第二十六章 二次函数 章末强化试题 2026-2027学年人教版九年级上册数学上册

第二十六章 二次函数 章末强化试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、单选题 1．下列函数解析式中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．在同一坐标系中画出的图象，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．若抛物线与x轴没有交点，则c的值可以是（    ） A． B． C．4 D．8 5．对于二次函数 的性质，下列描述正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．抛物线可由向右平移1个单位得到 6．根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（    ） 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.04 A． B． C． D． 7．某地每年六月都有举办龙舟比赛的习俗，比赛需要经过一个抛物线形的拱桥．如图，是水平面，拱桥对应的函数表达式为．某商家在点处悬挂了广告条幅，已知，点到的距离为，则点到点的距离是（   ）． A． B． C． D． 8．在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 9．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．若二次函数y＝ax2+2ax+3a的图象过不同的三个点A(n，y1)，B(1﹣n，y2)，C(﹣1，y3)，且y1＞y2＞y3，则n的取值范围是（　　） A．n＜ B．n＜ C．n＞且n≠2 D．n＞ 二、填空题 11．已知抛物线表达式为，则该抛物线的对称轴为直线______． 12．已知函数的顶点在x轴上，那么______． 13．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 14．若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 15．将抛物线绕原点旋转所得到的抛物线的解析式为__________． 16．当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 三、解答题 17．已知二次函数． (1)求该函数图象的对称轴、及顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而增大． 18．已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过． (1)求这个二次函数的表达式； (2)判断点是否在这条抛物线的图象上． 19．惠东县为促进经济发展从马来西亚引进一种高档水果，某商场经销这种水果，原价每千克50元，为了减少产生水果烂损进行降价促销，连续两次降价后每千克32元，且平均每次下降的百分率相同． (1)求平均每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，经市场调查发现，若每千克每涨价1元，日销售量就减少20千克，那么每千克应涨价多少元该商场每天盈利最多？最多是多少元？ 20．如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台的长约为，球网在球台的中点处（点A是的中点），球网的高度约为，发球点的高度为，当乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，，．设乒乓球距离发球点C的水平距离为，乒乓球距离球台的竖直高度为，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物线． (1)求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网并落在球台上），并说明理由． 21．露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式； 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入该款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，最多可摆放多少张椅子？ 22．如图，已知二次函数的图像经过点、和原点O．P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C． (1)求出二次函数的解析式； (2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值； (3)当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由． 23．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的二倍，那么称该点为“二倍点”．如，，都是“二倍点”． (1)下列函数图象上只有一个“二倍点”的是_____（填序号）； ①；②；③ (2)已知二次函数（m，n均为常数）的图象与直线只有一个交点，且该交点是“二倍点”． ①求二次函数的表达式． ②是否存在一个常数t，使得当时，二次函数的最小值恰好等于？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 24．【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），则关于的函数解析式为：（）；设水池2的边的长为（）（），面积为（），则关于的函数解析式为：（），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 (1)水池2面积的最大值是 ；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ； (2)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)假设水池的边的长度为（），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（）关于（）（）的函数解析式为：（）．若水池3与水池2的面积相等时，（）有唯一值，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A D D C D C B C 1．B 判断二次函数需满足解析式化简后自变量最高次数为2，且二次项系数不为0． 解：A选项，自变量最高次数为1，不是二次函数； B选项，中二次项系数为3不为0，自变量最高次数为2，是二次函数； C选项，化简得，自变量最高次数为1，不是二次函数； D选项，未说明，当时不是二次函数． 2．D 本题考查二次函数的图象与系数a的关系，二次函数的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．根据二次函数开口大小和方向与a的关系，分析得出答案． 解：依题意，开口向下，和开口向上，且开口较小，开口较大， 故选：D． 3．A 根据二次函数的性质，当时，y随x的增大而增大，抛物线开口向上，即可得解． 解：二次函数的对称轴为直线， 又当时，随的增大而增大, 抛物线开口向上，即， 解得． 4．D 根据抛物线与x轴没有交点，得出，求出的取值范围即可得出结论． ∵抛物线与x轴没有交点， ∴． ∴． ∴c的值可以是8． 故选D． 5．D 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象平移的规律．熟练掌握上述知识是解题关键． 根据二次函数的解析式可判断该二次函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，从而可判断A和B、C．再根据二次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”即可判断D． ∵二次函数的解析式为：， ∴， ∴该二次函数图象开口向上，故A错误，不符合题意； 由解析式可知该二次函数对称轴为直线，故B错误，不符合题意； 由解析式可知该二次函数顶点坐标为，故C错误，不符合题意； 将函数图象向右平移一个单位得到的新函数的解析式为，故D正确，符合题意； 故选D． 6．C 应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可． 解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：C． 本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解得含义是解题关键． 7．D 根据题意得到，代入解析式求解即可． 解：由题意得， ， 解得：，， 又， ，， ， 即点到点的距离是． 8．C 先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 解：A．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，则，故本选项错误； B．由抛物线不过原点，故本选项错误； C．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，则，故本选项正确； D．由抛物线可知，，，由直线可知，，故本选项错误． 故选：C． 本题考查了抛物线的图象与性质和一次函数的图象与性质的知识点，熟练掌握抛物线的图象与性质和一次函数的图象与性质是解题的关键． 9．B 本题考查二次函数图象与系数的关系，根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再由抛物线的对称轴是直线以及时函数值小于0，便可解决问题． 解：由图象可知， ， 所以．故A错误； 当时，函数值小于0， 即， 所以，故B正确． 又抛物线的对称轴是直线， 则，即， 又， 所以，故C错误； 由图象可知， 当时，函数有最大值为， 则当时，函数值为， 所以有， 即．故D错误． 故选：B． 10．C 根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为直线x=-1，由题意推出二次项系数大于0，可找出函数的单调区间，再结合A、B点坐标的特点即可得出关于n的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 解：二次函数y=ax2+2ax+3a的对称轴为直线x=-=-1， ∵点A（n，y1），B（1-n，y2），C（-1，y3）在二次函数y=ax2+2ax+3a的图象上，且y1＞y2＞y3， ∴a＞0，1-n≠-1， ∴二次函数图象在x＜-1上单调递减，在x≥-1上单调递增． ∵点A（n，y1），B（1-n，y2）都在二次函数y=ax2+2ax+3a（a＞0）的图象上，且y1＞y2， ∴|-1-n|＞|-1-1+n|， 解得：n＞且n≠2． 故选：C． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质结合二次函数的对称轴找出关于点的横坐标的不等式是关键． 11． 本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），其对称轴为直线． 根据二次函数的对称轴公式求解． 解：在中，，， ∴对称轴为直线． 故答案为：． 12． 本题考查了把化成顶点式，抛物线与x轴的交点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据函数的顶点在x轴上，得出方程只有一个实数根，从而可得到关于b的方程求解． 解：∵二次函数的顶点在x轴上， ∴方程只有一个实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 13． 本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次项系数与图象的关系是解题的关键．直接利用二次函数的图象开口大小与的关系即可得出答案． 解：观察图象可知，开口向上，故， 和开口向下，且的开口大小小于，故， ． 故答案为：． 14． 本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而得出该二次函数与轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 解：由图象可得，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴该二次函数与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解， 故答案为：． 15． 先将原抛物线配方化为顶点式，确定原抛物线的顶点坐标，根据关于原点对称的点的坐标特征得到旋转后抛物线的顶点坐标，结合旋转后二次项系数变为原系数的相反数，利用顶点式写出旋转后抛物线的解析式，整理为一般式即可． 解：对原抛物线配方得， 可得原抛物线的顶点坐标为， 抛物线绕原点旋转后，顶点关于原点中心对称，开口方向相反，二次项系数变为原系数的相反数， 根据关于原点对称的点的坐标特征，可得旋转后抛物线的顶点坐标为，二次项系数为， 因此旋转后抛物线的顶点式为， 整理为一般式． 16．2或 本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需结合对称轴位置与的关系分类讨论． 函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，最大值在顶点处，则， 解得或（舍去）， ； 当时，在时，随的增大而减小， 最大值在处取得，即， 解得，且，符合条件； 当时，在时，随的增大而增大， 最大值在处取得，即， 解得，但，不符合，故舍去； 因此的值为或． 17．(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)当时，随的增大而增大 本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用配方法化为顶点式，再根据二次函数的性质进行解答即可； （2）根据对称轴的开口方向朝下，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，在对称轴的右侧，y随x增大而减小进行解答即可． （1）解：， 该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：， 抛物线的开口向下， 当时，随的增大而增大． 18．(1) (2)在这条抛物线的图象上 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，这是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）计算时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断是否在这条抛物线的图象上． （1）解：∵顶点坐标是 ∴可设解析式为 把点代入得， ∴ ∴ （2）解：当时，， ∴点在这条抛物线的图象上． 19．(1) (2)每千克应涨价元该商场每天盈利最多，最多是6125元 （1）设每次下降的百分率为a，根据两次连续降价后，售价由每千克50元变为每千克32元，列出方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，每天盈利为W元，则每天销售千克，再根据利润每千克利润销售量列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． （1）解：设每次下降的百分率为a， 根据题意，得：， 解得：（舍）或， ∴每次下降的百分率为； （2）解：设每千克应涨价x元，每天盈利为W元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W最大，最大为， ∴每千克应涨价元该商场每天盈利最多，最多是6125元 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程和函数关系式是解题的关键． 20．(1) (2)乒乓球发球器此次发出的球无效， 由题意可知点A的横坐标为1.4， 当时，， ， 乒乓球越过了球网． 令，则， 解得（舍去），． ， 乒乓球没有落在球台上． 综上可得乒乓球发球器此次发出的球无效． （1）由乒乓球到的距离为时，乒乓球离球台的最大高度是，设抛物线的函数表达式为，由发球点的高度为，得点C的坐标为，代入解方程求出a值即可． （2）先求得时的y值，可判断是不是越过球网；再求得时的x值，可判断是否落在球台上，进而可判断是否有效． （1）解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，点C的坐标为． 设抛物线的函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， 乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式为（或）． （2）略． 21．[建立模型]；[运用模型]张 本题考查了二次函数的应用． [建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答． [运用模型]在[建立模型]的基础上，令，解出的值，根据宽度建立不等式，即可作答． 解：[建立模型] 以的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示： ∵款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度 ∴ 设抛物线函数关系式为 ∵抛物线经过点 ∴ 解得 即； [运用模型]∵，且椅子高度，宽度 ∴ 解得 则的距离为2； ∵椅子数量为正整数 ∴最多可摆放的椅子数量为张． 22．(1)y=-x2+4x (2) (3)存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0） （1）设y=ax（x-4），把A点坐标代入即可求出答案； （2）根据点的坐标求出PC=-m2+3m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值； （3）当0<m<3时，仅有OC=PC，列出方程，求出方程的解即可；当m≥3时，PC=CD-PD=m2-3m，，分为三种情况：当OC=PC时，当OC=OP时，当PC=OP时，即可得到答案． （1）解∶∵二次函数的图像经过点和原点O． ∴可设二次函数的解析式为y=ax（x-4）， 把点A（3，3）代入，得：3=3a（3-4）， 解得：a=-1， ∴二次函数的解析式为y=- x（x-4）=-x2+4x； （2）解：根据题意得：0<m<3，PC=PD-CD， 设直线OA的解析式为， 把点A（3，3）代入，得：3=3k， 解得：k=1， ∴直线OA的解析式为y=x， ∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y=-x2+4x上，C在直线OA上， ∴P（m，-m2+4m），C（m，m）， ∴PD=-m2+4m，CD= m， ∴PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2+3m ， ∴当时，线段PC最大，最大；值为； （3）解：存在，理由如下： ∵C（m，m），P（m，-m2+4m）， ∴OD=m，CD=m，PD=-m2+4m， ，， 当0<m<3时，仅有OC=PC， 由（2）得：PC= PD-CD=-m2+3m， ∴，解得：或0（舍去）， ∴此时； 当m≥3时，点C在点P的上方，此时PC=CD-PD=m2-3m， 当OC=PC时，， 解得：或0（舍去）， ∴此时点； 当OC=OP时，有OC2=OP2， ∴， 解得：m=5或3（舍去）或0（舍去）， ∴此时点P（5，-5）， 当PC=OP时， ， 解得：m=4或0（舍去）， ∴此时点P（4，0）； 综上所述，存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0）． 本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，用的数学思想是分类讨论思想，此题是一个综合性比较强的题目，（3）小题有一定的难度． 23．(1)①； (2)①；②存在，t的值为或． （1）根据“二倍点”的定义逐项判断即可； （2）①根据题意得出方程有两个相等的实数根，即，进而得出，根据“二倍点”的定义得出“二倍点”的坐标为．代入得出，进而求得的值，代入解析式，即可求解； ②先化为顶点式，，分类讨论，①当，②当，③当时，根据二次函数的性质求得最小值，根据题意列出方程，即可求得的值． （1）解：①联立， 解得：， 一次函数的图象上的“二倍点”为，故①符合题意； ②联立， 即， 解得：，， 故②不合题意； ③联立，无解 ③不符合题意； 综上所述，只有一个“二倍点”的是① （2）①抛物线与直线只有一个交点， 方程有两个相等的实数根，即． ． ． 联立与，得，． “二倍点”的坐标为． 将代入，得． ． ， 解得． ． 二次函数的表达式为． ②存在，t的值为或． ． ①当，即时，在处y有最小值， ， 即， 解得（舍去），． ②当，即时，y的最小值为， 令，得（舍去）． ③当时，在处y有最小值， ， 解得，（舍去）． 综上所述，t的值为或． 24．(1)；或 (2)两个水池面积差的最大值为，此时 (3) （1）将二次函数化为顶点式可得水池2面积的最大值；利用因式分解法解一元二次方程求出两函数图像的交点C、E的横坐标，再结合图像法求解即可得到的取值范围； （2）结合（1）的结论得出当时，两个水池面积差的最大值为的最大值，将的解析式化为顶点式求解即可； （3）根据面积相等结合题意列出一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可． （1）解：（）， 的顶点坐标为， ， 的图像开口向下， 当时，水池2面积最大，为； 当（）时，（）， 化简得（）， 因式分解得（）， 解得或， 由图像知，当或时，， 即当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或； （2）解：由（1）得，当时，， 当时，两个水池面积差的最大值为的最大值， （），， 当时，取最大值，为， 两个水池面积差的最大值为，此时； （3）解：当水池3与水池2的面积相等时，， 整理得， （）有唯一值， ，解得． 学科网（北京）股份有限公司 $