四川凉山州西昌天立学校2027届高三上学期9月份月考数学试题

2024级9月份月考 一、单选题 1．已知集合，，则（ A   ） A． B． C． D． 2．已知命题，则命题的否定 为（    B） A． B． C．D． 3．若函数在处取得极小值，则的值为（   C ） A．1或3 B．3 C．1 D． 4．若正实数、满足，则的最小值为（ D   ） A． B． C． D． 5．函数的图象大致为（  A ） A． B． C． D． 6．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   B ） A． B． C． D． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 7.如果过点作曲线的切线恰有三条，则实数的取值范围为（   C ） A． B． C． D． 8．已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（   B  ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列各式正确的是（  BD  ） A． B． C． D． 10．下列有关函数的命题正确的是（ AD    ） A．偶函数的定义域为，则 B．已知，则“”的必要不充分条件是“为奇函数” C．满足对任意的都有成立，则 D．若的定义域是，则的定义域为 11．设是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数，则（  ACD   ） A．若有极值点，则 B．若当时，有极值，则对应的拐点为或 C．若当时，在上无极值点，则的取值范围为 D．若当，时，曲线与轴分别交于、、，则 三、填空题 12．计算：______. 13．已知函数，则不等式的解集为_____________． 14.关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为______. 四、解答题 15．已知函数   在 处取得极值. (1)求函数 的解析式; (2)求函数 的单调区间和极值. 16．已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 17．已知函数. (1)判断的奇偶性并给出证明； (2)讨论在区间上的零点个数. 18． 已知函数，其中 . (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数存在两个极值点 ，求的取值范围； (3)若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围. 19．已知函数，是的导函数. (1)当时，证明：； (2)讨论的极值点个数； (3)若有两个极值点，证明：. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026年9月19日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D A B C B BD AD 题号 11 答案 ACD 1．A 【详解】不等式可化为. 因此， 所以，对应区间为. 2．B 【详解】根据存在量词命题的否定的结构形式可得：. 3．C 【分析】根据题意求出函数的导函数，结合函数在处取得极小值可得，进而得到的值；最后将的值代入导函数，并结合函数的单调性和极值定义即可判断. 【详解】依题意， 所以， 所以，解得，或， 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极小值，符合题意； 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极大值，不符合题意； 综上，的值为1. 4．D 【详解】因为，且，， 所以, 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 5．A 【详解】令，得，则定义域为关于原点对称， 又，则为偶函数，排除C，D选项； 又，排除B， 选项A符合以上要求. 6．B 【分析】由题意可得在上恒成立，即，令，求出即可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以，因为在上单调递增， 所以，所以. 故选：B. 7．C 【分析】设切点为，求出切线方程，再将点代入，转化为和的图象有三个交点，利用导函数可求. 【详解】设切点为，因为，所以， 则切线方程为，即， 将代入得， 因为切线恰有三条，所以方程有三个根， 则和的图象有三个交点， 因为，所以当或时，单调递减； 当时，单调递增； 则，即， 则实数的取值范围为 8．B 【分析】分别作出函数，的图象，分、、和四种情况讨论，结合函数图象分析交点个数即可得解. 【详解】分别作出函数，的图象，如图所示， 令，则即为， 若，则方程没有根，不合题意； 若，则方程有且仅有1个根，即， 可知方程有且仅有2个不相等根，不合题意； 若，则方程有2个不相等实根，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 所以方程有4个不相等实根，不合题意； 若，则方程有3个不相等实根，，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 由题意可知方程有且仅有2个不相等实根，则或， 可得； 综上所述：实数的取值范围是. 9．BD 【详解】A选项，由换底公式，可得，故A错误； B选项，，故B正确； C选项，当且时，，故C错误； D选项，，故D正确． 10．AD 【详解】选项A，偶函数的定义域关于原点对称，故区间端点满足 ，A正确. 选项B，若为奇函数，则对任意恒成立： 得到 ，得，可推出； 但时，，时，为偶函数，不是奇函数. 因此“为奇函数”是“”的充分不必要条件，B错误. 选项C，由，得的图象关于点中心对称，即. 对配对： ， 令得，即，总和为，C错误. 选项D，的定义域为，即， 故，即的定义域为. 对，令，解得，即定义域为，D正确. 11．ACD 【分析】分析可知，对于。，可判断A选项；根据题中信息求出实数、的值，结合拐点的定义可判断B选项；根据题意可知，在上为单调函数，对于，有，可判断C选项；利用三次方程根与系数的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，若函数有极值点，则有两个不等的零点， 所以，，即，A对； 对于B选项，当时，函数有极值， 则，解得或， 当，时，， 此时，函数在上单调递增，该函数无极值， 经检验，，合乎题意， 所以，，，令，可得， 此时，函数对应的拐点为，B错； 对于C选项，当时，函数在上无极值点， 则函数在上为单调函数，则恒成立， 则，解得，即实数的取值范围是，C对； 对于D选项，当，时，， 由有， 等式两边同除可得， 令，则、、是方程的三个根， 所以，， 即， 所以，，，， 所以，，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问题的解题关键就是令，从而将问题转化为、、是方程的三个根，然后利用韦达定理求解. 12．/ 【详解】原式. 13． 【分析】先利用函数奇偶性的定义得到函数为奇函数，再利用导数分析函数的单调性得到函数在上单调递增，进而根据奇函数的性质转化不等式为，再根据单调性求解即可. 【详解】函数的定义域为， 且， 所以函数为奇函数. 又，当且仅当时等号成立， 则函数在上单调递增， 由，得， 则，即，解得或， 所以不等式的解集为. 14.【答案】 【分析】先将不等式进行变形，然后构造函数，通过求导分析函数的单调性，进而求出实数的最大值. 【详解】将不等式移项可得，进一步变形得， 即. 设，对函数求导得，所以在上单调递增， 所以，则有，即， 即在上恒成立. 设，对函数求导得. 令，即，解得. 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 因此，在处取得最小值，. 因为，所以，即实数的最大值为. 15．(1)； (2)在上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为. 【分析】（1）由题设可得，据此可得答案； （2）由（1）中验证过程可得的单调区间与极值. 【详解】（1）. 由在处取极值可得， 则此时. ，， 得在上单调递增，在上单调递减，即符合题意； （2）由（1）分析可得：在上单调递增，在上单调递减， 极大值为，极小值为. 16．(1) (2)当时，函数在上单调递减； 当时， 函数在上单调递减，函数在上单调递增. 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据导数的正负性和函数单调性的关系分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为， 所以曲线在处的切线方程为； （2）， 函数的定义域为全体正实数， 当时，当时，，函数在上单调递减； 当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 综上所述：当时，函数在上单调递减； 当时， 函数在上单调递减，函数在上单调递增. 17．(1)为偶函数. 证明：的定义域为 ，关于原点对称； ， 所以为偶函数. (2)3个 【分析】（1）利用定义域关于原点对称和进行证明； （2）利用偶函数的特点结合函数的单调性和零点存在定理进行讨论. 【详解】（1）略 （2）因为，所以， 由（1）得：为偶函数，所以只需研究上零点个数，即可得到上的零点个数. 当，，，所以单调递增， 当，，，所以单调递减， 且，， 当，， 根据零点存在定理，，，所以在上存在唯一的零点，则 在上也存在唯一的零点，又因为，所以0也是一个零点， 综上所述，在区间上的零点个数为3. 18.1．(1)， (2) (3) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）构造函数，结合题意可得在区间上单调递减．求导后可得在和上单调递减，即可得解； （3）令，由题意知，使得，求导后分及讨论即可得. 【详解】（1）由题意得． 因为曲线在点处的切线方程为， 所以． 又切线过点，所以． 综上所述，，； （2）由（1）知． 当时，，则． 设，则原条件等价于当时，， 即函数在区间上单调递减． 由，得， 令，得，解得或． 所以在和上单调递减． 因为在区间上单调递减，所以a的最小值为． （3）令，由题意知，使得． ， ①若，则对任意，， 所以，在上单调递增， 又，故，不满足条件； ②若，则当时，，此时， 所以在上单调递减， 即存在，使得，满足条件； 综上，k的取值范围是． 19．(1)证明：当时，， 令，则定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，即. (2)当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为 (3)证明：由（2）知：若有两个极值点，则，此时； ， ， 要证，只需证， 即证， 只需证，即证， ，， 令，则与交于两点，其中，则， ，当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，； 要证，只需证，即证， ，，在上单调递减，只需证， 又，只需证， 令，则， ，，，在上单调递增， ，又，， 即，原不等式得证，即. 【分析】（1）构造函数，利用导数求解的单调性和最值，从而证得结论； （2）将问题转化为与位置关系的讨论问题，通过导数可求解出的单调性和最值，结合图象进行分析可得正负，进而得到极值点个数； （3）将所证不等式转化为证明，令，则只需证；根据极值点偏移的证明逻辑，构造函数，利用导数可证得，结合分析法可得到结论. 【详解】（1）略 （2）由题意知：定义域为，， 令，则， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，且当时，；当时，； 由此可得大致图象如下图所示， ①当，即时，与有唯一交点， 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， 有唯一的极小值点，无极大值点； ②当，即时，与交于两点， 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， 有一个极小值点，一个极大值点； ③当，即时，恒成立，即恒成立， 在上单调递减，无极值点； 综上所述：当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为. （3）略 【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $