精品解析：江苏省南通市某校2026-2027学年高二上学期第一次学业水平抽样检测创新班数学试题

高二年级第一次学业水平抽样检测 创新班数学试题 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ） A. B. 或 C. D. 与相交但不垂直 3. 如图所示，已知正四棱锥，，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A. B. C. 9 D. 4 5. 下列选项中，不正确的命题是（ ） A. 若两条不同直线，的方向向量为，，则 B. 若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心 C. 若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 D. 若空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使 6. 如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为底面内的一动点，若，则动点的轨迹在（ ） A. 圆上 B. 双曲线上 C. 抛物线上 D. 椭圆上 7. 已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ） A. 52π B. 39π C. 26π D. 13π 8. 在棱长为8的正方体中，E是棱上的一个动点，F为线段上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在平行六面体中，， ，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 向量共面 C. D. 若，则该平行六面体的高为 10. 如图，在底面为直角梯形的直四棱柱中，，，动点满足,），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点到直线AC的距离为 B. 当时，直线AP与平面所成角的正弦值是 C. 若，则点在平面内 D. 若，则点在平面内 11. 如图，已知二面角的棱上有两点，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当二面角的大小为时，直线与所成角为 B. 当二面角的大小为时，直线与平面所成角的正弦值为 C. 若，则二面角的余弦值为 D. 若，则四面体外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 13. 已知点，与向量不共线的向量在上的投影向量为，请你给出的一个坐标为__________． 14. 如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知以为圆心，为半径的圆在平面上，若，且，、为圆的半径，且，为线段的中点．求： （1）异面直线，所成角的余弦值； （2）点到平面的距离； （3）异面直线，的距离． （以上问题用向量法求解，综合法一律不得分） 16. 如图，在三棱锥中，底面，，，分别为棱，的中点，在线段上，且，，． （1）求点N到直线的距离； （2）点D在线段上运动（包括端点），是否存在一点D，使平面？若存在，求出线段的值；若不存在，请说明理由．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分） 17. 如图，在中，，.将绕边旋转到的位置，使，点为中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，是线段的中点，设平面与平面的交线为. （1）证明：平面BCM； （2）已知，为上的点，且与平面所成角的正弦值为. ①求线段PQ的长； ②若，求二面角的正弦值. 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． （1）证明：平面平面； （2）设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； （3）求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级第一次学业水平抽样检测 创新班数学试题 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 2. 设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ） A. B. 或 C. D. 与相交但不垂直 【答案】B 【解析】 【分析】通过计算直线的方向向量与平面的法向量的数量积，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以， 所以或. 3. 如图所示，已知正四棱锥，，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以 4. 已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A. B. C. 9 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 5. 下列选项中，不正确的命题是（ ） A. 若两条不同直线，的方向向量为，，则 B. 若是空间向量的一组基底，且，则点在平面内，且为的重心 C. 若是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 D. 若空间向量，，共面，则存在不全为0的实数，，使 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据直线方向向量的定义分析判断，对于B，由三角形重心的定义判断，对于C，由空间向量的基底的定义分析判断，对于D，由共面向量定理判断. 【详解】对于A，由于两条不同直线，的方向向量为，，当时，，当时，，所以A正确， 对于B，因为，所以， 所以， 所以，所以， 设为的中点，所以，所以， 所以点在平面内，且为的重心，所以B正确， 对于C，因为，所以共面， 所以不是空间向量的一组基底，所以C错误， 对于D，由空间向量共面定理可知空间向量，，共面， 则存在不全为0的实数，，使，所以D正确， 故选：C. 6. 如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为底面内的一动点，若，则动点的轨迹在（ ） A. 圆上 B. 双曲线上 C. 抛物线上 D. 椭圆上 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到两两垂直，以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，设，由题意，得到，，再由得到，求出点的轨迹，即可得出结果. 【详解】由题意，两两垂直，以点为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为底面是边长为的正方形， 则，，因为为底面内的一动点，所以可设， 因此，， 因为平面，所以，因此， 所以由得， 即，整理得：，表示圆， 因此，动点的轨迹在圆上. 故选：A. 【点睛】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型. 7. 已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ） A. 52π B. 39π C. 26π D. 13π 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据题设中的条件求出外接球球心的坐标，求出半径即可得表面积. 【详解】令是三棱锥P-ABC外接球的球心，是在平面上的射影.，分别为的中点，则∥. ∵，∴. ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面 ∵是等边三角形，∴，是的重心. 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. ∵，，则， ∴，. 设，由,得， 化简得解得. ∴三棱锥外接球的表面积为. 故选：A. 8. 在棱长为8的正方体中，E是棱上的一个动点，F为线段上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】建系，设，根据两点间距离公式分析求解． 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，    可得， 设， 则，即， 可得， 当，即时，取到最小值． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在平行六面体中，， ，点分别是棱的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 向量共面 C. D. 若，则该平行六面体的高为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，利用基底法求证判断A；利用基底表示可判断B；利用基底表示即可判断C；设平面的法向量为，求出在上的投影向量的长度即可判断D. 【详解】设，， 则， 因为点分别是棱的中点， 所以，， 则， 则，故A正确； ， 则向量不共面，故B错误； ，故C正确； 设平面的法向量为， 则， 令，则，则， 则， 则在上的投影向量的长度为， 则该平行六面体的高为，故D正确. 10. 如图，在底面为直角梯形的直四棱柱中，，，动点满足,），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点到直线AC的距离为 B. 当时，直线AP与平面所成角的正弦值是 C. 若，则点在平面内 D. 若，则点在平面内 【答案】BCD 【解析】 【分析】以A为原点，AD，AB，AA1所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量求得点到直线AC的距离判断A；利用向量求出直线AP与平面所成角的正弦值判断B；根据空间向量共面定理判断C、D. 【详解】对于A：如图，以A为原点，AD，AB，AA1所在直线分别为轴建系， 则，，，，， 所以， 则， 故，故A错误； 对于B：根据A选项可知. 又， 设平面的一个法向量为， 则，所以，令，则，所以. 设直线与平面的夹角为，则，故B正确； 对于C：当时，，由共面向量定理知，共面， 所以点在面内，故C正确； 对于D： ， 所以，共面， 所以点在面内.故D正确. 故选：BCD． 11. 如图，已知二面角的棱上有两点，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当二面角的大小为时，直线与所成角为 B. 当二面角的大小为时，直线与平面所成角的正弦值为 C. 若，则二面角的余弦值为 D. 若，则四面体外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】过作，且，连接，，即可得到即为直线与所成角，为二面角的平面角，由，即可求出、，即可判断A，取的中点，连接，，即可得到平面，从而得到即为直线与平面所成角，即可判断B，由A、B中，取的中点，连接，，即可得到即为二面角的平面角，即可判断C，四面体的外接球即为四棱锥的外接球，求出外接球的半径，即可判断D. 【详解】对于A、B，如图，过作，且，连接，， 由，，，所以，则为正方形， 则，即为直线与所成角，为二面角的平面角， 当时，易得， 又，，，平面，所以平面， 即面，面，所以，所以为等腰直角三角形， 故，即直线与所成角为，故A正确； 取的中点，连接，，因为为等边三角形，所以， 又面，面，所以， ，平面，所以平面， 所以即为直线与平面所成角，因为，， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为，故B正确； 对于C，过作，且，连接，， 由，，，所以，则为正方形，则， 又，，，平面，所以平面， 所以平面，为二面角的平面角， 若，则，所以，即为等边三角形， 所以，即二面角的大小为， 取的中点，连接，，则，所以， 由三垂线法可知即为二面角的平面角，又，所以， 所以，所以二面角的余弦值为，故C错误； 对于D，四面体的外接球即为四棱锥的外接球， 又平面，平面，所以平面平面， 所以将四棱锥补全为直三棱柱， 则四棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球， 设外接圆的半径为，则， 设四棱锥的外接球的半径为，则， 所以四棱锥的外接球的表面积， 故四面体外接球的表面积为，故D正确． 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：涉及二面角问题关键是找到二面角的平面角，常用定义法和三垂线法. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，且的夹角为钝角， 所以且与不共线， 由，则解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数λ的取值范围为． 13. 已知点，与向量不共线的向量在上的投影向量为，请你给出的一个坐标为__________． 【答案】（答案不唯一，且不全相等均可）． 【解析】 【分析】依据投影向量定义，表示出向量在上的投影向量，根据投影向量为得到即可． 【详解】由点，可得， 又向量在上的投影向量为， ， 则，即， 又向量与向量不共线，则不成立， 则可令，即， 故答案为：．（答案不唯一，且不全相等均可）． 14. 如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设平面与直线的交点为，由题意可得点在线段的延长线上，进而根据面面平行、线面平行的性质得到，，可得四边形为平行四边形，进而结合空间向量的线性运算可得，进而求解即可. 【详解】设平面与直线的交点为， 由于平面截所得截面是一个五边形， 则点在线段的延长线上， 在平行六面体中，平面平面， 因为平面，所以平面， 又平面，平面平面，则，同理可得， 所以四边形为平行四边形， 则， ， 由于点在线段的延长线上，则，即， 又点F在棱上，则，且时，点F与点重合，此时截面为四边形，不满足题意， 因此，则的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知以为圆心，为半径的圆在平面上，若，且，、为圆的半径，且，为线段的中点．求： （1）异面直线，所成角的余弦值； （2）点到平面的距离； （3）异面直线，的距离． （以上问题用向量法求解，综合法一律不得分） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据题意，建立空间直角坐标系，找到直线，的方向向量，代入向量的夹角公式，计算得答案； (2)利用向量法可求点到平面的距离； (3)把异面直线，的距离．转化为直线与平面的距离，求出平面的法向量，利用空间向量点到平面的距离公式，计算求解. 【小问1详解】 由且，以为原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 由题意，因为为线段的中点，所以， 所以， ， 所以异面直线,所成角的余弦值为； 【小问2详解】 由（1）可得， 设平面的法向量为，则， 故，取，而， 故点到平面的距离. 【小问3详解】 如上图所示，作交于点， 因为平面，平面，所以平面， 因此异面直线，的距离就是直线与平面的距离， 也即是点到平面的距离， 因为为线段的中点．所以，. 设平面的法向量为， 则，令，则可得， 所以点到平面的距离， 即异面直线，的距离为． 16. 如图，在三棱锥中，底面，，，分别为棱，的中点，在线段上，且，，． （1）求点N到直线的距离； （2）点D在线段上运动（包括端点），是否存在一点D，使平面？若存在，求出线段的值；若不存在，请说明理由．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分） 【答案】（1） （2）结合（1）的空间直角坐标系，有，则，， 设，，则，平面的法向量为， 所以，令，得到， 又平面，即， 所以，解得， 所以． 【解析】 【分析】（1）先根据题意建立空间直角坐标系，得到所需各点的坐标，从而得到，，进而结合投影向量即可求出点到直线的距离； （2）结合（1）的空间直角坐标系，设，，从而求出平面的法向量为，再根据题意得到，即可求出的值，进而即可得到结论． 【小问1详解】 由底面，，且底面，则，，两两垂直， 所以以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由，，，且，分别为棱，的中点， 则，，， 所以，， 所以在上的投影向量的模长为， 所以点到直线的距离为． 【小问2详解】 略 17. 如图，在中，，.将绕边旋转到的位置，使，点为中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）由题意知：，，平面， ∴平面， 又∵平面，所以． 又点C为的中点，所以， 又，平面， 所以平面， 又∵平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）先证得平面，可得，再证平面，即可得； （2）建立空间直角坐标系，利用坐标运算求出平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，可得，利用空间向量坐标计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（１）知平面， 以O为原点，，的方向分别作为x， z轴， 底面内与垂直的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，又， 则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则． 18. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，是线段的中点，设平面与平面的交线为. （1）证明：平面BCM； （2）已知，为上的点，且与平面所成角的正弦值为. ①求线段PQ的长； ②若，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①2或；② 【解析】 【分析】（1）先证平面，得，，再由线面平行的判定定理证明结论. （2）①建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，由线面角的空间向量法求得值即得；②分别求出平面和平面的一个法向量，由面面角的空间向量法求解. 【小问1详解】 在正方形中，， 因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，平面平面，所以，. 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 ①以DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以，，，，， 设，则有，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 则， 因为与平面所成角的正弦值为是， 所以，解得或. 所以PQ的长为2或. ②因为，由①知，＝，，平面的一个法向量为. 又，，所以，， 设平面的法向量为，则，即 令，得，，所以. 所以， 所以二面角的正弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点． （1）证明：平面平面； （2）设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； （3）求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】（1）因为底面为正方形，所以， 又底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 在中，，为的中点，所以， 平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系后，将用两种不同的方式表示，列方程组求解； （3）先求平面的一个法向量，再表示平面的一个法向量，接着表示出夹角的余弦值，从而求出最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为，则，则得， 则，，，， 设， 若A，E，G，F四点共面，则存在实数使得 即，得方程组： ，解得 即存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). 【小问3详解】 由（2）可知 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 设平面的一个法向量为， 则故可取， 设平面与平面夹角为，则 ， 当时，取得最大值， 所以平面与平面夹角的余弦值的最大值是 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $