第六章 概率的进一步认识 单元检测 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版（2024）九年级上册 第六章 概率的进一步认识 单元检测 一、选择题 1．儿童游乐园的“欢乐海洋球池”内共有30万个形状、大小相同的各种颜色塑料小球．某同学为了估计其中红球的个数，从中随机摸出一部分小球，统计出红球的频率为0.15，据此可以估计该球池内红球大约有(　　) A．0.15万个 B．1.5万个 C．4.5万个 D．0.55万个 2．韩梅将水浒人物宋江和李逵的画像及其绰号制成4张无差别卡片(除图案和文字不同外，其他完全相同)，将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的卡片人物画像与绰号完全对应的概率是(　　) A． B． C． D． 3．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如表，根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是 （      ）  A．0.400 B．0.410 C．0.413 D．0.423 4．某综合实践活动小组做抛掷质地均匀的纪念币试验获得的数据如表： 抛掷次数/次 100 200 300 500 1000 正面朝上的频数 58 94 152 251 497 若抛掷纪念币的次数为2000，则“正面朝上”的频数最接近（　　） A．497 B．502 C．800 D．1002 5．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为(　　) A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 6．做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如表所示， 下面3个推断： ①当投掷次数是1 000时，“正面向上”的频率是0.620，所以“正面向上”的概率是0.620； ②随着投掷次数的增加，“正面向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.618； ③当抛掷次数为10 000时，估计出现“正面向上”的次数约为6 180． 其中合理的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．② 7．如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为 A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②① 8．如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如表所示的数据. 根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为(　　) A．0.46 B．0.50 C．0.55 D．0.61 9．如果一个自然数正着读和倒着读都一样，如121，32123等，则称该数为“回文数”．从1，1，2，2这四个数字中随机选取三个数字组成一个三位数，恰好是“回文数”的概率是(　　) A． B． C． D． 10．甲口袋中装有2个相同的小球，它们上面分别写有“北京”和“青海”；乙口袋中装有3个相同的小球，它们上面分别写有“重庆”“湖北”和“辽宁”；丙口袋中装有2个相同的小球，它们上面分别写有“香港”和“上海”．从三个口袋中各随机取出1个小球，则3个小球上所标省级行政区中恰好都是长江流经的省级行政区的概率是(参考资料：长江流经青海、四川、云南、湖北、安徽、上海等省级行政区)(　　) A． B． C． D． 11．甲口袋中装有2张卡片，它们分别写有汉字“数”“学”；乙、丙口袋中各装有3张卡片，它们分别写有汉字“数”“学”“美”．从这三个口袋中各随机取出1张卡片，取出的3张卡片恰好有“数”“学”“美”三个字的概率是(　　) A． B． C． D． 12．假期同学们去张大爷的鲢鱼塘参观，小刚同学问张大爷“您的鱼塘里大约有多少尾鲢鱼啊？”张大爷笑着说：“前一段时间我往鱼塘放入150尾鲤鱼，后来我打捞几次发现，每次打捞的鱼中鲤鱼的频率稳定在0.02左右，你自己算算鱼塘原来有多少尾鲢鱼吧”，聪明的你帮小刚算一算张大爷的鱼塘大约有 A．7 350尾鲢鱼 B．7 500尾鲢鱼 C．7 650尾鲢鱼 D．7 800尾鲢鱼 二、填空题 13．在一个不透明的盒子中装有许多球，它们除颜色不同外，其余均相同．已知有8个白球，若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，盒中共有球__________个． 14．将三个小球分别标上C，O，H三种化学元素符号(除标记符号外，其余均相同)，放入一个不透明的袋中，摇匀后从中任意摸出2个小球，能够组成CO(一氧化碳)的概率是 　　． 15．一个不透明的袋子里有10个红球和若干个同样大小的白球，从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球100次，其中20次摸到红球，请估计袋中大约有白球__________个． 16．在实践课上第一小组同学在一张面积为24 cm2的长方形卡纸上绘制了一个不规则图案，他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果).他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为__________. 17．一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有__________个绿球． 三、解答题 18．(课本P83复习题T14)现有足够多除颜色外均相同的球，请你从中选 12个球设计摸球游戏。 (1)使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等; (2)使摸到红球、白球、黑球的概率都相等; (3)使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都小于摸到黑球的概率。 19．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.表格是活动进行中的一组统计数据： (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　　　； (2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是　　　　　，摸到黑球的概率是　　　　； (3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？ (4)解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了.这个问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可以借助其他工具及用品）？请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法. 20．一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下： 试验次数 摸到红球次数 摸到红球频率 200 151 0.76 300 221 0.74 400 289 0.72 500 358 0.72 600 429 0.72 700 497 0.71 800 571 1000 702 (1)表格中_____，_____；(精确到0.01) (2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率为_____.(精确到0.1) 21．下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 1000 1500 2000 3000 4000 发芽的种子粒数m 946 1425 1898 2853 3812 发芽频率 0.946 x 0.949 y 0.953 （1）表中x＝　 　，y＝　 　； （2）任取一粒这种植物的种子，它能发芽的概率的估计值是 　 　（精确到0.01）； （3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600株，试估算该小组需要准备多少粒种子进行发芽培育． 22．实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵.为了解该植物开出红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究.试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据. 数据记录 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 39 1 71 63 86 开其他颜色花的植株数量 61 9 101 93 129 出现红花的频率 0.39 a 0.41 0.40 b (1)表中a=　　　，b=　　　； (2)经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率.在上述五个小组的数据中，你认为第　　　　组的数据不适合用频率估计概率，理由是　　　　　　　　　　.你认为一株该植物开出红花的概率是　　　(结果精确到0.1)； (3)某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开红花的该植株有514棵，请你估计该公园此植物植株的总数量. 北师大版（2024）九年级上册 第六章 概率的进一步认识 单元检测（参考答案） 一、选择题 1．儿童游乐园的“欢乐海洋球池”内共有30万个形状、大小相同的各种颜色塑料小球．某同学为了估计其中红球的个数，从中随机摸出一部分小球，统计出红球的频率为0.15，据此可以估计该球池内红球大约有(　　) A．0.15万个 B．1.5万个 C．4.5万个 D．0.55万个 【答案】C 【解析】估计该球池内红球大约有30×0.15＝4.5(万个)． 2．韩梅将水浒人物宋江和李逵的画像及其绰号制成4张无差别卡片(除图案和文字不同外，其他完全相同)，将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的卡片人物画像与绰号完全对应的概率是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设宋江、李逵、及时雨、黑旋风分别用A，B，C，D表示， 树状图如图所示， 由图可得，一共有12种等可能性，其中抽取的卡片人物画像与绰号完全对应的可能性有4种， ∴抽取的卡片人物画像与绰号完全对应的概率为＝. 3．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如表，根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是 （      ）  A．0.400 B．0.410 C．0.413 D．0.423 【答案】B 【解析】近视学生数与n的比值逐渐趋向于0.410. 4．某综合实践活动小组做抛掷质地均匀的纪念币试验获得的数据如表： 抛掷次数/次 100 200 300 500 1000 正面朝上的频数 58 94 152 251 497 若抛掷纪念币的次数为2000，则“正面朝上”的频数最接近（　　） A．497 B．502 C．800 D．1002 【答案】D 【解析】解：因为正面朝上的频率接近于0.5， 所以若抛掷硬币的次数为2000，“正面朝上”的频数最接近1000． 故选：D． 5．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为(　　) A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80 【答案】B 【解析】这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90． 6．做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如表所示， 下面3个推断： ①当投掷次数是1 000时，“正面向上”的频率是0.620，所以“正面向上”的概率是0.620； ②随着投掷次数的增加，“正面向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.618； ③当抛掷次数为10 000时，估计出现“正面向上”的次数约为6 180． 其中合理的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．② 【答案】C 【解析】①当投掷次数是1 000时，“正面向上”的频率是0.620，所以“正面向上”的概率约为0.620，此推断错误； ②随着投掷次数的增加，“正面向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.618，此推断正确； ③当抛掷次数为10 000时，估计出现“正面向上”的次数约为6 180，此推断正确． 7．如图的四个转盘中，转盘3，4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落在阴影区域内可能性从大到小排列为 A．①②④③ B．③②④① C．③④②① D．④③②① 【答案】A 【解析】转盘1阴影部分为270°，转盘2阴影部分为240°，转盘3每份为45°，阴影部分共4份为180°，转盘4每份为45°阴影部分共5份为225°，所以①>②>④>③. 8．如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如表所示的数据. 根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为(　　) A．0.46 B．0.50 C．0.55 D．0.61 【答案】B 【解析】当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在0.50附近， 则估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为0.50． 9．如果一个自然数正着读和倒着读都一样，如121，32123等，则称该数为“回文数”．从1，1，2，2这四个数字中随机选取三个数字组成一个三位数，恰好是“回文数”的概率是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画树状图如图所示， 用从1，1，2，2这四个数字中随机选取三个数字组成一个三位数出现的等可能结果有 112，112，121，122，121，122，112，112，121，122，121，122，211，212，211，212，221，221，211，212，211，212，221，221， 其中恰好是“回文数”的有121，121，121，121，212，212，212，212， 所以恰好是“回文数”的概率为＝. 10．甲口袋中装有2个相同的小球，它们上面分别写有“北京”和“青海”；乙口袋中装有3个相同的小球，它们上面分别写有“重庆”“湖北”和“辽宁”；丙口袋中装有2个相同的小球，它们上面分别写有“香港”和“上海”．从三个口袋中各随机取出1个小球，则3个小球上所标省级行政区中恰好都是长江流经的省级行政区的概率是(参考资料：长江流经青海、四川、云南、湖北、安徽、上海等省级行政区)(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由树状图表示所有等可能出现的结果如图， 共有12种等可能出现的结果，其中三个小球上所标省级行政区中恰好都是长江流经的省级行政区的有1种， 所以三个小球上所标省级行政区中恰好都是长江流经的省级行政区的概率为． 11．甲口袋中装有2张卡片，它们分别写有汉字“数”“学”；乙、丙口袋中各装有3张卡片，它们分别写有汉字“数”“学”“美”．从这三个口袋中各随机取出1张卡片，取出的3张卡片恰好有“数”“学”“美”三个字的概率是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】画树状图如图， 共有18种等可能的结果，其中取出的3张卡片恰好有“数”“学”“美”三个字的结果有(数，学，美)，(数，美，学)，(学，数，美)，(学，美，数)，共4种， ∴取出的3张卡片恰好有“数”“学”“美”三个字的概率为＝． 12．假期同学们去张大爷的鲢鱼塘参观，小刚同学问张大爷“您的鱼塘里大约有多少尾鲢鱼啊？”张大爷笑着说：“前一段时间我往鱼塘放入150尾鲤鱼，后来我打捞几次发现，每次打捞的鱼中鲤鱼的频率稳定在0.02左右，你自己算算鱼塘原来有多少尾鲢鱼吧”，聪明的你帮小刚算一算张大爷的鱼塘大约有 A．7 350尾鲢鱼 B．7 500尾鲢鱼 C．7 650尾鲢鱼 D．7 800尾鲢鱼 【答案】A 【解析】设张大爷的鱼塘大约有x尾鲢鱼， 根据题意得0.02(x+150)=150. 解得x=7 350， 经检验x=7 350是方程的解， 即张大爷的鱼塘大约有7 350尾鲢鱼. 二、填空题 13．在一个不透明的盒子中装有许多球，它们除颜色不同外，其余均相同．已知有8个白球，若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，盒中共有球__________个． 【答案】12 【解析】解：设盒中共有球x个，根据题意得： 解得：． ∴盒中共有球个． 故答案为：． 14．将三个小球分别标上C，O，H三种化学元素符号(除标记符号外，其余均相同)，放入一个不透明的袋中，摇匀后从中任意摸出2个小球，能够组成CO(一氧化碳)的概率是 　　． 【答案】 【解析】列表如下： 共有6种等可能的结果，其中能够组成CO(一氧化碳)的结果有2种， ∴能够组成CO(一氧化碳)的概率为＝． 15．一个不透明的袋子里有10个红球和若干个同样大小的白球，从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸球100次，其中20次摸到红球，请估计袋中大约有白球__________个． 【答案】40 【解析】解：设袋中白球有x个，根据题意，得： (x+10)=x， 解得：， 即估计袋中大约有白球40个． 故答案为：40． 16．在实践课上第一小组同学在一张面积为24 cm2的长方形卡纸上绘制了一个不规则图案，他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果).他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为__________. 【答案】 【解析】由题意知小球落在不规则图案上的概率大约是0.65，不规则图案的面积大约占整体面积的0.65， 所以不规则图案的面积大约为0.65×24=15.6(cm2). 17．一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有__________个绿球． 【答案】3 【解析】解：设袋子中绿球有个， ∵摸到绿球的概率是， ∴球的总数为个， ∴白球的数量为个， ∵每种球的个数为正整数， ∴，且x为正整数， ∴，且x为正整数， ∴x的最小值为1， ∴绿球的个数的最小值为3， ∴袋子中至少有3个绿球， 故答案为：3． 三、解答题 18．(课本P83复习题T14)现有足够多除颜色外均相同的球，请你从中选 12个球设计摸球游戏。 (1)使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等; (2)使摸到红球、白球、黑球的概率都相等; (3)使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都小于摸到黑球的概率。 【答案】解:本题的方案有多种，例如: (1)12个球中有6个红球、6个白球。 (2)12个球中有4个红球、4个白球、4个黑球。 (3)12个球中有3个红球、3个白球、6个黑球。 19．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.表格是活动进行中的一组统计数据： (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　　　； (2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是　　　　　，摸到黑球的概率是　　　　； (3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？ (4)解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了.这个问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可以借助其他工具及用品）？请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法. 【答案】解　(1)当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60. (2)摸到白球的概率是0.60，摸到黑球的概率是1-0.60=0.40. (3)估计白球有20×0.60=12（个），估计黑球有20-12=8（个）. (4)把a个黑球装入口袋中，将黑球、白球混合搅匀，做摸球试验，随机摸出一个球记下颜色，再放回口袋中，不断重复，可得到摸到黑球的频率P，以此来估计摸到黑球的概率.由于黑球有a个，则设白球的数量为b，得=P，解得b=. 20．一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下： 试验次数 摸到红球次数 摸到红球频率 200 151 0.76 300 221 0.74 400 289 0.72 500 358 0.72 600 429 0.72 700 497 0.71 800 571 1000 702 (1)表格中_____，_____；(精确到0.01) (2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率为_____.(精确到0.1) 【答案】解：(1)， .故答案为0.71，0.70. (2)观察发现随着试验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定在常数0.7附近，所以从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为0.7.故答案为0.7. 21．下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 1000 1500 2000 3000 4000 发芽的种子粒数m 946 1425 1898 2853 3812 发芽频率 0.946 x 0.949 y 0.953 （1）表中x＝　 　，y＝　 　； （2）任取一粒这种植物的种子，它能发芽的概率的估计值是 　 　（精确到0.01）； （3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600株，试估算该小组需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【答案】解：（1）x0.950；y0.951； 故答案为：0.950，0.951 （2）概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率； ∴能发芽的概率的估计值是0.95． 故答案为：0.95； （3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600株，需要准备8000（粒）种子进行发芽培育． 22．实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵.为了解该植物开出红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究.试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据. 数据记录 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 39 1 71 63 86 开其他颜色花的植株数量 61 9 101 93 129 出现红花的频率 0.39 a 0.41 0.40 b (1)表中a=　　　，b=　　　； (2)经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率.在上述五个小组的数据中，你认为第　　　　组的数据不适合用频率估计概率，理由是　　　　　　　　　　.你认为一株该植物开出红花的概率是　　　(结果精确到0.1)； (3)某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开红花的该植株有514棵，请你估计该公园此植物植株的总数量. 【答案】解　(1)a==0.10，b==0.40. (2)第二组的数据不适合用频率估计概率，理由是试验的植株数太少；除第二组外，其余各组的频率在0.40附近摆动，且试验的植株数比较多，可以认为一株该植物开出红花的概率为0.4. (3)514÷0.4=1 285(棵)，故估计该公园此植物植株的总数量为1 285棵. 学科网（北京）股份有限公司 $