精品解析：四川凉山州西昌天立学校2027届高三上学期9月份月考数学试题

2024级9月份月考 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】不等式可化为. 因此， 所以，对应区间为. 2. 已知命题，则命题的否定 为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据存在量词命题的否定的结构形式可得：. 3. 若函数在处取得极小值，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出函数的导函数，结合函数在处取得极小值可得，进而得到的值；最后将的值代入导函数，并结合函数的单调性和极值定义即可判断. 【详解】依题意， 所以， 所以，解得，或， 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极小值，符合题意； 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极大值，不符合题意； 综上，的值为1. 4. 若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，且，， 所以, 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，得，则定义域为关于原点对称， 又，则为偶函数，排除C，D选项； 又，排除B， 选项A符合以上要求. 6. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立，即，令，求出即可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以，因为在上单调递增， 所以，所以. 故选：B. 7. 如果过点作曲线的切线恰有三条，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设切点为，求出切线方程，再将点代入，转化为和的图象有三个交点，利用导函数可求. 【详解】设切点为，因为，所以， 则切线方程为，即， 将代入得， 因为切线恰有三条，所以方程有三个根， 则和的图象有三个交点， 因为，所以当或时，单调递减； 当时，单调递增； 则，即， 则实数的取值范围为 8. 已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别作出函数，的图象，分、、和四种情况讨论，结合函数图象分析交点个数即可得解. 【详解】分别作出函数，的图象，如图所示， 令，则即为， 若，则方程没有根，不合题意； 若，则方程有且仅有1个根，即， 可知方程有且仅有2个不相等根，不合题意； 若，则方程有2个不相等实根，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 所以方程有4个不相等实根，不合题意； 若，则方程有3个不相等实根，，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 由题意可知方程有且仅有2个不相等实根，则或， 可得； 综上所述：实数的取值范围是. 二、多选题 9. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】A选项，由换底公式，可得，故A错误； B选项，，故B正确； C选项，当且时，，故C错误； D选项，，故D正确． 10. 下列有关函数的命题正确的是（ ） A. 偶函数的定义域为，则 B. 已知，则“”的必要不充分条件是“为奇函数” C. 满足对任意的都有成立，则 D. 若的定义域是，则的定义域为 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A，偶函数的定义域关于原点对称，故区间端点满足 ，A正确. 选项B，若为奇函数，则对任意恒成立： 得到 ，得，可推出； 但时，，时，为偶函数，不是奇函数. 因此“为奇函数”是“”的充分不必要条件，B错误. 选项C，由，得的图象关于点中心对称，即. 对配对： ， 令得，即，总和为，C错误. 选项D，的定义域为，即， 故，即的定义域为. 对，令，解得，即定义域为，D正确. 11. 设是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数，则（ ） A. 若有极值点，则 B. 若当时，有极值，则对应的拐点为或 C. 若当时，在上无极值点，则的取值范围为 D. 若当，时，曲线与轴分别交于、、，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析可知，对于。，可判断A选项；根据题中信息求出实数、的值，结合拐点的定义可判断B选项；根据题意可知，在上为单调函数，对于，有，可判断C选项；利用三次方程根与系数的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，若函数有极值点，则有两个不等的零点， 所以，，即，A对； 对于B选项，当时，函数有极值， 则，解得或， 当，时，， 此时，函数在上单调递增，该函数无极值， 经检验，，合乎题意， 所以，，，令，可得， 此时，函数对应的拐点为，B错； 对于C选项，当时，函数在上无极值点， 则函数在上为单调函数，则恒成立， 则，解得，即实数的取值范围是，C对； 对于D选项，当，时，， 由有， 等式两边同除可得， 令，则、、是方程的三个根， 所以，， 即， 所以，，，， 所以，，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问题的解题关键就是令，从而将问题转化为、、是方程的三个根，然后利用韦达定理求解. 三、填空题 12. 计算：______. 【答案】## 【解析】 【详解】原式. 13. 已知函数，则不等式的解集为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用函数奇偶性的定义得到函数为奇函数，再利用导数分析函数的单调性得到函数在上单调递增，进而根据奇函数的性质转化不等式为，再根据单调性求解即可. 【详解】函数的定义域为， 且， 所以函数为奇函数. 又，当且仅当时等号成立， 则函数在上单调递增， 由，得， 则，即，解得或， 所以不等式的解集为. 14. 关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先将不等式进行变形，然后构造函数，通过求导分析函数的单调性，进而求出实数的最大值. 【详解】将不等式移项可得，进一步变形得， 即. 设，对函数求导得，所以在上单调递增， 所以，则有，即， 即在上恒成立. 设，对函数求导得. 令，即，解得. 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 因此，在处取得最小值，. 因为，所以，即实数的最大值为. 四、解答题 15. 已知函数 在 处取得极值. （1）求函数 的解析式; （2）求函数 的单调区间及极值. 【答案】（1）； （2）在上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）由题设可得，据此可得答案； （2）由（1）中验证过程可得的单调区间与极值. 【小问1详解】 . 由在处取极值可得， 则此时. ，， 得在上单调递增，在上单调递减，即符合题意； 【小问2详解】 由（1）分析可得：在上单调递增，在上单调递减， 极大值为，极小值为. 16. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）当时，函数在上单调递减； 当时， 函数在上单调递减，函数在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据导数的正负性和函数单调性的关系分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 当时，， 因为， 所以曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 ， 函数的定义域为全体正实数， 当时，当时，，函数在上单调递减； 当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 综上所述：当时，函数在上单调递减； 当时， 函数在上单调递减，函数在上单调递增. 17. 已知函数. （1）判断的奇偶性并给出证明； （2）讨论在区间上的零点个数. 【答案】（1）为偶函数. 证明：的定义域为 ，关于原点对称； ， 所以为偶函数. （2）3个 【解析】 【分析】（1）利用定义域关于原点对称和进行证明； （2）利用偶函数的特点结合函数的单调性和零点存在定理进行讨论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 由（1）得：为偶函数，所以只需研究上零点个数，即可得到上的零点个数. 当，，，所以单调递增， 当，，，所以单调递减， 且，， ， 根据零点存在定理，在上存在唯一的零点，在上也存在唯一的零点，又因为，所以0也是一个零点， 综上所述，在区间上的零点个数为3. 18. 已知函数，其中 . （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数存在两个极值点 ，求的取值范围； （3）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据切点即可求导得斜率，进而求直线方程， （2）函数存在两个极值点，转化成方程有两个不等正根，构造函数，即可求导进行求解， （3）构造函数，将恒成立问题转化成最值，分类讨论即可求解. 【小问1详解】 当时, ，故，且 .故所以函数在处的切线方程为. 【小问2详解】 由,可得 ， 因为函数存在两个极值点，所以是方程的两个不等正根，即的两个不等正根为 ∴ 即 ， ∴ ， ∴ , 令 ， 故,所以在上单调递增， ∴ ， 故 得取值范围是 . 【小问3详解】 对任意的实数 恒成立，即 对任意的实数恒成立. 令 ，则 ①若，当时,,所以单调递增，,故 符合题意; ②若 ， (i)若 ，即，则，在上单调递增,所以当 时,,故符合题意; (ii)若，即，令，得(舍去)， ,当时,,在上单调递减; 当时，， 在 上单调递增， 所以存在 ，使得，与题意矛盾，所以不符题意. 综上所述，实数的取值范围是 . 【点睛】导数的几何意义；导数的运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程. （1）根据导数的计算公式，结合导数的几何意义，以及直线的方程求解即可； （2）利用导数研究函数的极值与单调性求解即可； （3）根据化归思想，将不等式恒成立问题等价转化为求函数的最值问题，利用导数研究函数的单调性与最值求解即可. 19. 已知函数，是的导函数. （1）当时，证明：； （2）讨论的极值点个数； （3）若有两个极值点，证明：. 【答案】（1）证明：当时，， 令，则定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，即. （2）当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为 （3）证明：由（2）知：若有两个极值点，则，此时； ， ， 要证，只需证， 即证， 只需证，即证， ，， 令，则与交于两点，其中，则， ，当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，； 要证，只需证，即证， ，，在上单调递减，只需证， 又，只需证， 令，则， ，，，在上单调递增， ，又，， 即，原不等式得证，即. 【解析】 【分析】（1）构造函数，利用导数求解的单调性和最值，从而证得结论； （2）将问题转化为与位置关系的讨论问题，通过导数可求解出的单调性和最值，结合图象进行分析可得正负，进而得到极值点个数； （3）将所证不等式转化为证明，令，则只需证；根据极值点偏移的证明逻辑，构造函数，利用导数可证得，结合分析法可得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知：定义域为，， 令，则， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，且当时，；当时，； 由此可得大致图象如下图所示， ①当，即时，与有唯一交点， 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， 有唯一的极小值点，无极大值点； ②当，即时，与交于两点， 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， 有一个极小值点，一个极大值点； ③当，即时，恒成立，即恒成立， 在上单调递减，无极值点； 综上所述：当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级9月份月考 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则命题的否定 为（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在处取得极小值，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 4. 若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如果过点作曲线的切线恰有三条，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列有关函数的命题正确的是（ ） A. 偶函数的定义域为，则 B. 已知，则“”的必要不充分条件是“为奇函数” C. 满足对任意的都有成立，则 D. 若的定义域是，则的定义域为 11. 设是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数，则（ ） A. 若有极值点，则 B. 若当时，有极值，则对应的拐点为或 C. 若当时，在上无极值点，则的取值范围为 D. 若当，时，曲线与轴分别交于、、，则 三、填空题 12. 计算：______. 13. 已知函数，则不等式的解集为_____________． 14. 关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为______. 四、解答题 15. 已知函数 在 处取得极值. （1）求函数 的解析式; （2）求函数 的单调区间及极值. 16. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性． 17. 已知函数. （1）判断的奇偶性并给出证明； （2）讨论在区间上的零点个数. 18. 已知函数，其中 . （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数存在两个极值点 ，求的取值范围； （3）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，是的导函数. （1）当时，证明：； （2）讨论的极值点个数； （3）若有两个极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $