第五章 一元函数的导数及其应用 高考命题探源(二)-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（人教A版）

本高中数学课件系统梳理了一元函数导数的概念、几何意义及其应用，涵盖单调性、极值、最值、不等式证明、函数与方程及实际应用等核心内容，通过高考案例与教材习题溯源，构建从基础到综合的知识网络，体现知识点间的内在逻辑。 其特色在于以高考命题探源为主线，精选切线方程求解、含参单调性讨论、正四棱锥体积最值等典型案例，结合教材习题溯源设计分层练习，培养学生逻辑推理、数学运算和数学建模能力。这种设计帮助学生巩固知识，也为教师提供精准复习教学的有效工具。

第五章　 一元函数的导数及其应用 高考命题探源(二) 探源1　导数的概念及其几何意义 [命题点分析]　本部分内容从近几年高考考查情况来看，特别是全国卷，每年都考查函数图象的切线问题，在强调导数的几何意义的前提下考查导数运算及方程、不等式等问题，主要体现方程思想和数形结合思想，对逻辑推理与数学运算素养要求较高． 高考命题探源(二) 【案例1】　(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x　　　　 B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ √ 高考命题探源(二) C　[由题意可知y′＝＝，则曲线y＝在点处的切线斜率k＝，所以曲线y＝在点处的切线方程为y－＝(x－1)，即y＝x＋．故选C．] [考题来源]　本题来源于教材习题5.2第5题，题目命题模式与习题完全一致，都是求切线方程的题目，难度相当． [试题评价]　本题考查了导数的几何意义及利用导数求切线方程的方法，体现了数学运算的学科素养，属于基础题． 高考命题探源(二) 【案例2】　(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． ln 2　[由y＝ex＋x得y′＝ex＋1，则y′|x＝0＝e0＋1＝2， 故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1． 由y＝ln (x＋1)＋a得y′＝， 设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)， ln 2　 高考命题探源(二) 由两曲线有公切线得y′＝＝2，解得x0＝－，则切点为， 切线方程为y＝2＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2． 根据两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2．] [考题来源]　本题来源于教材复习参考题5第13题，题目命题模式与习题相仿，都是求解参数的取值，教材习题是根据已知曲线在某点处的切线方程与另一曲线只有一个公共点，求解参数问题，高考题同本题如出一辙，高考题的难度与教材习题的难度相当，解题时应先求出曲线y＝ex＋x在(0，1)的切线方程，再设曲线y＝ln(x＋1)＋a的切点为(x0，ln(x0＋1)＋a)，求出y'，利用公切线斜率相等求出x0，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解． 高考命题探源(二) [试题评价]　本题考查了导数的几何意义及利用导数求切线方程的方法，尤其加强了对过一点和在一点的切线求解的易错点的考查，着重考查了数学运算和逻辑推理的核心素养，难度中等． 高考命题探源(二) 探源2　用导数解决函数的单调性、极值、最值问题 [命题点分析]　从高考的考查情况来看，利用导数研究函数的单调性是导数最为核心的部分，是高考考查的热点．函数单调性的探讨，一般就是研究一元二次不等式，特别是含参一元二次不等式，能充分考查数形结合思想、分类与整合思想、函数与方程思想及转化与化归思想，内涵极为丰富，使得探讨函数的单调性成为命题人最为青睐的部分．高考常考查的形式：(1)利用导数求函数的单调区间、讨论函数的单调性及由函数的单调性求参数的范围．(2)利用函数的单调性比较大小、证明不等式、判断函数零点的个数．(3)求函数的极值，利用极值解决最值或求参数的值与参数的范围．主要考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养，难度较大． 高考命题探源(二) 【案例3】　(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2　 B．e C．e-1　 D．e-2 √ 高考命题探源(二) C　[因为函数f (x)＝aex－ln x，所以f ′(x)＝aex－．因为函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)单调递增，所以f ′(x)≥0在(1，2)恒成立，即aex－≥0在(1，2)恒成立，易知a>0，则0<≤xex在(1，2)恒成立．设g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex．当x∈(1，2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以在(1，2)上，g(x)>g(1)＝e，所以≤e，即a≥＝e-1．故选C．] [考题来源]　本题来源于教材第94页“当x＞0时，1－≤ln x”这一结论的证明，两者的实质都是利用导数求函数的最值，难度相仿． [试题评价]　试题以单调性为背景，考查导数的应用和不等式的综合运用，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养以及转化与化归的能力，属于基础题． 高考命题探源(二) 【案例4】　(2022·全国乙卷)已知x＝x1和x＝x2分别是函数f (x)＝2ax－ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是________． 　[由题意可知f ′(x)＝2ln a·ax－2ex． 因为x1，x2分别是函数f (x)＝2ax－ex2的极小值点和极大值点， 所以函数f (x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增， 高考命题探源(二) 所以当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f ′(x)<0，当x∈(x1，x2)时， f ′(x)>0， 当a>1，x<0时，2ln a·ax>0，2ex<0， 此时f ′(x)>0，与前面矛盾， 故a>1不符合题意． 当0<a<1时， 则方程2ln a·ax－2ex＝0的两个根为x1，x2， 即方程ln a·ax＝ex的两个根为x1，x2， 即函数y＝ln a·ax与函数y＝ex的图象有两个不同的交点， 令g(x)＝ln a·ax，则g′(x)＝ln2a·ax，0<a<1， 设过原点且与函数y＝g(x)的图象相切的切点为(x0，ln a·)， 则切线的斜率为g′(x0)＝， 故切线方程为＝(x－x0)， 则有＝， 解得x0＝， 则切线的斜率为＝eln2a， 因为函数y＝ln a·ax与函数y＝ex的图象有两个不同的交点， 所以eln2a<e，解得<a<e， 又0<a<1，所以<a<1， 综上所述，a的取值范围为．] [考题来源]　本题来源于教材复习参考题5第9题，题目命题模式与复习参考题相仿，难度系数增加，教材复习参考题是已知极值点，求参数的值，本题只知道有极大值和极小值，且极小值点小于极大值点，求参数的范围，主要考查利用导数研究函数图象问题，考查学生的数学建模、逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养． [试题评价]　本题考查已知极值情况求解参数问题，主要考查已知导函数的零点个数求解参数范围问题，解决这类问题一般需要利用数形结合转化为函数的零点问题的讨论． 高考命题探源(二) 探源3　用导数解决不等式问题 [命题点分析]　本部分内容是高考常考内容，主要考查不等式的恒成立、能成立问题，并将不等式问题转化为函数的最值问题来解决，其考查形式一般是证明不等式恒(能)成立和已知恒(能)成立求参数的范围，一般以解答题形式出现，综合能力较强，难度较大，考查学生的逻辑推理和数学运算的核心运算． 高考命题探源(二) 【案例5】　(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝a(ex＋a)－x． (1)讨论f (x)的单调性； (2)证明：当a＞0时，f (x)＞2ln a＋． 高考命题探源(二) [解]　(1)f ′(x)＝aex－1， 当a≤0时，f ′(x)＜0， 所以函数f (x)在R上单调递减； 当a＞0时，令f ′(x)＞0，得x＞－ln a，令f ′(x)＜0，得x＜－ln a， 所以函数f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减， 在(－ln a，＋∞)上单调递增． 综上可得，当a≤0时，函数f (x)在R上单调递减； 当a＞0时，函数f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． (2)证明：由(1)得当a＞0时，函数f (x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f (－ln a)＝a(e－ln a＋a)＋ln a＝1＋a2＋ln a， 令g(a)＝1＋a2＋ln a－2ln a－＝a2－ln a－，a∈(0，＋∞)， 所以g′(a)＝2a－， 令g′(a)＞0，得a＞； 令g′(a)＜0，得0＜a＜， 所以函数g(a)在上单调递减，在上单调递增， 所以函数g(a)的最小值为g＝－ln ＝ln ＞0， 所以当a＞0时，f (x)＞2ln a＋． [考题来源]　本题来源于教材复习参考题5第18题，高考题和教材复习参考题都是考查基本求导公式及求导法则，考查利用导数判断函数单调性及求最值的方法，难度相当． [试题评价]　本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，证明不等式时构造函数，利用第一步的结论进行下一步的证明，考查了学生分析问题和转化问题的能力，属于中档题． 高考命题探源(二) 探源4　用导数解决函数与方程问题 [命题点分析]　本部分内容是高考的热点之一，难度较大，通常利用函数的零点、方程的根、两函数图象的交点等问题考查，这些问题通常借助函数的单调性和极值的大小的讨论来解决，考查学生的逻辑推理、直观想象和运算求解的核心素养． 高考命题探源(二) 【案例6】　(2024·全国甲卷)曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，则a的取值范围为______________． (－2，1)　[令x3－3x＝－(x－1)2＋a，即a＝x3＋x2－5x＋1，令g(x)＝x3＋x2－5x＋1(x>0)， 则g′(x)＝3x2＋2x－5＝(3x＋5)(x－1)， 令g′(x)＝0(x>0)得x＝1， 当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减， (－2，1)　 高考命题探源(二) 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，g(0)＝1，g(1)＝－2， 因为曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，等价于y＝a与g(x)＝x3＋x2－5x＋1的图象有两个交点，所以a∈(－2，1)．] [考题来源]　本题来源于教材复习参考题5第19题，题目的命题模式与复习参考题相仿，高考题的题目难度比教材习题难度要简单些，教材题目是已知函数零点的个数求解参数的范围，需要对函数的单调性进行分类讨论，本题则是将函数转化为方程，分离参数a，构造新函数g(x)＝x3＋x2－5x＋1，结合导数求得g(x)的单调区间，画出大致图形数形结合即可求解．都是利用导数研究函数的图象问题． [试题评价]　本题主要考查利用导数讨论函数的单调性以及证明函数零点个数问题，考查了学生数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心素养． 高考命题探源(二) 探源5　用导数解决实际应用问题 [命题点分析]　本考点的考查是高考常考内容之一，难度中等以上，解决实际应用问题的关键在于把实际问题抽象为函数问题再利用导数解决函数求最值问题，考查学生的数学抽象、直观想象、数学运算和数学建模的核心素养． 高考命题探源(二) 【案例7】　(2022·新高考Ⅰ卷)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是(　　) A． B． C． D． √ 高考命题探源(二) C　[因为球的体积为36π，所以球的半径R＝3， 设正四棱锥的底面边长为2a，高为h， 则l2＝2a2＋h2，32＝2a2＋(3－h)2， 所以6h＝l2，2a2＝l2－h2， 所以正四棱锥的体积V＝Sh＝×4a2×h＝＝， 所以V′＝＝l3， 当3≤l＜2 时，V′＞0，当2 ＜l≤3 时，V′＜0， 所以当l＝2 时，正四棱锥的体积V取得最大值，最大值为， 又l＝3时，V＝，l＝3 时，V＝， 所以正四棱锥的体积V的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是． 故选C．] [考题来源]　本题来源于教材习题5.3第8题，命题形式和教材习题的命题形式相同，不同的是教材习题考查长方体的容积，本题考查正四棱锥的外接球和体积的运算，难度略高于教材习题． [试题评价]　本题主要考查了正四棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的最值，体现了导数在现实生活中的应用，属于中档题．主要考查学生的数学建模、逻辑推理和数学运算等核心素养． 高考命题探源(二) $