知直三棱柱ABC一A1B,C1的所有棱长均为2，点D是AB的中点，平 面ABB1A1⊥平面ABC. (1)证明：CD⊥B1D; (2)已知点M是棱BB1的中点，求直线CM与平面B1DC所成角的正弦值. x2 y2 18.(17分)已知双曲线C:a一6=1(a>0,6>0)的焦距为25，点T(2,1)在其渐近线上. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设A为双曲线C的右顶点，过点T且斜率为一1的直线1与双曲线C交于P,Q两 点，求△APQ的面积. 19.(17分)已知函数f(x)=ax-(2x-1)lnx-1(a∈R). (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若f(x)的极大值为非负实数，求实数a的取值范围； (3)若存在a∈R,使得f(x)≤a十b对任意x>0恒成立，证明：a一b<4. 第4页（共4页） 翻 高三数学参考答案及评分意见 1.A【解析】由题意得U=(0,1,2,3,4),则CA=(3,4).因为B=(2,4),所以(CA)∩B=(4).故选A. 2.D【解析】由题易知，复数：=2一i在复平面内对应的点为(2，一1)，在第四象限.故选D. 3.A 【解桥]格等式ina十cosa-零的两边平方，得(sina十cos=1+2 2in o=1十in2a=9 9 所以sin2a=号放选A 4.B【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,则母线长为1=√F十h产.因为圆锥的体积是9√3π，其侧面积是底面 1 3h=93π， r2h=275, 1r=3, 积的2倍，所以 即 解得 故选B xrVF+h=2πr:, h2=3r2, h=35. 5.B【解析】由题意，∫(.x)=(x-2)[(x-1)(x+1)(x+3)].令g(x)=(x-1)(x+1)(x+3), 则f(x)=(x-2)g(x),所以f'(x=g(x)+(x-2)g'(x),所以f'(2)=g(2)=1X3×5=15.故选B. 6.C【解析】甲、乙两位工程师从4个不同的载荷中各选2种，共有CC:=36(种)选法.若恰有1种载荷相同，则共 有c4CC=24(种)选法，所以甲，乙选取的我荷恰有1种相同的概率为D-然-号放选C 7.C【解析】由斐波那契数列的定义及递推公式，得a1十a:十a5十a,十a十…十a2o2;=a:十aa十a;十a;+ a)十…十a2o2=a,十a5十a:十…十a2o2:=a6十a,十…十a2o2=…=a2o2a=at,所以k=2028.故选C. 8.A【解析】因为∠ABC=牙AB=2,BC=4,所以cos∠ABC=AB+BC-AC 2AB·BC 4+16-AC_1 2×2X1=2·解得AC=2,5.所以AC+AB:=BC,因此∠CAB=至，所以△ABC 外接圆的圆心O,位于线段BC的中点，且半径r1=2.同理，△A,B,C,外接圆的圆心O2位 B 于线段B,C,的中点，半径r:=2.所以直三梭柱ABC一A,B,C,外接球的球心O位于线段O,O,的中点.因为外 接球球O的表面积为32π，设外接球的半径为r,所以4πr2=32π，解得r=2√2（负值已舍去），所以O,O= 0,0=√OC-O1C=√(2√2)-2：=2，所以AA,=0,0:=4.以{AB.AC,AA)作为空间的一个基底，分别 记作a,b,c,得A,B=AB-AA,=a-c,B,C=B,B+BC=B,B+AC-AB=-AB+AC-AA,=-a+ 6-c.所以cos(A,店，B,C)=百.，B=-a+a·b-ac+ca-c…b+cl=-2+4料= A BIIBCI √2+4FX22+(23)+4 25X4√2 酒微选人 9.ACD【解析】由正态分布的定文，得PX≤)=分则P(X≤3)=号故A正确： 因为E(X)==3,E(Y)=6×号=2.所以E(X)>E(Y).放B错误： 因为D(X)==4,DY)=6X3X3=3·所以D(X)>DY),故C正确 数学答案第1页（共5页） 霸m金王 P(Y=2)=G×(信)°×-)'=器故D正确放选AcD, 10.AC【解析】由题意，得|PF,|+|PFz|=2a=16,解得a=8. 因为|PF,|的最小值为a-c=4,所以8-c=4,解得c=4,所以b2=a2-c2=64-16=48. 所以椭圆C的标准方程可能是 +8=1或以 4y2 +君=1放选AC 11.BCD【解析】令b。=an-2n十1，则数列{bn}为等比数列，设公比为q(g>0).由于b,=a1-2+1=1,b,=a, 6+1=9,则b3=b,q2=g2=9,解得g=3(负值已舍去)，所以bm=3m-1.所以a。=3-1十2n一1，所以a:=3+ 2×5-1=90,故A错误. S。=3°+1+3+3+…+3"-1+2n-1=3°+3+…+3-1+1+3+…+2n-1 -3（1-3)+1+2”-1)m-3”+2m2-1,放B正确. 1-3 2 2 am+1-an=3"+2(n十1)-1-(3m-1+2n-1)=2×3"-1+2,故C正确. 因为c=8+2m-所以c=c3+2m十1）-1-3十2m-1-32n+3令/(x)=3平 2m+1 2g+1 2.x+3,则f'(x)=3-ln3-2.因为f'(x)在R上单调递增，∫'(1)=ln3-2<0,∫'(2)=3ln3-2>0.所以 3xo∈(1.2)，f'(xo)=0,所以当x∈(1，xo)时，f'(x)<0,∫(x)单调递减，当x∈(xo,+∞)时，f'(x)>0, f(.x)单调递增.因为f(1)=2>0,f(2)=2>0,所以当.x∈N时，f(x)>0,即3"-1-2n+3>0.又2*1>0，所 以cn+1一cn>0,即数列(cw)为递增数列.故D正确.故选BCD. 12.135【解析】二项式(3.x-√：)的展开式的通项为T+1=C5(3.x)-×(-√：)'=C:(-1)×36-'x6-÷,r= 012….6.令6-2=4，得r=4. 所以当r=4时.T:=C(一1)‘×32x'=135.x‘,所以x项的系数为135. 13.4【解析】因为a+2b十c=0,所以2b=-a-c,即a2十c2+2a·c=4b. 又因为a|=|b|=|c|=2,所以4+4+2a·c=16,解得a·c=4. 14.2 【解析】设P(t2,21).因为圆D的圆心为D(2,0),半径r=√5，所以|PD1=√(1-2)+(21)F= √十4，当t=0时，|PD|n=2>√3，此时点P(0,0)在圆D外.当PA,PB均与圆D相切，且IPD|最小 时，∠APB最大(）p所以()】 A)=号脚∠APB的最大值为经 3 1203 15.解：(1)由题意得P(A)=200 51 …2分 909 P(AB)=200-20 ……4分 9 P(AB)203 所以P(BlA)=PA)= 3=4 …6分 数学答案第2页（共5页） 徽®金王 (2)零假设为H。:高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升无关.…7分 由列联表中的数据，计算得x:=200×(90×60-20×30) 120×80×110×90 -≈48.485>10.828=x0c1,…11分 所以依据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断假设H。不成立， 即认为高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升有关，该推断犯错误的概率不超过0.001. …13分 16.解：(1)由题意，得∠DBC=∠ABC-∠ABD=2π-=六 3-3-3 …2分 因为BD-台BC-2,所以CD-BC+BD-2BC,BDcs∠DBC-4+9-2x2X含×名-2 ,…5分 所以CD=27 3 …6分 (2由题意，得∠DBC=∠ABC-∠ABD=25-0.0∈（合，） …8分 号AB·BDsin∠ABD 4sin 0 2sin 0 Bc·BDsn∠DBc2sng-0）smn-O 2sin 0 4sin 0 12分 cos0+sn0 √ V3cos0+sin0√5 an0+1 n0∈03. 因为0e(后所以ane(停+小则 所以 4 —∈(1.4)， an0+1 即的取值范围为(1,4).… 15分 S△BcD 17.(1)证明：因为D是AB的中点，BC=AB=AC, 所以AB⊥CD. …2分 义因为平面ABB:A:⊥平面ABC.平面ABB,A,∩平面ABC=AB,CDC平面ABC, 所以CD⊥平面ABBA.…5分 又因为B,DC平面ABB1A1,所以CD⊥B,D.…6分 (2)解：以D为坐标原点，DC,DB所在的直线分别为x轴、y轴，过点D且垂直于平面ABC的直线为：轴，建 立如图所示的空间直角坐标系， 数学答案第3页（共5页） ⑧aa年 则D(0,0,0),B,(0,1.2),C(3,0,0),M(0,1,1), 所以DB=(0.1.2),DC=(3,0,0).CM=(-√5.1,1).…9分 设平面B,DC的法向量为n=(xy,之)， DB:·n=y+2:=0, 则 DC·n=5x=0. 令y=2,则x=0,之=一1，所以n=(0,2,一1).… 12分 设直线CM与平面B,DC所成的角为O, 则sin0=|cos(CM,n)|=- CM·n_I2-11=1 CMIml5 所以直线CM与平面B,DC所成角的正弦值为三 ...e。。。。。。 …15分 18.解：(1)因为双曲线C的焦距为2√5，所以c=√5.… …1分 由题意，得点T(2.1)在双曲线C的渐近线b.x一ay=0上，所以2b一a=0.①…3分 又因为c2=a2十b2,所以5=a2十b2.②… …5分 联立①②，解得a=2,b=1. 所以双曲线C的标准方程为 4-y2=1. …7分 (2)由已知得A(2.0).又T(2.1),所以直线1的方程为y=一(.x一2)+1=一x十3.…9分 1-2+31 由点到直线的距离公式，得点A到直线！的距离d=- …10分 -1)+（-1) 2· (x 4-y2=1. 联立 消去y,得-3.x2+24.x-40=0,则△=243-4×(-3)×(-40)=96>0.…12分 y=-x+3, 设P(x1y).Q(xy).则c1+z=8x1x,=4 3· +x-x=1+(-D·x+x)-4x=2X 3 .…15分 所以Saw=号xdxIPQ1=号xx8y5_26 1 2 3 31 所以△APQ的面积为2Y5 3· …17分 数学答案第4页（共5页） 鬻巴生好 19.(1)解：当a=1时，f(x)=x-(2x-1)lnx-1,.x>0,…1分 则f(1)=1-1=0,'(x)=-21nx+ 1,…3分 x 所以∫'(1)=0. 所以曲线y=f(x)在点(1，∫(1)处的切线方程为y=0.…4分 (2)解：由题意得，∫'(x)=一21n.x十】-2十a定义域为(0，十0).…5分 x 令nr)=-2nx+1-2+a,则n'(x)=-2-三<0. x xx- 所以n(.x)在区间(0，十o)上单调递减，即∫'(x)在区间(0，十∞)上单调递减。…6分 当x-+0+时，f'(.x)-+十∞，当x-+十∞时，f'(x)--∞， 所以存在唯-的实数.xo,满足∫'(x)=0,即a=21n.c。十2-1 …7分 所以当0<x<x。时，∫'(x)>0,函数f(.x)单调递增，当x>xo时，f'(.x)<0,函数f(x)单调递减， 所以∫(x)在x=x。处取得极大值，也是最大值，为∫(xo). 则f,）=1-2,n+a。-1=1-2z,la+no+2-}。-1=n,+2。-2.8分 因为∫(x0)≥0，即lnxo十2.x0一2≥0，解得xo≥1.…9分 当xo≥1时，a=21n.x。+2-1单调递增，所以a=21nc。十2- 1≥2n1+2-1=1 所以a≥1，即实数a的取值范围为[1，十co).…10分 (3)证明：因为∫(x)≤a+b对任意x>0恒成立， 所以f(.x)n≤a十b,即b≥f(.x)m-a, 所以a-b≤2a-∫(x）mx.… …11分 要证a一b<4,只需证2a一∫(.x)a.<4即可. 由2)奥a=2nx+2-2jx)n=)=1nx+2x,-2. 所以2a-/x,)=2(2n+2--h+2。-2)=38hw-2w-是+6.…12分 令1)=h-2x-是+2>0.则e)=是-2+是=-2+D=》. x 2 当0<x<2时.'(.x)>0,1(.x)单调递增：当x>2时，1'(x)<0,l(x)单调递减，…14分 所以t(.x)在x=2处取得极大值，也是最大值，为t(2)=3ln2-4-1+2=31n2-3<0, 则1(x)≤1(2)<0，即3nt-2x。2+2<0, 所以2a-f(x)=31n.c。-2x。-2+6<4.所以2a-∫(c)<4,…16分 .To 故a-b≤2a-(.x0)<4得证.…17分 数学答案第5页（共5页） ®生王