重难点03 集合的综合大题六种考法讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

26-27学年高一数学秋季班同步培优讲义（苏教版2019必修第一册） 重难点03 集合综合大题六种考法 题型一、元素与集合的关系 1.已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或者，当时，；当时， (2) 【分析】（1）分和两种情况讨论，当时，解出即可； （2）方程无解时，且，解出不等式，结合（1）中的结论，即可求得. 【详解】（1）当，集合， 当时，，解得，此时， 综上可知，的值为或者，当时，；当时，. （2）当集合中有两个元素时，方程有两个不相等的实数根， 则且，解得且， 又当中只有一个元素时，或， 故中至少有一个元素时，的范围为， 所以的取值范围为. 2.已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 【解析】（1），故，解得. （2）当时，方程变为，得，满足题意； 当时，要使为单元素集合，则方程有两个相等的实数根， ，解得； 综上所述：或时为单元素集合. （3）若为双元素集合，则方程有两个不相等的实数根， 故且，解得且. 3.设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 【答案】(1)证明见解析； (2)不是，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可； （2）根据条件求出元素间的规律即可； （3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可. 【解析】（1）由题意得若，则； 又因为，所以； 即集合中还有另外两个元素和. （2）由题意，若（且），则，则，若则； 所以集合中应包含，故集合不是双元素集合. （3）由（2）得集合中的元素个数应为3或6， 因为且中有一个元素的平方等于所有元素的积， 所以中应有6个元素，且其中一个元素为， 由结合条件可得， 又因为，所以剩余三个元素和为，即， 解得， 故. 4.已知集合 （1）证明：若，则是偶数； （2）设，且，求实数的值； （3）设，求证：；并求满足不等式的的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析；. 【解析】（1）将代入化简即可判断； （2）设，.由（1）可知，即,或.再分别代入，验证是否符合题意即可； （3）设且则代入 化简可得结论，等式同时除以可得,得，可得结果. 【解析】（1）证明：若，则且. 所以 因为所以原式. 因为.所以偶数.原式得证 （2）因为，且则，所以 设，. 由（1）可知，即 所以或. 当时，代入可得 此时，满足，所以成立 当时，代入解得， 不满足，所以不成立； 综上，可知 （3）证明：因为，所以可设且 则 代入得： 即成立， 原式得证 对于，不等式同时除以可得 由（2）可知，在范围内， 所以，即. 【点睛】本题主要考查集合与元素之间的关系，考查了函数与方程思想的应用，同时考查了不等式的解法，同时考查了计算能力，体现数学运算，逻辑推理等数学学科素养，属于难题. 题型二、集合之间关系 5.已知集合，． (1)当时，求集合； (2)若，求实数m的取值范围． 【解析】（1）当时，集合，， 故． （2）当时，，即，满足，故满足题意； 当时，，即时，， 解得，于是得，所以， 故实数m的取值范围是． 6.已知集合. (1)若，求实数的取值集合； (2)若的子集有两个，求实数的取值集合； (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 7.已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得； （2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【解答过程】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 8.设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【解题思路】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可； （2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可. 【解答过程】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 9.设集合， ． （1）若，试求； （2）若，求实数的取值范围． 【解析】（1）由，解得或， ． 当时，得解得或 ； ∴． （2）由（1）知，，， 于是可分为以下几种情况． 当时，，此时方程有两根为，，则 ，解得． 当时，又可分为两种情况． 当时，即或， 当时，此时方程有且只有一个根为，则 ，解得， 当时，此时方程有且只有一个根为，则 ，此时方程组无解， 当时，此时方程无实数根，则 ，解得． 综上所述，实数a的取值为． 题型三、集合的混合运算 10.设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【解题思路】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求得. 【解答过程】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 11.设全集为，集合，． (1)当时，求和； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；或. (2) 【解题思路】（1）首先解二次不等式求得集合，然后将代入确定集合，最后根据集合的交、并、补运算法则进行求解即可； （2）首先根据集合间运算的结果可得，然后分和两种情况分类讨论求解参数取值范围即可. 【解答过程】（1）由不等式，解得：或，因此可得：或， 将代入集合中可得：， 因此或； 又或，得：或. （2）选①由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选②由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选③由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述. 12.已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为， 由题意可得当集合不是空集时，解得， 当集合是空集时，解得， 综上. （2）因为， 由题意可得当集合不是空集时或，解得， 当集合为空集时，解得， 综上或. 13.已知集合，集合. (1)若，求实数的值. (2)若，求实数的取值范围. (3)若，，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，将代入方程求出a，再求出集合，根据集合的运算结果验证a的值即可； （2）根据题意可得，讨论或，利用判别式与韦达定理即可得解； （3）根据题意可得，从而可得，解不等式组即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 又，则， 整理得，解得或， 因为， 当时，，满足； 当时，，满足； 故a的值为或. （2）因为，所以，又， 当时，关于x的方程没有实数根， 所以，即，解得，满足题意； 当时，若集合B中只有一个元素，则， 整理得，解得， 此时，符合题意； 若集合B中有两个元素，则， 即是方程的两根， 所以，无解， 综上，可知实数a的取值范围为. （3）因为，所以，则， 所以，即，所以. 综上，实数a的取值范围为. 14.已知集合A={y|y=x2-2x}，B={y|y=-x2+2x+6}． （1）求A∩B． （2）若集合A，B中的元素都为整数，求A∩B． （3）若集合A变为A={x|y=x2-2x}，其他条件不变，求A∩B． （4）若集合A，B分别变为A={(x，y)|y=x2-2x}，B={(x，y)|y=-x2+2x+6}，求A∩B． 【答案】（1）A∩B={y|-1≤y≤7}；（2）A∩B={y|-1≤y≤7}；（3）A∩B={y|y≤7}；（4）A∩B={(3，3)，(-1，3)}． 【分析】 首先根据集合A与B的定义，确定集合里面的元素，再根据题目要求去求解. 【详解】 （1）因为y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1， 所以A={y|y≥-1}， 因为y=-x2+2x+6=-(x-1)2+7≤7， 所以B={y|y≤7}， 所以A∩B={y|-1≤y≤7}． （2）由已知得A={y∈Z|y≥-1}，B={y∈Z|y≤7}， 所以A∩B={-1，0，1，2，3，4，5，6，7}． （3）由已知得A={x|y=x2-2x}=R，B={y|y≤7}， 所以A∩B={y|y≤7}． (4)由得x2-2x-3=0， 解得x=3，或x=-1，所以或 所以A∩B={(3，3)，(-1，3)}． 题型四、利用Venn图求集合 15.设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由Venn图阴影部分可用集合表示，再由集合的交集与补集运算可得； （2）先将条件转化为，再按集合是否为空集分类讨论，结合包含关系求解参数的范围. 【解答过程】（1）图中阴影部分可用集合表示. 因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或， 由，得， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 16.已知集合，，，    (1)若，求m的取值范围； (2)当时，求图示阴影部分对应的集合. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出并集，再根据集合的包含关系求参； （2）先根据阴影部分确定对应集合关系,再应用交集补集定义求解. 【解答过程】（1）， 由，有：， 故m的取值范围为. （2）阴影部分即：， ， 故：. 17.设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【解题思路】（1）根据题意可得集合，结合集合间的运算求解即可； （2）分和两种情况讨论，结合交集运算列式求解即可. 【解答过程】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 18.对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）根据Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素，结合集合描述法即可得结果； （2）分析可知，根据题意结合集合间的运算求解即可； （3）分析可知，且，结合题意即可得结果. 【解答过程】（1）由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素， 所以. （2）由题意可知：， 因为，， 则，， 所以或. （3）因为，，可知， 则，且， 又因为，可得， 所以实数的取值集合为. 题型五、集合与常用逻辑综合 19.已知集合，，其中． (1)若，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法和交集、补集的定义求解； （2）根据必要不充分条件的定义可得真包含于，从而根据集合的关系可求解. 【详解】（1）由，解得，即，故， 因为，所以， 由，解得，故，则或， 或. （2）由可得， 因为，所以， 所以不等式的解为，即， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以或，解得或, 又因为，所以， 经检验，当时，是的真子集， 故实数的取值范围为. 20.已知集合，. (1)若集合，求此时实数的值； (2)已知命题：，命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与方程之间的关系和韦达定理，即可求出的值； （2）把利用充分条件关系求参数的范围，转化为集合的包含关系，通过分类讨论思想，列出关于实数的不等式组，解出即可. 【详解】（1）因为， 所以方程的两根分别为和， 由韦达定理得，解得； （2）因为， 由于是的充分条件，则， 当时，， 此时不成立； 当时，， 因为，则有，解得； 当时，， 因为，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 21.已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)． (2) (3)． 【分析】（1）求出集合，又，根据集合的包含关系分类讨论求解； （2）原命题的否定：，是真命题，转化为求的最大值即得； （3）由题意得出，再分和进行讨论． 【详解】（1），， 若，即，则满足题意， 若，即，则，又，故无实解， 综上． （2），是假命题，则，是真命题，即， 时，（时取等号），所以，即； （3）若是的必要不充分条件，则， 的解是或， ，即时，满足题意， 时，， 因此，解得且． 综上，． 【点睛】方法点睛：本题考查由集合的运算结果，命题的真假，充分必要条件求参数，解题方法是根据问题进行转化，如（1）（3）转化为集合的包含关系，再根据子集的概念分类讨论求解，如（2）转化为不等式恒成立，再转化为求函数的最值，得出参数范围． 题型六、集合的新定义综合题 22.已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)证明：且对任意都是的因数； (3)当时，若，求集合. 【答案】(1)不具有性质具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由定义直接判断即可； （2）由定义可知，，，再验证即可证明； （3）由定义推导出，可得集合. 【详解】（1）（1）由于和均不属于数集，所以，数集不具有性质P． 由于都属于数集，所以数集 具有性质； （2）由，故，则，即， 时，，则，故， ，则有， 所以且对任意都是的因数； （3）由（2）知，当时，，，则， 由，则，所以， 由，则，得， 所以集合. 23.已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 【答案】(1)，是“好的” (2)证明见解析 (3)除、、外的正整数 【分析】（1）根据题中定义可求出集合，并由此作出判断； （2）当时，取集合，；当时，取集合，，结合题中定义验证可得出结论； （3）先证明出：若正整数是“好的”，则也是“好的”，再证：为奇数是“好的”，不是“好的”，同理易知，不是“好的”，由此可得出结论. 【详解】（1）当时，由题中定义可得，且，故是“好的”. （2）时，取，，则的值为、、、，除以8的余数为4，7，5，0. 所以，此时，合乎题意； 时，取，， 的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16的余数为4，7，12，15，5，8，13，0. 所以，则，满足条件. 故是“好的”，是“好的”. （3）①首先证明：若正整数是“好的”，则也是“好的”.（*） 事实上，若正整数是“好的”， 设，，，此时集合、满足时条件. 时，考虑，， 则也满足条件，（*）得证. ②再证：为奇数是“好的”.（**） 事实上，取，，则满足条件，（**）得证. 由（*）（**）及（2）知除1，2，4外的正整数均为“好的”. ③再证：不是“好的”. 对集合，记为中元素个数，由条件，. 若，则，矛盾. 若或，则，则，矛盾. 于是不是“好的”. 同理易知，2不是“好的”. 所以，所求为除1，2，4外的正整数. 24.已知集合，，其中，中至少有两个元素，若集合，满足：①对于任意两个不同元素，都有；②对于任意两个不同元素且，都有；则称集合是的“友好集”． (1)已知，与，，分别判断是否为的“友好集”，是否为的“友好集”，并说明理由； (2)若集合，其中，若存在集合是的“友好集”，证明：； (3)若集合中有四个元素，且集合是的“友好集”，求集合中元素的个数． 【答案】(1)不是的“友好集”，是的“友好集”，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据“友好集”的定义分别判断各集合的元素是否满足要求即可； （2）先根据定义确定出集合中的元素，然后根据范围分析出的取值，由此可完成证明； （3）先确定出集合中的元素，然后分类讨论的情况，根据范围确定出 的取值，然后可求得集合，由此可计算出中元素的个数． 【解答过程】（1）在中：，所以不是的“友好集”； 在中：，满足要求， 在中：，满足要求， 所以是的“友好集”. （2）由题意可知，， 所以， 因为，所以，解得， 因为，所以，所以， 所以，即成立. （3）设，其中且， 则， 所以， 若，则， 因为，所以，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 此时有，此式显然不成立，所以不符合条件，所以； 当时，因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， 所以集合中元素的个数为个. 1.已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【解析】（1） 是空集， 且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 2.已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【解析】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 3.已知是满足下列条件的集合：①；②若，则；③若且，则. (1)判断是否正确，说明理由； (2)证明：若，则. 【答案】(1)正确，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由①②得，进而可得，根据③即可证结论； （2）若结合②③得，即可得，再由可得，进而确定即可证结论. （1） 由，由②知：， 由③知：； （2） 先证：若，则， 由②知：若，且，又，则； 由③知：，则， 所以， 综上，， 再证：若则， 由，则， 所以， ，由③知：， ， . 4.已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为， 由题意可得当集合不是空集时，解得， 当集合是空集时，解得， 综上. （2）因为， 由题意可得当集合不是空集时或，解得， 当集合为空集时，解得， 综上或. 5.已知，,． (1)当a＝1时，求A∩B； (2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围． 【解析】（1），解得，故， 当时，， 所以； （2）因为，所以， 因为，所以， 所以， 解得：， 所以实数a的取值范围为 6.集合． (1)若，求实数的值； (2)已知，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得，从而解出的值，分别代入集合检验是否满足，从而确定的值； （2）由得，从而求得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，所以，解得或． 当时，，，不合题意； 当时，，满足题设． 所以，实数的值为1． （2）集合， 集合， 因为，所以，从而，解得， 所以实数的取值范围为. 7. 设集合，，其满足（1）：（2）若，则. (1)能否为单元素集，为什么？ (2)求出只含两个元素的集合. (3)满足题设条件的集合共有几个？为什么？能否列举出来. 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)或或 (3)满足条件的共在个，列举答案见解析 【分析】(1)不是为单元集，通过题意推出方程，直接求解推出的值即可说明； (2)通过列举法可求出只含两个元素的集合； (3)满足题设条件的集合，通过，所以必然时的约数，然后一一列举出来即可. （1） 不能，因为，，且， 而， 如果是单元素集，必须， 解得， 与矛盾， 所以不能为单元素集； （2） 只有两个元素， ，， 为的约数，可取或或或或或， 即可取，，，，，， 其对应的可取，，，，，，与的取值一一对应， 所以只含两个元素的集合或或； （3） 由（2）得，可取，，，，，， 其对应的可取，，，，，，与的取值一一对应， 所以满足条件的集合有或或或或或或，共个. 8.已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)当时，没有元素使与同时成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2), 【分析】（1）由可得，分， 两种情况分类讨论，求出实数的取值范围； （2）由题意知，分， 讨论，建立不等式或不等式组求解即可. （1） 集合，，， ， 当时，，解得， 当时，， 解得， 综上，实数的取值范围是，； （2） 当时，没有元素使与同时成立， ， 当时，，解得， 当时，或， 解得， 综上，实数的取值范围是，． 9.已知集合，或，全集． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入集合中确定出，求出与的交集，求出的补集，求出与补集的并集即可； （2）根据交集的定义可得答案. （1） 将代入集合中的不等式得：， ∵或， ∴，， 则； （2） ∵，或， 因为，所以不是空集， 因为，所以， 解得， 所以实数的取值范围为. 10．已知集合为非空数集，定义： ， （1）若集合，直接写出集合，. （2）若集合，，且，求证： （3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）1347. 【解析】（1）根据题目定义，直接计算集合及； （2）根据两集合相等即可找到，，，的关系； （3）通过假设集合，，，，，，，求出相应的及，通过建立不等关系求出相应的值． 【解析】（1）根据题意，由，则，； （2）由于集合，，且， 所以中也只包含四个元素， 即， 剩下的， 所以； （3）设满足题意，其中， 则， ， ， ， ，， 中最小的元素为0，最大的元素为， ， ， ， 实际上当时满足题意， 证明如下： 设，， 则，， 依题意有，即， 故的最小值为674，于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347. 【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 11.非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)若题设中的、都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. (3)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； 【答案】(1)是“坏集”，是“好集”，理由见解析 (2)且 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据“好集”和“坏集”的定义进行判断即可. （2）根据“超级好集”的定义进行解答即可. （3）根据“坏集”的定义进行证明即可. 【解答过程】（1），当时，，，是“坏集”. ，不妨设， 当时，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 对于任意，，若数或中至少有一个属于，所以集合是“好集”. （2）当且时，，则为“超级好集”； 下面证明：集合中不可能存在其它元素. 因为集合不可能存在同时大于1和小于1的元素， 若，且为中大于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 若，且为中小于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 中不可能存在其它元素. 满足题意的“超级好集”且. （3）假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为， 则，，因为，无最小值，与集合的有限性和有最小值相矛盾， ，而，所以，有限集合是“坏集”. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 26-27学年高一数学秋季班同步培优讲义（苏教版2019必修第一册） 重难点03 集合综合大题六种考法 题型一、元素与集合的关系 1.已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 2.已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 3.设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 4.已知集合 （1）证明：若，则是偶数； （2）设，且，求实数的值； （3）设，求证：；并求满足不等式的的值. 题型二、集合之间关系 5.已知集合，． (1)当时，求集合； (2)若，求实数m的取值范围． 6.已知集合. (1)若，求实数的取值集合； (2)若的子集有两个，求实数的取值集合； (3)若且，求实数的取值集合. 7.已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 8.设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 9.设集合， ． （1）若，试求； （2）若，求实数的取值范围． 题型三、集合的混合运算 10.设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 11.设全集为，集合，． (1)当时，求和； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 12.已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 13.已知集合，集合. (1)若，求实数的值. (2)若，求实数的取值范围. (3)若，，求实数的取值范围. 14.已知集合A={y|y=x2-2x}，B={y|y=-x2+2x+6}． （1）求A∩B． （2）若集合A，B中的元素都为整数，求A∩B． （3）若集合A变为A={x|y=x2-2x}，其他条件不变，求A∩B． （4）若集合A，B分别变为A={(x，y)|y=x2-2x}，B={(x，y)|y=-x2+2x+6}，求A∩B． 题型四、利用Venn图求集合 15.设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 16.已知集合，，，    (1)若，求m的取值范围； (2)当时，求图示阴影部分对应的集合. 17.设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 18.对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 题型五、集合与常用逻辑综合 19.已知集合，，其中． (1)若，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 20.已知集合，. (1)若集合，求此时实数的值； (2)已知命题：，命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围. 21.已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 题型六、集合的新定义综合题 22.已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)证明：且对任意都是的因数； (3)当时，若，求集合. 23.已知集合，，、是的非空子集.记集合除以的余数.若正整数满足：存在非空集合、，使得两两的交集为空集，且，则称为“好的”. (1)设，，当时，求，并直接判断是否为“好的”； (2)证明：是“好的”，是“好的”； (3)求所有“好的”正整数. 1.已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 2.已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 3.已知是满足下列条件的集合：①；②若，则；③若且，则. (1)判断是否正确，说明理由； (2)证明：若，则. 4.已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 5.已知，,． (1)当a＝1时，求A∩B； (2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围． 6.集合． (1)若，求实数的值； (2)已知，求实数的取值范围． 7. 设集合，，其满足（1）：（2）若，则. (1)能否为单元素集，为什么？ (2)求出只含两个元素的集合. (3)满足题设条件的集合共有几个？为什么？能否列举出来. 8.已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)当时，没有元素使与同时成立，求实数的取值范围. 9.已知集合，或，全集． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 10．已知集合为非空数集，定义： ， （1）若集合，直接写出集合，. （2）若集合，，且，求证： （3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 11.非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)若题设中的、都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. (3)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $