河北省雄安新区部分校2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

高三数学参考答案 1.C因为AUB={1,4,8,16},所以C(AUB)={2,12. 2.A g(x)=f()=tan z. 3.C因为f(x)是奇函数，所以f(一1)=-f(1)=-6 4.D 因为y=2zcos(2x一2)3xsim2x-2,所以当x=1时，y=2,所以曲线y sin(2x一2在点(1,0)处的切线方程为y=2.x一2. 5.A设fx)=x,则9=3，解得a=2,所以f)+2=E+2.设函数g()=F+2,则 g(t)在[0，+∞)上单调递增.又g(4)=2+16=18,所以f(t)+2≤18等价于0≤t≤4，则满 足f(t)+2≤18的t的最大值与最小值的差为4. 6.B因为f(-x)=(-x)2+cos(-x)-3-ln(-x)2=x2+cosx-3-lnx2=f(x),所以 f(x)为偶函数，排除A,C.当x→十o∞时，f(x)→十∞，排除D.故选B. 7.D设该正四棱柱的底面边长为a,则2(a十h)=12,则a=6-h(0<h<6), 所以该正四棱柱的体积V(h)=a2h=h(36-12h+h2)=h3-12h2+36h(0<h<6). 8.C因为lg(9a2+4b2)=0(a>0,b>0),所以9a2+4b2=1(a>0,b>0),所以(3a+2b)2-1 =9a2+4b2-1+12ab=12ab. 12ab lga+lg6lg3a+2h-D=g3a十2，-中g2a+26-D—g十2肠十 12 易证“士 (3a)2+(2b)2, 2 工，则<号即+2，当且仅当3a=26-号时， 等号成立，所以g5a十26十1≤1g22,故ga+lg6一g(3a+26-1)的最大值为 12 告 9.BD由sin2x=0,得2 sin xcos x=0,即sin xcos x=0,则sinx=0或cosx=0,所以sin2x =0的充要条件不是sinx=0,A错误 由x2≤4，得-2≤x≤2，由x2-x≤2，得-1≤x≤2，所以x2≤4是x2-x≤2的必要不充分 条件，B正确. 若2>b,则24一b>0,则2一b>2未必成立，即2>b十2未必成立，若24>b+2,则2>b, 所以2>b是2>b+2的必要不充分条件，C错误. 因为-2<1，(-2)4>14，所以a>b是a4>b4的既不充分也不必要条件，D正确. 10.ABD令x=y=0,得[f(0)]=3f(0)-2,解得f(0)=1或f(0)=2,令x=y=1,得 [f(1)]=3f(1)-2,解得f(1)=1或f(1)=2.因为f(x)在R上单调，且f(2)=9,所以 【高三数学·参考答案第1页（共7页）】 ·27-32C· f(x)在R上单调递增，则f(0)=1≠0，f(1)=2,A正确，C错误 令x=y=2,得[f(2)]=f(4)+2f(2)一2，将f(2)=9代入，得f(4)=65,因为f(x)在R 上单调递增，所以f(4.1)>f(4),则f(4.1)>65,B正确. 假设f(x)是一次函数，则由f(0)=1,f(1)=2,得f(x)=x+1,则f(2)=3,但f(2)=9, 所以假设不成立，故f(x)不可能是一次函数，D正确， 1.ACf'(x)=4nx+4-,则f'(x)在(0，十∞)上单调递增. y-g(x) 因为f'(分)=21-1n4)<0,f'1>0,所以存在唯-的x∈（号，1）， 使得f'(xo)=0,则f(x)在(0，xo)上单调递减，在(xo,十∞)上单调递 增，所以f(x)只有一个极值点，A正确. 当a=2时，f(x)=2+(4r-1Dnx.因为f1=2,f(2)= 图1 1n2=1一)血4<0，且f(x)的图象是连续不断的，所以f(x)在（分，1）上必有零点，B错误。 2 由a+(4x-1)lnx≥bx,得(4x-1)lnx≥bx-a.设g(x)=(4x-1)lnx.由f(x)的单调 性可知，g(x)在(0，xo)上单调递减，在(xo,十∞)上单调 递增，当x→0时，g(x)→十∞，当x→十∞时，g（x)→ 2 十∞，且g(1)=0,y-bx-a(b>0)的图象是一条斜率大 y=1+In 2 2 于0且横截距为分的直线，当Vx∈(0，+∞)，g(x)≥bx -a时，由图1可知，分≥1，C正确. 当a=-1时，f(x)=-1+(4x-10lnx,则f(2）=-1 -ln2>f(xo),其中f(xo)是f(x)的最小值，且xo∈ 图2 (号，1).作出y=fx)的大致图象，如图2所示，直线 y=1+ln2与该函数的图象有4个交点，则集合{x|f(x)|=1十ln2}有4个元素，其真子 集的个数为24-1=15，D错误. 12.3x∈Q,W1+x3庄Q命题“Vx∈Q,W1+x3∈Q”的否定是“3x∈Q,V1+x3庄Q”. 13.15,5 2-6 由tana 1-tan2 -2,得m号生，因为子<号<0，所以m分 7 sin a=-2, =1一5.因为tana=-2,所以oosa 2 得casa=日又-否<a<0,所以case sin2a+cos a=1, 【高三数学·参考答案第2页（共7页）】 ·27-32C· ,则血。=-2os。=-25.因为}H 25 1+isin a (1+isin a)(1+icos a) (1-icos a)(1+icos a) 5 上白卫，所以之的流都为 5 √5 1+cos2a 1 1 6 14.一18易证nx≤x一1（当且仅当x=1时，等号成立），≥x+1(当且仅当x=0时，等号 成立)，所以ex·e=ex+≥7x+5y+1,ln(5.x+y)≤5x+y-1,则-ln(5.x+y)≥-5x -y+1,所以ex+y-ln(5x十y)≥7x+5y+1-5.x-y+1=2(x+2y+1). 又ex+5y-ln(5x+y)≤2(x+2y+1),所以ex+y-ln(5.x十y)=2(x+2y十1)， 7x+5y=0, 当且仅当 即 时，等号成立 5x+y=1, y=- 18 15,解：1)f0)=cos(-2)+3c0s元=0-3=-3. 2分 (2)f (x)=sin 5x-3cos 5x ……… 5分 =2sin5z-7)y 7分 因为sin(5x-)∈[-1,1，所以f(x)的值域为[-2,2]. …9分 (3)令5x-5=x兔∈2，… …11分 得=无十（∈刀，所以圃线y=fx)的对称中心的坐标为（需+晉，0）∈.… …13分 16.解：(1)因为1605=(24)05=24Xa75=23=8,…2分 所以log3(lgx)=1,则gx=3,… …4分 所以x=103=1000.… 5分 221=1-2+' (2)(方法一)因为2产+12+1 1 …7分 所以12中1-2，即2中 27=2,8 8分 1 则y=log2r十=一log(2+1),所以y关于x的函数表达式为)y=一log(2+1D.… …10分 方法)因为2十一2，所以2=2+D1=2)=2一2·2y+1三 【高三数学·参考答案第3页（共7页）】 ·27-32C· 即22·2y=1-2y,… …7分 则公+2=1，所以2十 =2y,…8分 1 则y=log22*+1 =一log2(2+1),所以y关于x的函数表达式为y=-log2(2+1).… …10分 (3)依题意可设f(x)=ax2十bx十c(a≠0).…11分 因为f(x)是偶函数，所以由f(一x)=f(x),得b=0,… …12分 所以f(f(x)=a(ax2十c)2+c=a3x4+2a2cx2十ac2+c=8x4+8x2+t,…13分 所以a3=2a2c=8,ac2十c=t,…14分 解得a=2,c=1,t=3.… …15分 17.解：(1)f'(x)=-2(x-1)(x-a)-(x-1)2=-(x-1)(3x-2a-1),…1分 令f'(x)=0,得x=1或x=2a+1 3 2分 当2士>1，即a>1时，者x(-心，1，则fx0f)单调避减： 若x∈(1,2)，则f'(x)>0,fx)单调递增； 若z(2,十，则f(0,f）单调适减4分 当1-1，即a=1时广)-x少0，则f)在k上单闲递 ，…5分 当20吉<1，即a<1时，若x∈(-，20。)，则了)<0，f)单满递被： 若x∈(2a1,,则f'(x)>0,fx)单调递增； 若x∈(1，十∞)，则f'(x)<0,f(x)单调递减. 7分 综上，当a1时f)在(-，1，(2a,+)上单调递减，在(1,2a)上单调递增： 当a=1时，()在k上单调递减：当a<1时，/(x)在(-∞，2弘士)，1，十∞)上单调递 减，在(2中1,1)上单调递增。 …8分 (2)由f(2)=-(2-a)=0,得a=2,…9分 则f(x)=-(x-1)2(x-2)=-x3+4x2-5.x十2，则f'(x)=-3x2+8x-5.…10分 设切线l与曲线y=f(x)相切于点(xo,yo),则yo=一x8十4x-5x0十2，f'(xo)=-3x 十8x0-5,…11分 所以l的方程为y-yo=f'(xo)(x一x), 将点(0,2)的坐标代入，得2一yo=f'(xo)(一xo), 12分 【高三数学·参考答案第4页（共7页）】 ·27-32C· 则2-(-x8十4x8-5x0+2)=(-3x6+8x0-5)(-xo),即2x(x0-2)=0,解得xo=0 或x0=2.…13分 当x0=0时，k,=f'(0)=一5；当x0=2时，k1=f'(2)=一1.…14分 故的斜率为一5或-1.…15分 18.(1)证明：易知g(x)=x十在(0,1门上单调递减，在1，十∞)上单调递增，…1分 所以g(x)在(0,1门上有最小值，且最小值为g(1)=2.…2分 因为2>1，所以g(x)为俏函数.3分 当a∈N*,且a≥2时，g(x)在(0，a]上的最小值为2，且2≤a,所以g(x)的俏值只能为1， 故g（x)的俏值唯一.…4分 (2)解：h(x-2)是俏函数.…5分 理由如下： 将h(x)的图象向右平移两个单位长度，得到h(x一2)的图象.…6分 因为h(x)在[-2，一1]上先减后增，所以h(x一2)在[0,1]上先减后增.…7分 又h(x)的值域为(1,4)，所以h(x一2)在(0,1]上有最小值，且最小值大于1， …8分 所以h(x)是俏函数，且h(x)的一个俏值为1.… 9分 (3)解：令t=2*2+2≥2，则4-2+42=(22+22)-2=2-2，…10分 则f(x)=2-t2+6t+8=-t2+6t+10=p(t),则p(t)=-(t-3)2+19(t≥2)， 所以当t=3时，p(t)取得最大值19，故f(x)的最大值为19.…11分 由1=2+2=3，得2-3 1 3土√5 2,则x=2+1og影2 因为p()在[2,3)上单调递增，在3，十∞)上单调递减，4(x)=2-+2一在（一∞，2）上单 调递减，在[2，十∞)上单调递增，… …12分 所以由复合函数的单调性可知了)[2,2+16g35)上单调递增，在(2+16：3。 3+√5 十o∞)上单调递减。… …13分 因为f(4-x)=-42x-42+6(22-x十2-2)十8=f(x),所以f(x)的图象关于直线x= 2对称， 所以f(x)在(-0,2+1og37 3-√5 上单调递暗，在(2+63≥5,2)上单调道减， 年 …14分 113 因为f(2)=18,f(0)=f(4)=16-16十2∈（17,18)，f(5)<0,…15分 所以f(x)在(0,1]上无最小值，在(0,2]上无最小值，在(0,3]上无最小值，在(0,4幻上有最小 【高三数学·参考答案第5页（共7页）】 ·27-32C· 值，且最小值为f(4),… …16分 f(x)在(0，a](a≥5)上有最小值，但最小值都小于a,故f(x)的俏值为4.…17分 【注】第(3)问中，未得到f(x)的图象关于直线x=2对称，但正确判断了f(x)在（一∞，2） 上的单调区间，不扣分.另外，第(3)问还可以这样解答： 令(x)=2-2+22-x,p(4一x)=22-x十2-2=(x),所以(x)的图象关于直线x=2对 称，当x≥2时，p'(x)=(2x-2-22-)1n2≥0，当且仅当x=2时，等号成立，所以p(x)在 [2,十∞)上单调递增，在（一∞，2）上单调递减.…10分 令t=2-2+22-x≥2，则t2=4-2+42-x+2,则4-2+42-x=t2-2,则o(t)=2-t2+6t十8= 一(t一3)2+19，则p(t)在(-∞，3)上单调递增，在(3，十∞)上单调递减， 所以f(x)mx=p(3)=19. …12分 当x∈0,1时，∈[号，)，此时g)在[，)上无最小值，所以f)在(0,1]止无最 小值.… …13分 当x∈0,2]或x∈0,3]时t∈[2，，此时(e)在[2，星)上无最小值，所以f(x)在0， 2]上无最小值，在(0,3]上无最小值.… …14分 当x∈(0,4时，∈[2，]，此时(2)在[2，]上有最小值，且最小值为() =19 ()》>4,则f(x)在0,4幻上有最小值，且最小值大于4.…15分 当x∈(0，a](a≥5)时，t∈[2,2a-2+22-],2a-2+22-a>8,此时f(x)的最小值为p(2a-8+ 22-a）<9(8)<0<a.… …16分 综上，f(x)的俏值为4.… …17分 19.(1证明：设g()=fx)2+1D=2e-z+1D,则g'x)=e2 …1分 当x<0时，g'(x)<0,当x>0时，g'(x)>0,… 2分 所以g(x)在(-0,0)上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，所以g(x)≥g(0)=号>0，则 f(x)>2(x+1). …4分 份解，(0法-)油题意得)-2子-在-m,则)-(e子-》 对于任何实数m,当x0时，h'(x)一o∞，当x→十∞时，h'(x)十∞.…5分 因为h'(x)在(0，十∞)上为增函数，所以存在唯一的xo∈(0，十∞)，使得h'(xo)=0.… …6分 令h'(x)<0,得0<x<xo,令h'(x)>0,得x>xo,所以h(x)在(0，xo)上单调递减，在 (x0,十0∞)上单调递增。…7分 【高三数学·参考答案第6页（共7页）】 ·27-32C· 因为)=(e竿-)）=0，所以e=且m-,十2n…8分 因为(x)在(0，十oo)上有零点，所以h(x)≤0，即2一，-21n。一√≤0.9分 设1(x)=2 -x-2nx-√丘，则I(x)在(0，+∞)上单调递减.因为I(1)=0,所以x≥ 1,则m=xo十2lnxo≥1，故m的取值范围是[1，十o∞).… …10分 (方法二)h(x)在(0，十∞)上有零点等价于2e令=√元+m在(0，十o∞)上有解.…5分 十1，则e令≥无十1，以 6分 则丘+m≥2(2+1，则3m≥x-2反+4=(W反-1)2+3≥3，则m≥1.…7分 当m=1时，h(I)=0,h(x)在(0，十o∞)上有零点；…8分 当m>1时，h(1)=2e号-1一m<0,当+十∞时，h(x)→十0， 由函数零点存在定理可知，h(x)在(0，十∞)上必有零点.…9分 故m的取值范围是[1，十∞).…10分 (3)证明：当x>0时，+1D≥2-，由1知2（红+1<2，所以v<2.… 11分 设A(x1,y1),B(x2,y2),则0<x2<x1,所以|AB|=√2(x1一x2). 12分 一x1十t=√x1, 又因为 …13分 ￥2 B -x2十t=2e, 所以x1-x2=2e-√E. 14分 令n=x1-x2>0,则2e一n-√x1=0,即方程h(x1)=0(x1> 0)有解。………16分 由(2)知n≥1，当且仅当x1=1时，等号成立，此时x2=0,这与x2>0矛盾，故等号不能取 到，则n>1,所以|AB|=√2(x1一x2)=√2n>√2.…17分 【高三数学·参考答案第7页（共7页）】 ·27-32C·高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 N 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用、三角 欧 函数。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知全集U={1,2,4,8,12,16},集合A={1,8,16},B={4,16},则C(AUB)= A.{2} B.{12} C.{2,12} D.{1,4,8,16} 按 2.将函数f(x)=tan6x图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，得到函数g(x) 的图象，则g(x)= A.tan x B.6tan x C.tan 36x D.6tan 36x 封 3若fx)是奇函数，且当x>0时，fx)=+ 2,则f(-1)= A.6 B.4 C.-6 D.-4 4.曲线y=sin(2.x一2)】 23 在点(1,0)处的切线方程为 A.y=x-1 B.y=5x-5 C.y=3x-3 D.y=2x-2 5.若幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则满足f(t)十2≤18的t的最大值与最小值的差为 A.4 B.3 C.3√2 D.2√2 线 6.函数f(x)=x2+cosx-3一lnx2的大致图象为 D 7.已知某正四棱柱的一个侧面的周长为12，设该正四棱柱的高为h,则该正四棱柱的体积V(h)= A.h2-6h(0<h<6) B.h3-24h2+36h(0<h<6) C.h3-6h2(0<h<6) D.h3-12h2+36h(0<h<6) 【高三数学第1页{共4页)】 ·27-32C· 8.若lg(9a2+4b)=0(a>0,b>0),则lga十lgb-lg(3a十2b-1)的最大值为 Ae告 B.-1g 6 C.lg ：D.-2l1g2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题自要 ·求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列判断正确的是 A.sin2x=0的充要条件是sinx=0 B.x2≤4是x2一x≤2的必要不充分条件 C.2>b是2>b+2的充分不必要条件 D.a>b是a4>b4的既不充分也不必要条件 10.已知函数f(x)满足f(x)f(y)=f(xy)十f(x)+f(y)一2对任意x,y∈R恒成立，且 f(x)在R上单调，f(2)=9,则 A.f(1)=2 B.f(4.1)>65 C.f(x)是奇函数 D.f(x)不可能是一次函数 11.已知函数f(x)=a十(4x-1)lnx,则 A.f(x)只有一个极值点 B.当a=2时，f(x)无零点 C.当x∈(0，+∞)，f(x)≥bz(b>0)时，6≥1 D.当a=一1时，集合{x|f(x)|=1+ln2}有7个真子集 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.命题“Vx∈Q,w1十x3∈Q”的否定是▲ 1以若m&=-2,一吾<<0，则m号=人一复数二2的雀部为 14.若ez·e5-ln(5x十y)≤2(x+2y+1),则y=▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知函数f(x)=cos(5x-2)+5cos(元-5x). (1)求f(0); (2)求f(x)的值域； (3)求曲线y=f(x)的对称中心的坐标. 【高三数学第2页（共4页）】 ·27-32C· 16.(15分) (1)解方程：log3(lgx)=16.5一7. (②)若千=1一-，求y关于：的腾数表达式 (3)若二次函数f(x)是偶函数，且f(f(x))=8x4+8x2十t,求t的值 17.(15分) 已知函数f(x)=一(x一1)2(x一a). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(2)=0,且曲线y=f(x)的切线l经过点(0,2)，求1的斜率. 【高三数学第3页（共4页）】 ·27- 18.(17分) 对于函数f(x),若存在a∈N·,使得f(x)在(0，a]上有最小值，且最小值大于a,则称 f(x)为俏函数，其中a为f(x)的一个俏值 (1)若函数g(z)=x+1,证明：g(x)为俏函数，且g()的俏值唯一， (2)若定义在R上的函数h(x)的值域为(1,4)，且h(x)在[一2，一1]上先减后增，试问 h(x一2)是否为俏函数？说明你的理由. (3)若函数f(x)=一4-2一42-x十6(2x-2+22-x)十8，求f(x)的最大值与俏值. 你 19.(17分) 已知函数f(x)=2e】 封 (1)证明：f(x)>2(x+1). (2)若函数h(x)=f(x一m)一√无一m在(0，十∞)上有零点，求m的取值范围 (3)若曲线y=一x十t(x>0)与曲线y=√元，y=f(x)分别交于A,B两点，证明：|AB|>√2 线 32C· 【高三数学第4页（共4页）】 ·27-32C·