专题27.1 反比例函数的概念『重点难点同步培优讲义』（导图知识卡片+知识梳理+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

null 专题27.1 反比例函数的概念『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 【人教版数学新教材•九年级上册（解析版）】 同学你好，本套讲义针对2026年人教版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 反比例函数的有关概念 2 知识点二 反比例函数解析式的确定 2 知识点三 反比例关系与反比例函数的比较 3 题型讲练 3 题型一 用反比例函数描述数量关系 3 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 8 题型三 根据反比例函数的定义求参数 10 题型四 求反比例函数值 12 题型五 由反比例函数值求自变量 15 中考真题演练 19 男滴分层训练 23 【基础夯实】 23 【培优拔高】 28 知识点一 反比例函数的有关概念 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 反比例函数解析式的特征：1）； 2） 分母中含有自变量x，且自变量的指数为-1. 反比例函数常见解析式的形式：1）分式型：（为常数，） 2）负指数幂型：为常数， 3）乘积型：xy=k（为常数，） 知识点二 反比例函数解析式的确定 1. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需给出一组x，y的对应值或图像上一个点的坐标，代入解析式求出k的值，即可确定反比例函数的解析式. 2. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤： （1）设：设所求的反比例函数的解析式为； （2）列：把x，y的一对对应值或图像上任意一点的坐标代入所设解析式中，得到关于k的方程； （3）解：解方程求出k的值； （4）代：把k的值代回所设反比例函数的解析式即可. 【补充】当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时，可直接设函数. 知识点三 反比例关系与反比例函数的比较 1）如果ab=k(k为常数，k≠0)，那么a与b这两个量成反比例关系，这里a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式.例如： ①若y+2与r-5成反比例关系，则 ②若y与x2成反比例关系，则 2）成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系，如表示y与与x2成反比例关系，但y不是关于x的反比例函数. 题型一 用反比例函数描述数量关系 【典例精讲】（25-26八年级下·河南南阳·期中）给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积 0.2 0.3 0.6 0.8 … 所需地砖数量/块 300 200 100 75 … (1)从表格中得到： ①这间教室有_____； ②分别用（单位：平方米）和（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量，用式子表示与的关系为_____，与成_____比例关系； (2)如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室，需要多少块？ 【答案】(1)①60；②，反 (2)240块 【思路引导】（1）根据教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量，可得与成反比例关系，再根据表格中的数据可得对应的关系式； （2）根据正方形面积计算公式可求出的值，再将其代入解析式即可得到答案． 【规范解答】（1）解：①∵教室的面积一定，且教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量， ∴这间教室有； ②∵教室的面积一定，且教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量， ∴与成反比例关系，由表格中的数据可得，即，与成反比例关系． （2）解：5分米米， 每块方砖面积． 又， 当时，． 答：需要240块． 【变式训练1】（25-26九年级上·广东东莞·期中）下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 数学活动课上，我们“雏鹰”小组的几个同学尝试做探究杠杆平衡原理的模拟实验． 第一步：取一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起（如图）． 第二步：在左侧距离中点处挂一个重的物体，为了保持水平，在右侧用一个弹簧秤竖直向下拉． 第三步：改变弹簧秤到中点O的距离l（单位：），记录弹簧秤的示数F（单位：N），得到的数据如下表．聪明的小宇发现其中有一组数据是错误的． ① ② ③ ④ ⑤ 10 15 20 25 30 30 20 15 16 10 (1)你认为表中第________组数据是错误的． (2)利用表格中的正确数据，判断F与l成哪种函数关系，并求出F关于l的函数表达式． (3)若要使弹簧秤的示数F不超过，求弹簧秤到中点O的距离l的取值范围． 【答案】(1)④ (2)成反比例函数关系．关于的函数表达式为（） (3)弹簧秤到中点的距离的取值范围是 【思路引导】本题考查了反比例函数的应用与杠杆平衡原理，解题的关键是根据杠杆平衡条件得出与的函数关系，进而判断错误数据、求解函数表达式及取值范围． （1）根据杠杆平衡条件计算每组数据的乘积，找出不符合的组； （2）由杠杆平衡条件确定与的函数类型，利用正确数据求表达式； （3）代入，结合木杆长度求解的范围． 【规范解答】（1）解：根据杠杆平衡原理，左侧力力臂右侧力力臂，即，得 ①组：，符合； ②组：，符合； ③组：，符合； ④组：，不符合； ⑤组：，符合． 故答案为：④． （2）解：由杠杆平衡原理得，即，故与 成反比例函数关系．关于的函数表达式为（）． （3）解：当时，， ∵ ，两边乘得， 解得． 又木杆长，中点到端点距离为，故． 答：弹簧秤到中点的距离的取值范围是（单位：）． 【变式训练2】（25-26九年级上·山东济南·期中）某班级篮球队计划采购一批护腕，保护队员手腕以防受伤．假设每副护腕的采购费用为元，本次采购的护腕数量为副，总预算为元．已知当为定值时，与之间的关系如下表所示． /元 5 8 16 /副 32 20 16 10 请根据表中的信息解决下列问题： (1)本次采购的总预算为______元，与之间的函数表达式为________________； (2)求表中的值； (3)为保证护腕质量，要求每副护腕的采购费用不低于6元，请问最多能采购多少副护腕？ 【答案】(1)160， (2)10 (3)26 【思路引导】本题主要考查了反比例函数的实际应用，反比例的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）由表格中的数据可知，据此可得答案； （2）求出时的值即可得到答案； （3）求出时的函数值，再根据反比例函数的增减性求解即可． 【规范解答】（1）解：由表格中的数据可知， ∴； ∵总预算等于每副护腕的采购费用乘以采购数量， ∴本次采购的总预算为160元； （2）解：在中，当时，， ∴； （3）解：在中，当时，， ∵， ∴当时，y随x增大而减小， ∵每副护腕的采购费用不低于6元，即， ∴， ∵y为整数， ∴y的最大值为26， 答：最多能采购26副护腕． 【变式训练3】（25-26九年级上·全国·课后作业）先列出下列问题中的函数表达式，再指出它们分别是什么函数． (1)电压为时，电阻R（单位：）与电流I（单位：A）之间的函数关系． (2)食堂每天用煤，用煤总量W（单位：t）与用煤天数t之间的函数关系． (3)积为常数的两个因数y与x之间的函数关系． 【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是正比例函数 (3)且，是反比例函数 【思路引导】本题主要考查了正比例函数、反比例函数的定义及实际问题中函数表达式的推导，熟练掌握正比例函数（为常数， ）、反比例函数（为常数， ）的形式特征，以及从实际关系中抽象出函数表达式的方法是解题的关键． （1）依据物理中电压、电阻、电流的关系（为电压），已知电压，通过变形得到电阻与电流的函数表达式，再根据函数形式判断函数类型． （2）根据用煤总量、每天用煤量、用煤天数的实际关系“用煤总量 = 每天用煤量×用煤天数”，代入已知每天用煤量，得到函数表达式，进而判断函数类型． （3）由“两个因数的积为常数”这一条件，结合因数、，可得（为常数且），变形后得到函数表达式，再判断函数类型． 【规范解答】（1）解：∵ 物理中电压、电阻、电流满足，且 ∴ ，变形得，符合反比例函数（为常数，）形式，是反比例函数． （2）解：∵ 用煤总量、每天用煤量、用煤天数满足“每天用煤量”，每天用煤 ∴ ，符合正比例函数（为常数，）形式，是正比例函数． （3）解：∵ 两个因数与积为常数，即 ∴ 变形得，符合反比例函数（为常数，）形式，是反比例函数． 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·单元复习）写出下列各问题中的函数关系式，指出是哪种函数，并确定其中自变量的取值范围： (1)在的匀速运动中，运动路程是时间的函数； (2)某学校要在校园中辟出一块面积为的长方形土地做花圃，这个花圃的长是宽的函数． 【答案】(1) ，是正比例函数，自变量取值范围为 (2) ，是反比例函数，自变量取值范围为 【思路引导】（1）根据“路程=速度乘时间”即可得出运动路程是时间的函数关系式，再根据正比例函数的定义解答即可； （2）根据长方形的面积公式即可得出花圃的长是宽的函数关系式，再根据反比例函数的定义解答即可． 【规范解答】（1）解：根据路程=速度×时间，可得，该式符合正比例函数的形式， 因此是的正比例函数， 运动时间为非负数，因此自变量的取值范围是． （2）解：∵长方形面积=长×宽，可得， 变形得，该式符合反比例函数的形式， 因此是的反比例函数， 长方形的宽为正数，因此自变量的取值范围是． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于的函数中，哪些一定是反比例函数？把一定是反比例函数的关系式改写成的形式，并指出的值． ①；②；③；④． 【答案】②一定是反比例函数，，的值是； ③一定是反比例函数，，的值是． 【规范解答】略 【变式训练2】（25-26九年级上·山东烟台·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中y是x的反比例函数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路引导】本题考查反比例函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．形如（为常数且）的函数是反比例函数，逐一判断各函数即可． 【规范解答】解：① ，不是反比例函数； ② ，是反比例函数； ③ ，是反比例函数； ④ ，分母不是，不是反比例函数； ⑤ ，即，是反比例函数； ⑥ ，不是反比例函数； ⑦ ，即，是正比例函数，不是反比例函数． ∴ 是反比例函数的有②、③、⑤，共3个． 故选：B． 【变式训练3】（25-26九年级上·全国·单元复习）某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x （元） 3 4 5 6 y （个） 20 15 12 10 (1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； (2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 【答案】(1)； (2)当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润 【思路引导】本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，属于中等难度的题，解答此类题目的关键是仔细理解题意． （1）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可； （2）首先要知道纯利润=（销售单价日销售数量y，这样就可以确定W与x的函数关系式，然后根据题目的售价最高不超过10元/张，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x． 【规范解答】（1）解：反比例函数能表示其变化规律．因为表中每对x、y的值的乘积均为60，是一个定值．其解析式为； （2）∵， 又∵， ∴当，W最大， 故当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润． 题型三 根据反比例函数的定义求参数 【典例精讲】（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 【答案】 【思路引导】反比例函数的图象上的点满足，将两个点的坐标分别代入得到关于和的等式，即可求解． 【规范解答】解：∵点和都在反比例函数的图象上， ∴，且， ∴ 解得． 【变式训练1】已知反比例函数（k为常数）．若点和点是该反比例函数图象上的两点，试利用反比例函数的性质比较和的大小． 【答案】 【思路引导】先根据题意可知反比例函数的图象位于第二，四象限，在每一个象限内函数值y随着x的增大而增大，再根据，点在第二象限可得答案． 【规范解答】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数的图象位于第二，四象限，在每一个象限内函数值y随着x的增大而增大． ∵，点在第二象限， ∴． 【变式训练2】（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，已知点、在同一个反比例函数的图象上，若，则可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】先根据反比例函数上点的性质，推出，再根据，求出的取值范围，即可求解． 【规范解答】∵点、在同一个反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴，即， ∴可以是．（答案不唯一，填小于的实数均正确） 【变式训练3】（2026·陕西安康·一模）在平面直角坐标系中，点，，分别位于三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为_____． 【答案】 【思路引导】根据三个点在不同象限确定点的象限，再结合反比例函数的性质确定反比例经过的两个点，利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于计算的值． 【规范解答】解：点在第一象限， 点在第四象限， 点纵坐标为正，因此点在第一象限或第二象限， 点，，分别在三个不同的象限， 点不在第一象限，即点在第二象限，， 反比例函数的图象两支分别位于两个象限，当时，两支在第一，三象限；当时，两支在第二，四象限，本题三个点中无第三象限的点，因此反比例经过第二象限的和第四象限的， 反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于， ， 即， 解得． 题型四 求反比例函数值 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某校园艺社计划利用已有的一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子．设矩形园子的相邻两边长分别为． (1)y关于x的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）； (2)当相邻两边中一条边的长为时，求另一条边的长． 【答案】(1) (2)当一条边长为时，另一条边的长度为 【思路引导】（1）利用矩形的面积计算公式，可得出，进而可得出y； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出另一边的长度． 【规范解答】（1）解：依题意得：， ∴． （2）解：当时，； 当时，， 解得． ∴当一条边长为时，另一条边的长度为． 【变式训练1】（23-24九年级上·河北邢台·期末）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：点在该函数的图象上，点不在该函数的图象上，理由如下： 当时，反比例函数解析式为， 将代入，得，与点的纵坐标相等，故点在函数图象上； 将代入，得，故点不在函数图象上． 【思路引导】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式，列方程求解的值； （2）根据反比例函数的增减性与比例系数的符号关系，列不等式求解的取值范围即可； （3）先确定时的函数解析式，代入点的横坐标计算纵坐标，与已知纵坐标对比判断点是否在图象上即可． 【规范解答】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． （2）解：∵反比例函数的每一支上，随的增大而减小， ∴， 解得． 【变式训练2】（2026·山西运城·三模）氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 【答案】60 【规范解答】解：设该函数的表达式为， 由题意知， ∴， 所以该函数的表达式为． 当时，． 【变式训练3】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高______． 【答案】3 【思路引导】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数上点的坐标特征是解题的关键． 先根据点的坐标求出反比例函数的解析式，再依次求出点、、的坐标，最后根据线段的长度等于点与点的纵坐标之差来求解． 【规范解答】解：∵点在双曲线上， ∴，即双曲线解析式为． ∵，且线段与坐标轴平行， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵的长度等于点与点的纵坐标之差， ∴． 故答案为：． 题型五 由反比例函数值求自变量 【典例精讲】（25-26八年级下·吉林长春·期末）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 【答案】C 【思路引导】先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【规范解答】解：A、设与的函数关系式是， ∵图象经过点， ∴，解得， ∴与的函数关系式是，故A正确，不符合题意； B、当时，，解得，故B正确，不符合题意； C、 ∵反比例函数图象在第一象限，随的增大而减小， ∴当时，，故C错误，符合题意； D、当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是，故D正确，不符合题意． 【变式训练1】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数（）的图像交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)若，求x的取值范围． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2) 【思路引导】（1）根据待定系数法求得反比例函数的表达式，再求得B点的坐标，最后再根据待定系数法求得一次函数的表达式即可； （2）分别求出当和当时的自变量的值，根据反比例函数的增减性即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点， ∴， ∴，． ∴，， 则，解得：， ∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵反比例函数（）在第一象限内随着的增大而减小， ∴当时，x的取值范围为． 【变式训练2】（25-26八年级下·四川乐山·期末）如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． (1)求值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据反比例函数的几何意义，即可求解； （2）根据（1）得出反比例函数解析式为，进而求得，，直线的解析式为，进而得出，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵轴，垂足为，面积为6 ∴ ∵反比例函数图象在第一象限 ∴ ∴； （2）解：由（1）可得反比例函数解析式为 ∵，在图像上， ∴，， 解得： ∴， 设直线的解析式为，代入，得 ，解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∴ ∴ 【变式训练3】．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是的正方形的两边、分别相交于、两点，的面积为，若动点在轴上，则的最小值是________． 【答案】 【思路引导】先利用反比例函数的解析式求出点和点的坐标，进而得到，利用割补法表示出的面积，解方程求出．作点关于轴的对称点，连接、，由轴对称的性质可得，因此，当、、三点共线时，取得最小值，使用勾股定理计算出即可． 【规范解答】解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∴，， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴，， 由反比例函数比例系数的几何意义可知，， ∵， ∴， 整理，得， ∵， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， 如图，作点关于轴的对称点，连接、， 由轴对称的性质可得，点的坐标为，， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为． 【真题演练1】（2026·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过轴正半轴上的点作轴的平行线，分别交函数和的图象于点、，过点作轴的垂线，垂足为，连接交轴于点，则的值为________． 【答案】/ 【思路引导】设点的纵坐标为，根据平行于轴直线上点的纵坐标相等，结合反比例函数解析式表示出点和点的坐标，进而得到点的坐标. 利用平行线性质证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【规范解答】解：∵点在轴正半轴上， ∴设点的坐标为，其中， ∵直线平行于轴， ∴点和点的纵坐标均为， ∵点、分别在函数和的图象上， ∴把代入，得， ∴点的坐标为， 把代入，得， ∴点的坐标为， ∵轴于点， ∴点的坐标为 ， ∴，， ∵轴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【真题演练2】（2026·广西·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别用表示出和，再整理得到二者的关系式即可． 【规范解答】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将点坐标代入解析式得：，， 由变形得， 又∵， ∴， 移项得． 【真题演练3】（2026·四川南充·中考真题）反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】利用反比例函数中比例系数的性质，建立与的等量关系，再结合已知的范围，根据不等式性质推导的取值范围． 【规范解答】解：设反比例函数解析式为，由反比例函数性质可得， ∵ 点，在反比例函数图象上， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， 解得． 【真题演练4】（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为_______． 【答案】或 【思路引导】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式；反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数解析式，将点的坐标代入对应的反比例函数解析式中，即可求解. 【规范解答】解：∵点在双曲线上， ∴， ∴， ∵点，在双曲线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 故N的坐标为或. 【真题演练5】（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【思路引导】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【规范解答】解：∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 【基础夯实】 1．（2026九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】解：A选项：这是的形式（），是正比例函数，不是反比例函数． B选项：这是的形式（），符合反比例函数定义． C选项：化简：这不是的形式，不是反比例函数． D选项：化简：这是二次函数，不是反比例函数． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）若点在反比例函数的图象上，则下列各点中也在该图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】若点在函数的图象上，则横纵坐标之积等于2．由于点在函数的图象上，则，据此逐项判断横纵坐标之积是否等于2即可． 【规范解答】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． A、，故点不在该反比例函数图象上； B、，故点不在该反比例函数图象上； C、，故点在该反比例函数图象上； D、，故点不在该反比例函数图象上． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）“十四五”时期，广西将完成300公里的智慧公路建设．一段工程施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为V（单位：天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（     ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．无法确定 【答案】A 【思路引导】根据运送总量固定，V与t的乘积为非零常数的特点判断函数类型． 【规范解答】解：由题意得，，整理得，符合反比例函数关系． 4．（2022·浙江温州·三模）若点，在同一个函数图象上，则这个函数的表达式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】将两点坐标逐项代入函数验证即可． 【规范解答】解：选项A，把代入，得， ∵，∴，∴点不在该函数图象上，A错误． 选项B，把代入，得，令，解得，与矛盾，B错误． 选项C，把代入，得，把代入，得，即，符合条件，C正确． 选项D，把代入，得，把代入，得，不符合条件，D错误． 5．（26-27九年级上·北京东城·开学考试）反比例函数中，比例系数_______． 【答案】 【思路引导】将给定函数整理为反比例函数标准形式，即可得到比例系数． 【规范解答】解：把变形为标准反比例函数形式，得，对比标准形式，可得比例系数． 6．（2026·江苏南京·三模）一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为时，压强为；当体积为时，压强为____________． 【答案】 【思路引导】设体积为时，压强为，利用反比例函数的定义列出方程，求解即可． 【规范解答】解：设体积为时，压强为， ∵该二氧化碳的体积与压强成反比例函数关系， ∴， 解得． 7．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线，，，，（且为整数）分别交于点，，，，，则____________________． 【答案】 【思路引导】根据直线与反比例函数的交点坐标规律，得出，进而得到通项，利用裂项相消法进行求和计算． 【规范解答】解： 由题意可知，，，，，， 点在反比例函数的图象上， ， ， 原式 ． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某长方体游泳池的体积V是，用恰当的函数表达式来表示底面积与该游泳池的高度之间的关系，指出它是什么函数，并写出这个函数的比例系数及当时S的值． 【答案】函数表达式为，是h的反比例函数，这个函数的比例系数是360，当时， 【思路引导】由题意得到，即可得到比例系数，再将代入求解即可． 【规范解答】解：由题意，得（定值）， ∴ 是h的反比例函数，比例系数是360， 当时，． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． (1)写出这个函数自变量的取值范围； (2)当时，求函数y的值； (3)当时，求自变量x的值． 【答案】(1)自变量的取值范围为 (2)函数y的值为 (3)自变量x的值为 【思路引导】（1）根据反比例函数的定义求自变量的取值范围即可； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可； （3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可． 【规范解答】（1）解：自变量的取值范围为； （2）解：当时，； （3）解：当时， ， 解得． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系，并指出它们各是什么函数： (1)圆柱形蓄水池的容积是常数（单位：），其底面积（单位：）与高（单位：）之间的关系； (2)王芳要把一篇包含字的调查报告录入电脑，完成录入所用时间（单位：）与录入平均速度（单位：字）之间的关系； (3)列车从相距的甲地行驶到乙地，平均速度（单位：）与全程行驶时间（单位：）之间的关系； (4)列车以的平均速度从甲地行驶到乙地，行驶路程（单位：）与行驶时间（单位：）之间的关系． 【答案】(1)解析式为（为常数，，），是反比例函数 (2)解析式为（），是反比例函数 (3)解析式为（），是反比例函数 (4)解析式为（），是正比例函数 【思路引导】（1）利用圆柱容积公式，已知是常数，变形得到关于的解析式； （2）根据“总字数=录入速度×时间”列等式，总字数固定，变形得到关于的解析式； （3）根据“路程=速度×时间”，总路程不变，变形得到关于的解析式； （4）根据“路程=速度×时间”，速度固定，直接列出关于的解析式． 【规范解答】（1）解：已知圆柱形蓄水池的容积是常数，圆柱的容积公式为， 则变形可得（为常数，，）， ，的乘积为常数，故为反比例函数； （2）解：已知总字数为固定的且总字数=录入速度×时间， 则， 变形可得（）， ，的乘积固定，故为反比例函数； （3）解：已知总路程为固定的且路程=速度×时间， 则， 变形可得（）， ，的乘积固定，故为反比例函数； （4）解：已知列车速度为固定的且路程=速度×时间， 可得（）， 形如（为常数，），故为正比例函数． 【培优拔高】 1．（25-26九年级上·广东茂名·期末）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应函数值后比较大小． 【规范解答】解：把各点横坐标代入， 得， ， ， ∵， ∴． 2．在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【规范解答】解：①，符合反比例函数定义，是反比例函数； ②，是正比例函数，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ③可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ④可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ⑤，分母为不是，不符合定义，不是反比例函数； ⑥，符合反比例函数定义，是反比例函数； ∴符合条件的反比例函数共有4个． 3．（2026·甘肃兰州·一模）如图，的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（   ） A．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为一次函数 B．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数 C．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 D．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 【答案】D 【思路引导】分别表示出与正方形的周长之和，面积之积，然后得出，进而得出，，，然后再根据函数的定义判断即可． 【规范解答】解：∵的半径为，正方形的边长为， ∴与正方形的周长之和为， 与正方形的面积之积为， 阴影部分的面积为， ∴，，， ∴若与正方形的周长之和即L为定值时，y关于x的函数关系式为∶ ，为一次函数，选项A不符合题意， S关于x的函数关系为∶为二次函数，选项B不符合题意， 若与正方形的面积之积即为定值， y关于x的函数关系为∶ ，为反比例函数，选项C不符合题意 S关于x的函数关系为∶，不是反比例函数，选项D符合题意． 4．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 【答案】 【思路引导】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出，，的值，再比较大小即可得到结果． 【规范解答】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得，解得， 代入点得，解得， 代入点得，解得， ∵， ∴． 5．如图，多边形是的内接正边形．已知的半径为，的度数为，点到的距离为，的面积为S．下面三个推断中，①当变化时，随的变化而变化，与满足的函数关系是反比例函数关系；②若为定值，当变化时，随的变化而变化，与满足的函数关系是正比例函数关系；③若为定值，当变化时，随的变化而变化，与满足的函数关系是二次函数关系．其中正确的是_____（填所有正确答案的序号）． 【答案】①②③ 【思路引导】分别表示出与与与的关系式，进而判定出结论． 【规范解答】解：①， 是的反比例函数，故①正确； ②如图，过点O作 ， ， ， 为定值，即为定值， 是的正比例函数，故②正确， ③ 为定值，， 为定值， ， ， 为的二次函数，故③正确， 综上所述，其中正确的是①②③． 6．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，中，，点在轴正半轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为____________． 【答案】 【思路引导】设，根据为的中点，得到，则，再根据的面积为，列方程求解即可． 【规范解答】解：设， ∵为的中点， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点是反比例函数图象上一点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)点是否在这个函数的图象上? 【答案】(1) (2)点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上 【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把点B和点C的横坐标代入对应的解析式中，求出y的值即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设该反比例函数的解析式为， ∵点是该反比例函数图象上一点， ∴， ∴， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， 当时，， ∴点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）写出下列函数解析式，指出其中的正比例函数和反比例函数． (1)火车从北海驶往相距约的南宁，若火车的平均速度为，求火车距北海的距离与行驶的时间之间的函数解析式； (2)某中学现有存煤，如果平均每天烧煤，共烧了y天，求y与x之间的函数解析式； (3)俊俊想存钱购买一套售价为6000元的户外活动设备，若他目前已有存款2000元，后期每个月计划存相同金额，求他存够买设备的钱所需月数y与每个月存款额x元之间的函数解析式． 【答案】(1) 解：由题意，得，是正比例函数 (2) 解：由题意，得，是反比例函数 (3) 解：由题意，得，即，是反比例函数 【思路引导】根据题意写出函数关系式并判断，即可解答. 9．（2026·安徽合肥·一模）【综合与实践】如图，直线上有两定点，，点分别从点以每秒个单位长度速度相向移动，分别到达点，点时停止移动，以为一边的矩形面积为．设点运动时间为秒，之间的距离为，长为． (1)分别写出关于的函数解析式，并在坐标系中画出两函数图象； (2)根据图象，直接写出当运动多少秒后，（误差不超过）； (3)当时，设，和直线围成的封闭图形为（包括边界），随机在中选取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），则该格点恰好在函数或图象上的概率为________． 【答案】(1)，， 由描点法画出图象，如图所示： ； (2) (3) 【思路引导】（1）由题意，分相遇前、相遇后两种情况求；由矩形面积公式直接表示；并利用描点法在同一个平面直角坐标系中画出两个函数图象即可； （2）数形结合，找出图象在图象下方对应的自变量的范围即可； （3）数形结合，找出封闭图形上的所有格点及函数或图象上，代入简单概率公式计算即可求解． 【规范解答】（1）解：，点分别从点以每秒个单位长度速度相向移动， 点相遇的时间为（秒）， 在相遇前，即时，； 在相遇后，即时，； 综上所述，； 以为一边的矩形面积为，， ； 图象略 （2）解：当时，即， 图象在图象下方， 联立，解得或（负值舍去）； ， 当时，； （3）解：如图所示： 则共有个格点，其中恰好在函数或图象上有个，故概率为． 10．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）我们约定：平面直角坐标系中不重合的两点，．若，则称点N为点M的“亮粹点"， (1)已知点N为点M的“亮粹点”，点M的坐标为，且N在直线上，求点N的坐标； (2)已知点为点的“亮粹点”，其中，且，求直线的解析式； (3)函数（，且）的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，已知，两部分组成的图象上恰有点的两个“亮粹点”，令，其中P的值恒不大于，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【思路引导】（1）设点，根据“亮粹点”的定义得出，解方程即可求解； （2）根据“亮粹点”的定义可求出，根据待定系数法可求出直线的解析式为，根据完全平方公式应用结合可求出，点在反比例函数上，联立，化简得，由根的判别式可求出，由韦达定理得：，不妨设，根据三角形的面积公式可得出，解方程即可求解； （3）先求出翻折后的抛物线解析式为，设点在两部分组成的图象上“亮粹点”的坐标为，根据“亮粹点”的定义，则点的“亮粹点”在直线上，然后分①当时；②当时；③当时；④当时，四种情况讨论，可得出当时，两部分组成的图象上恰有个“亮粹点”，根据的最大值不大于，再分①时；②时；③时，三种情况讨论即可． 【规范解答】（1）解：设点， ∵N为点的“亮粹点”， ∴， 解得：， ∴N的坐标为． （2）解：设直线的解析式为， ∵点为点的“亮粹点”， ∴， ∴， 将代入得：， 由得：， 直线的解析式为， ， ， 则， 点在反比例函数上， 联立， 化简得， ∴， 由韦达定理得：， 不妨设， 则， 解得， 则的解析式为：或． （3）解：函数关于直线的翻折后的抛物线解析式为， 设点在两部分组成的图象上“亮粹点”的坐标为， 由题知：， 点的“亮粹点”在直线上， 由已知，则有 ①如下图，当时，直线与均无交点，即在上没有“亮粹点”，不符合题意； ②如下图，当时，直线过的交点，此时直线与仅一个交点， 即在上仅有一个“亮粹点”，不符合题意； ③如下图，当时，直线与各有一个交点，即在上有两个“亮粹点”，符合题意． ④如下图，当时，直线与各有一个交点，即在上有两个“亮粹点”，符合题意． 当时，两部分组成的图象上恰有个“亮粹点”， 已知，其最大值不大于，则： ①时，，解得，则此时无解； ②时，，解得，则； ③时，，解得，则此时无解． 综合，实数的取值范围为． 【考点剖析】本题考查了二次函数的图象与性质，反比例函数，一次函数，不等式的应用，新定义等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，数形结合，分类讨论是解题的关键． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.1 反比例函数的概念『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 【人教版数学新教材•九年级上册（原卷版）】 同学你好，本套讲义针对2026年人教版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 反比例函数的有关概念 2 知识点二 反比例函数解析式的确定 2 知识点三 反比例关系与反比例函数的比较 3 题型讲练 3 题型一 用反比例函数描述数量关系 3 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 5 题型三 根据反比例函数的定义求参数 6 题型四 求反比例函数值 7 题型五 由反比例函数值求自变量 8 中考真题演练 10 男滴分层训练 11 【基础夯实】 11 【培优拔高】 13 知识点一 反比例函数的有关概念 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 反比例函数解析式的特征：1）； 2） 分母中含有自变量x，且自变量的指数为-1. 反比例函数常见解析式的形式：1）分式型：（为常数，） 2）负指数幂型：为常数， 3）乘积型：xy=k（为常数，） 知识点二 反比例函数解析式的确定 1. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需给出一组x，y的对应值或图像上一个点的坐标，代入解析式求出k的值，即可确定反比例函数的解析式. 2. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤： （1）设：设所求的反比例函数的解析式为； （2）列：把x，y的一对对应值或图像上任意一点的坐标代入所设解析式中，得到关于k的方程； （3）解：解方程求出k的值； （4）代：把k的值代回所设反比例函数的解析式即可. 【补充】当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时，可直接设函数. 知识点三 反比例关系与反比例函数的比较 1）如果ab=k(k为常数，k≠0)，那么a与b这两个量成反比例关系，这里a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式.例如： ①若y+2与r-5成反比例关系，则 ②若y与x2成反比例关系，则 2）成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系，如表示y与与x2成反比例关系，但y不是关于x的反比例函数. 题型一 用反比例函数描述数量关系 【典例精讲】（25-26八年级下·河南南阳·期中）给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积 0.2 0.3 0.6 0.8 … 所需地砖数量/块 300 200 100 75 … (1)从表格中得到： ①这间教室有_____； ②分别用（单位：平方米）和（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量，用式子表示与的关系为_____，与成_____比例关系； (2)如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室，需要多少块？ 【变式训练1】（25-26九年级上·广东东莞·期中）下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 数学活动课上，我们“雏鹰”小组的几个同学尝试做探究杠杆平衡原理的模拟实验． 第一步：取一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起（如图）． 第二步：在左侧距离中点处挂一个重的物体，为了保持水平，在右侧用一个弹簧秤竖直向下拉． 第三步：改变弹簧秤到中点O的距离l（单位：），记录弹簧秤的示数F（单位：N），得到的数据如下表．聪明的小宇发现其中有一组数据是错误的． ① ② ③ ④ ⑤ 10 15 20 25 30 30 20 15 16 10 (1)你认为表中第________组数据是错误的． (2)利用表格中的正确数据，判断F与l成哪种函数关系，并求出F关于l的函数表达式． (3)若要使弹簧秤的示数F不超过，求弹簧秤到中点O的距离l的取值范围． 【变式训练2】（25-26九年级上·山东济南·期中）某班级篮球队计划采购一批护腕，保护队员手腕以防受伤．假设每副护腕的采购费用为元，本次采购的护腕数量为副，总预算为元．已知当为定值时，与之间的关系如下表所示． /元 5 8 16 /副 32 20 16 10 请根据表中的信息解决下列问题： (1)本次采购的总预算为______元，与之间的函数表达式为________________； (2)求表中的值； (3)为保证护腕质量，要求每副护腕的采购费用不低于6元，请问最多能采购多少副护腕？ 【变式训练3】（25-26九年级上·全国·课后作业）先列出下列问题中的函数表达式，再指出它们分别是什么函数． (1)电压为时，电阻R（单位：）与电流I（单位：A）之间的函数关系． (2)食堂每天用煤，用煤总量W（单位：t）与用煤天数t之间的函数关系． (3)积为常数的两个因数y与x之间的函数关系． 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·单元复习）写出下列各问题中的函数关系式，指出是哪种函数，并确定其中自变量的取值范围： (1)在的匀速运动中，运动路程是时间的函数； (2)某学校要在校园中辟出一块面积为的长方形土地做花圃，这个花圃的长是宽的函数． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于的函数中，哪些一定是反比例函数？把一定是反比例函数的关系式改写成的形式，并指出的值． ①；②；③；④． 【变式训练2】（25-26九年级上·山东烟台·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中y是x的反比例函数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练3】（25-26九年级上·全国·单元复习）某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x （元） 3 4 5 6 y （个） 20 15 12 10 (1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； (2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 题型三 根据反比例函数的定义求参数 【典例精讲】（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 【变式训练1】已知反比例函数（k为常数）．若点和点是该反比例函数图象上的两点，试利用反比例函数的性质比较和的大小． 【变式训练2】（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，已知点、在同一个反比例函数的图象上，若，则可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 【变式训练3】（2026·陕西安康·一模）在平面直角坐标系中，点，，分别位于三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为_____． 题型四 求反比例函数值 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某校园艺社计划利用已有的一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子．设矩形园子的相邻两边长分别为． (1)y关于x的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）； (2)当相邻两边中一条边的长为时，求另一条边的长． 【变式训练1】（23-24九年级上·河北邢台·期末）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【变式训练2】（2026·山西运城·三模）氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 【变式训练3】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高______． 题型五 由反比例函数值求自变量 【典例精讲】（25-26八年级下·吉林长春·期末）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 【变式训练1】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数（）的图像交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)若，求x的取值范围． 【变式训练2】（25-26八年级下·四川乐山·期末）如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． (1)求值； (2)求的面积． 【变式训练3】．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是的正方形的两边、分别相交于、两点，的面积为，若动点在轴上，则的最小值是________． 【真题演练1】（2026·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过轴正半轴上的点作轴的平行线，分别交函数和的图象于点、，过点作轴的垂线，垂足为，连接交轴于点，则的值为________． 【真题演练2】（2026·广西·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2026·四川南充·中考真题）反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【真题演练4】（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为_______． 【真题演练5】（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【基础夯实】 1．（2026九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）若点在反比例函数的图象上，则下列各点中也在该图象上的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）“十四五”时期，广西将完成300公里的智慧公路建设．一段工程施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为V（单位：天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（     ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．无法确定 4．（2022·浙江温州·三模）若点，在同一个函数图象上，则这个函数的表达式可能为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·北京东城·开学考试）反比例函数中，比例系数_______． 6．（2026·江苏南京·三模）一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为时，压强为；当体积为时，压强为____________． 7．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线，，，，（且为整数）分别交于点，，，，，则____________________． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某长方体游泳池的体积V是，用恰当的函数表达式来表示底面积与该游泳池的高度之间的关系，指出它是什么函数，并写出这个函数的比例系数及当时S的值． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． (1)写出这个函数自变量的取值范围； (2)当时，求函数y的值； (3)当时，求自变量x的值． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系，并指出它们各是什么函数： (1)圆柱形蓄水池的容积是常数（单位：），其底面积（单位：）与高（单位：）之间的关系； (2)王芳要把一篇包含字的调查报告录入电脑，完成录入所用时间（单位：）与录入平均速度（单位：字）之间的关系； (3)列车从相距的甲地行驶到乙地，平均速度（单位：）与全程行驶时间（单位：）之间的关系； (4)列车以的平均速度从甲地行驶到乙地，行驶路程（单位：）与行驶时间（单位：）之间的关系． 【培优拔高】 1．（25-26九年级上·广东茂名·期末）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（2026·甘肃兰州·一模）如图，的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（   ） A．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为一次函数 B．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数 C．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 D．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 4．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 5．如图，多边形是的内接正边形．已知的半径为，的度数为，点到的距离为，的面积为S．下面三个推断中，①当变化时，随的变化而变化，与满足的函数关系是反比例函数关系；②若为定值，当变化时，随的变化而变化，与满足的函数关系是正比例函数关系；③若为定值，当变化时，随的变化而变化，与满足的函数关系是二次函数关系．其中正确的是_____（填所有正确答案的序号）． 6．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，中，，点在轴正半轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为____________． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点是反比例函数图象上一点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)点是否在这个函数的图象上? 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）写出下列函数解析式，指出其中的正比例函数和反比例函数． (1)火车从北海驶往相距约的南宁，若火车的平均速度为，求火车距北海的距离与行驶的时间之间的函数解析式； (2)某中学现有存煤，如果平均每天烧煤，共烧了y天，求y与x之间的函数解析式； (3)俊俊想存钱购买一套售价为6000元的户外活动设备，若他目前已有存款2000元，后期每个月计划存相同金额，求他存够买设备的钱所需月数y与每个月存款额x元之间的函数解析式． 9．（2026·安徽合肥·一模）【综合与实践】如图，直线上有两定点，，点分别从点以每秒个单位长度速度相向移动，分别到达点，点时停止移动，以为一边的矩形面积为．设点运动时间为秒，之间的距离为，长为． (1)分别写出关于的函数解析式，并在坐标系中画出两函数图象； (2)根据图象，直接写出当运动多少秒后，（误差不超过）； (3)当时，设，和直线围成的封闭图形为（包括边界），随机在中选取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），则该格点恰好在函数或图象上的概率为________． 10．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）我们约定：平面直角坐标系中不重合的两点，．若，则称点N为点M的“亮粹点"， (1)已知点N为点M的“亮粹点”，点M的坐标为，且N在直线上，求点N的坐标； (2)已知点为点的“亮粹点”，其中，且，求直线的解析式； (3)函数（，且）的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，已知，两部分组成的图象上恰有点的两个“亮粹点”，令，其中P的值恒不大于，求实数t的取值范围． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 专题27.1反比例函数的概念『重点难点同步培优讲义』 (知识梳理+5个题型讲练+中考真题演练+难度分层练共45题) 【人教版数学新教材•九年级上册（原卷版）】 山进义简介」 同学你好，本套讲义针对2026年人教版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲 义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度 分层练等五大部分！题日新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最 新题日，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习， 章节巩固，期中期木强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 售山且录导航 1g8g8g。。 思维导图 2 知识梳理..· 2 知识点一反比例函数的有关概念... 知识点二反比例函数解析式的确定. ……2 知识点三反比例关系与反比例函数的比较 ..3 题型讲练.…… 3 题型一用反比例函数描述数量关系.·. ..3 题型二根据定义判断是否是反比例函数 5 题型三根据反比例函数的定义求参数 题型四求反比例函数值 7 题型五由反比例函数值求自变量，. 中考真题演练.... 10 男浦分层训练... 11 【基础夯实】 11 【培优拔高】 ….13 第1页共16页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 思维导图 一（人教版数学九年级上册第27章反比例函数 第1节反比例函数的概念 ①反比例函数的概念 ④反比例函数的应用 一般地，形如y=(依是常数，k≠0)的函数。 3反比例函数的几何意义 在反比例函数y=冬（依≠0）中， 在实际问题中，如果两个变量x、y之间的 叫作反比例函数，其中x是自变量，y是函数， 关系可以表示成y=(k是常数，k≠0) 自变量x的取值范围是x≠0。 当x变化时，y也随之变化，且有： 的形式，那么这两个量就成反比例关系。 x与y的秦积是一个非零常数：y=k。 常见的实际问顺】 ②反比例函数的图象和性质 (1)路程一定，速度与时间； (1)图象：反比例函数的图象是双曲线。 (2)总价一定，单价与数量： 反比例函数 (3)工作效率一定，工作量与时间： 的概念 (4)面积一定，长方形的长与宽等 y x≠0 ⑥典型例展 (在第一、三象限) (在第二、四象限 (1)已知y是x的反比例函数，且x=2时，y=6, (2)性质： ⑤相关公式】 求这个函数的解析式。 ①当k>0时，图象的两支分别位于第一、三象限， 反比例函数的解折式：y专化≠0) 解：设y-冬，因为当x=2时，y-6, 在每个象限内，y随x的增大而减小。 ②当k<0时，图象的两支分别位于第二、四象限 变形：xy=k(k≠0) 所以6=分，解得k=12 在每个象限内，y随x的增大而增大。 当r=a(a≠0)时，y= 因此，这个面数的解听式是y一是 ⑨易错点拨 ◆知识拓展 1.易错点：混清正比例函数与反比例函数的形式。 1.图象的对称性 点拔：反比例函数的解折式是y=专（化+0），丙正比例函数的解斩式是y=:k为数k≠0。 记住： 反比例函数的图象关于原点成中心对称 图象是双曲线， 2.易错点：忽略自变量x的取值范围。 关于直线y=x和y=一x成轴对称。 xy=(k≠0) 点拔：反比例函数中，自变量x的取值范围是x≠0，不能取0。 2.反比例函数与方程、不等式的关系 3.易错点：不理解k的符号对图象位置的影响。 反比例函数y=本（使≠0）在实际间题中， 点报：k>0时，图象在第一、三象限；k<0时，图象在第二、四象限。 常与方程和不等式结合，进行求值、解题等。 知识梳理 知识点一反比例函数的有关概念 定义：一般地，形如y=冬(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数其中x是自变量，y是x的函数。自 变量x的取值范围是不等于0的一切实数. 反比例函数解析式的特征：1)k≠0： 2)分母中含有自变量x,且自变量的指数为-1. 反比例函数常见解析式的形式：1)分式型：y=上(k为常数，k+0) 2)负指数幂型：y=kx1(k为常数，k≠0) 3)乘积型：y=k(k为常数，k≠0) 知识点二反比例函数解析式的确定 1.待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数y=上中，只有一个待定系数k,因此只需给出一组x,y 第2页共16页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 的对应值或图像上一个点的坐标，代入解析式求出k的值，即可确定反比例函数的解析式 2.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤： (1)设：设所求的反比例函数的解析式为y=(k≠0)： (2)列：把x,y的一对对应值或图像上任意一点的坐标代入所设解析式中，得到关于k的方程： (3)解：解方程求出k的值； (4)代：把k的值代回所设反比例函数的解析式即可 【补充】当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系时，可直接设函数y=k(k≠0) 知识点三反比例关系与反比例函数的比较 1)如果ab=k(k为常数，k≠0)，那么a与b这两个量成反比例关系，这里a和b既可以代表单项式，也可以代 表多项式例如：①若y+2与r-5成反比例关系，则y+2=k(k为常数，k≠0) x-5 ②若y与成反比例关系，则y=点k为浩数，k华0) 份送系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系，如y三怎 x成反比例关系，但y不是关于x的反比例函数. 山题型进练 题型一用反比例函数描述数量关系 【典例精讲】(25-26八年级下·河南南阳·期中)给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量 如下. 每块地砖的面积 0.2 0.3 0.6 0.8 /m2 所需地砖数量/块 300 200 100 75 (1)从表格中得到： ①这间教室有__m: ②分别用x(单位：平方米)和y(单位：块)表示每块地砖的面积和所需地砖的数量，用式子表示y与x的 关系为 ,y与x成比例关系： (2)如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室，需要多少块？ 第3页共16页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练1】(25-26九年级上·广东东莞·期中)下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成 相应的任务 数学活动课上，我们“雏鹰”小组的几个同学尝试做探究杠杆平衡原理的模拟实验 第一步：取一根长为100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点0处并将其吊起（如图）. 第二步：在左侧距离中点30cm处挂一个重10N的物体，为了保持水平，在右侧用一个弹簧秤竖直向下拉. 第三步：改变弹簧秤到中点O的距离1（单位：cm),记录弹簧秤的示数F(单位：），得到的数据如下 表.聪明的小宇发现其中有一组数据是错误的. ① ② ③ ④ ⑤ l/cm 10 15 20 25 30 F/N 30 20 15 16 10 30cm (1)你认为表中第】 组数据是错误的. (2)利用表格中的正确数据，判断F与1成哪种函数关系，并求出F关于1的函数表达式。 (3)若要使弹簧秤的示数F不超过25N,求弹簧秤到中点O的距离1的取值范围. 【变式训练2】(25-26九年级上·山东济南·期中)某班级篮球队计划采购一批护腕，保护队员手腕以防 受伤.假设每副护腕的采购费用为x元，本次采购的护腕数量为y副，总预算为w元.己知当w为定值时，y 与x之间的关系如下表所示. x/元 8 16 y/副 32 20 16 10 请根据表中的信息解决下列问题： (1)本次采购的总预算为元，y与x之间的函数表达式为 (2)求表中a的值： 第4页共16页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 (3)为保证护腕质量，要求每副护腕的采购费用不低于6元，请问最多能采购多少副护腕？ 【变式训练3】(25-26九年级上·全国·课后作业)先列出下列问题中的函数表达式，再指出它们分别是 什么函数 (1)电压为16V时，电阻R(单位：2)与电流I(单位：A)之间的函数关系. (2)食堂每天用煤1.5t,用煤总量W(单位：t)与用煤天数t之间的函数关系. (3)积为常数m(m≠0)的两个因数y与x之间的函数关系. 题型二根据定义判断是否是反比例函数 【典例精讲】(25-26八年级下·全国·单元复习)写出下列各问题中的函数关系式，指出是哪种函数，并 确定其中自变量的取值范围： (1)在60km/h的匀速运动中，运动路程s(km)是时间t(h)的函数： (2)某学校要在校园中辟出一块面积为64m的长方形土地做花圃，这个花圃的长y(m)是宽xm)的函数. 第5页共16页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练1】(25-26八年级下·全国·课后作业)下列y关于x的函数中，哪些一定是反比例函数？把一 定是反比例函数的关系式改写成y=的形式，并指出k的值. ①y=婴：②y=-品③y=受+片④y= 【变式训练2】2526九年级上山东烟台·期中)下列函数：①y=x-2:②y=:@y=X1:④y= ⑤xy=11:⑥y=kx:⑦=1.其中y是x的反比例函数的有( A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式训练3】(25-26九年级上·全国·单元复习)某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发 现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x(元) 3 4 6 y(个) 20 1512 10 (1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变 化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式： (2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W(元)与x(元)之间的函数关系式.若物价局规定此贺卡 的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 题型三根据反比例函数的定义求参数 【典例精讲】(26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试)已知A(-1,m)与B(2m-3)是反比例函数y=生 图象上的两个点，则k的值 第6页共16页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练1】已知反比例函数y=(k为常数).若点P1(,,y)和点P,(-2)是该反比例函数图 象上的两点，试利用反比例函数的性质比较y1和y2的大小. 【变式训练2】(2026·陕西西安·二模)在平面直角坐标系中，己知点A(a,2)、B(1,b)在同一个反比例函 数的图象上，若b<-8,则a可以是 .(写出一个符合题意的数即可) 【变式训练3】(2026·陕西安康·一模)在平面直角坐标系中，点A(2,1),B(2,-3),C(m,3)分别位于三 个不同的象限，若反比例函数y=(k≠0)的图象经过其中两点，则m的值为 题型四求反比例函数值 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，某校园艺社计划利用已有的一面长为10m的墙， 用篱笆围一个面积为12m2的矩形园子.设矩形园子的相邻两边长分别为xm,ym. D (1)y关于x的函数解析式为 (不用写自变量的取值范围)： (2)当相邻两边中一条边的长为7.5m时，求另一条边的长. 【变式训练1】(23-24九年级上·河北邢台·期末)已知反比例函数y=三(k为常数). (1)若点A(1,2)在这个函数的图象上，求k的值： (2)若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围： (3)若k=13,试判断点B(（,3),c(2)是否在这个函数的图象上，并说明理由. 第7页共16页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练2】(2026·山西运城·三模)氨气球内的氦气密度小于空气密度（氨气比空气轻)，因此氦气 球很容易飞上天.某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的 气体压强pkPa是气体体积V(m3)的反比例函数，其函数图象如图所示.当气体体积是1.5m3时，气体压强 p为 kPa. P(kPa) 150 100 (0.9,100) 50 0.511.5m) 【变式训练3】(25-26九年级上·河南平顶山·期末)如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯ABCDEFG 的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC=DE=FG=1,点A,C,E,G均在双曲线y=的一支上.若 点4的坐标为(4，引)， 则第三级阶梯的高EF= VA 题型五由反比例函数值求自变量 【典例精讲】(25-26八年级下·吉林长春·期末)某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节 电阻控制电流的变化来实现.如图是该台灯的电流I(A)与电阻R(Q)的函数关系图象，该图象经过点 P(880,0.25).根据图象可知，下列说法不正确的是（ IA D 0.25 880 R/2 A与R的函数关系式是1=罗(R>0) B.当I=0.22A时，R=10002 第8页共16页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 C.当R>10002时，I>0.22A D.当8802<R<10002时，I的取值范围是0.22A<I<0.25A 【变式训练1】(25-26八年级下·江苏泰州·期未)如图，一次函数y1=kx+b的图像与反比例函数y2=贺 (x>0)的图像交于A(1,4),B(2,)两点，与x轴交于点C. B (1)求一次函数与反比例函数的表达式： (2)若2≤y2≤6，求x的取值范围. 【变式训练2】(25-26八年级下·四川乐山·期末)如图，直线AB与反比例函数y=的图象交于A(m,2)、 B(1,)两点，与x轴交于点C.若BD1y轴，垂足为D,△B0D面积为6. (1)求k值： (2)求△B0C的面积. 第9页共16页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 【变式训练3】.(25-26八年级下·江苏泰州·期末)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x>0) 的图象与边长是4的正方形0ABC的两边AB、BC分别相交于D、E两点，△ODE的面积为，若动点P在y轴 上，则PD+PE的最小值是 B 山中真题演练 【真题演练1】(2026·北京·中考真题)如图，在平面直角坐标系x0y中，过y轴正半轴上的点P作x轴的 平行线，分别交函数y=±(x>0)和y=-3(x<0)的图象于点A、B,过点B作x轴的垂线，垂足为C,连接AC 交y轴于点Q,则的值为 00 R 【真题演练2】(2026·广西·中考真题)己知点A(-2,y1),B(1,y2)在反比例函数y=(k≠0)的图象上， 则y1,y2满足( A.2y1+y2=0 B.y1+2y2=0 C.2y1-y2=0 D.y1-2y2=0 【真题演练3】(2026·四川南充·中考真题)反比例函数图象经过M(a,-3),N(2,b)两点，若a<-2, 则b的取值范围是( ) A.b<-3 B.b>-3 C.b<3 D.b>3 【真题演练4】(2025·山东德州·中考真题)已知点P(a,b)在双曲线y1=上，点M(6a,b),N(a,d在双 曲线y2=上，若b一c=2,则N的坐标为 【真题演练5】(2025·山东·中考真题)取直线y=一x上一点A1(x1y),①过点A1作x轴的垂线，交y=是 于点A2(x2,y2);②过点A2作y轴的垂线，交y=-x于点A3(x3,y3):如此循环进行下去.按照上面的操作， 第10页共16页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 若点A1的坐标为(1，-1)，则点A2025的坐标是 冒山难度分层训练 【基础夯实】 1.(2026九年级上·全国·专题练习)下列函数中，y是x的反比例函数的是( A.y=-x B.y=3 X c.y=1-月 D.y=x2-2x+1 2.(2026九年级上·全国·专题练习)若点(a,b)在反比例函数y=的图象上，则下列各点中也在该图象 上的是( ) A.(-a,b) B.(a,-b) C.(-a,-b) D.(b,-a) 3.(26-27九年级上·全国·课后作业)“十四五”时期，广西将完成300公里的智慧公路建设.一段工 程施工需要运送土石方总量为105m3,设土石方日平均运送量为V(单位：m3/天)，完成运送任务所需要 的时间为t(单位：天)，则V与t满足( A.反比例函数关系B.正比例函数关系 C.一次函数关系 D.无法确定 4.(2022·浙江温州·三模)若点A(-1,m),B(3,m)(m≠0)在同一个函数图象上，则这个函数的表达式 可能为( A.y=x+1+m B.y =3m C.y=(x-1)2-9 D.y=(x-2)2-9 5。(2627九年级上·北京东城·开学考试)反比例函数)=一忌中，比例系数k=一 6.(2026·江苏南京·三模)一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为4时，压强 为1.5；当体积为3时，压强为 第11页共16页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 7.(2026·黑龙江大庆·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=图象与直线x=1,x=2, x=3,,x=n(n≥1且n为整数)分别交于点A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3),An(xyn),则y1y2+ y2y3+y3y4+…+y2025y2026= A2A3 x=2 x=3 x=n 8.(26-27九年级上·全国·课后作业)已知某长方体游泳池的体积V是360m3,用恰当的函数表达式来 表示底面积S(m)与该游泳池的高度(m)之间的关系，指出它是什么函数，并写出这个函数的比例系数及 当乃=4m时S的值. 9.（26-27九年级上·全国·课后作业)已知反比例函数y=5 (1)写出这个函数自变量的取值范围： (2)当x=-2√5时，求函数y的值； (3)当y=-3时，求自变量x的值. 第12页共16页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 10.(26-27九年级上·全国·课后作业)用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系，并指出它们各是 什么函数： (1)圆柱形蓄水池的容积是常数V(单位：m3),其底面积S(单位：m)与高（单位：m)之间的关系； (2)王芳要把一篇包含32000字的调查报告录入电脑，完成录入所用时间t(单位：min)与录入平均速度v (单位：字/min)之间的关系： (3)列车从相距2240am的甲地行驶到乙地，平均速度v(单位：m/h)与全程行驶时间t(单位：h)之间 的关系 (4)列车以300km/h的平均速度从甲地行驶到乙地，行驶路程s(单位：km)与行驶时间t(单位：h)之间 的关系 【培优拔高】 1.(25-26九年级上·广东茂名·期末)若点A(-1,y1),B(-2,y2),C(3,y3)在反比例函数y=-的图象上， 则y1,y2,y3的大小关系是( ) A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y1<y3<y2 D.y3<y2<y1 2.在下列函数表达式中，x均表示自变量.①y-②y=京®y=-X1,④xy=2:回y=:⑥y-片 其中反比例函数有( A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 3.(2026甘肃兰州·一模)如图，⊙O的半径为xcm,正方形ABCD的边长为ycm,阴影部分的面积为Scm2.下 列说法中，不正确的是() D xcm ycm A.若⊙O与正方形ABCD的周长之和为定值，则y关于x的函数关系为一次函数 第13页共16页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 B.若⊙O与正方形ABCD的周长之和为定值，则S关于x的函数关系为二次函数 C.若⊙O与正方形ABCD的面积之积为定值，则y关于x的函数关系为反比例函数 D.若⊙O与正方形ABCD的面积之积为定值，则S关于x的函数关系为反比例函数 4.若点A(x,-3),B(x2,-1),C(3,)在反比例函数y=3的图象上，则x1,2,x3的大小关系」 (用 “<”连接) 5.如图，多边形A1A2A3…An是⊙0的内接正n边形.己知⊙0的半径为r,∠A1O1A2的度数为a,点0到A1A2 的距离为d,△A1OA2的面积为S.下面三个推断中，①当n变化时，随n的变化而变化，a与n满足的函数 关系是反比例函数关系：②若α为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函 数关系：③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系.其中正确 的是」 (填所有正确答案的序号)· A 6.(25-26八年级下·重庆·期末)如图，Rt△OAB中，∠OBA=90°，点B在x轴正半轴上，A0、AB分 别与反比例函数y=(k>0,x>0)的图象相交于点C、D,且C为A0的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E, 连接DE.若△BDE的面积为3，则k的值为 D 7.(26-27九年级上·全国·课后作业)已知点A(2,-3)是反比例函数图象上一点. (1)求该反比例函数的解析式： (②)点B(-1,6),c（G,18)是否在这个函数的图象上？ 第14页共16页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 8.(26-27九年级上·全国·课后作业)写出下列函数解析式，指出其中的正比例函数和反比例函数， (1)火车从北海驶往相距约210km的南宁，若火车的平均速度为60km/h,求火车距北海的距离sam)与行 驶的时间th)之间的函数解析式： (2)某中学现有存煤20t,如果平均每天烧煤xt,共烧了y天，求y与x之间的函数解析式： (3)俊俊想存钱购买一套售价为6000元的户外活动设备，若他目前已有存款2000元，后期每个月计划存相 同金额，求他存够买设备的钱所需月数y与每个月存款额x元之间的函数解析式. 9.(2026·安徽合肥·一模)【综合与实践】如图，直线l上有A,B两定点，AB=6,点M,N分别从点A,B 以每秒1个单位长度速度相向移动，M,N分别到达B点，A点时停止移动，以AM为一边的矩形AMCD面积 为6.设M点运动时间为t(t>O)秒，MN之间的距离为y1,AD长为y2 M N B (1)分别写出y1,y2关于t的函数解析式，并在坐标系中画出两函数图象： (2)根据图象，直接写出当运动多少秒后，AD<MN(误差不超过0.3)： (3)当1≤t≤6时，设y1,y2和直线y=6围成的封闭图形为G(包括边界)，随机在G中选取一个格点（横、 纵坐标都是整数的点)，则该格点恰好在函数y1或y2图象上的概率为」 第15页共16页 2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练 10.(25-26九年级上湖南长沙期中)我们约定：平面直角坐标系x0y中不重合的两点M(x1,y1),N(x2,y2).若 x1+y1=x2十y2,则称点W为点M的“亮粹点”， (1)已知点N为点M的“亮粹点”，点M的坐标为(3,2)，且W在直线y=x+2上，求点N的坐标： (2)已知点N(2,y2)为点M(xy1)的“亮粹点”，其中xy+x号y3+4(x1y1+xy2)=-8,且S△wow= 求直线MN的解析式： (3)函数y=-x2+2x+3(x≤m,且m<3)的图象记为W1,将其沿直线x=m翻折后的图象记为W2,已 知W1,W2两部分组成的图象上恰有点M(0,m)的两个“亮粹点”，令P=-m2+2tm+t,其中P的值恒不 大于t+1,求实数t的取值范围. 第16页共16页