第25讲 比例基本性质高阶变形与逆向解比例 专题讲义-苏教版数学六年级上册奥数培优

第25讲 比例基本性质高阶变形与逆向解比例 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 比例的基本概念 表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 一般形式：（），其中和是外项，和是内项。 分数形式：，交叉相乘仍满足外项积等于内项积。 2. 比例的基本性质（核心） 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，即外项积 = 内项积。 公式：若，则。 作用：是解比例、比例变形的核心依据，所有比例问题都可以转化为乘积等式求解。 3. 比例的高阶变形性质 由基本性质推导得出，可快速实现比例的转化： 反比性质：比例的前后项同时交换位置，比例仍成立。 若，则。 更比性质：交换比例的内项（或外项），比例仍成立。 若，则（交换内项）。 合比性质：比例中前项与后项的和比后项，比值相等。 若，则。 分比性质：比例中前项与后项的差比后项，比值相等。 若，则。 4. 解比例的定义与常见类型 定义：已知比例中的任意三项，求未知项的过程叫做解比例，本质是利用基本性质转化为一元一次方程求解。 常见类型： ① 基础整数型：整数组成的比例，求未知项； ② 分数小数型：比例中含分数、小数，统一形式后交叉相乘； ③ 代数表达式型：未知项含加减运算（如），转化为方程求解； ④ 逆向构造型：已知乘积等式，转化为比例式求解。 5. 逆向构造比例的方法 已知形如 “甲的几分之几等于乙的几分之几” 的乘积等式，构造甲乙两数的比： 等式： 转化：（甲和 a 同为外项 / 内项，乙和 b 同为内项 / 外项） 口诀：乘谁谁反比，左边的数对应右边的因数。 6. 解题通用步骤 ① 定形式：判断比例的形式（比的形式 / 分数形式），确定未知项位置； ② 转方程：利用比例基本性质，交叉相乘转化为乘积方程； ③ 解方程：根据等式性质求解未知数； ④ 验结果：将结果代入原比例，检验左右比值是否相等。 7. 易错警示 分数形式的比例，交叉相乘时分子分母要对应，不能交叉错位； 解含括号的比例时，把括号整体看作一项，先交叉相乘再去括号； 逆向构造比例时，内外项对应要准确，防止前后项写反； 带单位的比例，必须先统一单位再解比例，结果单位要一致； 合比、分比性质仅适用于前后项的和差比后项，不能直接和差比和差。 例题讲解 【典型例题 1】基础解比例 解比例： （1） （2） 【分析】（1）比的形式，利用外项积等于内项积转化为方程；（2）分数形式，交叉相乘转化为方程求解。 【详解】 （1）根据比例基本性质： （2）交叉相乘： 【答案】（1）；（2） 【跟踪训练 1】 解比例： （1） （2） 【分析】（1）已知外项和一个内项，求另一个内项；（2）分数形式交叉相乘求解。 【详解】 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【典型例题 2】含分数、小数的复杂解比例 解比例： （1） （2） 【分析】（1）分数比例，利用基本性质转化为分数方程；（2）小数比例，交叉相乘后按小数方程求解。 【详解】 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【跟踪训练 2】 解比例： （1） （2） 【分析】按比例基本性质转化求解。 【详解】 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【典型例题 3】比例基本性质逆向应用 （1）已知（），求的最简整数比。 （2）甲数的等于乙数的，求甲数与乙数的最简整数比。 【分析】（1）根据乘积等式，将 x 和 3 作为外项，y 和 4 作为内项，写出比例；（2）先写出乘积等式，再转化为比例并化简。 【详解】 （1），则 （2）根据题意： 甲：乙 = 【答案】（1）；（2） 【跟踪训练 3】 （1）已知，求。 （2）男生人数的等于女生人数的，求男女生人数比。 【分析】乘积等式转化为比例，化简。 【详解】 （1）， （2）男 × = 女 × 男：女 = 【答案】（1）；（2） 【典型例题 4】高阶变形：含代数表达式的解比例 解比例： 【分析】把整体看作比例的前项，利用基本性质交叉相乘，转化为一元一次方程求解。 【详解】 【答案】 【跟踪训练 4】 解比例： 【分析】把括号整体看作一项，交叉相乘解方程。 【详解】 【答案】 巩固练习 1. 解比例： 【分析】基础比例，外项积等于内项积。 【详解】 【答案】 2. 解比例： 【分析】分数形式交叉相乘。 【详解】 【答案】 3. 解比例： 【分析】分数比例，内项积等于外项积。 【详解】 【答案】 4. 解比例： 【分析】小数比例，交叉相乘求解。 【详解】 【答案】 5. 已知，求的最简整数比。 【分析】乘积等式转化为比例，注意前后项顺序。 【详解】 ，则 【答案】 6. 解比例： 【分析】括号整体为一项，交叉相乘解方程。 【详解】 【答案】 7. 解比例： 【分析】分数形式交叉相乘求解。 【详解】 【答案】 8. 甲数的等于乙数的，甲数与乙数的最简整数比是多少？ 【分析】先写乘积等式，再转化为比例化简。 【详解】 甲 × = 乙 × 甲：乙 = 【答案】 9. 解比例： 【分析】小数分数混合比例，统一形式后求解。 【详解】 【答案】 10. 解比例： 【分析】含括号的比例，交叉相乘后解方程。 【详解】 【答案】 11. 把等式改写成比例，你能写出几个？ 【分析】根据比例基本性质，将 4 和 9 作为外项、内项分别构造比例。 【详解】 4 和 9 为外项： ，，， 4 和 9 为内项： ，，， 一共可以写出 8 个不同的比例。 【答案】一共能写出个比例，例如、等。 12. 按下面的条件组成比例并解比例：x 和的比等于和的比。 【分析】先根据题意写出比例式，再解比例。 【详解】 【答案】 真题训练 1.（苏教版六年级期末真题）解比例： 【分析】基础比例，外项积等于内项积。 【详解】 【答案】 2.（希望杯六年级试题）解比例： 【分析】分数形式交叉相乘求解。 【详解】 【答案】 3.（小升初衔接题）已知（），则等于多少？ 【分析】乘积等式转化为比例。 【详解】 ， 【答案】 4.（华杯赛初赛）解比例： 【分析】分数比例，内项积等于外项积。 【详解】 【答案】 5.（苏教版培优题）解比例： 【分析】含括号的比例，交叉相乘解方程。 【详解】 【答案】 6.（重点中学分班考）甲数的等于乙数的，甲数与乙数的最简整数比是多少？ 【分析】先写乘积等式，再转化为比例化简。 【详解】 甲 × = 乙 × 甲：乙 = 【答案】 7.（走美杯真题）解比例： 【分析】小数比例，交叉相乘求解。 【详解】 【答案】 8.（六年级期末真题）解比例： 【分析】分数形式交叉相乘求解。 【详解】 【答案】 9.（希望杯模拟题）下面的比中，能与组成比例的是（ ）A. 2:3 B. 4:3 C. 6:8 D. 5:6 【分析】比值相等的比能组成比例，分别计算比值判断。 【详解】 选项 C：，比值相等，能组成比例。 【答案】 10.（小升初真题）解比例： 【分析】含括号的比例，交叉相乘后解方程。 【详解】 【答案】 11.（华杯赛模拟题）如果，且，求 x 和 y 的值。 【分析】先根据比例得 x 和 y 的份数关系，结合和求解；或用代入法。 【详解】 ，则 代入： 【答案】， 12.（思维训练题）将四个数组成比例，写出所有可能的比例。 【分析】先判断哪两个数的积等于另外两个数的积，再构造比例。 【详解】 2 和 6 为外项： ，，， 2 和 6 为内项： ，，， 共 8 个比例。 【答案】共 8 个，分别是、、、、、、、。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第25讲比例基本性质高阶变形与逆向解比例专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 可知识讲疑 1.比例的基本概念 表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做比例的 外项，中间的两项叫做比例的内项。 一般形式：a:b=c:d(b、d0),其中a和d是外项，b和c是内项。 分数形式：日=，交叉相乘仍满足外项积等于内项积。 b d 2.比例的基本性质（核心) 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，即外项积=内项积。 公式：若a:b=c:d,则a×d=b×c。 作用：是解比例、比例变形的核心依据，所有比例问题都可以转化为乘积等式求解。 3.比例的高阶变形性质 由基本性质推导得出，可快速实现比例的转化： 反比性质：比例的前后项同时交换位置，比例仍成立。 若a:b=c:d,则b:a=d:c。 更比性质：交换比例的内项（或外项），比例仍成立。 第1页共11页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 若a:b=c:d,则a:c=b:d(交换内项)。 合比性质：比例中前项与后项的和比后项，比值相等。 若a:b=c:d,则(a+b):b=(c+d)d。 分比性质：比例中前项与后项的差比后项，比值相等。 若a:b=c:d,则(a-b):b=(c-d):d。 4.解比例的定义与常见类型 定义：已知比例中的任意三项，求未知项的过程叫做解比例，本质是利用基本性质转化为一 元一次方程求解。 常见类型： ①基础整数型：整数组成的比例，求未知项： ②分数小数型：比例中含分数、小数，统一形式后交叉相乘： ③代数表达式型：未知项含加减运算（如(x+2):5=3:4),转化为方程求解： ④逆向构造型：已知乘积等式，转化为比例式求解。 5.逆向构造比例的方法 已知形如“甲的几分之几等于乙的几分之几”的乘积等式，构造甲乙两数的比： 等式：甲×a=乙×b 第2页共11页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 转化：甲：a(甲和a同为外项/内项，乙和b同为内项/外项) 口诀：乘谁谁反比，左边的数对应右边的因数。 6.解题通用步骤 ①定形式：判断比例的形式（比的形式/分数形式），确定未知项位置： ②转方程：利用比例基本性质，交叉相乘转化为乘积方程： ③解方程：根据等式性质求解未知数： ④验结果：将结果代入原比例，检验左右比值是否相等。 7.易错警示 分数形式的比例，交叉相乘时分子分母要对应，不能交叉错位： 解含括号的比例时，把括号整体看作一项，先交叉相乘再去括号： 逆向构造比例时，内外项对应要准确，防止前后项写反； 带单位的比例，必须先统一单位再解比例，结果单位要一致： 合比、分比性质仅适用于前后项的和差比后项，不能直接和差比和差。 电题汾图 【典型例题1】基础解比例 解比例： (1)x:12=3:4 第3页共11页 6学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)X=5 2.46 【跟踪训练1】 解比例： (1)8:x=2:7 2兴 【典型例题2】含分数、小数的复杂解比例 解比例： 1号=x号 (2)0.75:x=3:8 【跟踪训练2】 第4页共11页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解比例： (1)0.61.2= 3 2)3:x310 【典型例题3】比例基本性质逆向应用 (1)已知3x=4y(x、y0),求x:y的最简整数比。 (2)甲数的等于乙数的3，求甲数与乙数的最简整数比。 3 4 【跟踪训练3】 (1)已知5a=6b,求a:b。 (2)男生人数的等于女生人数的号求男女生人数比。 【典型例题4】高阶变形：含代数表达式的解比例 第5页共11页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解比例：(x+3):12=5:4 【跟踪训练4】 解比例：(2x-1):5=3:2 √级固练习 1.解比例：x:15=4:5 X-2 2.解比例：189 3解比例：子名=x0 10 第6页共11页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.解比例：0.8：2.4=x:6 5.已知2x=5y,求y:x的最简整数比。 6.解比例：（x-2)6=3:2 2x-8 7.解比例：31.5 8.甲数的等于乙数的，甲数与乙数的最简整数比是多少？ 第7页共11页 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 9.解比例：12号=x:0.5 10.解比例：(3x+3):4=9:2 11.把等式4×9=12×3改写成比例，你能写出几个？ 12按下面的条件组成比例并解比例：x号的比等十号形的比。 √真题训练 1.（苏教版六年级期末真题)解比例：x:6=1.5:2 第8页共11页 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2(希￥林六年级试迪)解比例：吉 3.(小升初衔接题)已知3a=5b(a、b0),则a:b等于多少？ 4《华杯赛初赛)解比例：日=x:2 5.（苏教版培优题)解比例：(x+4):10=3:5 6,(重点中学分班考)甲数的号等于乙数的子，甲数与乙数的最简整数比是多少？ 7.（走美杯真题)解比例：0.75：1.5=x:6 第9页共11页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8(六年级期未真题)解比例：红-得 9.(希望杯模拟题)下面的比中，能与3：4组成比例的是()A.23B.4:3C.6:8D.5:6 10.(小升初真题)解比例：(2x+4):6=5:2 11.(华杯赛模拟题)如果x:y=3:2,且x+y=25,求x和y的值。 12.(思维训练题)将2、3、四个数组成比例，写出所有可能的比例。 第10页共11页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第11页共11页