专题08 二次函数的图象、性质与应用（5年汇编）（贵州专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

专题08 二次函数的图象、性质与应用 5年真题1年模拟 考点分类 考情示例 命题规律 考点01 二次函数的图象与性质 2026贵州（2题）、2025贵州（1题）、2024贵州（1题）、2023贵州（1题）、2022贵州多地（12题） · 情境设置：以跳弹、水漂、铅球等生活情境切入，结合菱形、正方形等几何图形。 · 考查重点：顶点坐标、对称轴、增减性、图象平移与旋转、多结论判断。 · 命题趋势：注重数形结合，趋向多知识点融合，新定义题型增多。 考点02 二次函数与一元二次方程、不等式 2026贵州（1题） · 情境设置：以纯数学方程形式呈现，无实际情境包装。 · 考查重点：二次函数与一元二次方程根的关系、函数图象与不等式解集。 · 命题趋势：该考点真题较少，趋向与方程根分布、参数范围结合考查。 考点03 二次函数的实际应用 2024贵州（1题）、2023贵州（1题）、2022贵州铜仁（1题） · 情境设置：以超市销售、拱桥造型、乡村振兴等真实生活与工程情境为主。 · 考查重点：利润最值、抛物线建模、拱桥高度与跨度计算。 · 命题趋势：强调数学建模能力，趋向方案优化与跨学科融合。 考点01 二次函数的图象与性质 1．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（       ） A. 二次函数图象的对称轴是直线 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 2．（2023·贵州·中考真题）已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．（2022·贵州安顺·中考真题）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若．则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（2022·贵州毕节·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6．（2022·贵州黔东南州中·中考真题）若二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图是二次函数的图像，该函数的最小值是　　　　　　　　　　． 8．（2022·贵州黔西南州中·中考真题）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是　　　　　m． 9．（2022·贵州黔东南州中·中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是　　　　　　　． 10．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数的图像经过点C，E．若点，则k的值是　　　　　　　　　． 11．（2026·贵州·中考真题）某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） （1）已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； （2）若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； （3）在的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 12．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 13．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线：与反比例函数的图象交于，两点． （1）求该反比例函数的解析式及的值； （2）判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． 14．（2022·贵州安顺·中考真题）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，，……都是和谐点． （1）判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点． ①求，的值； ②若时，函数的最小值为－1，最大值为3，求实数的取值范围． 15．（2022·贵州贵阳·中考真题）已知二次函数y=ax2+4ax+b． （1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）； （2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(−1，e)，(−3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由； （3）点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，求二次函数的表达式． 16．（2022·贵州黔东南州中·中考真题）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2022·贵州黔西南州中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的表达式； （2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标； （3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2022·贵州遵义·中考真题）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为． （1）写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标； （2）若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，． ①当时，求点的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为，求的值． 19．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值； （3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 考点02 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（2026·贵州·中考真题）一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，，若，把，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来：　　　　　　　　　． 考点03 二次函数的实际应用 1．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 2．（2023·贵州·中考真题）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 3．（2022·贵州铜仁·中考真题）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题： （1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？ 1．（2026·贵州·中考模拟）如图，在中，，，是边上一动点，过点作，交于点，连接，设，的面积为，则关于的函数图象大致为（        ） A.  