第5章 一元函数的导数及其应用 章末复习课 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第5章 一元函数的导数及其应用 章末复习课 22201 关 键 能 力 22201 　　 一、导数的概念及运算 1. 导数的概念是由“以直代曲”的思想方法近似表示，然后利用“无 穷逼近”的极限思想精确表达的一个数学概念，正确理解导数的概 念是中学数学学科素养的一大提升. 2. 在导数的概念建立之后，利用定义会求简单初等函数的导数，领悟 极限算法的基本思想，掌握基本初等函数的导数公式及四则运算法 则，会求简单的复合函数的导数. 22201 【例1】　（1）（2024·驻马店月考）函数 y ＝ x2 cos 2 x 的导数为 （　B　） A. y'＝2 x cos 2 x － x2 sin 2 x B. y'＝2 x cos 2 x －2 x2 sin 2 x C. y'＝ x2 cos 2 x －2 x sin 2 x D. y'＝2 x cos 2 x ＋2 x2 sin 2 x 解析：y'＝（ x2）' cos 2 x ＋ x2（ cos 2 x ）'＝2 x cos 2 x ＋ x2（－ sin 2 x ）·（2 x ）'＝2 x cos 2 x －2 x2 sin 2 x . B 22201 （2）已知函数 f （ x ）的导函数为f '（ x ），且满足关系式 f （ x ） ＝－ x3＋2f '（1） x ＋e x ，则f'（1）＝ ⁠. 解析：由题意可得f’ （ x ）＝－3 x2＋2f '（1）＋e x .令 x ＝1得f '（1）＝－3＋2f '（1）＋e，解得f '（1）＝3－e. 3－e　 22201 反思感悟 求函数导数的一般方法 连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导 对数形式 先化为和或差的形式，再求导 复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 22201 【跟踪训练】 　当函数 y ＝ （ a ＞0）在 x ＝ x0处的导数为0时， x0＝（　　） A. a B. ± a C. － a D. a2 解析：　y'＝（ ）'＝ ＝ ，由 － a2＝0得 x0＝± a . 22201 二、导数的几何意义 　　导数的几何意义是由曲线的割线逼近切线变化过程的数学表示，即函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数就是该函数图象在该点（ x0， f （ x0））处的切线斜率. 22201 【例2】　（1）设曲线 y ＝e x 在点（0，1）处的切线与曲线 y ＝ （ x ＞0）上点 P 处的切线垂直，则点 P 的坐标为 ⁠； （1，1）　 解析：由y'＝e x ，知曲线 y ＝e x 在点（0，1）处的切线斜率 k1＝e0＝1.设 P （ m ， n ），又 y ＝ （ x ＞0）的导数y'＝－ ， 曲线 y ＝ （ x ＞0）在点 P 处的切线斜率 k2＝－ .依题意 k1 k2 ＝－1，所以 m ＝1，从而 n ＝1，则点 P 的坐标为（1，1）. 22201 （2）（2022·新高考Ⅱ卷14题）曲线 y ＝ln ｜ x ｜过坐标原点的两条切 线的方程为 　 y ＝ x 　， 　 y ＝－ x 　. y ＝ x y ＝－ x 解析：先求当 x ＞0时，曲线 y ＝ln x 过原点的切线方程，设切点为（ x0， y0），则由y'＝ ，得切线斜率为 ，又切线的斜率为 ，所以 ＝ ，解得 y0＝1，代入 y ＝ln x ，得 x0＝e，所以切线斜率为 ，切线方程为 y ＝ x .同理可求得当 x ＜0时的切线方程为 y ＝－ x .综上可知，两条切线方程为 y ＝ x ， y ＝－ x . 22201 反思感悟 　　利用导数的几何意义可以求曲线上任意一点处的切线方程 y － y0 ＝f'（ x0）（ x － x0），要明确“过点 P （ x0， y0）的曲线 y ＝ f （ x ） 的切线方程”与“在点 P （ x0， y0）处的曲线 y ＝ f （ x ）的切线方 程”的区别. 22201 【跟踪训练】 　曲线 y ＝ 在点（－1，－3）处的切线方程为 ⁠. 解析：y'＝ '＝ ＝ ，所以y'｜ x＝－1＝ ＝5，所以切线方程为 y ＋3＝5（ x ＋1），即 y ＝5 x ＋2. y ＝5 x ＋2　 22201 三、函数的单调性与导数 　　利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按 照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而 掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的. 22201 【例3】　已知函数 f （ x ）＝ x3＋ （ a －1） x2－ ax ＋1. （1）若 a ＝1，求 f （ x ）的单调递增区间； 解：由题可知，f'（ x ）＝ x2＋（ a －1） x － a ＝（ x ＋ a ） （ x －1）， 当 a ＝1时，f'（ x ）＝（ x ＋1）（ x －1），由f'（ x ）＞0得 x ＜ －1或 x ＞1，故 f （ x ）的单调递增区间为（－∞，－1）， （1，＋∞）. 22201 （2）已知 f （ x ）在区间（1，＋∞）上单调递增，求实数 a 的取 值范围. 解：由（1）可知f'（ x ）＝（ x ＋ a ）（ x －1）， 若 f （ x ）在区间（1，＋∞）上单调递增，则f'（ x ）≥0对 x ∈ （1，＋∞）恒成立， 即（ x ＋ a ）（ x －1）≥0对 x ∈（1，＋∞）恒成立， 结合 x －1＞0，从而 x ＋ a ≥0，即 a ≥－ x 对∀ x ∈（1，＋∞） 恒成立，于是 a ≥－1，即实数 a 的取值范围为[－1，＋∞）. 22201 反思感悟 利用导数求函数单调区间的方法 （1）当导函数不等式可解时，解不等式f '（ x ）＞0或f’ （ x ）＜0求出 单调区间； （2）当方程f '（ x ）＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的 定义域划分为几个区间，确定各区间f '（ x ）的符号，从而确定 单调区间； （3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f '（ x ）的结构特 征，利用图象与性质确定f '（ x ）的符号，从而确定单调区间. 提醒　若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用 “∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开. 22201 【跟踪训练】 　已知函数 f （ x ）＝e x － ax － a ， a ∈R，求 f （ x ）的单调区间. 解：函数 f （ x ）＝e x － ax － a 的定义域为R， 求导得f'（ x ）＝e x － a ， 当 a ≤0时，f'（ x ）＞0恒成立，即 f （ x ）在R上是增函数； 当 a ＞0时，令f'（ x ）＝e x － a ＞0，解得 x ＞ln a ，令f'（ x ）＝e x － a ＜0，解得 x ＜ln a ，即 f （ x ）在（－∞，ln a ）上单调递减，在（ln a ，＋∞）上单调递增， 所以当 a ≤0时， f （ x ）在R上是增函数； 当 a ＞0时， f （ x ）的单调递减区间为（－∞，ln a ），单调递增 区间为（ln a ，＋∞）. 22201 四、利用导数研究函数的极值、最值 　　导数是求极值和最值的有力工具.函数的极值是一个局部性概 念，一般通过确定函数的定义域，用方程f'（ x ）＝0的根和不可 导点的 x 值依次将函数的定义域分成若干个小区间，并列成表格结 合在每个区间上的单调性求极值；对于函数的最值问题，求在 [ a ， b ]上连续且在（ a ， b ）内可导的函数 f （ x ）的最值，可 将过程简化，即不用判断极值是极大值还是极小值，而直接与区 间端点函数值作比较即可. 22201 【例4】　（1）若 x ＝－2是函数 f （ x ）＝（ x2＋ ax －1）·e x－1的极值 点，则 f （ x ）的极小值为（　　） A. －1 B. －2e－3 解析：f'（ x ）＝（2 x ＋ a ）e x－1＋（ x2＋ ax －1）·e x－1＝[ x2＋（ a ＋2） x ＋ a －1]e x－1.∵ x ＝－2是 f （ x ）的极值点，∴f'（－2）＝0，即（4－2 a －4＋ a －1）·e－3＝0，得 a ＝－1.∴ f （ x ）＝（ x2－ x －1）·e x－1，f'（ x ）＝（ x2＋ x －2）e x－1.由f'（ x ）＞0，得 x ＜－2或 x ＞1；由f'（ x ）＜0，得－2＜ x ＜1.∴ f （ x ）在（－∞，－2）和（1，＋∞）上单调递增，在（－2，1）上单调递减，∴ f （ x ）的极小值为 f （1）＝－1. C. 5e－3 D. 1 22201 （2）当 x ＝1时，函数 f （ x ）＝ a ln x ＋ 取得最大值－2，则f'（2） ＝（　　） A. －1 D. 1 解析： 由题意知， f （1）＝ a ln 1＋ b ＝ b ＝－2.求导得f'（ x ）＝ － （ x ＞0），∵ f （ x ）的定义域为（0，＋∞），∴易得f' （1）＝ a － b ＝0，∴ a ＝－2，∴f'（2）＝ － ＝－ .故选B. 22201 反思感悟 1. 可导函数在极值点处的导数一定为零，但导数为零的点不一定是极 值点，是极值点时也要注意是极大值点还是极小值点. 2. 求函数 f （ x ）在闭区间[ a ， b ]上的最值时，在得到极值的基础 上，结合区间端点的函数值 f （ a ）， f （ b ）与 f （ x ）的各极值进 行比较得到函数的最值. 3. 函数在区间（ a ， b ）上有唯一极值点，则这个极值点也是最大 （小）值点. 22201 【跟踪训练】 　已知函数 f （ x ）＝ ，若函数 f （ x ）在 x ＝－1处取得极值，求 f （ x ）的单调区间，以及最大值和最小值. 解：因为 f （ x ）＝ ，则f'（ x ）＝ ＝ ，由题意可得f'（－1）＝ ＝0，解得 a ＝4，经检验，当 a ＝4时 x ＝－1为函数 f （ x ）的极大值，符合题意. 故 f （ x ）＝ ，f'（ x ）＝ ，当 x 变化时f'（ x ）， f （ x ）的变化列表如下： 22201 x （－∞， －1） －1 （－1，4） 4 （4， ＋∞） f'（ x ） ＋ 0 － 0 ＋ f （ x ） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数 f （ x ）的单调递增区间为（－∞，－1），（4，＋∞），单 调递减区间为（－1，4）. 当 x ＜ 时， f （ x ）＞0；当 x ＞ 时， f （ x ）＜0. 所以， f （ x ）max＝ f （－1）＝1， f （ x ）min＝ f （4）＝－ . 22201 五、导数的实际应用 　利用导数解决实际问题的一般步骤 （1）分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型， 写出实际问题中变量之间的函数关系式 y ＝ f （ x ）； （2）求函数的导数f'（ x ），解方程f'（ x ）＝0； （3）比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大（小）者为 最大（小）值； （4）把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下 结论. 22201 【例5】　某个体户计划在市政府规划的摊位同时销售 A 、 B 两种小商 品.当投资额为 x （ x ≥0）千元时，在销售 A 、 B 商品中所获得的收益 分别为 f （ x ）与 g （ x ）（单位：千元），其中 f （ x ）＝2 x ， g （ x ）＝5ln（2 x ＋1），如果该个体户准备共投入5千元销售 A 、 B 两 种小商品，为使总收益最大，则 A 商品需投入（　　） A. 4千元 B. 3千元 C. 2千元 D. 1千元 22201 解析：　设投入销售 B 商品 x 千元（0≤ x ≤5），则投入销售 A 商品 的资金为（5－ x ）千元，设获得的总收益为 S （ x ）（单位：千 元），则 S （ x ）＝2（5－ x ）＋5ln（2 x ＋1）＝5ln（2 x ＋1）－2 x ＋ 10（0≤ x ≤5）， S '（ x ）＝ －2，令 S '（ x ）＝0，得 x ＝2，当 0≤ x ＜2时， S '（ x ）＞0，函数 S （ x ）单调递增；当2＜ x ≤5时， S ' （ x ）＜0，函数 S （ x ）单调递减，所以当 x ＝2时，函数 S （ x ）取得 极大值，也是最大值，所以当投入销售 B 商品的资金为2千元，投入 销售 A 商品的资金为3千元时，总收益最大，故选B. 22201 反思感悟 1. 在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑是否使实际问题有意 义，不符合题意的值应舍去. 2. 在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（ x ）＝0 的情况.如果函数在这点处有极大（小）值，那么不与端点值比 较，也可知这就是最大（小）值. 3. 注意实际问题中自变量的取值范围. 22201 【跟踪训练】 　工厂生产某种产品，次品率 p 与日产量 x （万件）间的关系为 p ＝ （ c 为常数，且0＜ c ＜6）.已知每生产1件合格产 品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元. 22201 （1）将日盈利额 y （万元）表示为日产量 x （万件）的函数； 解：当 x ＞ c 时， p ＝ ， y ＝ · x ·3－ · x · ＝0； 当0＜ x ≤ c 时， p ＝ ， ∴ y ＝ · x ·3－ · x · ＝ . ∴日盈利额 y （万元）与日产量 x （万件）的函数关系为 y ＝（ c 为常数，且0＜ c ＜6）. 22201 （2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率＝ ×100%） 解：由（1）知，当 x ＞ c 时，日盈利额为0. 当0＜ x ≤ c 时，∵ y ＝ ， ∴y'＝ · ＝ ， 令y'＝0，得 x ＝3或 x ＝9（舍去）， 22201 ∴①当0＜ c ＜3时，y'＞0，∴ y 在区间（0， c ]上单调递 增，∴ y最大值＝ f （ c ）＝ . ②当3≤ c ＜6时，在（0，3）上，y'＞0，在（3， c ）上，y' ＜0， ∴ y 在（0，3）上单调递增，在（3， c ）上单调递减. ∴ y最大值＝ f （3）＝ . 综上，若0＜ c ＜3，则当日产量为 c 万件时，日盈利额最 大；若3≤ c ＜6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大. 22201 $