河北省张家口市部分高中2026-2027学年高三上学期9月学情检测数学试题

高三学情检测(九月) 数 学 (试卷满分:150分,考试时间:120分钟) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指 定位置。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;回答非选择题时,用0.5mm的黑色字迹签字笔将 答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3.考试结束后,请将答题卡上交。 4.本卷主要命题范围:集合和常用逻辑用语、不等式、函数、导数。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的, 1.命题“Vx∈R,x一1>x2”的否定是 A.3x∈R,x-1x2 B.3x∈R,x-1<x2 C.YxR,x-1x2 D.Hx∈R,x-1≤x2 2.若集合M={x2x-1>6},N={x∈N-1<x<6},则(CRM)∩N= A.{0,1,2,3}》 B.{1,2,3》 C.{0,1,2}》 D.{1,2} 3.函数f(x)=x3+sinx的大致图象为 4.设甲:a+b≤2,乙:a2+b≤2,则甲是乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x十3)=f(x),当x∈[0,3]时,f(x)=x2一3x+2,则函 数f(x)在区间[0,30]上的零点个数为 A.10 B.18 C.20 D.30 【高三数学第1页(共4页)】 6.若在区间[m,十3]上,函数f(x)=3x一3的最小值不小于g(x)=一x2+3x+4的最大值, 则正数m的取值范围为 A.(0,2) B.[2,十∞) C.(2,+oo) D.[2,4) 7.曲线y=lnx与曲线y=x2十2ax有公切线,则实数a的取值范围是 A(,-2] B(-∞,2] c.[-,+∞) n[2+∞】 8.已知ab>0,且4a2-ab+-c=0,当5取最小值时,a+2b-c的最大值为 A器 B. c D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.对于给定的实数a,关于实数x的一元二次不等式a(x十a)(x一1)>0(a<0)的解集可能为 A.{x|1<x<-a} B.{x-a<x<1》 C.{x|-1<x<0} D.{xx<-a或x>1} 10.已知函数f(x)的定义域为R,其导数f(x)满足f'(x)一2f(x)>0,则 A.f(2)>e2f(1) B.f(-1)>e4f(1) C.4f(1)>e2f(ln2) D.e4f(0)>f(2) 11.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(2-x)+g(x)=3,f(x)-g(x-4)=5.若f(x十2) 是偶函数,f(2)=2,则 A.f(x)是奇函数 B.4是g(x)的一个周期 C含g)=-28 D.f(12+22+…+20252)=4 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.已知关于x的方程x2+(m一4)x+5一2m=0有两个不相等的实数根,且两个根均大于0, 则实数m的取值范围为 13.若函数f(x)=x-1ln(2)的图象关于点(a,0)对称,则a+b= 14.已知函数f(x)=(1一x)e,点(a,b)在曲线y=f(x)上,则f(a)一f(b)的最大值为 【高三数学第2页(共4页)】 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知樂合A=m<m+1,B=<<7 (1)当m=1时,求AUB,A∩B; (2)若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件,求实数的取值范围. 16.(本小题满分15分) 已知a>0,b>0,且a+b=2,证明: (1)a2b+ab2≤2; 2+≥2 17.(本小题满分15分) 已知幂函数f(x)=(m2一3) xm在(0,十∞)上单调递减. (1)求f(x)的解析式; (2)若1x∈[1,2],f(x)≤2二0恒成立,求a的取值范围. 【高三数学第3页(共4页)】 18.(本小题满分17分)》 已知函数f(x)的定义域为R,对任意的a,b∈R,都有f(a)f(b)=f(a+b).当x<0时, f(x)>1,且f(0)≠0. (1)求f(0)的值,并证明:当x>0时,0<f(x)<1: (2)判断f(x)的单调性,并证明; (3)若f(2)=2,求不等式f(5t-6)>6的解集。 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=e-1,g(x)=lnx十1,设函数h(x)=f(x)一mg(x). (1)当m=1时,求h(x)的极值点; (2)证明:当m>0时,h(x)≥-mlnm; (3)若对任意x>0,都有g(x)≤a.x+b(x一1)2≤f(x)恒成立,求a+b的取值范围. 【高三数学第4页(共4页)】高三学情检测（九月）·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A命题“Hx∈R,x一1>x”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“Hx∈R,x一1>x”的否 定是“]x∈R,x-1≤x”,故选A. 2.B由题意知M={x2x-1>6}={zx>},N=《x∈N|-1<<6)={1,23,45,所以 (CRM)∩N={1,2,3}.故选B. 3.D由f(-x)=-x3-sinx=-f(x),可得函数f(x)为奇函数，可排除A,B选项，又由f(1)=1十sin1>0,可 排除C选项，可知答案为D. 4.B若a+b≤2，取a=2,b=0,不满足a十b2≤2，所以甲不是乙的充分条件.若a2十b≤2，即a2十|b2 ≤3，由基本不等式，口6≤√a2≤1，即a十6≤2，所以甲是乙的必要条件.综上所述，甲是 2 2 乙的必要不充分条件.故选B. 5.C当x∈[0,3]时，f(x)=x2-3x十2=0时，x=1,x=2,此时f(x)有2个零点，，f(x十3)=f(x),.f(x) 的周期为3，[0,30]共有10个周期，零点个数2×10=20.故选C. 6.B如图，作出f(x)=3-3与g(x)=一x2十3x十4的图象，可得f(2)=g(2). 由图可知，当0<m<2时，f(x)在[，m十3]上的最小值总小于g(x)的最大值： 当m≥2时，f(x)在[m,m十3]上的最小值不小于g(x)的最大值.故选B. 7.C设y=lnx,y=x2十2ax图象上的切点分别为(r,lnx1),(x2,x十2ax2),则过 这两点处的切线方程分别为y一若十ln-1,y=(2十2a)x-,则子=2x十 1 2a,lnx1-1=-x,所以2a=ei-1-2.x2,设f(x)=e2-1-2.x,f(x)=2(xe2-1 1),f(1)=0,/(x)=2(2x2+1)e2-1>0,则f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1， 十o∞)上单调递增，所以2a≥f1)=-1u≥-号.故选C 8A因为a-6+公-(=0，所以=-6所以品=如十拉=老+会-1>2V层·臣-1 ab 3,当且仅当号-合，即6=2a时等号成立，所以a+2b-(=a十2X2a-[4a2-a×2a+(2a)°门=-6a+5a =-6(。-)广+器所以a叶2b-c的最大值为察故选A 9.AB当a<0时，函数y=a(x十a)(x-1)开口向下， 若a=-1,不等式解集为心； 若-1<a<0,不等式的解集为{x一a<x<1}, 若a<-1,不等式的解集为{x1<x<-a. 综上，A、B项都可能成立.故选AB 10.AC设F(x)=巴，则F(x)=')-2fm_f)-2f2 因为对任意的x∈R都有f'(x)一2f(x)>0,则F(x)>0恒成立，所以F(x)在R上单调递增： 因为1<2，所以f<f2,即cf1)<f(2),所以A正确： el 【高三数学参考答案第1页（共4页）】 因为-1<1所以<，即f(-1)<。f1),所以B错误， e-2 因为1n2<1,所以血2<D,即4f(1)>cfn2),所以C正确： 4 因为0<2.所以fO<f2,即ef(0)<f(2),所以D错误：故选AC 11.BCD由f(x)-g(x-4)=5,用x十4代入x得f(x十4)-g(x)=5,又f(2-x)十g(x)=3,两式相加得 f(x+4)十f(2-x)=8,由f(x十2)是偶函数，得f(2十x)=f(2-x),代入上式得f(x+4)+f(2+x)=8, 用x十2代入x得f(x十6)十f(4十x)=8,由此得到f(x)=f(x十4)，又因为f(4十x)=f(-x),所以f(x) =f(一x),f(x)为偶函数，A选项错误； 由f(x)-g(x-4)=5,用x+2代入x得f(x十2)-g(x-2)=5,又f(2-x)十g(x)=3,两式相减得g(x) 十g(x-2)=一2，所以g(x一2)十g(x-4)=-2,因此g(x)=g(x-4),即4是g(x)的一个周期，B选项 正确； 由f(2)+g(0)=3可得g(0)=1,所以g(4)=g(0)=1,由f(2)-g(-2)=5可得g(-2)=-3,所以g(2) =g(-2)=-3,由f1)+g(1)=3,f(1)-g(-3)=5,可得g(1)=g(-3)=-1,由f(3)十g(-1)=3, f(3)-g(-1)=5,可得g(-1)=-1,所以2g(k)=6×(-1-3-1十1)+(-1-3)=-28，C选项正确： 因为奇数的平方除4的余数为1，所以f(12十22十…+2025)=f(1013)=f(1)=4,D选项正确.故 选BCD. △=(m-4)2-4(5-2m)>0, m2-4>0. m>2或m<-2, 12.2<m<号或m<-2 由题意得1十x=4一m>0, <4, m<4, →2<m x2=5-2m>0 m2 m<号 <号或mK-2 12由f+2a-)=0可得，1h()+2a-1-h(他a士）=0.所以a=1,故 (25)+1a(他2)=0，所以6=1.所以a+b=2 14.1求导得f'(x)=-xe,当x∈(-o,0)时，f(x)>0,f(x)单调递增；当x∈(0，十o)时，f(x)<0,f(x) 单调递减，所以f(x)≤f(0)=1,点(a,b)在曲线y=f(x)上，则b∈(-∞，1]，所以f(a)-f(b)=b-f(b) b+(b-1)e,设g(b)=b+(b-1)e,g'(b)=1+be,[g'(b)]'=(b+1)e,当b∈(-∞，-1)时，g(b)单调递 减：当6∈(-1,1)时，g(6)单调递增，所以g(b)≥g'(-1)=1-。>0,故g6)单调递增，故g)≤g1)= 1,即f(a)-f(b)的最大值是1. 15.解：(1)当m=1时，A={x|1<x<2}, ……2分 因为B={女多<x<, 所以AUB={x|1<x<7}, 4分 AnB={<2： 6分 (2)因为x∈A是x∈B成立的充分不必要条件， 所以集合A是集合B的真子集， 因为m<m2+1恒成立， ………………………………………8分 所以集合A≠功，………………………………………………10分 【高三数学参考答案第2页（共4页）】 所以 m≥2 3 解得号≤m6,………… ………12分 m2+17, 故实数m的取值范围为号，6……… 13分 16.证明：(1)a2b十ab=ab(a十b)=2ab, …2分 因为a>0,b>0,2=a十b≥2ab,则0<ab≤1，当且仅当a=b=1时等号成立，…5分 所以a2b十ab2;……………………6分 (2)a+b++g=。+2-@+B+2-2-a-a）+2+B-b+2 a十1Tb+1 a十1 b+1 a十1 b十1 -》士2w+0》2=+-a-6时品品 a+1 b+1 =6+2品6)-2=a-2计20德号-2 6+dbf-2ab+2=d826+2,… 8 10分 由(1)有0<a61,有ab+3≤4，-ab≥1，有b5≥子，一2ab≥2，……12 有一2a的+2≥8×寸-2+9=2，当且仅当a=6=1时等号成立， 所以0士也+分士4≥2.…。 a十1b十11 ………15分 m2-3=1, 17.解：(1)因为幂函数f(x)=(m2-3)·xm在(0，十∞)上单调递减，所以 …4分 m<0, 解得m=一2，所以f(x)的解析式为f(x)=x2; ………7分 (2油/x)<2,2,可得士≤2-a则a≤2- ,…10分 因为y=2y=一在[1,2]上单调递增， 所以y=2一在[1,2]上单调递增，所以当x=1时，取得最小值1.…13分 所以Q的取值范围为(-0∞，1].………15分 18.(1)解：令a=b=0,则[f(0)]=f(0),又f(0)≠0，所以f(0)=1.… 2分 证明：当x>0时，一x<0,所以f(一x)>1, 又f-）=-=f0)=1.所以)=72所以0Kf)1:…4分 (2)f(x)在R上单调递减. 证明：设x1<x2,则f(x)-f(x2)=f(x一x2十x2)-f(x2)=f(x-x2)f(x2)-f(x2)=f(x2)[f(x1 x观)-1]，……………6分 又x1<x2,所以x1-x2<0,所以f(x1-x2)>1,又当x<0时，f(x)>1,当x>0时，0<f(x)<1,f(0)=1, 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f八x2),…………8分 所以(x)在R上单调递减；……………… ………10分 (3)解：因为f(2)=号，所以8)=f2)f(6)=f2)f(2)f(4)=[f2)]=6 …12分 所以f(5f-6t)>6,即f5-6t)>f(8), …………………14分 又f(x)在R上单调递减，所以5t2-6t<8,……………………………………15分 【高三数学参考答案第3页（共4页）】 解得-青<1<2，所以不等式f5r-60)>的解集为(-台，2). …17分 19.(1)解：当m=1时，h(x)=g-hx-1,则(x)=e-是(1)=0…1分 因为y=。,=一子均为增函数，所以(x)=e一子单调递增，所以当x∈(0,1)时，(x)<0,当x∈ (1,十∞)时，h'(x)>0,所以h(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，十∞)上单调递增.…3分 所以函数h(x)的极小值点是x=1,无极大值点；…………………4分 (2)证明：(x)=e-,由(1)可知，当m>0时，()单调递增，… 5分 取<1且<m,则x1一兴<0，取>1且>1+hm,则A)>e1-m>e-m 0,………………………………………………………………6分 所以存在唯一的∈(，2)，使得'(xo)=0,即g。1-=0,…7分 所以h(x）≥h(）=e。t-mlnx-m=”-m(lnm-x十1)-m=”+m-mlnm-2m≥2m-mlnm -2m=-ln 9分 (3)解：因为f(1)=g(1)=1,得到1≤a≤1，所以a=1,…11分 当b=0时，lnx十l≤x≤e-1,显然成立， 设G(x)=x十b(x-1)2-lnx-1,则G(x)≥0恒成立， 当b>0时，G(x)≥x-lnx-1≥0，符合题意： 当<0时，G(1-云)=1一名+61-名-1)‘-1n(1-云)-1长方十方=0，不符题意.…13分 同理，e1-x-b(x-1)≥0恒成立，即+b一1D≤1， er-l i设F(=bC1D,则F(0)=e≤1，所以。 …14分 0x-D(3-合- F(x)= ,令F(x)=0,解得x=1或x=3-方) 当0<K专时，3-方<0，所以F)在区间(0,1)上单调递增，在区间1，十)上单调递诚，所以F)≤ F(1)=1,符合题意： 当号<K。时，x=3-方<3-e<1,所以下()在区间(0,3-方)上单调递减，在区间(3-方，1)上单调 递增，在区间1，十6∞)上单调递减，因为F(1)=1,F(0)<1,所以号<b≤。符合题意，所以0<≤是. ……………………………………………………16分 综上所述，a十b的取值范围为[1,1] …………17分 【高三数学参考答案第4页（共4页）】