B.  C.  D.  2．（2026·贵州铜仁·中考模拟）如图，小明同学很喜欢排球运动，他发现排球的运动轨迹可以近似地看作一条抛物线，如图，他通常站在与球网水平距离为米的点处发球，通过跳跃使排球出发点距地面高米，当排球与发球点水平距离为米时，排球到达运动轨迹的最高点，已知排球网顶端距地面的高度为米，若以小明站立点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）图中点坐标是          ，点坐标是          ； （2）若排球刚好越过排球网，请求出排球运动轨迹的函数表达式； （3）小明和小天是同组队员，在一次比赛对阵中，对方回击排球的运动轨迹满足（），小明准备在点处接球，小天准备在点处接球，已知，两点均在抛物线上，若对于，，都有，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二次函数的图象、性质与应用 5年真题1年模拟·答案版 考点01 二次函数的图象与性质 1．D 2．D 3．A 4．A 5．B 6．C 7． 8．10 9． 10．4 11．【答案】（1），；     （2）能避开障碍物和暗礁；     （3）．      【分析】 将，代入，求得的坐标，将，代入，即可求得的坐标； 先根据对称轴为得出，代入求得，得出，分别计算和的函数值，结合题意，即可求解； 设，根据已知得出，将代入，得出，将代入，得出，进而解不等式组，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，直线的表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， 当时，， 解得：，， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，抛物线在时距水面最高， ∴， 解得：， ∴， ∵过点， ∴当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：，， ∴， ∵水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开障碍物， ∵暗礁的一个截面宽，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开暗礁， 综上所述，跳弹沿路径运动时能避开障碍物和暗礁； (3) 小问详解： 解：∵点的坐标， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵要避开暗礁， ∴， ∴，即， ∵过点， 当时，，即， ∴当时，， ， 即， ∵， ∴ ， 解得：． 12．【答案】（1）     （2） 不能，理由如下： ∵，点坐标为 ∴ ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∴将代入 ∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物；     （3）      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可； （3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可． (1) 小问详解： ∵当时， ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ∵正方形， ∴ ∴如图所示， ∵抛物线开口向下 ∴ ∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点） ∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴的取值范围为． 【点睛】 此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是解题的关键． 13．【答案】（1），     （2）点在该反比例函数的图象上，理由见解答      【分析】 （1）因为点在双曲线上，所以代入点坐标即可求出双曲线的函数关系式，又因为点在双曲线上，代入即可求出的值； （2）先求出点的坐标，判断即可得出结论． (1) 小问详解： 解：将点代入中，得， 反比例函数的解析式为， 将点代入中， 得； (2) 小问详解： 解：因为四边形是菱形，，， ，， ， 由（1）知双曲线的解析式为； ， 点在双曲线上． 【点睛】 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，解题的关键是用表示出点的坐标． 14．【答案】（1）存在，     （2）①；      【分析】 （1）根据定义可知，和谐点都在上，联立两直线解析式即可求解； （2）① 根据题意可知二次函数与相切于点，据此即可求解； ② 根据① 得到解析式，根据二次函数图象的性质分析即可求解． (1) 小问详解： 解：∵点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点， ∴和谐点都在上， ， 解得 ， 上的和谐点为； (2) 小问详解： 解：① ∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点， ∴ 即有两个相等的实数根， ， 解得① ， 将代入得， ， 联立① ② ，得， ②， ， 其顶点坐标为，则最大值为3， 在时，随的增大而增大，当时，， 根据对称轴可知，当时，， 时，函数的最小值为－1，最大值为3， 根据函数图象可知，当时，函数的最小值为－1，最大值为3， 实数的取值范围为：． 【点睛】 本题考查了新定义问题，两直线交点问题，一次函数与抛物线交点问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，理解新定义是解题的关键． 15．【答案】（1）二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；     （2） 当a<0时，e=f> c>d；当a>0时，e=f< c<d； 理由：由（1）知二次函数的图象的对称轴为直线x=-2， 又∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6， ∴A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)， 当a<0时，画出草图如图： ∴e=f> c>d； 当a>0时，画出草图如图： ∴e=f< c<d；     （3）二次函数的表达式为y=x2x-或y=x2x+．      【分析】 （1）利用配方法即可求解； （2）由对称轴为直线x=-2，AB=6，得到A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，画出草图，分两种情况，利用数形结合求解即可； （3）分两种情况，利用数形结合求解即可． (1) 小问详解： 解：∵y=ax2+4ax+b=a(x2+4x+4-4)+b= a(x+2)2+b-4a， ∴二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点， 当a<0时， 根据题意：当m=-2时，函数有最大值为1，当m=1时，函数值为-1， 即 ，解得： ， ∴二次函数的表达式为y=x2x+． 当a>0时， 根据题意：当m=-2时，函数有最小值为-1，当m=1时，函数值为1， 即 ，解得： ， ∴二次函数的表达式为y=x2x-． 综上，二次函数的表达式为y=x2x-或y=x2x+． 【点睛】 此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式等知识和方法，解第（2）（3）题时应注意分类讨论，求出所有符合条件的结果． 16．【答案】（1）     （2）存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形     （3）存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或．      【分析】 （1）根据抛物线的对称轴是直线，可得a=-1，再把点代入，即可求解； （2）先求出，设点N（m，-m+3），可得，，再分三种情况讨论：当AC=AN时，当AC=CN时，当AN=CN时，即可求解； （3）设点E（1，n），点F（s，t），然后分两种情况讨论：当BC为边时，当BC为对角线时，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得：a=-1， ∵抛物线过点， ∴，解得：c=3， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下： 令y=0，则， 解得：， ∴点A的坐标为（-1，0）， ∴OA=1， 当x=0时，y=3， ∴点C的坐标为（0，3），即OC=3， ∴， 设直线BC的解析式为， 把点B（3，0），C（0，3）代入得： ，解得： ， ∴直线BC的解析式为， 设点N（m，-m+3）， ∴MN=-m+3，AM=m+1， ∴，， 当AC=AN时，， 解得：m=2或0（舍去）， ∴此时点N（2，1）； 当AC=CN时，， 解得：或（舍去）， ∴此时点N； 当AN=CN时，， 解得：， ∴此时点N； 综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形； (3) 小问详解： 解：存在，理由如下： ∵点B（3，0），C（0，3）， ∴OB=OC， ∴BC， 设点E（1，n），点F（s，t）， 当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图， ∴ 或 ， 解得： 或 ， ∴此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）； 当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图， ，解得： 或 ， ∴此时点F的坐标为或； 综上所述，存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键是解题的关键． 17．【答案】（1）     （2）或或     （3）存在，或或或      【分析】 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； (2)求出直线AB的表达式为，设，，分当M在N点上方时，．和当M在N点下方时，，即可求出M的坐标； （3）画出图形，分AC是四边形的边和AC是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理、相似三角形的判定与性质、函数图像的交点、平移等知识点进行解答即可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵抛物线过点， ∴ ，解得 ， ∴抛物线的表达式为． (2) 小问详解： 设直线AB的解析式为：， ∵直线AB经过，， ∴ ， ∴ ， ∴直线AB的表达式为． ∵轴，可设，，其中． 当M在N点上方时，． 解得，（舍去）． ∴． 当M在N点下方时， ． 解得，． ∴，． 综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，． (3) 小问详解： 存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，． 理由如下： ① 如图，若AC是四边形的边． 当时， ∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点． 过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，， ∵，， ∴，，． ∵， ∴． ∴． ∴点与点D重合． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到． ∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到． 此时直线的解析式为． ∵直线与平行且过点， ∴直线的解析式为． ∵点是直线与拋物线的交点， ∴． 解得，（舍去）． ∴．当时，四边形是矩形． ∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到． ∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到． ② 如图，若AC是四边形的对角线， 当时．过点作轴，垂足为H，过点C作，垂足为K． 可得，． ∴． ∴． ∴． ∵点P不与点A，C重合， ∴和． ∴． ∴． ∴如图，满足条件的点P有两个．即，． 当时，四边形是矩形． ∵向左平移个单位，向下平移个单位得到． ∴向左平移个单位，向下平移个单位得到． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移个单位，向上平移个单位得到． ∴向右平移个单位，向上平移个单位得到． 综上，满足条件的点Q的坐标为或或或． 【点睛】 本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式、勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形、进行分类讨论是解题的关键． 18．【答案】（1），顶点为     （2）①或；②或．      【分析】 （1）根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标； （2）① 设，则，，根据题意建立方程解方程即可求解； ② 根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可． (1) 小问详解： 解：抛物线的“关联抛物线”为， 根据题意可得，的解析式 顶点为 (2) 小问详解： 解：① 设，则， ∴ 当时， 解得， 当时，方程无解 或 ②的解析式 顶点为，对称轴为 ， 当时，即时， 函数的最大值为，最小值为 的最大值与最小值的差为 解得（，舍去） 当时，且即时， 函数的最大值为，最小值为 的最大值与最小值的差为 解得（，舍去） 当时，即时，抛物线开向上，对称轴右侧随的增大而增大， 函数的最大值为，最小值为 的最大值与最小值的差为 即 即 解得（舍去） 综上所述，或． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键． 19．【答案】（1）     （2）     （3）存在；或或或      【分析】 （1）根据抛物线顶点坐标即可求解； （2）由题意得，求BC的表达式为：；抛物线平移后的表达式为：，根据题意得， 即可求解； （3）设，根据平行四边形的性质进行求解即可． (1) 小问详解： 解：由可知， ，解得： ， ∴． (2) 小问详解： 分别令中，得，，； 设BC的表达式为：， 将，代入得， 解得： ； ∴BC的表达式为：； 抛物线平移后的表达式为：， 根据题意得， ，即， ∵该抛物线与直线始终有交点， ∴， ∴， ∴h的最大值为． (3) 小问详解： 存在，理由如下： 将代入中得， ① 当DE为平行四边形的一条边时， ∵四边形DEMN是平行四边形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∴设，， 当时，解得：，（舍去）， ∴， 当时，解得：， ∴或； ② 当DE为平行四边形的对角线时，设，， ∵D、E的中点坐标为：（2，0）， ∴M、N的中点坐标为：（2，0）， ∴ ， 解得： ， （舍去）， ∴此时点N的坐标为（3，0）； 综上分析可知，点N的坐标为：或或或（3，0）． 【点睛】 本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用、平行四边形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 考点02 二次函数与一元二次方程、不等式 1． 考点03 二次函数的实际应用 1．【答案】（1）     （2）糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元     （3）2      【分析】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得 ， 解得 ， ∴y与x的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； (3) 小问详解： 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 2．【答案】（1）     （2）点的坐标为     （3）      【分析】 （1）设抛物线的解析式为，将，代入即可求解； （2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可； （3）分和两种情况，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解． (1) 小问详解： 解：抛物线的对称轴与y轴重合， 设抛物线的解析式为， ，， ，， 将，代入，得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解： 抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1， 当时，， ， 作点B关于y轴的对称点， 则，， ， 当，，A共线时，拉杆长度之和最短， 设直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为，位置如下图所示： (3) 小问详解： 解：中， 抛物线开口向下， 当时， 在范围内，当时，y取最小值，最小值为： 则， 解得， ； 当时， 在范围内，当时，y取最小值，最小值为： 则， 解得， ； 综上可知，或， 的取值范围为． 【点睛】 本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值，抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第3问注意分情况讨论． 3．【答案】（1），     （2）将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．       【分析】 （1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润=销售量×（批发价－成本价），列出销售利润w（元）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． (1) 小问详解： 解：根据题意得， 所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式， 自变量x的取值范围是 (2) 小问详解： 解：设每天获得的利润为w千元，根据题意得 ， ∵， ∴当，W随x的增大而增大． ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元． 【点睛】 本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 1．C 2．（1），；     （2）；     （3）．      试卷第1页，共3页 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二次函数的图象、性质与应用 5年真题1年模拟 考点分类 考情示例 命题规律 考点01 二次函数的图象与性质 2026贵州（2题）、2025贵州（1题）、2024贵州（1题）、2023贵州（1题）、2022贵州多地（12题） · 情境设置：以跳弹、水漂、铅球等生活情境切入，结合菱形、正方形等几何图形。 · 考查重点：顶点坐标、对称轴、增减性、图象平移与旋转、多结论判断。 · 命题趋势：注重数形结合，趋向多知识点融合，新定义题型增多。 考点02 二次函数与一元二次方程、不等式 2026贵州（1题） · 情境设置：以纯数学方程形式呈现，无实际情境包装。 · 考查重点：二次函数与一元二次方程根的关系、函数图象与不等式解集。 · 命题趋势：该考点真题较少，趋向与方程根分布、参数范围结合考查。 考点03 二次函数的实际应用 2024贵州（1题）、2023贵州（1题）、2022贵州铜仁（1题） · 情境设置：以超市销售、拱桥造型、乡村振兴等真实生活与工程情境为主。 · 考查重点：利润最值、抛物线建模、拱桥高度与跨度计算。 · 命题趋势：强调数学建模能力，趋向方案优化与跨学科融合。 考点01 二次函数的图象与性质 1．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（       ） A. 二次函数图象的对称轴是直线 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D． 【详解】 解∶ ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确， 故选D． 2．（2023·贵州·中考真题）已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【分析】 首先根据二次函数的图象及性质判断a和b的符号，从而得出点所在象限． 【详解】 解：由图可知二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ，， ， 在第四象限， 故选D． 【点睛】 本题考查二次函数的图象与系数的关系，以及判断点所在象限，解题的关键是根据二次函数的图象判断出a和b的符号． 3．（2022·贵州安顺·中考真题）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象、一次函数的图象以及反比例函数的图象与系数的关系． 根据二次函数图象得出，即可解答． 【详解】 解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴相交于负半轴， ∴， ∴一次函数经过一、三、四象限，反比例函数位于二、四象限， 故选：A． 4．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若．则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 观察图象，先设 ，，，根据已知条件及证明，得出，利用根与系数的关系知，最后得出答案． 【详解】 设 ，，， ∵二次函数的图象过点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 令， 根据根与系数的关系知， ∴， 故 故选：A． 【点睛】 本题考查了二次函数与关于方程之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键． 5．（2022·贵州毕节·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】 解：① ∵抛物线的开口方向向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴右侧， ∴对称轴为x＝＞0， ∵a＜0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0， ∴abc＜0， 故① 错误； ② ∵对称轴为x＝＝1， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0， 故② 错误； ③ 由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0， ∴9a＋3b+c＜0， 故③ 错误； ④ 由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac； 故④ 正确； ⑤ 由图象可知当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， ∴， 故⑤ 正确． 综上所述，正确的结论是：④ ⑤ ． 故选：B． 【点睛】 本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴的范围求a与b的关系、熟练掌握二次函数与方程之间的转换是基础，数形结合的方法是解题的关键． 6．（2022·贵州黔东南州中·中考真题）若二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据二次函数的图像确定a，b，c的正负，即可确定一次函数所经过的象限和反比例函数所在的象限． 【详解】 解：∵二次函数的图像开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴的交点在y轴负半轴， ∴a>0，，c<0， ∴b>0，-c>0， ∴一次函数的图像经过第一、二、三象限，反比例函数的图像在第一，三象限，选项C符合题意． 故选：C 【点睛】 本题考查二次函数图像与系数的关系，一次函数图像与系数的关系，反比例函数图像与系数的关系，熟练并灵活运用这些知识是解题关键． 7．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图是二次函数的图像，该函数的最小值是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先根据二次函数的对称轴为直线可求出的值，再将点代入可求出的值，然后求出时，的值即可得． 【详解】 解：由图像可知，此函数的对称轴为直线，函数的图像经过点， 则，， 解得， 将代入得：，解得， 则二次函数的解析式为， 当时，， 即该函数的最小值是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数的图像、以及最值，读懂二次函数的图像是解题关键． 8．（2022·贵州黔西南州中·中考真题）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的水平距离OA的长是　　　　　m． 【答案】10 【分析】 由图可知，要求OA的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0，将y=0代入函数的解析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可． 【详解】 将y=0代入； 整理得： （x-10）（x+2）=0 解得：x=10或x=-2（舍去） ∴铅球推出的水平距离OA的长是10m． 故答案为：10 【点睛】 本题主要考查了二次函数得实际应用，熟练地掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 9．（2022·贵州黔东南州中·中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点为（-1，-2）， 将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2）， 旋转后的抛物线为， 再向下平移5个单位，即． ∴新抛物线的顶点（1，-3） 故答案是：（1，-3）． 【点睛】 本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键． 10．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数的图像经过点C，E．若点，则k的值是　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 作CF垂直y轴， 设点B的坐标为(0，a)，可证明（AAS），得到CF=OB=a，BF=AO=3，可得C点坐标，因为E为正方形对称线交点，所以E为AC中点，可得E点坐标，将点C、E的坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k的值． 【详解】 作CF垂直y轴于点F，如图，设点B的坐标为(0，a)， ∵四边形是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°， ∵∠OBA+∠OAB=∠OBA+∠FBC=90° ∴∠OAB=∠FBC 在△BFC和△AOB中 ∴ ∴BF=AO=3，CF=OB=a ∴OF=OB+BF=3+a ∴点C的坐标为(a，3+a) ∵点E是正方形对角线交点， ∴点E是AC中点， ∴点E的坐标为 ∵反比例函数的图象经过点C，E ∴ 解得：k=4 故答案为：4 【点睛】 本题考查了反比例函数与图形的综合应用，巧用正方形的性质求C、E点的坐标是解题的关键． 11．（2026·贵州·中考真题）某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） （1）已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； （2）若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； （3）在的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 【答案】（1），；     （2）能避开障碍物和暗礁；     （3）．      【分析】 将，代入，求得的坐标，将，代入，即可求得的坐标； 先根据对称轴为得出，代入求得，得出，分别计算和的函数值，结合题意，即可求解； 设，根据已知得出，将代入，得出，将代入，得出，进而解不等式组，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，直线的表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， 当时，， 解得：，， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，抛物线在时距水面最高， ∴， 解得：， ∴， ∵过点， ∴当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：，， ∴， ∵水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开障碍物， ∵暗礁的一个截面宽，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开暗礁， 综上所述，跳弹沿路径运动时能避开障碍物和暗礁； (3) 小问详解： 解：∵点的坐标， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵要避开暗礁， ∴， ∴，即， ∵过点， 当时，，即， ∴当时，， ， 即， ∵， ∴ ， 解得：． 12．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 【答案】（1）     （2） 不能，理由如下： ∵，点坐标为 ∴ ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∴将代入 ∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物；     （3）      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可； （3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可． (1) 小问详解： ∵当时， ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ∵正方形， ∴ ∴如图所示， ∵抛物线开口向下 ∴ ∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点） ∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴的取值范围为． 【点睛】 此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是解题的关键． 13．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线：与反比例函数的图象交于，两点． （1）求该反比例函数的解析式及的值； （2）判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1），     （2）点在该反比例函数的图象上，理由见解答      【分析】 （1）因为点在双曲线上，所以代入点坐标即可求出双曲线的函数关系式，又因为点在双曲线上，代入即可求出的值； （2）先求出点的坐标，判断即可得出结论． (1) 小问详解： 解：将点代入中，得， 反比例函数的解析式为， 将点代入中， 得； (2) 小问详解： 解：因为四边形是菱形，，， ，， ， 由（1）知双曲线的解析式为； ， 点在双曲线上． 【点睛】 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，解题的关键是用表示出点的坐标． 14．（2022·贵州安顺·中考真题）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点，例如：点，，，……都是和谐点． （1）判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点． ①求，的值； ②若时，函数的最小值为－1，最大值为3，求实数的取值范围． 【答案】（1）存在，     （2）①；      【分析】 （1）根据定义可知，和谐点都在上，联立两直线解析式即可求解； （2）① 根据题意可知二次函数与相切于点，据此即可求解； ② 根据① 得到解析式，根据二次函数图象的性质分析即可求解． (1) 小问详解： 解：∵点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点， ∴和谐点都在上， ， 解得 ， 上的和谐点为； (2) 小问详解： 解：① ∵二次函数的图象上有且只有一个和谐点， ∴ 即有两个相等的实数根， ， 解得① ， 将代入得， ， 联立① ② ，得， ②， ， 其顶点坐标为，则最大值为3， 在时，随的增大而增大，当时，， 根据对称轴可知，当时，， 时，函数的最小值为－1，最大值为3， 根据函数图象可知，当时，函数的最小值为－1，最大值为3， 实数的取值范围为：． 【点睛】 本题考查了新定义问题，两直线交点问题，一次函数与抛物线交点问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，理解新定义是解题的关键． 15．（2022·贵州贵阳·中考真题）已知二次函数y=ax2+4ax+b． （1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）； （2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(−1，e)，(−3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由； （3）点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，求二次函数的表达式． 【答案】（1）二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)；     （2） 当a<0时，e=f> c>d；当a>0时，e=f< c<d； 理由：由（1）知二次函数的图象的对称轴为直线x=-2， 又∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6， ∴A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)， 当a<0时，画出草图如图： ∴e=f> c>d； 当a>0时，画出草图如图： ∴e=f< c<d；     （3）二次函数的表达式为y=x2x-或y=x2x+．      【分析】 （1）利用配方法即可求解； （2）由对称轴为直线x=-2，AB=6，得到A，B两点的坐标分别为(-5，0)，(1，0)，画出草图，分两种情况，利用数形结合求解即可； （3）分两种情况，利用数形结合求解即可． (1) 小问详解： 解：∵y=ax2+4ax+b=a(x2+4x+4-4)+b= a(x+2)2+b-4a， ∴二次函数图象的顶点坐标为(-2，b-4a)； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点， 当a<0时， 根据题意：当m=-2时，函数有最大值为1，当m=1时，函数值为-1， 即 ，解得： ， ∴二次函数的表达式为y=x2x+． 当a>0时， 根据题意：当m=-2时，函数有最小值为-1，当m=1时，函数值为1， 即 ，解得： ， ∴二次函数的表达式为y=x2x-． 综上，二次函数的表达式为y=x2x-或y=x2x+． 【点睛】 此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式等知识和方法，解第（2）（3）题时应注意分类讨论，求出所有符合条件的结果． 16．（2022·贵州黔东南州中·中考真题）如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形     （3）存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或．      【分析】 （1）根据抛物线的对称轴是直线，可得a=-1，再把点代入，即可求解； （2）先求出，设点N（m，-m+3），可得，，再分三种情况讨论：当AC=AN时，当AC=CN时，当AN=CN时，即可求解； （3）设点E（1，n），点F（s，t），然后分两种情况讨论：当BC为边时，当BC为对角线时，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得：a=-1， ∵抛物线过点， ∴，解得：c=3， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下： 令y=0，则， 解得：， ∴点A的坐标为（-1，0）， ∴OA=1， 当x=0时，y=3， ∴点C的坐标为（0，3），即OC=3， ∴， 设直线BC的解析式为， 把点B（3，0），C（0，3）代入得： ，解得： ， ∴直线BC的解析式为， 设点N（m，-m+3）， ∴MN=-m+3，AM=m+1， ∴，， 当AC=AN时，， 解得：m=2或0（舍去）， ∴此时点N（2，1）； 当AC=CN时，， 解得：或（舍去）， ∴此时点N； 当AN=CN时，， 解得：， ∴此时点N； 综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形； (3) 小问详解： 解：存在，理由如下： ∵点B（3，0），C（0，3）， ∴OB=OC， ∴BC， 设点E（1，n），点F（s，t）， 当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图， ∴ 或 ， 解得： 或 ， ∴此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）； 当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图， ，解得： 或 ， ∴此时点F的坐标为或； 综上所述，存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键是解题的关键． 17．（2022·贵州黔西南州中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的表达式； （2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标； （3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）或或     （3）存在，或或或      【分析】 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； (2)求出直线AB的表达式为，设，，分当M在N点上方时，．和当M在N点下方时，，即可求出M的坐标； （3）画出图形，分AC是四边形的边和AC是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理、相似三角形的判定与性质、函数图像的交点、平移等知识点进行解答即可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵抛物线过点， ∴ ，解得 ， ∴抛物线的表达式为． (2) 小问详解： 设直线AB的解析式为：， ∵直线AB经过，， ∴ ， ∴ ， ∴直线AB的表达式为． ∵轴，可设，，其中． 当M在N点上方时，． 解得，（舍去）． ∴． 当M在N点下方时， ． 解得，． ∴，． 综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，． (3) 小问详解： 存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，． 理由如下： ① 如图，若AC是四边形的边． 当时， ∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点． 过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，， ∵，， ∴，，． ∵， ∴． ∴． ∴点与点D重合． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到． ∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到． 此时直线的解析式为． ∵直线与平行且过点， ∴直线的解析式为． ∵点是直线与拋物线的交点， ∴． 解得，（舍去）． ∴．当时，四边形是矩形． ∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到． ∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到． ② 如图，若AC是四边形的对角线， 当时．过点作轴，垂足为H，过点C作，垂足为K． 可得，． ∴． ∴． ∴． ∵点P不与点A，C重合， ∴和． ∴． ∴． ∴如图，满足条件的点P有两个．即，． 当时，四边形是矩形． ∵向左平移个单位，向下平移个单位得到． ∴向左平移个单位，向下平移个单位得到． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移个单位，向上平移个单位得到． ∴向右平移个单位，向上平移个单位得到． 综上，满足条件的点Q的坐标为或或或． 【点睛】 本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式、勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形、进行分类讨论是解题的关键． 18．（2022·贵州遵义·中考真题）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为． （1）写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标； （2）若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，． ①当时，求点的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】（1），顶点为     （2）①或；②或．      【分析】 （1）根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标； （2）① 设，则，，根据题意建立方程解方程即可求解； ② 根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可． (1) 小问详解： 解：抛物线的“关联抛物线”为， 根据题意可得，的解析式 顶点为 (2) 小问详解： 解：① 设，则， ∴ 当时， 解得， 当时，方程无解 或 ②的解析式 顶点为，对称轴为 ， 当时，即时， 函数的最大值为，最小值为 的最大值与最小值的差为 解得（，舍去） 当时，且即时， 函数的最大值为，最小值为 的最大值与最小值的差为 解得（，舍去） 当时，即时，抛物线开向上，对称轴右侧随的增大而增大， 函数的最大值为，最小值为 的最大值与最小值的差为 即 即 解得（舍去） 综上所述，或． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键． 19．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值； （3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在；或或或      【分析】 （1）根据抛物线顶点坐标即可求解； （2）由题意得，求BC的表达式为：；抛物线平移后的表达式为：，根据题意得， 即可求解； （3）设，根据平行四边形的性质进行求解即可． (1) 小问详解： 解：由可知， ，解得： ， ∴． (2) 小问详解： 分别令中，得，，； 设BC的表达式为：， 将，代入得， 解得： ； ∴BC的表达式为：； 抛物线平移后的表达式为：， 根据题意得， ，即， ∵该抛物线与直线始终有交点， ∴， ∴， ∴h的最大值为． (3) 小问详解： 存在，理由如下： 将代入中得， ① 当DE为平行四边形的一条边时， ∵四边形DEMN是平行四边形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∴设，， 当时，解得：，（舍去）， ∴， 当时，解得：， ∴或； ② 当DE为平行四边形的对角线时，设，， ∵D、E的中点坐标为：（2，0）， ∴M、N的中点坐标为：（2，0）， ∴ ， 解得： ， （舍去）， ∴此时点N的坐标为（3，0）； 综上分析可知，点N的坐标为：或或或（3，0）． 【点睛】 本题主要考查二次函数与一次函数的综合应用、平行四边形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 考点02 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（2026·贵州·中考真题）一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，，若，把，，，这四个数按从小到大的顺序用“”连接起来：　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设，，根据方程的根的情况，判断抛物线与轴的交点个数，对称轴的位置，以及两条抛物线的开口大小，即可得出结果． 【详解】 解：设，， 则两个函数都经过点，对称轴分别为和， ∵一元二次方程的两根分别是，，一元二次方程的两根分别是，， ∴，为抛物线与轴的交点的横坐标，，为抛物线与轴的交点的横坐标， ∵， ∴抛物线与抛物线的对称轴均在轴的左侧， ∴，， ∴，， ∴两条抛物线的开口向上， ∵， ∴抛物线的开口大于抛物线的开口， ∴， ∵两条抛物线与轴都有两个交点， ∴，， ∴，， 综上：． 考点03 二次函数的实际应用 1．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … （1）求y与x的函数表达式； （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】（1）     （2）糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元     （3）2      【分析】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得 ， 解得 ， ∴y与x的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； (3) 小问详解： 解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 2．（2023·贵州·中考真题）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1． （1）求抛物线的表达式； （2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 【答案】（1）     （2）点的坐标为     （3）      【分析】 （1）设抛物线的解析式为，将，代入即可求解； （2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可； （3）分和两种情况，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解． (1) 小问详解： 解：抛物线的对称轴与y轴重合， 设抛物线的解析式为， ，， ，， 将，代入，得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解： 抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1， 当时，， ， 作点B关于y轴的对称点， 则，， ， 当，，A共线时，拉杆长度之和最短， 设直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为，位置如下图所示： (3) 小问详解： 解：中， 抛物线开口向下， 当时， 在范围内，当时，y取最小值，最小值为： 则， 解得， ； 当时， 在范围内，当时，y取最小值，最小值为： 则， 解得， ； 综上可知，或， 的取值范围为． 【点睛】 本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值，抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第3问注意分情况讨论． 3．（2022·贵州铜仁·中考真题）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题： （1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1），     （2）将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．       【分析】 （1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润=销售量×（批发价－成本价），列出销售利润w（元）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． (1) 小问详解： 解：根据题意得， 所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式， 自变量x的取值范围是 (2) 小问详解： 解：设每天获得的利润为w千元，根据题意得 ， ∵， ∴当，W随x的增大而增大． ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元． 【点睛】 本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 1．（2026·贵州·中考模拟）如图，在中，，，是边上一动点，过点作，交于点，连接，设，的面积为，则关于的函数图象大致为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据的面积，列出关于的函数，再由函数类型判断图象即可． 【详解】 由题意，当在线段边上运动时（不含两点），，， ， 为等腰直角三角形， ，且， 为等腰直角三角形， ， 的面积为， 关于的函数为二次函数，函数图象为开口向下的抛物线， 只有选项C的图象符合． 2．（2026·贵州铜仁·中考模拟）如图，小明同学很喜欢排球运动，他发现排球的运动轨迹可以近似地看作一条抛物线，如图，他通常站在与球网水平距离为米的点处发球，通过跳跃使排球出发点距地面高米，当排球与发球点水平距离为米时，排球到达运动轨迹的最高点，已知排球网顶端距地面的高度为米，若以小明站立点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）图中点坐标是          ，点坐标是          ； （2）若排球刚好越过排球网，请求出排球运动轨迹的函数表达式； （3）小明和小天是同组队员，在一次比赛对阵中，对方回击排球的运动轨迹满足（），小明准备在点处接球，小天准备在点处接球，已知，两点均在抛物线上，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】（1），；     （2）；     （3）．      【分析】 （1）结合题意和示意图即可得出坐标； （2）设满足排球运动轨迹的函数关系式为，将，代入求出、的值即可； （3）先由，在抛物线上得出，，再由，，即可推出的取值范围． (1) 小问详解： 解：依题得：点在轴上，且距点距离为， 球网与点的水平距离为，球网顶端距地面的高度为， 则，； (2) 小问详解： 解：当排球与发球点水平距离为米时，排球达到最高点， 设满足排球运动轨迹的函数关系式为， 代入，得 ， 解得 ， 排球运动轨迹的函数关系式为； (3) 小问详解： 解：回击后排球运动轨迹为 ， 又，在抛物线上，， ， ， 又， ， ， 即， 又， ，， ， 即 ，则 ； 又， ， 即， 又， 的取值范围是． 【点睛】 本题考查的知识点是求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数的实际应用，解题关键是正确理解题意，结合题意得出小明发球的排球运动轨迹函数表达式． 试卷第1页，共3页 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $