专题16 几何压轴综合题（5年汇编）（贵州专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题16几何压轴综合题 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 考情示例 命题规律 考点01几何压轴综合题 2024贵州(1题)、2022贵州贵阳(1 ·情境设置：以几何图形为背景，融合 题)、2022贵州铜仁(1题)· 动点、折叠、旋转等操作。 考查重点：全等与相似、面积计算、 线段数量关系及最值。 命题趋势：强化多解探究与分类讨 论，注重几何变换综合。 考点02综合与实践 2024贵州(1题)、2022贵州黔东南 ·情境设置：结合物理实验或阅读材 州(1题)， 料，跨学科融合。 考查重点：解直角三角形、等边三角 形性质及建模能力。 命题趋势：突出实践操作与数学建 模，强调知识迁移。 五年真题分类园 品考点01几何压轴综合题 1.(2024贵州·中考真题)综合与探究：如图，∠AOB=90°，点P在∠AOB的平分线上， PA⊥OA于点A. A D 4 A B N B 图① 图② 备用图 (1)【操作判断】 如图①，过点P作PC⊥OB于点C,根据题意在图①中画出PC,图中∠APC的度数为度： (2)【问题探究】 114 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图②，点M在线段AO上，连接PM,过点P作PN⊥PM交射线OB于点N,求证： OM+ON=2PA: (3)【拓展延伸】 点M在射线AO上，连接PM,过点P作PN⊥PM交射线OB于点N,射线NM与射线PO相交于点 OP E,若0N=30M,求OF的值. 90 (2) 证明：过P作PC⊥OB于C, A ▣ M 0 C N B 2.(2022贵州贵阳·中考真题)如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E, AC=BC=6cm,∠ACB=∠ADB=90°.若BE=2AD,则△ABE的面积是 cm, ∠AEB= 度 C E A B 3.(2022贵州铜仁中考真题)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0，记△COD 的面积为S1,△AOB的面积为S2. (1)问题解决：如图①，若AB1CD,求证：S1_OC·OD S2OA·OB (2)探索推广：如图②，若AB与CD不平行，(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立， 请说明理由。 (3)拓展应用：如图③，在OA上取一点E,使OE=OC,过点E作EF‖CD交OD于点F,点H为 AB的中点·OH交EF于点G,且0G=2GH若0E=5,求S值. 0A6S2 214 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D E H B ① ② ⑨ 0考点02综合与实践 1.(2024贵州中考真题)综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综 合性学习. 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽 内壁AC的夹角为∠A; 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水.（直线NN为法线，AO为入射光线， OD为折射光线.) 【测量数据】 如图，点A,B,C,D,E,F,O,N,N在同一平面内，测得AC=20Cm,∠A=45°，折射角 ∠DON=32°. N 45 空气 H 32 W D B 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求BC的长： (2)求B,D之间的距离（结果精确到0.1cm)· (参考数据：sin32°≈0.52，c0s32°≈0.84，tan32°≈0.62) 2.(2022贵州黔东南州中.中考真题)（多选)阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样 一个几何问题： 如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上. 314 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E A D 求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形. (1)【探究发现】小明通过探究发现：连接DC,根据已知条件，可以证明DC=AE, ∠ADC=120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形. 请你根据小明的思路，写出完整的证明过程， (2)【拓展迁移】如图，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上. G B C ①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由. ②若AE2+AG=10,试求出正方形ABCD的面积. 414 专题16 几何压轴综合题 5年真题1年模拟·答案版 考点01 几何压轴综合题 1．（1） 90     （2） 证明：过P作于C， 由（1）知：四边形是矩形， ∵点P在的平分线上，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ；     （3）或      2．①     ② 3．【答案】（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F， ∴， ∴， ， ∵∠DOE=∠BOF， ∴； ∴； （2）（1）中的结论成立，理由如下： 如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F， ∴， ∴， ， ∵∠DOE=∠BOF， ∴； ∴； （3） 【分析】 （1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，求出，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）同（1）求解即可； （3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，先证明△OEF≌△OCD，得到OD=OF，证明△OEF∽△OAM，得到，设，则，证明△OGF∽△OHN，推出，，则，由（2）结论求解即可． 【详解】 解：（1） 略 （2） 略 （3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN， ∵， ∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF， 又∵OE=OC， ∴△OEF≌△OCD（AAS）， ∴OD=OF， ∵， ∴△OEF∽△OAM， ∴， 设，则， ∵H是AB的中点，N是BM的中点， ∴HN是△ABM的中位线， ∴， ∴△OGF∽△OHN， ∴， ∵OG=2GH， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键． 考点02 综合与实践 1．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据等腰三角形的性质计算出的值； （2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可． (1) 小问详解： 解：在中，， ∴， ∴， (2) 小问详解： 解：由题可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 2．【答案】（1） 证明：∵△ABC与△EBD均为等边三角形， ∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°， ∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC， ∴∠EBA=∠DBC， 在△EBA和△DBC中， ， ∴△EBA≌△DBC（SAS）， ∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD， ∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°， ∴△ADC为钝角三角形， ∴以、、为边的三角形是钝角三角形．      （2） 证明：① 以、、为边的三角形是直角三角形． 连结CG， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB， ∵EG为正方形的对角线， ∴∠BEA=∠BGE=45°， ∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°， ∴∠EBA=∠GBC， 在△EBA和△GBC中， ， ∴△EBA≌△GBC（SAS）， ∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°， ∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°， ∴△AGC为直角三角形， ∴以、、为边的三角形是直角三角形； ②S四边形ABCD=      【分析】 （1）根据等边三角形性质得出，BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，再证△EBA≌△DBC（SAS）∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，可得△ADC为钝角三角形即可； （2）① 以、、为边的三角形是直角三角形，连结CG，根据正方形性质，得出∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∠BEA=∠BGE=45°，再证△EBA≌△GBC（SAS）得出AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，可证△AGC为直角三角形即可；② 连结BD，根据勾股定理求出AC=，然后利用正方形的面积公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ①略 ② 连结BD， ∵△AGC为直角三角形，， 由（2）可知，AE=CG， ∴AC=， ∴四边形ABCD为正方形， ∴AC=BD=， ∴S四边形ABCD=． 【点睛】 本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理是解题关键． 试卷第1页，共3页 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 几何压轴综合题 5年真题1年模拟 考点分类 考情示例 命题规律 考点01 几何压轴综合题 '2024贵州（1题）、2022贵州贵阳（1题）、2022贵州铜仁（1题）' · 情境设置：以几何图形为背景，融合动点、折叠、旋转等操作。 · 考查重点：全等与相似、面积计算、线段数量关系及最值。 · 命题趋势：强化多解探究与分类讨论，注重几何变换综合。 考点02 综合与实践 '2024贵州（1题）、2022贵州黔东南州（1题）' · 情境设置：结合物理实验或阅读材料，跨学科融合。 · 考查重点：解直角三角形、等边三角形性质及建模能力。 · 命题趋势：突出实践操作与数学建模，强调知识迁移。 考点01 几何压轴综合题 1．（2024·贵州·中考真题）综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． （1）【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； （3）【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 【答案】（1） 如图，即为所求， 90     （2） 证明：过P作于C， 由（1）知：四边形是矩形， ∵点P在的平分线上，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ；     （3）或      【分析】 （1）依题意画出图形即可，证明四边形是矩形，即可求解； （2）过P作于C，证明矩形是正方形，得出，利用证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证； （3）分M在线段，线段的延长线讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可； (1) 小问详解： 解：如图，即为所求， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：90； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 当M在线段上时，如图，延长、相交于点G， 由（2）知， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 当M在的延长线上时，如图，过P作于C，并延长交于G 由（2）知：四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】 本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键． 2．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在四边形中，对角线，相交于点，，．若，则的面积是　　　　　　　，　　　　　　　度． 【答案】①     ② 【分析】 通过证明，利用相似三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出其长度，即可求三角形ABE的面积，过点E作EF⊥AB，垂足为F，证明是等腰直角三角形，再求出，继而证明，可知，利用外角的性质即可求解． 【详解】 ， ， ， ， 设， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得或， 对角线，相交于点， ， ， ， ， 过点E作EF⊥AB，垂足为F， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为． （1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证： （2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值． 【答案】（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F， ∴， ∴， ， ∵∠DOE=∠BOF， ∴； ∴； （2）（1）中的结论成立，理由如下： 如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F， ∴， ∴， ， ∵∠DOE=∠BOF， ∴； ∴； （3） 【分析】 （1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，求出，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）同（1）求解即可； （3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，先证明△OEF≌△OCD，得到OD=OF，证明△OEF∽△OAM，得到，设，则，证明△OGF∽△OHN，推出，，则，由（2）结论求解即可． 【详解】 解：（1） 略 （2） 略 （3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN， ∵， ∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF， 又∵OE=OC， ∴△OEF≌△OCD（AAS）， ∴OD=OF， ∵， ∴△OEF∽△OAM， ∴， 设，则， ∵H是AB的中点，N是BM的中点， ∴HN是△ABM的中位线， ∴， ∴△OGF∽△OHN， ∴， ∵OG=2GH， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键． 考点02 综合与实践 1．（2024·贵州·中考真题）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据等腰三角形的性质计算出的值； （2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可． (1) 小问详解： 解：在中，， ∴， ∴， (2) 小问详解： 解：由题可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 2．（2022·贵州黔东南州中·中考真题）（多选）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． （1）【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形． 请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． （2）【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①试猜想：以、、为边的三角形的形状，并说明理由． ②若，试求出正方形的面积． 【答案】（1） 证明：∵△ABC与△EBD均为等边三角形， ∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°， ∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC， ∴∠EBA=∠DBC， 在△EBA和△DBC中， ， ∴△EBA≌△DBC（SAS）， ∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD， ∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°， ∴△ADC为钝角三角形， ∴以、、为边的三角形是钝角三角形．      （2） 证明：① 以、、为边的三角形是直角三角形． 连结CG， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB， ∵EG为正方形的对角线， ∴∠BEA=∠BGE=45°， ∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°， ∴∠EBA=∠GBC， 在△EBA和△GBC中， ， ∴△EBA≌△GBC（SAS）， ∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°， ∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°， ∴△AGC为直角三角形， ∴以、、为边的三角形是直角三角形； ②S四边形ABCD=      【分析】 （1）根据等边三角形性质得出，BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，再证△EBA≌△DBC（SAS）∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，可得△ADC为钝角三角形即可； （2）① 以、、为边的三角形是直角三角形，连结CG，根据正方形性质，得出∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∠BEA=∠BGE=45°，再证△EBA≌△GBC（SAS）得出AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，可证△AGC为直角三角形即可；② 连结BD，根据勾股定理求出AC=，然后利用正方形的面积公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ①略 ② 连结BD， ∵△AGC为直角三角形，， 由（2）可知，AE=CG， ∴AC=， ∴四边形ABCD为正方形， ∴AC=BD=， ∴S四边形ABCD=． 【点睛】 本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理是解题关键． 试卷第1页，共3页 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $