精品解析：重庆市开州区西街初级中学2025-2026学年 上学期九年级数学期中试题

西街初中教育集团2025—2026学年度九（上）期中测试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题 1. 在3，﹣2，0，﹣1这四个数中，绝对值最小的数是（　　） A. 3 B. ﹣2 C. 0 D. ﹣1 2. 中国的航天技术已跨入世界先进行列．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 某公司六月份营业额为万元，七月份、八月份的营业额共为万元，如果营业额的月平均增长率相同，设七月份、八月份的营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图像上有三个点，则的大小关系为（） A. B. C. D. 8. 黑色围棋子按如图所示的规律摆放．其中第①个图案有1颗棋子，第②个图案有4颗棋子，第③个图案有7颗棋子，第④个图案有10颗棋子，……，按此规律排列，第9个图案有（ ）颗棋子 A. 19 B. 22 C. 25 D. 30 9. 如图，正方形中，点E在上，，连接，过点E作交的延长线于点F，再过点F作，，连接，则的值为（ ） A B. C. D. 10. 已知第一象限内有一点，过点A作关于直线的对称点，再将点B1向右平移a个单位得点；过点作关于直线的对称点，再将点向右平移个单位得点；过点作关于直线的对称点，再将点向右平移个单位得点；…，依次进行对称、平移交替操作得到点，．下列说法： ① 当，时，； ② ； ③ 记点的横坐标为，则． 其中正确的个数是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题 11. 计算：_______． 12. 关于的一元二次方程有实数根，则满足_________． 13. 如图，二次函数部分图象与轴交于，该函数图象的顶点坐标为，则该函数图象与轴的另一个交点坐标为_________． 14. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到，点正好落在的延长线上，若，则的度数为________． 15. 如图，四边形内接于，，，，，交的延长线于点，则_________；的半径为__________． 16. 一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，如果前两位数字所组成的两位数与后两位数字组成的两位数的和等于，那么就称这个数为“满分数”，把“满分数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设．例如：一个四位数5694，∵，∴是“满分数”，且．则__________；若是“满分数”，且是整数，则满足条件的所有的和为________． 三、解答题 17. （1）解方程：； （2）求不等式组的解集． 18. 如图，在平行四边形中，平分交于． （1）用尺规作图完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，．连接；（保留作图痕迹，不写作法和结论．） （2）根据（1）中作图，证明四边形是菱形，请你补全证明过程． 证明：四边形是平行四边形， ∴，∴ 又∵平分 ∴ ① ∴ ∴ ② ∴点在直线上 ∵垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ③ 又∵ ∴四边形是平行四边形（ ④ ） 又∵ ∴ ⑤ 19. 为了提高学生防毒禁毒意识，某中学住八、九年龄开展了防毒禁毒知识竞赛，现从八、九年级中各随机抽取a名同学的竞赛成绩进行收集、整理、分析，过程如下：（调查数据用整数x表示，共分为四个等级： A等：、B等：、C等：、D等：．其中A等级为优秀，单位：分） 八年级抽取的A等学生人数是C等学生人数的． 九年级抽取的B等学生成绩为：81，83，84，84，86，88，88，88，88． 八年级所抽学生竞赛成绩条形统计图 九年级所抽学生竞赛成绩扇形统计图 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 85 85 中位数 82 b 众数 86 88 优秀率 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：______，______，______，补全条形统计图； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若读校八年级有900人，九年级有1200人，估计两个年级的竞赛成绩被评为优秀的学生总人数是多少？ 20. 先化简，再求值：，然后从中选取的一个适当的数作为的值代入求值． 21. 如图，是的内接三角形，是直径，是的中点，交的延长线于． （1）求证：是的切线； （2）点是上一点，连接，，以为圆心，长为半径画圆弧，使点在该圆弧上，再将分别沿，向内翻折，若，求图中阴影部分的面积和．（结果保留） 22. 某文具店在售的两种魔方，三阶和四阶魔方的成本分别为元和元，已知三阶魔方每个的售价是四阶魔方每个售价的，已知用元购买三阶魔方的个数比用元购买四阶魔方的个数少个． （1）求三阶和四阶魔方每个的售价分别为多少元？ （2）随着开学季魔方热潮来袭，该文具店在月份对三阶和四阶魔方售价进行了调整，每个三阶魔方的售价上调了，每个四阶魔方的售价上调了，月底经统计月三阶魔方的销售量为个，四阶魔方的销售量为个，若要保证月的总利润为元，求的值． 23. 如图，四边形是边长为6的正方形，是正方形的中心，动点从点出发沿折线方向运动，到达点停止，在上的运动速度为每秒1个单位长度，在上的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）一次函数的图像与的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围________． 24. 如图，抛物线（）与轴交于点、，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，点是直线上方抛物线上一动点，当四边形的面积最大时，在轴上是否存在一点，使得的值最大，请求出此时的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，是新抛物线对称轴上一点，是新抛物线上一点，使得、、、四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 25. 如图，已知△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE，将△CDE绕着点C旋转． （1）如图1，当点D在△ABC内部时，连接AD，若CD平分∠ACB，且CD＝2，CA＝5，求AD的长度； （2）如图2，当点D在△ABC外部时，连接AE，F为AE的中点，连接FD并延长到点G，连接EG，若EG＝EB，求证：∠EGF＝∠FDA； （3）如图3，当点D在△ABC中线CF上时，在线段BF上取一点Q（不与F点重合），连接DQ，将△FDQ沿DQ翻折得到△F'DQ，连接BF'、EF'，若CD＝2，AC＝3，当BF'最小时，求△DEF'的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西街初中教育集团2025—2026学年度九（上）期中测试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题 1. 在3，﹣2，0，﹣1这四个数中，绝对值最小的数是（　　） A. 3 B. ﹣2 C. 0 D. ﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】先求出这四个数的绝对值，再找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵3，-2，0，-1的绝对值分别是3，2，0，1， ∴绝对值最小的数是0； 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的大小比较和绝对值，用到的知识点是绝对值、有理数的大小比较，关键是先求出这四个数的绝对值． 2. 中国的航天技术已跨入世界先进行列．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，幂的乘方，同底数幂的乘除法等，根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，完全平方公式运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意；     D．，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理的应用，由圆周角定理可以求得的度数，再由是的直径可得是直角三角形，再由直角三角形的性质即可得到的度数，熟练掌握圆周角的性质和定理、直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由圆周角定理可得：， ∵是的直径， ∴ ∴， ∴， 故选． 5. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的方法以及算术平方根的定义是正确解答的关键． 利用二次根式混合运算方法先进行化简，再根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：原式 即 ， 故选：B 6. 某公司六月份的营业额为万元，七月份、八月份的营业额共为万元，如果营业额的月平均增长率相同，设七月份、八月份的营业额的月平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和题目中的数据，那么七月份为，八月份为，因为七月份、八月份的营业额共为万元，那么，即可解答本题． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程． 7. 已知二次函数的图像上有三个点，则的大小关系为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，解题关键是根据由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．对二次函数，对称轴，在对称轴两侧时，则、、的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断、、的大小． 【详解】解：在二次函数，对称轴， 在图像上的三点， ， 则、、的大小关系为：． 故选：B． 8. 黑色围棋子按如图所示的规律摆放．其中第①个图案有1颗棋子，第②个图案有4颗棋子，第③个图案有7颗棋子，第④个图案有10颗棋子，……，按此规律排列，第9个图案有（ ）颗棋子 A. 19 B. 22 C. 25 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图形的规律探索，根据图形规律推导得到第n个图案的棋子数是解题的关键． 首先根据规律得出第n个图案有颗棋子，进而当时求解即可． 【详解】解：∵第①个图案有1颗棋子，第②个图案有4颗棋子，第③个图案有7颗棋子，第④个图案有10颗棋子… ∴由此可得：第n个图案有颗棋子， ∴当时，， ∴第9个图案有25颗棋子， 故选：C． 9. 如图，正方形中，点E在上，，连接，过点E作交的延长线于点F，再过点F作，，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，垂足分别为，先证明，四边形为正方形，过点G作，交延长线于点，再证明，设，由得，则，，，分别在中，运用勾股定理求得，，即可求出比值． 【详解】解：过点作，垂足分别为，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， 过点G作，交延长线于点， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，分别由勾股定理得：，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的综合问题，平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理，正确构造全等三角形是解题的关键． 10. 已知第一象限内有一点，过点A作关于直线的对称点，再将点B1向右平移a个单位得点；过点作关于直线的对称点，再将点向右平移个单位得点；过点作关于直线的对称点，再将点向右平移个单位得点；…，依次进行对称、平移交替操作得到点，．下列说法： ① 当，时，； ② ； ③ 记点横坐标为，则． 其中正确的个数是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题干信息分别得出从，再总结归纳可判断①，②，再由成立，推出矛盾即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ，， ，， ，， ∴，， ，， ，， ， ， ， ， 当，时， ，， ∴，故①符合题意；②不符合题意； ∵若成立， ∴， ∴， ∵第一象限内有一点， ∴，， 结合前面推导：，， ∴， ∴错误，故③不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，轴对称的性质，规律探究，逆推思想的应用，掌握解题方法是解本题的关键． 二、填空题 11. 计算：_______． 【答案】 10 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，包括负整数指数幂、零指数幂和绝对值的计算．正确计算是解题的关键．先计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值，然后进行加减运算． 【详解】计算：， ， ． 因此，原式故答案为：10. 12. 关于的一元二次方程有实数根，则满足_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是掌握相关知识.根据题意得：，且，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得：，且， 故答案为：，且． 13. 如图，二次函数的部分图象与轴交于，该函数图象的顶点坐标为，则该函数图象与轴的另一个交点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据对称轴写出与轴的交点坐标是解题的关键． 首先根据顶点坐标得到对称轴，再根据一个与轴的交点写出另一个与轴的交点即可． 【详解】解：∵函数图象的顶点坐标为， ∴函数图象的对称轴为直线， ∵二次函数的部分图象与轴交于， ∴另一个交点为， 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点是边上一点，连接，把沿直线翻折到菱形所在平面内得到，点正好落在的延长线上，若，则的度数为________． 【答案】##46度 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质、折叠的性质、等边对等角，利用折叠的性质得到等边对等角是解题的关键． 首先根据菱形的性质得出，再根据折叠得到，，即可将拆分为进行计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，四边形内接于，，，，，交的延长线于点，则_________；的半径为__________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】根据圆周角定理得出相等的角，证明，得出相等的边，再证明四边形为正方形，即可求出长度；利用含角的直角三角形的性质得出边的关系，假设，表示出相关线段的长度，根据直径定理确定直径，然后根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，，且， ∴四边形为正方形， ∴； ∵， ∴， 假设，则，， ∵， ∴为的直径， ∴， 由勾股定理得，， 即， 解得（负值已舍）， ∴， ∴的半径为； 故答案为：3,． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，勾股定理，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，直径定理，勾股定理，圆周角定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 16. 一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，如果前两位数字所组成的两位数与后两位数字组成的两位数的和等于，那么就称这个数为“满分数”，把“满分数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设．例如：一个四位数5694，∵，∴是“满分数”，且．则__________；若是“满分数”，且是整数，则满足条件的所有的和为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，能够理解题意是解题的关键． （1）根据题意得到； （2）先根据题意得到，，进一步得到是整数，设，其中为正整数，求出或，据此进行分类求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴是“满分数”， ∴． （2）∵是“满分数”，， ∴， ∴， ， ， ． ∵， ∴， ∴， ， ， ． ∵，， ∴， ， ． ∵整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴是的倍数， 令，其中k为正整数． ∵互不相等， ∴，， ∴， ∴， ∴， 则， 即或， （i）当时，，则，， ①当，时，此时，不符合题意； ②当，时，此时，不符合题意； ③当，时，此时，不符合题意； ④当，时，此时，不满足各个数位上的数字互不相等，不符合题意； （ii）当时，，则，， ①当，时，此时，即， ，符合题意，则； ②当，时，此时，即， ，不满足各个数位上的数字互不相等，故不符合题意； ③当，时，此时，即，，符合题意， 则； ④当，时，此时，即，，符合题意， 则； ∴符合条件的有，，， ∴， ∴满足条件的所有的和为． 故答案为：，． 三、解答题 17. （1）解方程：； （2）求不等式组的解集． 【答案】(1) ，； (2) 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）， ∴， 则或， 解得，； （2）， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 则不等式组的解集为 ． 18. 如图，在平行四边形中，平分交于． （1）用尺规作图完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，．连接；（保留作图痕迹，不写作法和结论．） （2）根据（1）中作图，证明四边形是菱形，请你补全证明过程． 证明：四边形是平行四边形， ∴，∴ 又∵平分 ∴ ① ∴ ∴ ② ∴点在直线上 ∵垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ③ 又∵ ∴四边形是平行四边形（ ④ ） 又∵ ∴ ⑤ 【答案】（1）画图见详解 （2）①，②，③，④对边平行且相等，⑤平行四边形是菱形形（邻边相等的平行四边形是菱形） 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图和菱形的判定，根据菱形的判定方法证明菱形是解题的关键． （1）根据作垂直平分线的方法画出符合题目要求的图形即可； （2）根据题干给出的证明过程，按照邻边相等的平行四边形是菱形逐步证明即可． 【详解】（1）解：如图，画图即为所求作； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上， ∵垂直平分， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形（对边平行且相等）， 又∵， ∴平行四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）， ∴①，②，③，④对边平行且相等，⑤平行四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）． 19. 为了提高学生防毒禁毒意识，某中学住八、九年龄开展了防毒禁毒知识竞赛，现从八、九年级中各随机抽取a名同学的竞赛成绩进行收集、整理、分析，过程如下：（调查数据用整数x表示，共分为四个等级： A等：、B等：、C等：、D等：．其中A等级为优秀，单位：分） 八年级抽取的A等学生人数是C等学生人数的． 九年级抽取的B等学生成绩为：81，83，84，84，86，88，88，88，88． 八年级所抽学生竞赛成绩条形统计图 九年级所抽学生竞赛成绩扇形统计图 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 85 85 中位数 82 b 众数 86 88 优秀率 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：______，______，______，补全条形统计图； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若读校八年级有900人，九年级有1200人，估计两个年级的竞赛成绩被评为优秀的学生总人数是多少？ 【答案】（1）20，85，10 （2）九年级学生的成绩更好，因为九年级的优秀率高于八年级的优秀率（答案不唯一）． （3）390人 【解析】 【分析】（1）用九年级B等学生除以占比即可求出，根据八年级B和D等分别有8和4人，以及八年级抽取的A等学生人数是C等学生人数的即可就出八年级A和C等人数，继而补全条形统计图，那么八年级的优秀率用人数除以总数即可求解，再根据众数和中位数的定义求解b； （2）答案不唯一，结合中位数、平均数、众数以及优秀率均可给出决策； （3）由八年级和九年级的总数分别乘以优秀率，再相加即可． 【小问1详解】 解：九年级B等学生有9人 ∴， ∵八年级B和D等分别有8和4人， ∴八年级A和C等共有人， ∵八年级抽取的A等学生人数是C等学生人数的， ∴A等学生人数有人， 则C等学生人数6人， 则补全统计图为： ∴八年级的优秀率为：， ∴， ∴九年级的优秀学生有：人，即有5人， ∵九年级抽取的B等学生成绩为：81，83，84，84，86，88，88，88，88，而众数为88， 则按照从大到小排列九年级学生成绩，则成绩为88，88，88，88的学生名次为第6，7，8，9名，第10名为86分，第11名为84分， ∵九年级为20名学生， ∴中位数为第10，11名学生的成绩的平均数， ∴中位数为：， ∴， 故答案为：20，85，10； 【小问2详解】 解：九年级学生的成绩更好，因为九年级的优秀率高于八年级的优秀率（答案不唯一）． 【小问3详解】 解：由题意得：人， 答：两个年级的竞赛成绩被评为优秀的学生总人数有390人． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合，画条形统计图，样本估计总体、中位数，运用中位数作决策等内容，难度适中，是常考题，正确掌握中位数的定义是解题的关键． 20. 先化简，再求值：，然后从中选取的一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】；当时，值为0 【解析】 【分析】题目主要考查分式和整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据整式的乘法运算及分式的混合运算法则计算求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴取，原式． 21. 如图，是的内接三角形，是直径，是的中点，交的延长线于． （1）求证：是的切线； （2）点是上一点，连接，，以为圆心，长为半径画圆弧，使点在该圆弧上，再将分别沿，向内翻折，若，求图中阴影部分的面积和．（结果保留） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，圆的切线判定以及扇形面积的计算，掌握圆的切线的判定与扇形的面积计算是解题的关键． （1）通过连接，利用圆周角定理、平行线性质等证明，从而判定直线是圆的切线； （2）连接，先根据已知条件判断等腰直角三角形，再利用勾股定理求出，进而计算，最后求出阴影部分面积． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的内接三角形，是直径， ， 在中，， 是的中点， ，是的半径， 根据圆周角和圆心角定理得， 交的延长线于， ， ， 在中，， ， 又是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， 点是上一点，以为圆心，长为半径画圆弧，使点在该圆弧上， ， 是的内接三角形，是直径，， ，， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ，， 又， ． 22. 某文具店在售的两种魔方，三阶和四阶魔方的成本分别为元和元，已知三阶魔方每个的售价是四阶魔方每个售价的，已知用元购买三阶魔方的个数比用元购买四阶魔方的个数少个． （1）求三阶和四阶魔方每个的售价分别为多少元？ （2）随着开学季魔方热潮来袭，该文具店在月份对三阶和四阶魔方的售价进行了调整，每个三阶魔方的售价上调了，每个四阶魔方的售价上调了，月底经统计月三阶魔方的销售量为个，四阶魔方的销售量为个，若要保证月的总利润为元，求的值． 【答案】（1） 三阶魔方每个售价为元，四阶魔方每个售价为元； （2） 的值为． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用． （1）设四阶魔方每个的售价为元，则三阶魔方每个的售价为元，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设四阶魔方每个的售价为元，则三阶魔方每个的售价为元， 根据题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）， 答：三阶魔方每个售价为元，四阶魔方每个售价为元． 【小问2详解】 解：根据题意可得， 解得， ∴的值为． 23. 如图，四边形是边长为6的正方形，是正方形的中心，动点从点出发沿折线方向运动，到达点停止，在上的运动速度为每秒1个单位长度，在上的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）一次函数的图像与的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围________． 【答案】（1） （2）画函数图象见详解，性质：当时，y随t的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】本题主要一次函数在实际问题的应用，掌握一次函数的解析式求解、数形结合是解题的关键． （1）首先将解析式分为两段情况，对两段分别表示出三角形的底边长和高，再进行列方程式进行求解即可； （2）结合（1）画出函数的图象，并写出该函数的一条性质即可； （3）利用数形结合的思想，判断直线的位置进行求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，如图，动点P在上运动，作于H， ∵， ∴， ∵是正方形的中心， ∴， ∴； ②当时，如图，动点P上运动，作， ∵， ∵是正方形的中心， ∴， ∴； ∴； 【小问2详解】 解：如图，即为所画的函数图象， 性质：当时，y随t的增大而减小； 【小问3详解】 解：∵一次函数是平行于的直线， ∴当经过时，解得：； 当经过时，解得：； ∴当时，一次函数的图象与y的图象有两个交点， 故答案为：． 24. 如图，抛物线（）与轴交于点、，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，点是直线上方抛物线上一动点，当四边形的面积最大时，在轴上是否存在一点，使得的值最大，请求出此时的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，是新抛物线对称轴上一点，是新抛物线上一点，使得、、、四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）在轴上存在一点，使得的值最大，此时的坐标为，的最大值为 （3）当、、、四点构成的四边形是平行四边形时，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用抛物线与轴交于点、代入即可求解抛物线的解析式； （2）首先分析当四边形的面积最大，且的面积为定值，即当的面积最大时，四边形的面积最大，进而推导当最长时，的面积最大，即四边形的面积最大，即可求出点P的坐标，当点P固定后，发现当点P，C，Q三点共线时，为最大值，即利用两点间的距离求解即可； （3）首先分析以、、、四点构成的四边形是平行四边形，存在以为边和以为对角线的两种情况，进而进行分类讨论，发现以为对角线的情况不符合题意，进而只需计算，且的情况即可，首先根据平移求出新抛物线的解析式，即可设，进而利用全等三角形求出点N的坐标，再结合（2）中的长度求解点M的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点、， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点P作轴交于点E， ∵， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，易得：， 设，则， ∵四边形的面积最大，且的面积为定值， ∴当的面积最大时，四边形的面积最大， ∵， ∴当最长时，的面积最大，即四边形的面积最大， ∵， 当时，最长，此时， ∴此时轴上存在一点，使得的值最大， ∵在中，， ∴当点P，C，Q三点共线时，为最大值， ∴， ∴在轴上存在一点，使得的值最大，此时的坐标为，的最大值为； 【小问3详解】 解：将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线， ∴原抛物线向上平移两个单位长度，向右平移两个单位长度即可得到新抛物线， ∴， ∴的对称轴为直线， ①：以为边时，如图，当四边形为平行四边形时，即，，过点P作轴，轴，交于点F，过点N作于点E， 设，由（2）得：，， ∴，， ∵，，轴 ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是新抛物线上一点， ∴， ∴，解得：， ∴； ②：以为边时，如图，当四边形为平行四边形时，即，，过点P作轴，轴，交于点K，过点N作于点J， 设，由（2）得：，， ∴，， 同理可证：， ∴， ∴， ∵是新抛物线上一点， ∴， ∴，解得：， ∴； ③：以为对角线时，如图，作的垂直平分线，发现此时点N，M在同一侧， ∴此情况无法构成平行四边形； 综上所述：当、、、四点构成的四边形是平行四边形时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数综合题、相似三角形、线段差的最大值，数形结合与构造辅助线是解题的关键． 25. 如图，已知△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE，将△CDE绕着点C旋转． （1）如图1，当点D在△ABC内部时，连接AD，若CD平分∠ACB，且CD＝2，CA＝5，求AD的长度； （2）如图2，当点D在△ABC外部时，连接AE，F为AE的中点，连接FD并延长到点G，连接EG，若EG＝EB，求证：∠EGF＝∠FDA； （3）如图3，当点D在△ABC中线CF上时，在线段BF上取一点Q（不与F点重合），连接DQ，将△FDQ沿DQ翻折得到△F'DQ，连接BF'、EF'，若CD＝2，AC＝3，当BF'最小时，求△DEF'的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）延长CD交AB于H，利用等腰直角三角形的性质得DH和AH的长，再利用勾股定理求出AD的长； （2）延长GF到H，使FH＝FG，首先利用SAS证明△EFH≌△AFD，得∠FDA＝∠H，AD＝EH，再证明△ACD≌△BCE（SAS），得AD＝BE，从而说明△EGH是等腰三角形，即可证明结论； （3）连接BD，首先证明点F'在以D为圆心，1为半径的圆上运动，则当点B、F'、D三点共线时，BF'最小，求出△DEB的面积，从而解决问题． 【小问1详解】 解：如图1，延长CD交AB于H， ∵△ACB是等腰直角三角形，CD平分∠ACB， ∴CH⊥AB，ACCH＝5， ∴CH＝AH， ∵CD＝2， ∴DH， ∴AD； 【小问2详解】 证明：如图2，延长GF到H，使FH＝FG， ∵EF＝AF，∠EFH＝∠AFD， ∴△EFH≌△AFD（SAS）， ∴∠FDA＝∠H，AD＝EH， ∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE， ∵BE＝EG， ∴EH＝EG， ∴∠EGC＝∠H， ∴∠EGC＝∠FDA； 【小问3详解】 解：如图3，连接BD， ∵△ABC是等腰直角三角形，CF是中线， ∴CF⊥AB， ∵AC＝3， ∴CF＝BF＝3， ∵CD＝2， ∴DF＝1，DE＝2， ∴点F'在以D为圆心，1为半径圆上运动， ∴当点B、F'、D三点共线时，BF'最小， ∴BD， ∵S梯形CFBE（2+3）×3，S△CDE，S△BDF， ∴S△DEB＝4， ∵△EDF'和△BEF'中BD边上的高相同， ∴S△DF'E． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，定点定长构造隐圆等知识，求出△DEB的面积是解决问题（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $