精品解析：四川泸州市泸县第五中学2026-2027学年高三上学期第一学月检测数学试题

泸县五中高2024级高三上期第一学月检测 数学 第 Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的运算求解即可. 【详解】已知集合，集合， 集合表示所有小于等于的实数构成的集合， 集合中的元素都满足， 即, 所以集合和集合的公共元素是和， 那么. 故选： 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算得到，即可求解. 【详解】由，得到， 所以的虚部为， 故选：B. 3. 已知向量与的夹角为 ，且则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的模结合向量的数量积的运算律求解即得. 【详解】与的夹角 则， 解得. 故选：C. 4. 若角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件结合两角和余弦公式可得，两边平方可求，根据同角三角函数关系可得，由此可得结论. 【详解】因为，， 所以，故， 两边平方，可得，又， 所以， 因为， 所以． 故选：C． 5. 已知数列为等比数列，为数列的前项积，且，，则（ ） A. 8 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】，故， 所以， ， 故选：A 6. 跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ） A. 0.35 B. 0.32 C. 0.45 D. 0.36 【答案】A 【解析】 【分析】首先明确各年级教师人数的比例以及各年级中喜欢跑步的教师比例，然后利用全概率公式计算从三个年级中随机抽一名教师喜欢跑步的概率即可 【详解】设事件表示“随机抽一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， ∵三个年级的教师人数之比为3:3:4， ∴， ∵高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%， ∴, 根据全概率公式， 故选：A. 7. 在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，，， 两式相减可得：， 又， 所以， 所以， 故选：C 8. 已知函数在处有极小值，则的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 或6 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数在处有极小值，得到，解出关于的方程，再验证是否为极小值即可． 【详解】函数， ， 又在处有极值， ， 解得或6， 又由函数在处有极小值，故， 时，， 所以函数在处有极大值，不符合题意. 故选：A 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，选错或不选的得0分. 9. 在的二项展开式中，下列说法中正确的有（ ） A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为 C. 二项式系数最大的项为第5项或第6项 D. 展开式中的常数项是第9项 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据的奇数项二项式系数和为计算即可；对于B，赋值法令计算即可；对于C，由当为偶数时，二项式系数最大的项为第项计算即可；对于D，根据二项式通项公式，令的指数为0，求得即可判断. 【详解】对于A，奇数项的二项式系数和为，故A不正确； 对于B，令有各项系数之和为，故B正确； 对于C，二项式展开式共有11项，则二项式系数最大的项为第项，故C不正确； 对于D，的展开式中常数项为，， 令，解得，所以常数项是第9项，故D正确. 故选：BD. 10. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，由已知求出即得解析式，再利用正弦函数的图象性质逐项判断. 【详解】， 由关于原点对称，得，， 而，则，， 对于A，的最小正周期，A正确； 对于BC，由，得，直线是的图象一条对称轴，B正确，C错误； 对于D，由，得，而在上有极大值点又有极小值点， 则，解得，D正确 故选：ABD 11. 设函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 时，的值域为 C. 有三个零点 D. 曲线关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】求导，利用导数确定函数单调性、极值与最值即可判断ABC，对于D，通过验证的值是否为6来验证对称性. 【详解】，解得，所以在上单调递减，故A正确； 又时，单调递减，单调递增，， 所以时，的值域为，故B错误； 在上单调递减，在和单调递增， ，所以只有一个零点，故C错误； 因为，所以曲线关于点对称，故D正确； 故选：AD. 第Ⅱ卷（ 非选择题 共92分） 三．填空题（共3题，每题5分，共15分.） 12. 记为等差数列的前项和，若，，则_____. 【答案】25 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列性质计算得解. 【详解】在等差数列中，由，，得. 故答案为：25 13. 已知函数，若，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题中条件，分别讨论和两种情况，解方程，求出，进而可求出结果. 【详解】因为， 当时，，则有，解得，符合题意， 所以； 当时，，则有，无解； 综上所述：. 故答案为6 【点睛】本题主要考查分段函数求值的问题，灵活运用分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型. 14. 有7个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，从中不放回地随机抽取2次，每次取1个球．记为第一次取出的球上的数字，为取出的两个球上数字的平均值，则与差的绝对值不超过的概率是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据排列数计算结合列举法应用古典概型计算求解. 【详解】从7个不同的球中不放回地抽取2次，共种， 设第二次取出的球号码为，则，故， 若，则为，，共有3种； 若，则为，，，共有4种； 当，则为，，，，共有5种； 当，则为，，，，，共有6种； 当，则为，，，，共有5种； 当，则为，，，共有4种； 当，则为，，共有3种； 故与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为30， 故所求概率为． 故答案为：. 四，解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求边上的高的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而求出角； （2）先根据余弦定理求出边的值，再通过三角形面积公式求出边上的高. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 因为，所以， 又因为锐角三角形，，所以. 【小问2详解】 由余弦定理 可知 又因即代入上式可得 则的面积为 则 解得：. 16. 最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏，班主任把除颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲､乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球：若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和. （1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率； （2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望. 【答案】（1）； （2）的分布列为： 6 7 8 9 10 11 数学期望. 【解析】 【分析】（1）甲再摸2球至少得4分，分两种情况：一个红球，一个其他球，或者两个黄球，求出方法数，由此根据古典概型公式计算出概率； （2）乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出 3个小球，可计算出3个球的得分情况也即乙得分情况，分别计算概率得概率分布列，从而计算出期望. 【详解】（1）记“甲第一次摸出了绿色球，甲的得分不低于乙的得分”为事件，因为球的总分为16，即事件指的是甲的得分大于等于8， 则 （2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分 所以的分布列为： 6 7 8 9 10 11 所以的数学期望. 【点睛】关键点点睛：本题考查古典概型概率，考查随机变量的概率分布列和数学期望．解题关键是确定摸球得分情况，确定摸到球的方法数，从而计算出概率． 17. 在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列， （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前2n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，得到和，联立方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）得，求得的表达式，结合三角函数的诱导公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 因为，所以，即，即 又因为成等比数列，所以，即，即， 联立方程组，解得，， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 解：由（1）知，，所以， 因为，即， 可得， ， 所以，所以数列的前2n项的和为． 18. 已知函数. （1）证明：曲线在点处的切线恒过定点，并求出该定点坐标； （2）若存在使得，记的导函数为. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） 由题意可知：函数的定义域为，且， 则，，即切点坐标为，切线斜率， 所求切线方程为，即， 令，解得， 所以切线恒过定点. （2） （i）； （ii）设，构建， 则， 记的导函数为，的导函数为， 且的导函数为，的导函数为， 则，且， 因为，且， 又因为， 且在内恒成立， 若，则，可得， 可知在内单调递增，则， 可知在内单调递增，则， 若，则，可知在内单调递增，不合题意； 所以； 若，由（i）可知：直线与在内存在唯一交点横坐标为， 则，由单调性可得， 可得， 因为在内单调递减，在内单调递增， 可得， ， 所以； 综上所述：. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而分析定点； （2）（i）求导，分析讨论分析函数的单调性，结合单调性分析求解；（ii）构建设，构建，求导，分类讨论分析的符号分析证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 构建，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，所以. （i）构建，则， ①若，则，可知在内单调递增， 且，当趋近于时，趋近于， 可知在定义域内存在唯一零点， 当时，，即；当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则至多存在两个实数，使得，不合题意； ②若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即， 若，则，即， 可知在定义域内单调递增，不合题意； 若，则， 当时，则； 当时，则； 可知在和内分别存在一个零点， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于，符合题意； 综上所述：实数的取值范围； （ii）略 19. 定义：函数图象上不同的三点A，B，C，它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数，设． （1）讨论的极值； （2）若是其定义域上的“等差偏移”函数，求a的取值范围； （3）当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：． 【答案】（1）无极小值． （2）． （3）方法一：时，，， ，假设，，， 令，，， 在上单调递增，，对恒成立 时 ， 而，对恒成立 ． 方法二：，则， 设，， 因为，当时在单调递增，，故． 构造函数， 即在单调递增，则，故当时， 所以有，故 即． 所以，即； 故 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论函数单调性、极值即可； （2）设，，，故只需判断的符号即可； （3）由题意，证明得到，放缩即可得证. 【小问1详解】 ． 当时，在上单调递减，无极值； 当时，令易知在上单调递增；上单调递减， 无极小值． 【小问2详解】 方法一：设，不妨设， 由是其定义域上的＂等差偏移＂函数， ， 令， ，而时，，，， 即a的取值范围为． 方法二：设A，C两点的横坐标分别为，，则B点横坐标为， 由“等差偏移”函数定义知：，化简得： ， 即：，即， 令，函数，， 故，又因为，所以， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸县五中高2024级高三上期第一学月检测 数学 第 Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知向量与的夹角为 ，且则 （ ） A. B. C. D. 4. 若角满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列为等比数列，为数列的前项积，且，，则（ ） A. 8 B. 2 C. 1 D. 6. 跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ） A. 0.35 B. 0.32 C. 0.45 D. 0.36 7. 在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在处有极小值，则的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 或6 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，选错或不选的得0分. 9. 在的二项展开式中，下列说法中正确的有（ ） A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为 C. 二项式系数最大的项为第5项或第6项 D. 展开式中的常数项是第9项 10. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为 11. 设函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 时，的值域为 C. 有三个零点 D. 曲线关于点对称 第Ⅱ卷（ 非选择题 共92分） 三．填空题（共3题，每题5分，共15分.） 12. 记为等差数列的前项和，若，，则_____. 13. 已知函数，若，则__________． 14. 有7个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，从中不放回地随机抽取2次，每次取1个球．记为第一次取出的球上的数字，为取出的两个球上数字的平均值，则与差的绝对值不超过的概率是______________． 四，解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求边上的高的长. 16. 最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏，班主任把除颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲､乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球：若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和. （1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率； （2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望. 17. 在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列， （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前2n项和． 18. 已知函数. （1）证明：曲线在点处的切线恒过定点，并求出该定点坐标； （2）若存在使得，记的导函数为. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 19. 定义：函数图象上不同的三点A，B，C，它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数，设． （1）讨论的极值； （2）若是其定义域上的“等差偏移”函数，求a的取值范围； （3）当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $