第1章 特殊平行四边形 章末练习-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第1章特殊平行四边形章末练习-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 一、选择题 1．下列命题中正确的是(　　) A．四边都相等的四边形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 2．如图，在Rt△中，，，，于点，是的中点，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 3． 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件（　　） A．①，对角相等 B．②，有一组邻边相等 C．③，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角 4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是（　　） A．AB=BC B．AC⊥BD C．∠BAC=∠DAC D．AC=BD 5．在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点A的坐标为．若函数的图象与正方形有交点，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7． 如图， 已知正方形 ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点 E， PF⊥CD于点 F， 连接AP， EF. 下列结论：( ②四边形 PECF 的周长为8；③EF的最小值为2；④AP⊥EF. 正确结论的为(　　) A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③ 8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC 是一条对角线，E 是AC 上一点，过点 E 作EF⊥AB，垂足为 F，连结DE.若AE=BF，则DE：BC的值为 （　　) A．2：3 B． C．2.5：3 D． ：3 9．如图，在△ABC中， AB=BC， ∠ABC=120°，过点C作CD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，BD交AC于点E.若点F是CD的中点，连接FE，延长交AB于点G，则 的值是(　　) A． B． C． D． 10．如图，正方形绕点C逆时针旋转得到正方形，点B，A，D的对应点分别为G，F，E，连接．若，则边的长为（　　） A． B．2 C． D． 二、填空题 11．如图，在 Rt△ABC中， ∠CAB=90°， AD是边 BC上的中线.点 E在线段 CD上， AB=EB，如果∠B=40°，那么∠DAE的度数为　 　. 12． 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，则AE平分∠BAC，则AE的长为 　 　 ． 13．如图，在正方形ABCD中，点E是正方形内的动点，连接CE、DE，点F是CE的中点，连接BF，若DE=AB=10，则 BF的最小值为　 　. 14． 如图， 在矩形ABCD中， AB=3， BC=6， 分别以B， D为圆心，大于 BD的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，直线EF分别交AD， BC于点G， H， 则 GH的长为　 　. 15．小强在参观土家民居建筑时，被其中的菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形（如图）．若的长度为2，则菱形的周长为　 　． 16．如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则　 　． 三、解答题 17．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E，F是边BC上一点，EF∥AB.求证：四边形ABFE是菱形． 18． 已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 19．如图，在正方形ABCD中，点E，点F分别在边AD， CD上，且满足AE=CF，点O是对角线BD的中点，连接EO. （1）求证： △ABE≌△CBF. （2）若EO⊥BF. ①求证： ∠BEO=2∠ABE. ②求证： 20．如图，▱ABCD中，E为BC边上的一个动点(不与B、C重合)，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G. （1）如图1，若E为BC中点，求证： BF=CG. （2）如图2，若AB=5，BC=8，∠B=60°，当点E在线段BC上运动时，FG的长度是否改变?若不变，求FG：若改变，请说明理由. （3）在(2)的条件下，H为直线AD 上的一点，若 BE=6，若A、B、E、H四点构成一个平行四边形，求BH的值. 21．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形，探索图形变化中产生的数学问题.已知矩形ABCD中，AD>AB.点E是平面内的一个动点，且BE=AD，∠CBE的平分线交射线CD于点F，连接EF，过点E作CD的平行线交直线BF于点G，连接CG. （1）初步思考：如图1，点E在矩形ABCD内部，猜想四边形EGCF的形状，并证明你的结论； （2）深入探究：如图2，已知AB=3，当点E落在AD边上，且恰好是AD的中点时，求此时GF的长； （3）保持（2）中矩形ABCD的形状大小不变，继续改变点E的位置.若请直接写出所有满足条件的CF的长. 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】B 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】30° 12．【答案】​​​​​​​ 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】8 16．【答案】 17．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴AE∥BF， ∵EF∥AB， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠FBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠FBE， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE， ∴平行四边形ABFE是菱形. 18．【答案】（1）证明：∵点F为线段中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴． （2）解：四边形为正方形， 证明：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形为矩形， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形． 19．【答案】（1）证明： ∵正方形ABCD， ∴∠A=∠C=90°， AB=BC， 在△ABE与△CBF中， ∴△ABE≌△CBF(SAS)； （2）证明：①延长EO交BF， BC分别于点M， H，作EG⊥BC于点G，如图， 则EG=AB， EG∥AB， ∠EGH=90°，∴EG=BC， ∠BEG=∠ABE， ∠HEG+∠EHG=90°， ∵EO⊥BF， ∴∠MBH+∠EHG=90°， ∴∠HEG=∠HBM， ∵正方形ABCD， ∴∠A=∠C=90°， AB=BC， 在△ABE与△CBF中， ∴△ABE≌△CBF(SAS)， ∴∠ABE=∠CBF， ∴∠HEG=∠ABE， ∴∠BEO=∠BEG+∠HEG=2∠ABE； ②由①可知： EG=BC， ∠HEG=∠HBM， ∠EGH=∠C=90°， ∴△BCF≌△EGH(ASA)， 又∵△ABE≌△CBF(SAS)， ∵正方形ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠EDO=∠HBO， ∠DEO=∠BHO， ∵O为BD的中点， ∴△DOE≌△BOH(AAS)， 即 ， 又∵ 20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EBF =∠ECG ， ∵E为BC的中点， ∴BE =CE ， 在△EBF和△ECG中， ， ∴△EBF≌△ECG (ASA)， ∴BF =CG ； （2）解：FG的长度不变，过点C作CN⊥AB于点N，如图： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，即FN∥CG， ∵GF⊥AB，CN⊥AB， ∴FG∥CN，∠CNB =90°， ∴四边形 CGFN为平行四边形， ∴四边形 CGFN为矩形 ， ∴FG =CN， 在 Rt△CBN中， ∠CNB =90°， ∠CBN =60°， BC =8， ∠BCN=90°-∠CBN=30°， ， （3）解：∵点 E 在线段 BC上运动， ∴以A，B，E，H为顶点的平行四边形有两种情况， 第一种情况，如图： 过点 B 作BM⊥DA交 DA 的延长线与 M，则∠AMB =90°， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BAM =∠ABC =60°， 在 Rt△ABM中， ∠AMB =90°， ∠ABM=90°-∠BAM=30°， ， ∵四边形ABEH是平行四边形， ， ； 第二种情况，如图： 过点B作BM⊥DA交DA的延长线与M，则∠AMB =90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BAM =∠ABC =60°， 在 Rt△ABM中， ∠AMB =90°， ∠ABM=90°-∠BAM=30°， ， ∵四边形ABEH是平行四边形， ， 21．【答案】（1）解：四边形EGCF是菱形，证明如下： ∵四边形ABCD为矩形，BE=AD， ∴AD=BC=BE， ∵BF平分∠CBE， ∴∠EBF=∠CBF， ∵BF=BF， ∴△EBF≌△CBF（SAS）， ∴EF=CF，∠EFB=∠CFB， 同理EG=CG， ∵EG∥CD， ∴∠EGF=∠CFB， ∴∠EGF=∠EFB， ∴EG=EF=CF=CG， ∴四边形EGCF是菱形 （2）如图，延长EG交BC于点H，连接CE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BC⊥CD，AD∥BC，AD=BC，AB=CD=3， ∵EG∥CD， ∴EG⊥AD，EG⊥BC， ∴四边形CDEH为矩形， ∴DE=CH，EH=CD=3， ∵点E是AD的中点， 即EH垂直平分BC， ∴BC=BE=CE， ∴△BCE为等边三角形， 由（1）得：四边形EGCF是菱形， ∴∠FEG=2∠CEG=60°，EG=EF， ∴△EGF为等边三角形， ∴FG=EF， 在Rt△DEF中， 解得：FG=2； （3）或4 学科网（北京）股份有限公司 $