1.3 勾股定理的应用 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第一章勾股定理 1.3 勾股定理的应用 1.能运用勾股定理的逆定理判定垂直，从实际问题中抽象 出直角三角形或通过添加辅助线构建直角三角形，运用勾 股定理解决实际问题. 2.能在具体情境中抽象出直角三角形，将实际问题转化为 数学问题. 想办法完成任务吗? 用卷尺分别测量AD,DB, AB的长， D C 若AD²+AB²=DB², 则 ∠A=9 0°,即ADLAB. A B 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图)的边 AD和边BC 是否分别垂直于底边AB. (1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他 ∵AD²+AB²=30²+40²=2500, DB²=50²=2500, ∴ ∠A=90°, 即AD⊥AB. 所以边AD 垂直于边AB (2)李叔叔测得边AD 长30 cm, 边AB 长40 cm, 点 B,D 之间的距离是50cm. 边AD 垂直于边AB吗? 能检验.在AD 上从A 点量取12 cm 得点 E, 在AB上从A 点量取16 cm 得点F. 因为12²+16²=20², 用刻度尺测EF 长度，若 EF=20 cm, 根据勾股定理逆定理，AD⊥AB; 若 EF≠20 cm, 则AD 不垂直AB. (3)如果李叔叔随身只带了一个长 D 度为20cm 的刻度尺，那么他能 E 检验边AD 是否垂直于边AB 吗? 用卷尺分别测量AD,DB,AB 的长， 若AD²+ AB²=DB², 则 ∠A=90°, 即AD⊥AB. (1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗? (2)李叔叔量得边AD长是30 cm, 边AB长是40 cm, 点B,D 之间的距离是 50cm.边AD垂直于边AB吗? ∵AD²+AB²=30²+40²=2500,DB²=50²=2500 ∴∠A=90°, 即ADLAB. 所以边AD 垂直于边AB 转化 展开 数学思想： 平面图形 立体图形 如图所示，一个圆柱体高20cm,底面半径为5cm, 在圆柱体 下底面的A点处有一只蜘蛛，它想吃到上底面与A点相对的 B点处的一只已被粘住的苍蝇，这只蜘蛛从A点出发，沿着 圆柱体的侧面爬到B点，最短路程是多少?(π取3) 变式训练 问题4:在解决DF长度 以后，小明进行了深 度反思，经过研究， 他向大家提出问题， 能否计算BG的长度呢? 小明提示： 延长FE,BA交于点M · … … 你能根据小明的提示画出对应的图形 吗? B C B C 神秘折叠算长度 △DEF≌△AEM 折 叠 轴对称 BD IICF MG=MF=10cm, AG=7cm,BG=1cm ME=FE=5cm, AM=DF=3cm ∠MFG=∠CFG ∠MGF=∠CFG ∠MGF=∠MFG 神秘折叠算长度 问题5:观察图形，添加辅助线之后，你发现哪些 可能成立的新结论? E D F C M A G B 解：三角形ABC是直角三角形，理由； ∵ADLCD,.. AC²=AD²+CD²=4²+2²=20 ∵BD⊥CD,. BC²=BD²+CD²=1²+2²=5 AC²+BC²=20+5=25 AB²=(4+1²=25 AC²+BC²=AB² ∴ 三角形ABC是直角三角形 如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿(CD) 早晨测得它的影长为4米( AD), 中午测得它的影长为1 米( BD), 则A、B、C三点能否构成直角三角形?为什 1.? 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题， 这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的 正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺， 如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水 面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 解：设水池深度为x尺，芦苇长( x+1) 依题意得： 5²+x²=(x+1² 解得X=1212+1=13 答：水池深度12尺，芦苇长13尺。 · 当堂达标 有一个高为1.5m, 半径是1m 的圆柱形油桶，在靠近 边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油 桶外的部分为0.5m, 问这根铁棒有多长? 解：设伸入油桶中的长度为x m,则最长时： x²=1.5²+2² 解得：x=2.5 所以最长是2.5+0.5=3(m). 最短时，x=1.5 所以最短是1.5+0.5=2(m). 答：这根铁棒的长应在2～3 m之间. 的距离为24m,如果梯子的顶端A沿墙下滑4m,那么梯子底 端B也外移4m吗? 解：在Rt△AOB中， OB²=AB²-AO²=25²-24², ∴OB=7. 在Rt△COD中， OD²=CD²-CO²=25²-20², ∴OD=15. · 当堂达标 一个25m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO ∴BD=OD-OB=8. 梯子的顶端沿墙下滑4m,梯子底端外移8m. 解：过A 作AC⊥MN于 C, 则AB=CN,AC=BN, 根据题意得，AB=CN=1.5 m. AC=BN=7m,AM=MN+0.5, ∴CM=MN-CN=MN-1.5, ∵AM²=AC²+CM², ∴(MN+0.5)²=72+(MN-1.5)², 解得 MN=12.75, 答：学校旗杆MN 的高12.75米. 根据小丽的测量方案和数据，求出学校旗杆MN的高. 数学思想： 转化 实际问题 建模 探究点：勾股定理在实际生活中的应用 数学问题 若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有办法检验 AD边是否垂直于AB边吗? 解：在AD上取点M, 使AM=9, 在AB上取点N使AN=12, 测量MN是否是15,是，就是垂直； 不是，就是不垂直. 挖的是否合格? 解：因 为AB=DC=8m,AD=BC=6m, 所以AB²+BC²=8²+6²=64+36=100. 又因为AC²=9²=81, 所以AB²+BC²≠AC2,∠ABC≠90°, 所以该农民挖的不合格. 素养考点 利用勾股定理的逆定理解答测量问题 例如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应 为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB=DC=8m, AD=BC=6m, AC=9m, 请你运用所学知识帮他检验一下 学以致用 如图，在一次夏令营中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了 400 m到达点B, 然后再沿北偏西37°方向走了300 m到达目的地C. 求A、C两点之间的距离. 解：如图，过点B作BE// AD. ∴∠DAB=∠ABE=53° . ∵37°+∠CBA+∠ABE=180°, ∴∠CBA=90°,∴AC²=BC²+AB²=300²+400²=500², ∴AC=500m, 即A、C两点间的距离为500 m. 知识点1 勾股定理的应用 1.如图，要从电线杆离地面15 m处向地面拉一条17m 长的电缆，则地面固定点A到电线杆底部B的距离为 ( A ) A.8m B.15 m C.17m D.25 m B ( 第1题) 2.[2025西工大附中月考]如图，圆柱形杯子底面直径为 7 cm, 高为24 cm 。将一根长36 cm 的木棒斜放在杯子中，h 设木棒露在杯子外面的长度为h cm, 则h的最小值是( B ) A.9 B.11 C.12 D.14 ( 第2题) 立体图形中求两点间的最短距离，一般 把立体图形展开成平面图形，连接两点， 根据两点之间线段最短确定最短路线. (1)读懂题意，分析已知.未知间的关系； (2 构造直角三角形； (3)利用勾股定理等列方程； (4)解决实际问题. 确定立体图形 中两点之间的 最短距离 应用勾股定理 解决实际问题 勾股定理 的应用 课堂小结 $