第1章 一元二次方程 单元检测（A卷基础过关+B卷能力提升）-2026-2027学年苏科版九年级上册数学

九年级上册 第1章 一元二次方程 单元自测·提高卷 保密★启用前 第1章 一元二次方程 单元检测（A卷基础过关+B卷能力提升）-2026-2027学年九年级上册数学苏科版 苏科版数学九年级上册 · A卷120分 + B卷120分（各10选择/5填空/8解答） （试卷总分：A卷120分＋B卷120分　建议用时：每卷100分钟） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请先把学校、姓名、班级、考号填写在试卷规定的位置。 2．请用黑色签字笔或钢笔作答，字迹工整，涂改要干净。 3．作图题要用铅笔和直尺，画完后把关键数据标清楚。 命题说明本卷考查：一元二次方程的概念与一般形式、直接开平方法、配方法、因式分解法（含丢根陷阱）、公式法、根的判别式、判别式含参（分类讨论、求范围）、根与系数的关系（对称式、含参）等（A、B两卷，每卷 10 选／5 填／8 解，各 120 分） 知识梳理 下表梳理本章涉及的十四类高频考点，并标注其分别对应A卷（第1～23题）、B卷（第24～46题）中的具体题号，便于按考点复习定位。 本章考点 A卷题号 B卷题号 一元二次方程的概念与一般形式 1、2、11 24 直接开平方法 12、16 — 配方法 4、13、16 29、39 因式分解法（含丢根陷阱） 3 25、39 公式法 17 — 根的判别式 5、14、18 26、27 判别式含参（分类讨论、求范围） 7、18 24、38、41 根与系数的关系（对称式、含参） 6、8、19 28、30、31、35、41 换元法 — 34、37 增长率问题 9、20 43 图形面积问题 10、21 42、44 销售利润问题 22 45 比赛场次与新定义等其他应用 23 32、46 已知根求代数式值（整体代入） 15 40 评卷人 得分 【题型1】A卷·基础过关：单项选择十题（每题3分） 1．（本题3分）从下面四个方程里选出符合一元二次方程定义的一项(____) A．＋x＝2 B．x²＋2xy－1＝0 C．(x＋3)²＝x²＋5 D．x²－5x＋6＝0 评卷人 得分 题型1　变式 2．（本题3分）将方程(x-9)(x+2)=0化成一般形式ax²+bx+c=0（a>0），则a、b、c的值分别是(____) A．a=1，b=-18，c=-7 B．a=1，b=-7，c=-18 C．a=1，b=7，c=-18 D．a=1，b=-7，c=18 3．（本题3分）用因式分解法解方程x²=7x时，甲同学的解法是：两边同时除以x，得x=7，所以方程的解为x=7。下列判断正确的是(____) A．甲的解法正确，方程只有一个根x=7 B．甲的解法错误，方程的解为x=0或x=7 C．甲的解法错误，方程的解为x=-7 D．甲的解法错误，方程无实数解 4．（本题3分）用配方法解方程x²-18x-19=0时，下列配方步骤中，正确的一步是(____) A．x²-18x=-19 B．x²-18x+81=19+81 C．x²-18x-81=19 D．x²-18x+81=19 5．（本题3分）方程3x²+2x+7=0的根的情况为(____) A．有两个不同的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定，需看具体x值 6．（本题3分）已知关于x的方程x²+bx-10=0的一个根为x=-5，则该方程的另一个根为(____) A．-8 B．8 C．2 D．-2 7．（本题3分）小英在研究方程(m-6)x²+10x-3=0时，发现该方程存在两个不相等的实数解，由此她求得m应满足的条件是(____) A．m> B．m≥ C．m>且m≠0 D．m>且m≠6 8．（本题3分）设x₁，x₂为方程2x²-5x+3=0的两个实数根，那么x₁+x₂-x₁x₂的值为(____) A．1 B．-4 C．4 D．-1 9．（本题3分）某企业去年产值1300万元，通过技术改造，连续两年保持相同的增长率，到今年年底产值达到2197万元。这两年的平均增长率为(____) A．30% B．69% C．15% D．60% 10．（本题3分）方程x²-13x+30=0的两根恰好是一个菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为(____) A．15 B．13 C．30 D．6.5 评卷人 得分 【题型2】A卷·基础过关：填空五题（每题3分，共15分） 11．（本题3分）使方程 (m－4)－7x＋6＝0为一元二次方程的m的值是________。 评卷人 得分 题型2　变式 12．（本题3分）方程 (x－3)²＝25的两个根是x₁＝________，x₂＝________（x₁＞x₂）。 13．（本题3分）把方程x²＋10x－3＝0用配方法化成 (x＋a)²＝b的形式：两边应同时加上的常数是________，括号里的数是________。 14．（本题3分）关于x的方程x²－12x＋k＝0有两个相等的实数根，则k＝________，此时方程的根为x₁＝x₂＝________。 15．（本题3分）已知m是关于x的方程x²＋x－2026＝0的一个实数根，则代数式2m²＋2m－2026的值为________。 评卷人 得分 【题型3】A卷·基础过关：解答八题（含解方程与应用，共75分） 16．（本题8分）解下列方程，其中第(1)小题用直接开平方法，第(2)小题用配方法： (1)（4分）2(x＋2)²－32＝0； (2)（4分）x²－6x－16＝0。 评卷人 得分 题型3　变式 17．（本题8分）用你认为最简便的方法解方程： ①x²-6x+2=0； ②2x(x-3)=5(x-3)。 18．（本题9分）设k为实数，一元二次方程x²-(k+7)x+7k=0的根记为x₁、x₂。 (1)证明：不论k为何值，x₁、x₂都是实数； (2)若这两个根中有一个大于10，求k应满足的取值范围。 19．（本题9分）不解方程，利用根与系数的关系，求方程2x²+5x-3=0的两根x₁，x₂的平方和x₁²+x₂²，以及x₁/x₂+x₂/x₁的值。 20．（本题9分）某社区图书室六月份借阅图书40册，八月份借阅图书90册，且七、八两个月的月平均增长率相同。 (1)求这个月平均增长率； (2)按照这个增长率估计，九月份大约能借阅图书多少册？ 21．（本题9分）某小区有一块长方形晾晒场，长比宽多6米，面积为112平方米，求这块晾晒场的长和宽。 22．（本题11分）某文具店笔记本进价为每本8元，原售价为每本12元，此时每天可售出60本。市场调查发现，这种笔记本每本售价每降低0.5元，每天可多售出30本。若要使这种笔记本每天的销售利润为360元，且尽可能多地让利给顾客，求每本笔记本降价后的售价。 23．（本题12分）学校组织乒乓球比赛，若采用单循环赛制（每两名参赛选手之间只赛一场），共需要比赛28场。 (1)求参赛的选手人数； (2)若改为双循环赛制（每两名选手之间赛两场，分主客场），求此时共需要比赛的场数。 评卷人 得分 【题型4】B卷·能力提升：单项选择十题（每题3分） 24．（本题3分）关于x的方程(k－1)x²－2x＋1＝0，下列说法正确的是(____) A．当k＝1时，该方程是一元二次方程 B．当k≠1时，该方程必然存在两个不相等的实数解 C．当k＝1时，该方程是一元一次方程，且有唯一解 D．不管k为何值，该方程都存在实数解 评卷人 得分 题型4　变式 25．（本题3分）解方程 (5x-2)²=3(5x-2) 时，甲同学两边同时除以 (5x-2)，解得x=1；这种解法丢了根。该方程的解应为(______) A．x₁=，x₂=1 B．x=1 C．x= D．x₁=，x₂=1 26．（本题3分）把方程3x²-5x-2=0写成一般式ax²+bx+c=0并计算判别式b²-4ac，下列结果正确的是(____) A．a=3，b=-5，c=-2，b²-4ac=49 B．a=3，b=-5，c=2，b²-4ac=1 C．a=3，b=5，c=-2，b²-4ac=49 D．a=3，b=-5，c=-2，b²-4ac=1 27．（本题3分）下列四个关于x的一元二次方程中，哪一个有两个相等的实数根(____) A．x²-6x+9=0 B．x²-6x+8=0 C．x²-6x+10=0 D．x²-4x-5=0 28．（本题3分）关于x的方程x²-3x-7=0有两个实数根x₁、x₂，则₁+₂ 的值为(____) A． B． C． D． 29．（本题3分）用配方法解关于x的方程x²+bx+c=0，配方后得到 (x-5)²=11，则b、c的值分别是(____) A．b=-10，c=36 B．b=-5，c=11 C．b=-10，c=14 D．b=10，c=14 30．（本题3分）已知关于x的方程x²-mx+(2m-3)=0有两个实数根x₁、x₂，且x₁²+x₂²=11，则m的值为(____) A．m=-1或m=5 B．m=1 C．m=-1 D．m=5 31．（本题3分）设a、b是方程x²+5x-7=0的两个实数根，那么a²+6a+b的值为(____) A．2 B．-5 C．12 D．-12 32．（本题3分）定义新运算：a※b=a²+b²-ab。规定x※3=13，则x的值为(____) A．x=4 B．x=-1 C．x=2或x=-2 D．x=4或x=-1 33．（本题3分）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D。已知两条直角边AB、AC的长恰好是方程x²-14x+48=0的两个根，则斜边上的高AD的长为(____) A．24 B．7 C．5 D．4.8 评卷人 得分 【题型5】B卷·能力提升：填空五题（每题3分，共15分） 34．（本题3分）用换元法解方程：把x－4看作整体，方程 (x－4)² ＝ 3(x－4) 的两个根是x₁＝________，x₂＝________． 评卷人 得分 题型5　变式 35．（本题3分）关于x的一元二次方程x²＋bx－6＝0有一个根是3，其另一根为________，此时b＝________。 36．（本题3分）将二次三项式x²－4x＋7配方成 (x－h)²＋k的形式，则该式的最小值为________，此时对应的x的值为________。 37．（本题3分）解方程 (x²＋1)²－2(x²＋1)－3＝0．设t＝x²＋1，则符合题意的t值为________，原方程的解为x＝________。 38．（本题3分）使方程(m＋4)x²－12x－9＝0至少存在一个实数根的m的取值范围是________。 评卷人 得分 【题型6】B卷·能力提升：解答八题（含含参综合与建模，共75分） 39．（本题8分）计算（每小题4分，共8分）： ① 因式分解：(x²－4x)²－2(x²－4x)－15； ② 用配方法把2x²－8x＋3化成a(x＋h)²＋k的形式，并写出它的最小值（写出配方全过程）。 评卷人 得分 题型6　变式 40．（本题8分）已知m是方程x²-x-6=0的根，化简分式 并求值。 41．（本题9分）已知关于x的方程x²-4mx+(4m²-9)=0的两个实数根为x₁、x₂。(1)求证：该方程的判别式恒为正且与m的取值无关，方程恒有两个不相等的实数根；(2)若x₁x₂=7，求m的值。 42．（本题9分）在△ABC中，BC=17。已知AB、AC是方程x²-23x+120=0的两个根，试判断△ABC的形状，并求出它的面积。 43．（本题9分）某小区前年年底新能源充电桩日均服务36次，经过两年（到今年年底）日均服务次数达到81次。(1)求这两年日均服务次数的年平均增长率；(2)若明年该增长率保持不变，日均服务次数能否突破120次？ 44．（本题9分）在一块长24米、宽18米的矩形绿地内部沿四周内侧修建等宽的步道，中央剩余的花坛面积为160平方米，这条步道的宽度是多少米？ 45．（本题11分）某网店销售一种农产品，成本为每袋20元。据统计，当售价为30元时，日销量为100袋；售价每提高1元，日销量减少5袋。设该产品售价为x元(30≤x≤50)。(1)求日销量y(袋)与售价x之间的函数关系式；(2)若要使日利润达到1000元，且尽量让更多顾客能买到该产品（即日销量较大），求此时的售价。 46．（本题12分）一个两位数，个位数字比十位数字大4，且这个两位数比它的个位数字与十位数字之积大14，求这个两位数。 　参考答案与解析 　客观题答案速查 A卷题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B B C C D A A卷题号 9 10 11 12 13 答案 A A m＝0 x₁＝8，x₂＝－2 25；5 A卷题号 14 15 答案 k＝36；x₁＝x₂＝6 2026 B卷题号 24 25 26 27 28 29 30 31 答案 C A A A B C C A B卷题号 32 33 34 答案 D D x₁＝4，x₂＝7（次序不限） B卷题号 35 36 37 答案 另一个根为－2；b＝－1 最小值为3；此时x＝2 t＝3；x＝± B卷题号 38 答案 m≥－8 　【题型1】A卷·基础过关：单项选择十题（每题3分） 1．【答案】D 【解析】A中方程含分母，含未知数的分式不是整式方程，故不是一元二次方程； B中方程含x、y两个未知数，不是一元二次方程； C中方程(x+3)²=x²+5展开得x²+6x+9=x²+5，整理后平方项x²抵消，化简为6x+4=0，是一元一次方程，不是一元二次方程； D中方程x²－5x＋6＝0只含一个未知数x，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义，故选D。 　题型1　变式 2．【答案】B 【解析】(x-9)(x+2)=x²-7x-18 已是一般形式x²-7x-18=0 故a=1，b=-7，c=-18 3．【答案】B 【解析】x²=7x可化为x²-7x=0，即x(x-7)=0 因式分解得x=0或x-7=0 所以方程的解为x=0或x=7；甲两边同除以x丢失了x=0这一根 4．【答案】B 【解析】移项：x²-18x=19（常数项移到右边，符号变化） 两边同时加上一次项系数一半的平方，即加81：左边变为x²-18x+81，右边也要同步加81变为19+81 所以正确的一步是x²-18x+81=19+81 5．【答案】C 【解析】判别式Δ=b²-4ac=2²-4×3×7=4-84=-80 Δ=-80<0 所以方程没有实数根 6．【答案】C 【解析】将x=-5代入方程：25-5b-10=0，解得b=3 方程为x²+3x-10=0 设另一根为x₂，由两根之积x₁x₂=-10，得(-5)x₂=-10，解得x₂=2 7．【答案】D 【解析】由题意得二次项系数m-6≠0，即m≠6 判别式Δ=10²-4(m-6)(-3)=100+12(m-6)>0 化简得12m+28>0，解得m> 综合得m>且m≠6 8．【答案】A 【解析】由根与系数关系：x₁+x₂==，x₁x₂== x₁+x₂-x₁x₂=-=1 9．【答案】A 【解析】设平均增长率为x，由题意得1300(1+x)²=2197 两边同除以1300：(1+x)²=2197/1300= 两边开平方：1+x=（负值舍去），解得x==30% 10．【答案】A 【解析】解方程x²-13x+30=0，得x=3或x=10，即菱形的两条对角线长分别为3和10。 菱形面积＝×d₁×d₂＝×3×10＝15。 　【题型2】A卷·基础过关：填空五题（每题3分，共15分） 11．【答案】m＝0 【解析】由一元二次方程的定义，未知数的最高次数必须是2，所以|m-2|＝2，解得m＝4或m＝0。 又因为二次项系数不能为0，即m－4≠0，所以m≠4，排除m＝4这个解。 综上，m＝0。 　题型2　变式 12．【答案】x₁＝8，x₂＝－2 【解析】由 (x－3)²＝25，两边直接开平方得x－3＝±5； 当x－3＝5时，x＝8；当x－3＝－5时，x＝－2； 又因为x₁＞x₂，所以x₁＝8，x₂＝－2。 13．【答案】25；5 【解析】方程x²＋10x－3＝0移项得x²＋10x＝3； 一次项系数10是偶数，配方时两边加上一次项系数一半的平方，即 (10÷2)²＝25； 得x²＋10x＋25＝3＋25＝28，即 (x＋5)²＝28； 所以两边应加的常数是25，括号里的数是5。 14．【答案】k＝36；x₁＝x₂＝6 【解析】方程有两个相等的实数根，则判别式Δ＝0，即 (－12)²－4k＝0； 解得144－4k＝0，k＝36； 此时方程为x²－12x＋36＝0，即 (x－6)²＝0，解得x₁＝x₂＝6。 15．【答案】2026 【解析】因为m是方程x²＋x－2026＝0的根，所以m²＋m－2026＝0，即m²＋m＝2026； 把2m²＋2m－2026整体代入变形：2m²＋2m－2026＝2(m²＋m)－2026； ＝2×2026－2026＝2026。 　【题型3】A卷·基础过关：解答八题（含解方程与应用，共75分） 16．【答案】(1) x₁＝2，x₂＝－6；(2) x₁＝8，x₂＝－2 【解析】(1) 2(x＋2)²－32＝0，移项得2(x＋2)²＝32，两边同除以2得 (x＋2)²＝16； 两边直接开平方得x＋2＝±4，所以x＋2＝4或x＋2＝－4； 解得x₁＝2，x₂＝－6。 (2) x²－6x－16＝0，移项得x²－6x＝16； 一次项系数－6是偶数，配方时两边加上一次项系数一半的平方，即 (－6÷2)²＝9； 得x²－6x＋9＝16＋9＝25，即 (x－3)²＝25； 两边直接开平方得x－3＝±5，解得x₁＝8，x₂＝－2。 　题型3　变式 17．【答案】①x=3±；②x₁=3，x₂= 【解析】①方程x²-6x+2=0不易用因式分解或直接开平方求整数根，用公式法：a=1，b=-6，c=2，Δ=b²-4ac=36-8=28>0，x===3±。 ②方程2x(x-3)=5(x-3)两边都含因式(x-3)，移项得2x(x-3)-5(x-3)=0，提公因式(x-3)：(x-3)(2x-5)=0，所以x-3=0或2x-5=0，解得x₁=3，x₂=。 18．【答案】(1)Δ=(k-7)²≥0，x₁、x₂都是实数；(2)k>10 【解析】(1)Δ=[-(k+7)]²-4×1×7k=(k+7)²-28k=k²+14k+49-28k=k²-14k+49=(k-7)²，因为(k-7)²≥0对任意k恒成立，所以Δ≥0，x₁、x₂都是实数。 (2)因式分解：x²-(k+7)x+7k=(x-7)(x-k)=0，所以方程的两根为x₁=7，x₂=k。因为x₁=7不大于10，所以要使方程有一个根大于10，必须是x₂=k>10，即k的取值范围是k>10。 19．【答案】x₁²+x₂²=；x₁/x₂+x₂/x₁= 【解析】由根与系数的关系，x₁+x₂=，x₁x₂=。 x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=-2×=+3=。 x₁/x₂+x₂/x₁===×=。 20．【答案】(1)月平均增长率为50%；(2)九月份估计借阅135册 【解析】(1)设月平均增长率为x，由题意得40(1+x)²=90，即(1+x)²==，解得1+x=或1+x=（负值不合题意，舍去），所以x==50%。 (2)九月份借阅册数估计为90×(1+50%)=90×1.5=135（册）。 21．【答案】宽为8米，长为14米 【解析】设晾晒场的宽为x米，则长为(x+6)米，由题意得x(x+6)=112，即x²+6x-112=0。 Δ=6²-4×1×(-112)=36+448=484=22²，x=，解得x₁=8，x₂=-14。 因为长方形的宽不能为负数，所以舍去x₂=-14，取x=8。所以晾晒场的宽为8米，长为8+6=14米。 22．【答案】每本售价定为10元 【解析】设每本笔记本降价x元（x>0），则每本的实际利润为(12-x-8)=(4-x)元，每天的销量为(60+60x)本（因为每降0.5元多卖30本，降价x元则多卖60x本）。 由题意得(4-x)(60+60x)=360，即60(4-x)(1+x)=360，化简得(4-x)(1+x)=6，展开得-x²+3x+4=6，即x²-3x+2=0。 解得x₁=1，x₂=2。经检验两个值都符合每天利润为360元的要求。 为了尽可能多地让利给顾客（即售价尽量低），应取较大的降价幅度x=2，此时售价为12-2=10元。经检验：此时销量为60+60×2=180本，每本利润为4-2=2元，总利润为2×180=360元，符合题意。 23．【答案】(1)参赛人数为8人；(2)双循环共需比赛56场 【解析】(1)设参赛人数为n人，单循环赛中每两人赛一场，共需比赛n(n-1)/2场，由题意得n(n-1)/2=28，即n(n-1)=56，n²-n-56=0，因式分解得(n-8)(n+7)=0，解得n=8或n=-7（人数不能为负，舍去）。所以参赛人数为8人。 (2)双循环赛制下每两人之间赛两场，共需比赛n(n-1)=8×7=56场。 　【题型4】B卷·能力提升：单项选择十题（每题3分） 24．【答案】C 【解析】当k＝1时，方程变为－2x＋1＝0，二次项系数为0，不是一元二次方程，A错误； 当k≠1时，方程是一元二次方程，判别式Δ＝(－2)²－4(k－1)×1＝8－4k，只有k<2时Δ>0才有两个不相等实根，k≠1不能保证k<2（如k＝3时Δ＝8－12＝－4<0），B错误； 当k＝1时，方程变为－2x＋1＝0，即一元一次方程，解得x＝，唯一解，C正确； 当k>2时Δ<0，方程无实数解，故D错误； 综上，正确答案为C。 　题型4　变式 25．【答案】A 【解析】移项得 (5x-2)²-3(5x-2)=0，提取公因式 (5x-2)：(5x-2)(5x-2-3)=0，即 (5x-2)(5x-5)=0。 由5x-2=0得x=；由5x-5=0得x=1。 所以方程的解为x₁=，x₂=1，选A。 甲同学两边同除以 (5x-2) 的做法默认5x-2≠0，把x=这个根丢掉了，属于漏根的错误解法。 26．【答案】A 【解析】方程3x²-5x-2=0已是一般式，对照ax²+bx+c=0可得a=3，b=-5，c=-2。 代入判别式b²-4ac=(-5)²-4×3×(-2)=25+24=49。 所以正确的一组是a=3，b=-5，c=-2，b²-4ac=49，选A。 27．【答案】A 【解析】逐一计算四个方程的判别式 Δ=b²-4ac。 x²-6x+9=0：Δ=36-36=0，两个相等的实数根（重根）。 x²-6x+8=0：Δ=36-32=4>0，两个不相等的实数根；x²-6x+10=0：Δ=36-40=-4<0，没有实数根；x²-4x-5=0：Δ=16+20=36>0，两个不相等的实数根。 所以有两个相等实数根的是x²-6x+9=0，选A。 28．【答案】B 【解析】由根与系数的关系，x₁+x₂=3，x₁x₂=-7。 ₁+₂===。 所以选B。 29．【答案】C 【解析】由 (x-5)²=11展开左边：(x-5)²=x²-10x+25，所以x²-10x+25=11。 移项得x²-10x+25-11=0，即x²-10x+14=0。 对照x²+bx+c=0，得b=-10，c=14，选C。 30．【答案】C 【解析】由根与系数的关系，x₁+x₂=m，x₁x₂=2m-3。 x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-2(2m-3)=m²-4m+6，令其等于11：m²-4m-5=0，解得m=5或m=-1。 方程要有实数根需 Δ=m²-4(2m-3)=m²-8m+12=(m-2)(m-6)≥0，即m≤2或m≥6。 m=5不满足此条件（2<5<6，应舍去）；m=-1满足m≤2，所以m=-1，选C。 31．【答案】A 【解析】因为a是方程x²+5x-7=0的根，所以a²+5a-7=0，即a²=-5a+7（降次）。 把a²=-5a+7代入a²+6a+b中：原式=(-5a+7)+6a+b=a+7+b=(a+b)+7。 由根与系数的关系，a+b=-5，所以原式=-5+7=2。 所以a²+6a+b的值为2，选A。 32．【答案】D 【解析】把x※3代入新运算的定义a※b=a²+b²-ab，得x²+9-3x=13。 整理得x²-3x-4=0，即 (x-4)(x+1)=0，解得x=4或x=-1。 新运算对任意实数都有定义，没有分母、被开方数等限制，两个根都符合要求，不需要舍去。 所以x=4或x=-1，选D。 33．【答案】D 【解析】解方程x²-14x+48=0：因式分解得 (x-6)(x-8)=0，解得x=6或x=8，即两条直角边长为6和8。 由勾股定理，斜边长===10。 设斜边上的高为h，由三角形面积相等：×6×8=×10×h，即24=5h，解得h=4.8。 所以斜边上的高为4.8，选D。 　【题型5】B卷·能力提升：填空五题（每题3分，共15分） 34．【答案】x₁＝4，x₂＝7（次序不限） 【解析】将x－4看作整体，记为t，则原方程化为t² ＝ 3t，即t² － 3t ＝ 0． 提取公因式t，得t(t－3) ＝ 0，所以t ＝ 0或t ＝ 3． 当t ＝ 0时，x－4 ＝ 0，解得x ＝ 4；当t ＝ 3时，x－4 ＝ 3，解得x ＝ 7． 所以原方程的两个根为x₁ ＝ 4，x₂ ＝ 7． 　题型5　变式 35．【答案】另一个根为－2；b＝－1 【解析】设另一个根为x₂，由根与系数的关系，两根之积等于常数项除以二次项系数：3·x₂＝(－6)÷1＝－6，解得x₂＝－2。 两根之和等于一次项系数的相反数除以二次项系数：3＋(－2)＝－b，即1＝－b，解得b＝－1。 36．【答案】最小值为3；此时x＝2 【解析】x²－4x＋7＝x²－4x＋4＋3＝(x－2)²＋3。 因为(x－2)²≥0，所以当x＝2时，(x－2)²＝0，代数式取得最小值3。 37．【答案】t＝3；x＝± 【解析】设t＝x²＋1，原方程化为t²－2t－3＝0，即(t－3)(t＋1)＝0，解得t＝3或t＝－1。 因为t＝x²＋1≥1＞0，所以t＝－1不符合题意，舍去，只取t＝3。 由t＝x²＋1＝3，得x²＝2，解得x＝±。 38．【答案】m≥－8 【解析】当m＋4＝0，即m＝－4时，方程化为一次方程－12x－9＝0，恒有实数根x＝，满足条件。 当m＋4≠0，即m≠－4时，方程是关于x的一元二次方程，有实数根需判别式Δ＝(－12)²－4(m＋4)(－9)≥0，即144＋36(m＋4)≥0，解得m≥－8。 综合两种情况，m＝－4也在m≥－8范围内，所以方程存在实数根的m的取值范围是m≥－8。 　【题型6】B卷·能力提升：解答八题（含含参综合与建模，共75分） 39．【答案】① (x－5)(x＋1)(x－1)(x－3)；② 2x²－8x＋3＝2(x－2)²－5，最小值为－5（当x＝2时取得） 【解析】① 把x²－4x看作一个整体，设t＝x²－4x，原式化为t²－2t－15，先按十字相乘分解为 (t－5)(t＋3)； 再把t代回，得 (x²－4x－5)(x²－4x＋3)；两个括号内各自再分解：x²－4x－5＝(x－5)(x＋1)，x²－4x＋3＝(x－1)(x－3)； 故原式最终分解为 (x－5)(x＋1)(x－1)(x－3)（分解到不能再分为止）。 ② 先提出二次项系数2：2x²－8x＋3＝2(x²－4x)＋3； 括号内配方：x²－4x＝x²－4x＋4－4＝(x－2)²－4； 代回并乘开2：2[(x－2)²－4]＋3＝2(x－2)²－8＋3＝2(x－2)²－5； 因为2(x－2)²≥0，所以当x＝2时，代数式取得最小值－5。 　题型6　变式 40．【答案】 【解析】解方程x²-x-6=0：因式分解得 (x-3)(x+2)=0，所以x=3或x=-2，即m=3或m=-2。 化简分式：=(m+3)/[(m-3)(m+3)]=（m≠-3）。 检验：当m=3时，原分式分母m²-9=9-9=0，分式无意义，舍去；故m=-2。 代入化简后的式子：===。 41．【答案】(1)Δ恒为36，与m无关且恒大于0；(2)m=2或m=-2 【解析】(1)Δ=(-4m)²-4(4m²-9)=16m²-16m²+36=36，因为36>0，且与m无关，所以无论m取何值，Δ恒大于0，方程总有两个不相等的实数根。 (2)由根与系数的关系，x₁x₂=4m²-9。由x₁x₂=7，得4m²-9=7，即4m²=16，m²=4，解得m=2或m=-2。 42．【答案】直角三角形（直角在顶点A处），面积为60。 【解析】解方程x²-23x+120=0：因式分解得 (x-8)(x-15)=0，解得x=8或x=15，即AB、AC的长分别为8和15。 验证三边关系：8²+15²=64+225=289，而BC²=17²=289，所以AB²+AC²=BC²。 由勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且直角顶点为A（AB、AC为两条直角边）。 面积= ×AB×AC = ×8×15 = 60。 43．【答案】(1) 年平均增长率为50%；(2) 明年日均服务约121.5次，能够突破120次。 【解析】设年平均增长率为x，由题意得36(1+x)²=81。 解得 (1+x)²==，1+x=±；因增长率为正，取1+x=，解得x==50%。 明年日均服务次数= 81×(1+50%) = 81×1.5 = 121.5(次)。 因为121.5>120，所以明年日均服务次数能够突破120次。 44．【答案】步道宽为4米。 【解析】设步道宽为x米。步道在绿地内侧四周环绕，中间花坛是一个长(24-2x)米、宽(18-2x)米的小矩形。 由题意列方程：(24-2x)(18-2x)=160。 展开：432-84x+4x²=160，整理得4x²-84x+272=0，即x²-21x+68=0。 因式分解：(x-4)(x-17)=0，解得x=4或x=17。 检验：绿地宽为18米，步道宽x的两倍必须小于18，即x<9，故x=17不合题意，舍去；x=4时花坛长16米、宽10米，面积160平方米，符合题意。 45．【答案】(1) y=250-5x(30≤x≤50)；(2) 售价定为30元时，日利润为1000元且日销量较大，为100袋。 【解析】(1) 售价每提高1元，日销量减少5袋，所以y=100-5(x-30)=250-5x。 (2) 日利润W=(售价-成本)×日销量=(x-20)(250-5x)。 令W=1000：(x-20)(250-5x)=1000，展开得 -5x²+350x-5000=1000，即 -5x²+350x-6000=0。 两边同除以-5：x²-70x+1200=0，因式分解：(x-30)(x-40)=0，解得x=30或x=40。 对应日销量：x=30时，y=250-150=100(袋)；x=40时，y=250-200=50(袋)。 因要求日销量较大，故选日销量100袋对应的售价，即x=30元。 46．【答案】26或59。 【解析】设十位数字为a（a为1~9的整数），则个位数字为a+4（需0≤a+4≤9，故1≤a≤5）。 这个两位数为10a+(a+4)=11a+4，个位数字与十位数字之积为a(a+4)。 由题意列方程：(11a+4)-a(a+4)=14。 展开：11a+4-a²-4a=14，整理得a²-7a+10=0。 因式分解：(a-2)(a-5)=0，解得a=2或a=5，均在1≤a≤5范围内，都符合题意。 当a=2时，两位数为26；当a=5时，两位数为59。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $九年级上册 第1章 一元二次方程 单元自测·提高卷 保密★启用前 第1章 一元二次方程 单元检测（A卷基础过关+B卷能力提升）-2026-2027学年九年级上册数学苏科版 苏科版数学九年级上册 · A卷120分 + B卷120分（各10选择/5填空/8解答） （试卷总分：A卷120分＋B卷120分　建议用时：每卷100分钟） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．答题前，请先把学校、姓名、班级、考号填写在试卷规定的位置。 2．请用黑色签字笔或钢笔作答，字迹工整，涂改要干净。 3．作图题要用铅笔和直尺，画完后把关键数据标清楚。 命题说明本卷考查：一元二次方程的概念与一般形式、直接开平方法、配方法、因式分解法（含丢根陷阱）、公式法、根的判别式、判别式含参（分类讨论、求范围）、根与系数的关系（对称式、含参）等（A、B两卷，每卷 10 选／5 填／8 解，各 120 分） 知识梳理 下表梳理本章涉及的十四类高频考点，并标注其分别对应A卷（第1～23题）、B卷（第24～46题）中的具体题号，便于按考点复习定位。 本章考点 A卷题号 B卷题号 一元二次方程的概念与一般形式 1、2、11 24 直接开平方法 12、16 — 配方法 4、13、16 29、39 因式分解法（含丢根陷阱） 3 25、39 公式法 17 — 根的判别式 5、14、18 26、27 判别式含参（分类讨论、求范围） 7、18 24、38、41 根与系数的关系（对称式、含参） 6、8、19 28、30、31、35、41 换元法 — 34、37 增长率问题 9、20 43 图形面积问题 10、21 42、44 销售利润问题 22 45 比赛场次与新定义等其他应用 23 32、46 已知根求代数式值（整体代入） 15 40 评卷人 得分 【题型1】A卷·基础过关：单项选择十题（每题3分） 1．（本题3分）从下面四个方程里选出符合一元二次方程定义的一项(____) A．＋x＝2 B．x²＋2xy－1＝0 C．(x＋3)²＝x²＋5 D．x²－5x＋6＝0 评卷人 得分 题型1　变式 2．（本题3分）将方程(x-9)(x+2)=0化成一般形式ax²+bx+c=0（a>0），则a、b、c的值分别是(____) A．a=1，b=-18，c=-7 B．a=1，b=-7，c=-18 C．a=1，b=7，c=-18 D．a=1，b=-7，c=18 3．（本题3分）用因式分解法解方程x²=7x时，甲同学的解法是：两边同时除以x，得x=7，所以方程的解为x=7。下列判断正确的是(____) A．甲的解法正确，方程只有一个根x=7 B．甲的解法错误，方程的解为x=0或x=7 C．甲的解法错误，方程的解为x=-7 D．甲的解法错误，方程无实数解 4．（本题3分）用配方法解方程x²-18x-19=0时，下列配方步骤中，正确的一步是(____) A．x²-18x=-19 B．x²-18x+81=19+81 C．x²-18x-81=19 D．x²-18x+81=19 5．（本题3分）方程3x²+2x+7=0的根的情况为(____) A．有两个不同的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定，需看具体x值 6．（本题3分）已知关于x的方程x²+bx-10=0的一个根为x=-5，则该方程的另一个根为(____) A．-8 B．8 C．2 D．-2 7．（本题3分）小英在研究方程(m-6)x²+10x-3=0时，发现该方程存在两个不相等的实数解，由此她求得m应满足的条件是(____) A．m> B．m≥ C．m>且m≠0 D．m>且m≠6 8．（本题3分）设x₁，x₂为方程2x²-5x+3=0的两个实数根，那么x₁+x₂-x₁x₂的值为(____) A．1 B．-4 C．4 D．-1 9．（本题3分）某企业去年产值1300万元，通过技术改造，连续两年保持相同的增长率，到今年年底产值达到2197万元。这两年的平均增长率为(____) A．30% B．69% C．15% D．60% 10．（本题3分）方程x²-13x+30=0的两根恰好是一个菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为(____) A．15 B．13 C．30 D．6.5 评卷人 得分 【题型2】A卷·基础过关：填空五题（每题3分，共15分） 11．（本题3分）使方程 (m－4)－7x＋6＝0为一元二次方程的m的值是________。 评卷人 得分 题型2　变式 12．（本题3分）方程 (x－3)²＝25的两个根是x₁＝________，x₂＝________（x₁＞x₂）。 13．（本题3分）把方程x²＋10x－3＝0用配方法化成 (x＋a)²＝b的形式：两边应同时加上的常数是________，括号里的数是________。 14．（本题3分）关于x的方程x²－12x＋k＝0有两个相等的实数根，则k＝________，此时方程的根为x₁＝x₂＝________。 15．（本题3分）已知m是关于x的方程x²＋x－2026＝0的一个实数根，则代数式2m²＋2m－2026的值为________。 评卷人 得分 【题型3】A卷·基础过关：解答八题（含解方程与应用，共75分） 16．（本题8分）解下列方程，其中第(1)小题用直接开平方法，第(2)小题用配方法： (1)（4分）2(x＋2)²－32＝0； (2)（4分）x²－6x－16＝0。 评卷人 得分 题型3　变式 17．（本题8分）用你认为最简便的方法解方程： ①x²-6x+2=0； ②2x(x-3)=5(x-3)。 18．（本题9分）设k为实数，一元二次方程x²-(k+7)x+7k=0的根记为x₁、x₂。 (1)证明：不论k为何值，x₁、x₂都是实数； (2)若这两个根中有一个大于10，求k应满足的取值范围。 19．（本题9分）不解方程，利用根与系数的关系，求方程2x²+5x-3=0的两根x₁，x₂的平方和x₁²+x₂²，以及x₁/x₂+x₂/x₁的值。 20．（本题9分）某社区图书室六月份借阅图书40册，八月份借阅图书90册，且七、八两个月的月平均增长率相同。 (1)求这个月平均增长率； (2)按照这个增长率估计，九月份大约能借阅图书多少册？ 21．（本题9分）某小区有一块长方形晾晒场，长比宽多6米，面积为112平方米，求这块晾晒场的长和宽。 22．（本题11分）某文具店笔记本进价为每本8元，原售价为每本12元，此时每天可售出60本。市场调查发现，这种笔记本每本售价每降低0.5元，每天可多售出30本。若要使这种笔记本每天的销售利润为360元，且尽可能多地让利给顾客，求每本笔记本降价后的售价。 23．（本题12分）学校组织乒乓球比赛，若采用单循环赛制（每两名参赛选手之间只赛一场），共需要比赛28场。 (1)求参赛的选手人数； (2)若改为双循环赛制（每两名选手之间赛两场，分主客场），求此时共需要比赛的场数。 评卷人 得分 【题型4】B卷·能力提升：单项选择十题（每题3分） 24．（本题3分）关于x的方程(k－1)x²－2x＋1＝0，下列说法正确的是(____) A．当k＝1时，该方程是一元二次方程 B．当k≠1时，该方程必然存在两个不相等的实数解 C．当k＝1时，该方程是一元一次方程，且有唯一解 D．不管k为何值，该方程都存在实数解 评卷人 得分 题型4　变式 25．（本题3分）解方程 (5x-2)²=3(5x-2) 时，甲同学两边同时除以 (5x-2)，解得x=1；这种解法丢了根。该方程的解应为(______) A．x₁=，x₂=1 B．x=1 C．x= D．x₁=，x₂=1 26．（本题3分）把方程3x²-5x-2=0写成一般式ax²+bx+c=0并计算判别式b²-4ac，下列结果正确的是(____) A．a=3，b=-5，c=-2，b²-4ac=49 B．a=3，b=-5，c=2，b²-4ac=1 C．a=3，b=5，c=-2，b²-4ac=49 D．a=3，b=-5，c=-2，b²-4ac=1 27．（本题3分）下列四个关于x的一元二次方程中，哪一个有两个相等的实数根(____) A．x²-6x+9=0 B．x²-6x+8=0 C．x²-6x+10=0 D．x²-4x-5=0 28．（本题3分）关于x的方程x²-3x-7=0有两个实数根x₁、x₂，则₁+₂ 的值为(____) A． B． C． D． 29．（本题3分）用配方法解关于x的方程x²+bx+c=0，配方后得到 (x-5)²=11，则b、c的值分别是(____) A．b=-10，c=36 B．b=-5，c=11 C．b=-10，c=14 D．b=10，c=14 30．（本题3分）已知关于x的方程x²-mx+(2m-3)=0有两个实数根x₁、x₂，且x₁²+x₂²=11，则m的值为(____) A．m=-1或m=5 B．m=1 C．m=-1 D．m=5 31．（本题3分）设a、b是方程x²+5x-7=0的两个实数根，那么a²+6a+b的值为(____) A．2 B．-5 C．12 D．-12 32．（本题3分）定义新运算：a※b=a²+b²-ab。规定x※3=13，则x的值为(____) A．x=4 B．x=-1 C．x=2或x=-2 D．x=4或x=-1 33．（本题3分）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D。已知两条直角边AB、AC的长恰好是方程x²-14x+48=0的两个根，则斜边上的高AD的长为(____) A．24 B．7 C．5 D．4.8 评卷人 得分 【题型5】B卷·能力提升：填空五题（每题3分，共15分） 34．（本题3分）用换元法解方程：把x－4看作整体，方程 (x－4)² ＝ 3(x－4) 的两个根是x₁＝________，x₂＝________． 评卷人 得分 题型5　变式 35．（本题3分）关于x的一元二次方程x²＋bx－6＝0有一个根是3，其另一根为________，此时b＝________。 36．（本题3分）将二次三项式x²－4x＋7配方成 (x－h)²＋k的形式，则该式的最小值为________，此时对应的x的值为________。 37．（本题3分）解方程 (x²＋1)²－2(x²＋1)－3＝0．设t＝x²＋1，则符合题意的t值为________，原方程的解为x＝________。 38．（本题3分）使方程(m＋4)x²－12x－9＝0至少存在一个实数根的m的取值范围是________。 评卷人 得分 【题型6】B卷·能力提升：解答八题（含含参综合与建模，共75分） 39．（本题8分）计算（每小题4分，共8分）： ① 因式分解：(x²－4x)²－2(x²－4x)－15； ② 用配方法把2x²－8x＋3化成a(x＋h)²＋k的形式，并写出它的最小值（写出配方全过程）。 评卷人 得分 题型6　变式 40．（本题8分）已知m是方程x²-x-6=0的根，化简分式 并求值。 41．（本题9分）已知关于x的方程x²-4mx+(4m²-9)=0的两个实数根为x₁、x₂。(1)求证：该方程的判别式恒为正且与m的取值无关，方程恒有两个不相等的实数根；(2)若x₁x₂=7，求m的值。 42．（本题9分）在△ABC中，BC=17。已知AB、AC是方程x²-23x+120=0的两个根，试判断△ABC的形状，并求出它的面积。 43．（本题9分）某小区前年年底新能源充电桩日均服务36次，经过两年（到今年年底）日均服务次数达到81次。(1)求这两年日均服务次数的年平均增长率；(2)若明年该增长率保持不变，日均服务次数能否突破120次？ 44．（本题9分）在一块长24米、宽18米的矩形绿地内部沿四周内侧修建等宽的步道，中央剩余的花坛面积为160平方米，这条步道的宽度是多少米？ 45．（本题11分）某网店销售一种农产品，成本为每袋20元。据统计，当售价为30元时，日销量为100袋；售价每提高1元，日销量减少5袋。设该产品售价为x元(30≤x≤50)。(1)求日销量y(袋)与售价x之间的函数关系式；(2)若要使日利润达到1000元，且尽量让更多顾客能买到该产品（即日销量较大），求此时的售价。 46．（本题12分）一个两位数，个位数字比十位数字大4，且这个两位数比它的个位数字与十位数字之积大14，求这个两位数。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $