四川达州市万源中学2026-2027学年九年级上学期第五周数学学情自测

四川省达州市万源中学2026-2027学年九年级上学期第五周学情自测数学试题 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 3．一元二次方程配方正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形为菱形，，，作，垂足为H，交于G点，则的长度为（     ） A． B． C． D． 5．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 6．如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（     ） A． B． C． D． 7．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（　　）    A． B． C． D． 9．关于的一元二次方程有两个实根，则的取值范围是（ ） A．k≥-4 B．k≥4 C．k>-4 D．k≥-4且k≠0 10．如图，在矩形中，，对角线相交于点O，点M，N分别在线段上，且，，且，若，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A．xy B． C． D． 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11. 把一元二次方程 3x(x − 1) = 5(x + 2) 化成一般形式后为 3x² + bx + c = 0，则 b = ______，c = ______。 12．如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则矩形纸片的周长为______________． 13．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 14．若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是______. 16．如图，在正方形中，E，F，G三点分别在边，，上，且为等边三角形，若，，则的值为_______. 三、解答题（共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解方程：(1) (2) (3) (4) 18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，它们分别为． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF=BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AC=4，∠ABC=60°，求矩形AEFD的面积． 20．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 21．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求k的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 22．如图1，矩形的对角线、相交于点，且、，连接． (1)求证：与互相垂直且平分； (2)如图2，若取的中点，连接交于点，求证：； (3)如图3，过点作射线分别交，的延长线于点，，连接，的面积为，求的面积． 23．请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 24．问题情境：在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： (1)如图1，当是对角线中点时，猜想四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图2，当点是对角线上任意一点时．试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； (3)如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $