二次函数综合：三角形面积问题、四边形面积问题讲义-2026-2027学年人教版九年级数学上册

二次函数综合：三角形面积问题、四边形面积问题讲义 二次函数综合：三角形面积问题、四边形面积问题讲义 考点目录 三角形面积问题 四边形面积问题 考点一 三角形面积问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 三种核心计算方法 （1）法（边平行坐标轴时优先用） · 适用场景：三角形有一条边在 轴/ 轴上，或平行于坐标轴。 · 公式： · 底边水平： · 底边竖直： · 优势：计算最简单，直接用坐标差计算，无需复杂变形。 （2）铅垂高法（通用通法，中考核心） · 适用场景：任意三角形，尤其适合“一个动点在抛物线上、另外两个为定点”的题型，边不平行于坐标轴。 · 原理：过动点作平行于 轴的铅垂线，交对边所在直线于一点，将原三角形分割为两个同底的小三角形，两个小三角形的水平距离之和为定值。 · 公式： 设 中，、 为定点， 为抛物线上的动点。过 作 轴，交直线 于点 ，则： · 其中：水平宽为左右两个定点的横坐标差的绝对值（定值）；铅垂高为动点与对应交点的纵坐标差的绝对值（随动点变化）。 · 核心优势：面积最值直接等价于铅垂高的最值，转化为关于 的二次函数求最值，计算量小。 （3）鞋带公式（坐标公式） · 适用场景：已知三个顶点的所有坐标，直接代入计算。 · 公式：三点 ，则 2. 常考题型 1. 面积最值问题：抛物线上一动点与两定点构成的三角形，求面积最大值及对应点坐标。 1. 面积定值问题：已知三角形面积，求满足条件的动点坐标。 1. 面积比例问题：两个三角形面积比为定值，求点坐标或抛物线参数。 二、解题思路（铅垂法通用步骤） 1. 求直线：先求出两个定点所在直线的解析式； 1. 设动点：设抛物线上动点的横坐标为 ，代入抛物线得纵坐标，同时代入直线方程得交点 的纵坐标； 1. 表铅垂高：用动点纵坐标减交点纵坐标，加绝对值，表示出铅垂高的长度； 1. 列面积函数：代入铅垂法面积公式，得到面积关于 的二次函数； 1. 求解：求最值则配方找顶点；求定值则列一元二次方程求解； 1. 验范围：结合动点的横坐标取值范围，验证解的合理性。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)坐标为或 【分析】（1）将、代入求出、的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出最大值； （3）求出，设，则，即可求解． 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，y的最大值为． （3）解：、， ， 设， 则， 即， 解得， 当时，此时或， 当时，此时方程无解， 坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，二次函数与图形面积的综合，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． 例2．（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，二次函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，求A，B两点的坐标； (2)如图2，在抛物线的对称轴l上，是否存在一点D，使得的值最小，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，若点E是直线下方抛物线上的动点，当的面积是的面积的一半时，求点E坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)存在， (3) 【分析】（1）将代入求解即可； （2）根据轴对称的性质得到当点B，C，D在一条直线上时，取得最小值，求出直线的解析式及抛物线的对称轴，进而计算即可； （3）过E点作轴交BC于点M，设点E的坐标为，根据的面积是的面积的一半列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． （2）解：存在点D，如图2，连接交直线l于点D，连接， ∵点A与点B关于对称轴l对称， ∴， ∴， ∴当点B，C，D在一条直线上时，取得最小值，此时点D即为与直线l的交点， 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，将点代入，得， 解得， ∴． 抛物线的对称轴为直线，将代入得， ∴点D的坐标为． （3）解：由（2）知，直线的解析式为，如图3，过E点作轴交于点M， 设点E的坐标为，则点M的坐标为， ∴， ∴的面积，的面积， ∵的面积是的面积的一半， ∴， 解得或（舍）， ∴点E的坐标为． 例3．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标是时，有最大面积，最大面积是． 【分析】（1）根据直线的解析式求出点、的坐标，再根据抛物线的对称性求出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据抛物线的对称轴是，可以求出抛物线的最小值为，最大值为，即可得到的取值范围； （3）过点作直线轴，交直线于点，设点的坐标是，即可得到点的坐标为，根据三角形的面积公式可得：，根据二次函数的性质可知当点的坐标是时，有最大面积，最大面积是． 【详解】（1）解：当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， 设点的坐标是， 抛物线的对称轴为直线， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 当时，可得：， 点的坐标是， 把点、、的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线有最小值，最小值为， 当时，， 当时，， 当时，； （3）解：设点的坐标是， 如下图所示，过点作直线轴，交直线于点， 则点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 整理可得：， 当时有最大面积，最大面积是， 此时，即点的坐标是． 【变式训练】 变式1．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，直线经过点，抛物线经过点，点在线段上，轴，交抛物线对称轴右侧部分于点，且． (1)设点，求点的纵坐标（用两种不同的含的代数式表示） (2)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先通过直线的解析式求出点的坐标，进而求出抛物线的解析式，由轴得点，点的纵坐标相等；由的长可求出点的横坐标，代入抛物线的解析式中即可表示出点的纵坐标； （2）由即可得解． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， 把代入，得，解得， ∴ ∵轴，点， ∴； ∵轴，点， ∴点的横坐标为， 又∵点在抛物线上， ∴； （2）解：由（1）得，解得，或（舍去）， ∴， ∴的面积． 变式2．（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图所示，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出时y的值可得点C的坐标，求出时x的值可得点A和点B的坐标； （2）根据（1）所求求出的面积，则可得到的面积，根据三角形的面积公式求出点M的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，则， 当时，则，解得，则； （2）解：由（1）得， ∴ ， ∴ ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴ ，即， ∴，即， 在中，当时，，此时方程无解，不符合题意； 在中，当时，，解得， ∴点的坐标为或． 变式3．（2026·贵州毕节·中考真题）毕节市纳雍县境内总溪河特大桥是实现县县通高速的重要工程，大桥飞架在总溪河峡谷上，让乌蒙山区天堑变通途．总溪河特大桥的主桥拱为抛物线型，它的截面是抛物线的一部分，如图①，顶点在C处，对称轴与水平线垂直，千米，千米． (1)求抛物线的关系式； (2)如图②，为了桥面美观，在桥面下千米处安装直线型彩灯，左右两边各拉了一条缆绳、，两条缆绳与彩灯交于两点M、N，求的长度； (3)点为抛物线上一点且，当的面积最大时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)的长度为千米； (3)． 【分析】（1）由题意可得，设抛物线的关系式为，利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线，直线的解析式，再求出点的坐标，即可解答； （3）分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ∵点为抛物线的顶点， 设抛物线的关系式为， 则，解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 由题意得点的纵坐标为，则，解得； 设直线的解析式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 由题意得点的纵坐标为，则，解得； ∴（千米）， 答：的长度为千米； （3）解：由（1）知抛物线的关系式为， ∴， 当时，过点作轴的垂线交于点，如图， 由（2）知直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大面积为， 则，即； 当时，过点作轴的垂线交于点，如图， ∴， ∴， ∵在时，随的增大而增大，在时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大面积为， 则，即； ∵， ∴当的面积最大时，点P的坐标为． 考点二 四边形面积问题 【知识点解析】 一、核心知识点 四边形面积问题的核心思想是割补转化：将不规则四边形转化为三角形、矩形、梯形等规则图形的面积和或差。 1. 四种核心计算方法 （1）对角线分割法（最常用） · 适用场景：任意四边形，尤其适合有一条对角线为定线段的题型。 · 方法：连接一条对角线，将四边形分成两个三角形，分别计算两个三角形的面积，再求和。 例：四边形 ，连接 ，则 。 · 优势：直接复用三角形面积的所有方法，思路清晰，迁移性强。 （2）补形法（大减小） · 适用场景：四边形顶点靠近坐标轴，或坐标均为整数，补成大矩形/大梯形更方便。 · 方法：用一个覆盖四边形的最小矩形（或梯形）的面积，减去周围多余的直角三角形、直角梯形的面积。 · 优势：分割的都是规则直角图形，计算简单，不易出错。 （3）分段铅垂法 · 适用场景：四边形有多个动点在抛物线上，或边均不平行坐标轴。 · 方法：过每个顶点作铅垂线，将四边形分割为多个直角梯形和三角形，分别计算再求和。 （4）特殊四边形面积公式 · 平行四边形： · 矩形/正方形：邻边长度相乘 · 菱形： · 梯形： 2. 常考题型 1. 面积最值问题：四边形有 2-3 个定点，1 个动点在抛物线上，求四边形面积的最大值。 1. 面积定值问题：已知四边形面积，求满足条件的动点坐标。 1. 存在性问题：是否存在点，使得四边形为平行四边形/菱形且面积为定值。 二、解题思路 1. 判形状：判断四边形是否为特殊四边形，是则用对应公式；不规则则选择割补方法； 1. 定方案：优先用对角线分割法，转化为两个三角形面积问题； 1. 化单变量：设动点横坐标为 ，分别表示出分割后各部分的面积； 1. 列函数/方程：总面积表示为关于 的函数，求最值或列方程求解； 1. 验结果：验证解的个数、坐标是否符合题意。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求点A、点B和点C的坐标； (2)若抛物线的顶点为D，求四边形的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，抛物线与图形面积问题，解题的关键是正确求出抛物线与坐标轴的交点． （1）分别令，即可求解抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）先求出顶点，设抛物线对称轴与轴交于点，则，，，，，再由求解． 【详解】（1）解：当时，则， 解得或， ∴，； 当， ∴； （2）解：， ∴顶点， 设抛物线对称轴与轴交于点， ∴，，，，， ∴ 例2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，对称轴为直线的抛物线经过、两点，抛物线与轴的另一个交点为 (1)求抛物线的解析式； (2)若点为第一象限内抛物线上的一点，设四边形的面积为，求的最大值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）根据抛物线的对称性得出点的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （）作辅助线把四边形分成梯形和直角三角形，求出的二次函数，再根据二次函数的性质求解即可； 本题二次函数的几何应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由抛物线的对称性得，， 设抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，设点，过作轴，垂足为， 则，， ∵， ∴， ∴ ， ∵ ∴的最大值为． 例3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图1，二次函数的图象与轴交于点 、点；点C是该函数与轴的交点，且，连接、． (1)求二次函数的表达式，并判断的形状； (2)若P是此二次函数图象上第一象限内的点（如图2），设点横坐标为，求当四边形的面积最大时的值． 【答案】(1)，是直角三角形 (2)当时，最大，最大值为8 【分析】本题考查二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，割补法求面积，用含m的函数关系式表示四边形的面积是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）先求直线的解析式，然后过点P作轴交于点Q，得到点P，Q的纵坐标，表示长，然后根据列函数关系式得到最值解题即可． 【详解】（1）解：∵点C是该函数与轴的交点，且， ∴点的坐标为， ∵抛物线的图象过点和， ∴， 解得， ∴， 令，则， 解得，， ∴点B的坐标为， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形； （2）设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得， ∴， 过点P作轴交于点Q，设点横坐标为，如图所示： 则点P的纵坐标为，点Q的纵坐标为， ∴，即， ∴， ， ∴当时，最大，最大值为8． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于、、三点，且，点P是抛物线上的一个动点． (1)求点C的坐标； (2)求这个二次函数的解析式； (3)若点在直线下方，运动到什么位置时，四边形面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积． 【答案】(1) (2)； (3)点坐标为时，四边形的最大面积为． 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，解题的关键是方程思想的应用． （1）由，且，得； （2）设二次函数的解析式为，用待定系数法可得二次函数的解析式为； （3）设，过作轴于点，交直线于点，先求得直线解析式，当最大时，四边形的面积最大，根据得到关于的二次函数，由二次函数性质即可求解． 【详解】（1）解：，且， ； （2）解：设二次函数的解析式为，把、、代入得： ， 解得， 二次函数的解析式为； （3）解：点在抛物线上， 可设， 过作轴于点，交直线于点，如图： ，， 直线解析式为，， ，当最大时，四边形的面积最大， ， ， 当时，最大值为8，此时， 当点坐标为时，， 故此时四边形的最大面积，四边形的最大面积为． 变式2．（25-26九年级上·江西宜春·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时E点的坐标． 【答案】(1) (2)点为的中点时，四边形的面积最大，最大面积为，此时点的坐标为 【分析】（1）将、点坐标分别代入抛物线解析式得，然后解方程组求出、即可得到抛物线解析式； （2）由题意知，二次函数的对称轴为直线，则，如图，设，则，，由题意知，，然后根据二次函数的图象与性质，求解作答即可． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得，， ∴抛物线的关系式为； （2）当时，， 解得，或，则， 由题意知，二次函数的对称轴为直线， ∴，如图， 设直线的函数表达式为 将、点坐标代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 设，则，， 由题意知，， ∴， ∵， ∴当时，即点为的中点时，四边形的面积最大，最大面积为，此时点的坐标为． 变式3．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于B，C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于点A，直线的函数解析式为． (1)求点A，C的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)四边形的面积有最大值，最大值为8，此时 【分析】（1）在直线y＝﹣x+2中分别令和，可得A和C的坐标； （2）将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式； （3）方法一：过M点作轴，与交于点N，设则，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标； 方法二：连接，根据面积和表示关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标； 【详解】（1）解：对于一次函数． 令，得，令，得， ∴， （2）解：将，代入得 解得 ∴ （3）解：方法一：由（2）可得抛物线对称轴为直线， ∴， ∴ 如图过点M作直线轴交直线于点N 设则 ∴ ∴ ∵， ∴当时，四边形最大值为8且； 方法二：由（1）知： ∴抛物线的对称轴是直线 ∵，∴ 连接，设 ∴ ∴当时，四边形的面积有最大值，最大值为8，此时． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（3）题关键在求函数的解析式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数综合：三角形面积问题、四边形面积问题讲义 二次函数综合：三角形面积问题、四边形面积问题讲义 考点目录 三角形面积问题 四边形面积问题 考点一 三角形面积问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 三种核心计算方法 （1）法（边平行坐标轴时优先用） · 适用场景：三角形有一条边在 轴/ 轴上，或平行于坐标轴。 · 公式： · 底边水平： · 底边竖直： · 优势：计算最简单，直接用坐标差计算，无需复杂变形。 （2）铅垂高法（通用通法，中考核心） · 适用场景：任意三角形，尤其适合“一个动点在抛物线上、另外两个为定点”的题型，边不平行于坐标轴。 · 原理：过动点作平行于 轴的铅垂线，交对边所在直线于一点，将原三角形分割为两个同底的小三角形，两个小三角形的水平距离之和为定值。 · 公式： 设 中，、 为定点， 为抛物线上的动点。过 作 轴，交直线 于点 ，则： · 其中：水平宽为左右两个定点的横坐标差的绝对值（定值）；铅垂高为动点与对应交点的纵坐标差的绝对值（随动点变化）。 · 核心优势：面积最值直接等价于铅垂高的最值，转化为关于 的二次函数求最值，计算量小。 （3）鞋带公式（坐标公式） · 适用场景：已知三个顶点的所有坐标，直接代入计算。 · 公式：三点 ，则 2. 常考题型 1. 面积最值问题：抛物线上一动点与两定点构成的三角形，求面积最大值及对应点坐标。 1. 面积定值问题：已知三角形面积，求满足条件的动点坐标。 1. 面积比例问题：两个三角形面积比为定值，求点坐标或抛物线参数。 二、解题思路（铅垂法通用步骤） 1. 求直线：先求出两个定点所在直线的解析式； 1. 设动点：设抛物线上动点的横坐标为 ，代入抛物线得纵坐标，同时代入直线方程得交点 的纵坐标； 1. 表铅垂高：用动点纵坐标减交点纵坐标，加绝对值，表示出铅垂高的长度； 1. 列面积函数：代入铅垂法面积公式，得到面积关于 的二次函数； 1. 求解：求最值则配方找顶点；求定值则列一元二次方程求解； 1. 验范围：结合动点的横坐标取值范围，验证解的合理性。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 例2．（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，二次函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，求A，B两点的坐标； (2)如图2，在抛物线的对称轴l上，是否存在一点D，使得的值最小，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，若点E是直线下方抛物线上的动点，当的面积是的面积的一半时，求点E坐标． 例3．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 变式1．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，直线经过点，抛物线经过点，点在线段上，轴，交抛物线对称轴右侧部分于点，且． (1)设点，求点的纵坐标（用两种不同的含的代数式表示） (2)连接，求的面积． 变式2．（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图所示，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 变式3．（2026·贵州毕节·中考真题）毕节市纳雍县境内总溪河特大桥是实现县县通高速的重要工程，大桥飞架在总溪河峡谷上，让乌蒙山区天堑变通途．总溪河特大桥的主桥拱为抛物线型，它的截面是抛物线的一部分，如图①，顶点在C处，对称轴与水平线垂直，千米，千米． (1)求抛物线的关系式； (2)如图②，为了桥面美观，在桥面下千米处安装直线型彩灯，左右两边各拉了一条缆绳、，两条缆绳与彩灯交于两点M、N，求的长度； (3)点为抛物线上一点且，当的面积最大时，求点P的坐标． 考点二 四边形面积问题 【知识点解析】 一、核心知识点 四边形面积问题的核心思想是割补转化：将不规则四边形转化为三角形、矩形、梯形等规则图形的面积和或差。 1. 四种核心计算方法 （1）对角线分割法（最常用） · 适用场景：任意四边形，尤其适合有一条对角线为定线段的题型。 · 方法：连接一条对角线，将四边形分成两个三角形，分别计算两个三角形的面积，再求和。 例：四边形 ，连接 ，则 。 · 优势：直接复用三角形面积的所有方法，思路清晰，迁移性强。 （2）补形法（大减小） · 适用场景：四边形顶点靠近坐标轴，或坐标均为整数，补成大矩形/大梯形更方便。 · 方法：用一个覆盖四边形的最小矩形（或梯形）的面积，减去周围多余的直角三角形、直角梯形的面积。 · 优势：分割的都是规则直角图形，计算简单，不易出错。 （3）分段铅垂法 · 适用场景：四边形有多个动点在抛物线上，或边均不平行坐标轴。 · 方法：过每个顶点作铅垂线，将四边形分割为多个直角梯形和三角形，分别计算再求和。 （4）特殊四边形面积公式 · 平行四边形： · 矩形/正方形：邻边长度相乘 · 菱形： · 梯形： 2. 常考题型 1. 面积最值问题：四边形有 2-3 个定点，1 个动点在抛物线上，求四边形面积的最大值。 1. 面积定值问题：已知四边形面积，求满足条件的动点坐标。 1. 存在性问题：是否存在点，使得四边形为平行四边形/菱形且面积为定值。 二、解题思路 1. 判形状：判断四边形是否为特殊四边形，是则用对应公式；不规则则选择割补方法； 1. 定方案：优先用对角线分割法，转化为两个三角形面积问题； 1. 化单变量：设动点横坐标为 ，分别表示出分割后各部分的面积； 1. 列函数/方程：总面积表示为关于 的函数，求最值或列方程求解； 1. 验结果：验证解的个数、坐标是否符合题意。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求点A、点B和点C的坐标； (2)若抛物线的顶点为D，求四边形的面积． 例2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如图，对称轴为直线的抛物线经过、两点，抛物线与轴的另一个交点为 (1)求抛物线的解析式； (2)若点为第一象限内抛物线上的一点，设四边形的面积为，求的最大值． 例3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图1，二次函数的图象与轴交于点 、点；点C是该函数与轴的交点，且，连接、． (1)求二次函数的表达式，并判断的形状； (2)若P是此二次函数图象上第一象限内的点（如图2），设点横坐标为，求当四边形的面积最大时的值． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于、、三点，且，点P是抛物线上的一个动点． (1)求点C的坐标； (2)求这个二次函数的解析式； (3)若点在直线下方，运动到什么位置时，四边形面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积． 变式2．（25-26九年级上·江西宜春·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时E点的坐标． 变式3．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于B，C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于点A，直线的函数解析式为． (1)求点A，C的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $