第2讲 菱形性质及判定 优等生讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第2讲 菱形性质及判定 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 掌握菱形性质 掌握菱形判定 综合运用解题 菱形面积计算 菱形与平行四边形关系 📚 知识梳理 ☆ 1.菱形概念 一组邻边相等的平行四边形 特殊平行四边形 两条对称轴 概念辨析例题：菱形特有性质 解析：一般平行四边形不具备 ☆ 2.菱形性质 四边相等 对角线垂直平分且平分对角 S=底×高=d1d2 概念辨析例题：AC=6,BD=8求边长 解析：对角线半长3和4,边长=5 ☆ 3.菱形判定 邻边相等的平行四边形 四边相等 对角线垂直的平行四边形 概念辨析例题：平行四边形加什么条件是菱形 解析：一组邻边相等即菱形 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 菱形 邻边相等平行四边形 特殊平行四边形 对角线 垂直平分+平分对角 勾股定理 面积 d1d2 对角线乘积一半 判定 先证平行四边形 再加邻边或垂直 ⚠️ 核心考点 【考点1】菱形性质（第1-9题） 四边等对角线垂直 勾股定理 1．（2026春•嵩明县期中）已知菱形ABCD的周长为12，则它的边AB的长为_____ ． 2．（2025•隆回县校级模拟）如图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H，若AB＝BC，∠BOC＝30°，则（　　） A．1：3 B． C．1：2 D．4：9 3．（2026春•宁阳县期中）如图，菱形ABCD的周长为32，面积为36，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于__________________ ． 4．（2025秋•上海校级月考）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，那么AF的长等于 ____________________ ． 5．（2025秋•双流区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．若OB＝2，，则菱形ABCD的面积为 ________________ ． 6．（2026•南岸区模拟）如图，在菱形ABCD中，BD＝8，AC＝5，则菱形ABCD的面积为_______ ． 7．（2025秋•金牛区校级月考）如图，在菱形ABCD中，已知AD＝10，DE⊥AB交AB于点E，且DE＝6，则对角线BD的长为_________________ ． 8．（2025春•靖江市校级期末）已知：如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． （1）求证：DE＝BF； （2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论． 9．（2026•城关区模拟）如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F． （1）求证：BF＝DE； （2）若∠A＝45°，DF＝1，求DE的值． 【考点2】菱形判定（第10-19题） 先证平行四边形 注意与矩形区分 10．（2025秋•双流区期末）如图，▱ABCD，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件，能使▱ABCD变为菱形的是（　　） A．AB＝AC B．AC＝BD C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD 11．（2025春•黄浦区期末）已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO，再添加一个条件使四边形ABCD是菱形，添加条件不正确的是（　　） A．AB＝AD B．AB∥CD C．OB＝OD D．AD＝CD 12．（2024•金山区二模）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，对角线AC、BD相交于点O．下列说法能使四边形ABCD为菱形的是（） A．AB＝CD B．∠ACB＝∠ACD C．∠BAC＝∠DAC D．AC＝BD 13．（2025春•霸州市期末）四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O．下列条件中，不能判定▱ABCD为菱形的是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．∠BAD＝90° D．∠ADB＝∠CDB 14．（2025春•静宁县期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个菱形，只需添加的一个条件是 _________________ ． 15．（2023春•浦东新区期末）在四边形ABCD中，AC⊥BD，AB＝CD，要使四边形ABCD是菱形，只需添加一个条件，这个条件可以是 ___________________ （只要填写一种情况）． 16．（2025•陈仓区校级模拟）如图，点E为▱ABCD的边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，CF＝2CE．求证：四边形ABCD为菱形． 17．（2025春•长安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为边AB、AC上的点，DE∥BC，联结BE，点G为BE的中点，联结DG，并延长交边BC于F． （1）求证：四边形DBFE是平行四边形； （2）如果∠C＝2∠BEF，求证：四边形DBFE是菱形． 证明： 18．（2026•当阳市模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO． （1）求证：△AOF≌△COE； （2）连接AE，CF．请添加一个条件，使四边形AECF为菱形．（不需要说明理由） 19．（2026春•沁阳市期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F． （1）求证：AE＝CF； （2）连接DE，BF．请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由． 【考点3】性质判定综合（第20-31题） 动点设t 折叠对应边 20．（2025秋•桥东区期末）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得A、C之间的距离为4，B、D之间的距离为3，则线段AB的长为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 21．（2025秋•桥西区期末）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为80的纸条，则a+b的值为（　　） A．80 B．100 C．120 D．140 22．（2025秋•渠县校级月考）如图，按以下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接BC，CD，BD．若∠ABD＝68°，则∠ABC的度数是（　　） A．68° B．124° C．136° D．158° 23．（2025春•茄子河区期末）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为6cm的蓝丝带，若∠BAD＝45°，则重叠部分图形的面积是 _________________ cm2． 24．（2025秋•宿豫区校级月考）如图，等边三角形ABC边长为2，点D在BC边上，且BD＜CD，点E在AB边上，连接AD，CE交于点F，若∠AEC+∠ADC＝180°，在线段FC上截取FG＝FA，连接BG，则线段BG的最小值是__________________ ． 25．（2026春•长春期末）如图，在等腰三角形ABC中，P是底边BC上一动点，作PF∥AB交AC于点F，PE∥AC交AB于点E．给出下面四个结论： ①四边形AEPF是平行四边形； ②PE+PF＝BC； ③若点P运动至BC中点，则四边形AFPE是菱形； ④若∠A＝90°，连结EF，则EF的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号是________ ． 26．（2025秋•揭东区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，O是AC的中点，连接BO并延长至点D，使OD＝OB，连接AD，CD． （1）求证四边形ABCD是菱形． （2）若AC＝5，BD＝3，则菱形ABCD的面积为 ___________________ ． 27．（2026•沛县一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，OE＝8，求BD的长． 28．（2021春•昌平区期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC，CE∥AB，两线交于点E． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若∠B＝45°，CD＝2，求四边形AECD的面积． 29．（2024春•奉贤区期末）已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＜90°，AD∥BC，AB∥CD，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，DE＝DF． （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）联结AC交BD于点O，联结OF，求证：∠BDC＝∠OFB． 30．（2025秋•五华区校级期末）如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BD⊥AD，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若AD＝3，四边形ABCD的面积为12，求BF的长． 31．（2026•河南模拟）如图，△ABC为锐角三角形，AD平分∠BAC． （1）请用无刻度的直尺和圆规分别在AB，AC上取点E，F，使得DE∥AC，DF∥AB．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：四边形AEDF是菱形． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025春•南岗区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝2，则菱形的周长为 _______ ． 【练习 2】（2025秋•莱州市期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝6，则菱形的高为___________________ ． 【练习 3】（2026春•昆都仑区校级月考）如图，在边长为15的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC延长线上，OE与CD相交于点F．若∠ACD＝2∠OEC，，则菱形ABCD的面积为________ ． 【练习 4】（2026•齐齐哈尔）菱形ABCD中，点E是边AD的中点，EF⊥BC交直线BC于点F．若DE＝3CF，EF＝4，则菱形ABCD的边长为 ____________________ ． 【练习 5】（2024秋•闵行区校级月考）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形． 💯 课后巩固 复习建议 四边等对角线垂直 勾股定理 面积两公式 先证平行四边形 区分矩形菱形 【作业 1】（2024秋•闵行区校级月考）菱形ABCD的边长为1，AE垂直平分BC于点E，则BD的长为（　　） A． B． C． D．以上均不对 【作业 2】（2025•淅川县二模）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC'D'，如果∠DAD'＝30°，那么菱形ABC'D'与正方形ABCD的面积之比是（　　） A． B． C． D．1 【作业 3】（2024•南皮县二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，添加下列一个条件后，不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AD＝AB B．∠BOC＝90° C．∠ABC＝∠BCD D．∠ADB＝∠CDB 【作业 4】（2025•富县模拟）菱形ABCD的边长为2，∠B＝60°，则它的面积是（　　） A． B． C． D． 【作业 5】（2025秋•宝鸡期中）如图，BD为四边形ABCD的对角线，点E、F为BD的两个三等分点，分别连接AE、EC、CF、AF，四边形AECF为菱形，若AE＝5，BD＝24，则四边形ABCD的面积为（　　） A．144 B．72 C．36 D．24 【作业 6】（2025秋•兴化市期末）中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小敏家有一个菱形中国结装饰．测得AB＝5cm，AC＝6cm，则该菱形的面积是_______ cm2． 【作业 7】（2023秋•瑞昌市校级月考）如图，在菱形ABCD中，AB＝20，∠A＝45°，点E在边AB上，AE＝13，点P从点A出发，沿着A→D→C→B的路线向终点B运动，连接PE，若△APE是以AE为腰的等腰三角形，则AP的长可以是 ____________________ ． 【作业 8】（2025•湖南模拟）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，O是BD上的点，BO＝DO，∠ABD＝∠CBD，连结AO并延长交BC于点E． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）过点C作CF⊥AE，垂足为点F，若BE＝CE，求证：四边形ODCF是矩形． 【作业 9】（2026•德州）如图，在Rt△ACE中，∠CAE＝90°，点D是CE的中点．连接AD，在平面内找一点B，使得AB∥CE，BE∥AD． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）若，四边形ABED的面积为，求线段AC的长． 【作业 10】（2024•普陀区校级三模）如图，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC、AF⊥CD，垂足分别为点E、F，AE、AF分别交BD于点G、H． （1）求证：AG＝AH； （2）延长AF、BC相交于点P，当BG＝GH时，求证：． 【作业 11】（2025•湖南模拟）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为CD、AD边上的点． （1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得AE＝CF，你添加的条件是 ____________________ ； （2）添加了条件后，证明AE＝CF． 【作业 12】（2024春•河北期末）如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，E，F是线段BD上的两点，连接AE，EC，CF，FA，已知∠AEB＝∠CFD． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若AB＝BC，求证：四边形AECF为菱形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 菱形性质及判定 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 掌握菱形性质 掌握菱形判定 综合运用解题 菱形面积计算 菱形与平行四边形关系 📚 知识梳理 ☆ 1.菱形概念 一组邻边相等的平行四边形 特殊平行四边形 两条对称轴 概念辨析例题：菱形特有性质 解析：一般平行四边形不具备 ☆ 2.菱形性质 四边相等 对角线垂直平分且平分对角 S=底×高=d1d2 概念辨析例题：AC=6,BD=8求边长 解析：对角线半长3和4,边长=5 ☆ 3.菱形判定 邻边相等的平行四边形 四边相等 对角线垂直的平行四边形 概念辨析例题：平行四边形加什么条件是菱形 解析：一组邻边相等即菱形 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 菱形 邻边相等平行四边形 特殊平行四边形 对角线 垂直平分+平分对角 勾股定理 面积 d1d2 对角线乘积一半 判定 先证平行四边形 再加邻边或垂直 ⚠️ 核心考点 【考点1】菱形性质（第1-9题） 四边等对角线垂直 勾股定理 1．（2026春•嵩明县期中）已知菱形ABCD的周长为12，则它的边AB的长为　3　 ． 【分析】根据菱形的基本性质，即四边相等．已知周长，直接除以4即可求得任意一边的长度． 【解答】解：根据菱形的定义和性质，菱形的四条边长度都相等． ∵菱形ABCD的周长为12，即四条边的总长度为12． ∴每一条边的长度等于周长除以4， ∴12÷4＝3． ∴边AB的长度为3． 故答案为：3． 【点评】题目考查了菱形的性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 2．（2025•隆回县校级模拟）如图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H，若AB＝BC，∠BOC＝30°，则（　　） A．1：3 B． C．1：2 D．4：9 【分析】设CD＝a，根据菱形的性质得，CD＝DE＝EF＝FC＝a，DE∥CB，在Rt△ODE中根据∠BOC＝30°得OD＝2a，OEa，则OC＝3a，进而得BCa，OBa，从而得EB，然后证△BEH和△BOA相似可得则的值． 【解答】解：设CD＝a， ∵四边形CDEF为菱形， ∴CD＝DE＝EF＝FC＝a，DE∥CB， ∵△OBC和△OBA为直角三角形，且∠OBC＝∠A＝90°， ∴∠OED＝∠OBC＝90°， 在Rt△ODE中，∠BOC＝30°， ∴OD＝2DE＝2a， 由勾股定理得：OEa， ∴OC＝OD+CD＝2a+a＝3a， 在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OC＝3a， ∴BCa， 由勾股定理得：OBa， ∴EB＝OB﹣OE， ∵EH⊥AB，∠A＝90°， ∴EH∥OA， ∴△BEH∽△BOA， ∴． 故选：A． 【点评】 3．（2026春•宁阳县期中）如图，菱形ABCD的周长为32，面积为36，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于　　 ． 【分析】连接AP，作BH⊥DA交DA的延长线于点H，由菱形ABCD的周长为32，求得AD＝AB＝8，由该菱形的面积为36得8BH＝36，则BH，由S△ABP+S△ADP＝S△ABD，列出等式8PE8PF8BH，求得PE+PF，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接AP，作BH⊥DA交DA的延长线于点H， ∵四边形ABCD是菱形，它的周长为32，面积为36， ∴AB＝AD＝CB＝CD， ∴4AD＝32， ∴AD＝AB＝8， ∵S菱形ABCD＝AD•BH＝8BH＝36， ∴BH， ∵S△ABP+S△ADP＝S△ABD，且PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F， ∴8PE8PF8BH， ∴PE+PF， 故答案为：． 【点评】此题重点考查菱形的性质、菱形的周长及面积公式、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出菱形的边长和高是解题的关键． 4．（2025秋•上海校级月考）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，那么AF的长等于 　　 ． 【分析】连接BD，连接BF并延长交CD于点H，依题意得△BCD是等边三角形，AE＝BEAB＝1，CF＝EF，证明△FCH和△FEH全等得CH＝BE＝1，FH＝FBBH，则CH＝DH＝1，再根据等边三角形性质得BH⊥CD，则△BCH和△ABF都是直角三角形，在Rt△BCH中，由勾股定理得BH，则FH＝FBBH，然后在Rt△ABF中，由勾股定理得AF，据此即可得出答案． 【解答】解：连接BD，连接BF并延长交CD于点H，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，且边长为2，∠DAB＝60°， ∴AB＝BC＝CD＝2，∠DCB＝∠DAB＝60°，CD∥AB， ∴△BCD是等边三角形， ∵点E是AB的中点， ∴AE＝BEAB＝1， ∵点F为CE的中点， ∴CF＝EF， ∵CD∥AB， ∴∠FHC＝∠FBE，∠FCH＝∠FEB， 在△FCH和△FEB中， ， ∴△FCH≌△FEB（AAS）， ∴CH＝BE＝1，FH＝FBBH， ∴DH＝CD﹣CH＝2﹣1＝1， ∴CH＝DH＝1， ∵△BCD是等边三角形， ∴BH⊥CD， ∴∠FHC＝∠FBE＝90°， ∴△BCH和△ABF都是直角三角形， 在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH， ∴FH＝FBBH， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF． 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，理解菱形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 5．（2025秋•双流区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．若OB＝2，，则菱形ABCD的面积为 　　 ． 【分析】根据菱形性质得OA＝OC，OB＝OD＝2，则BD＝4，根据CE⊥AB得△ACE是直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得OE＝OA＝OC，则AC，据此即可得出菱形ABCD的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OB＝2， ∴OB＝OD＝2， ∴BD＝OB+OD＝4， ∵CE⊥AB，交AB的延长线于点E， ∴△ACE是直角三角形， ∵OA＝OC，OE， ∴OE是Rt△ACD的斜边AC上的中线， ∴OE＝OA＝OC， ∴AC＝OA+OC， ∴菱形ABCD的面积为：AC•BD． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质是解决问题的关键． 6．（2026•南岸区模拟）如图，在菱形ABCD中，BD＝8，AC＝5，则菱形ABCD的面积为　20　 ． 【分析】由菱形的面积公式求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝8，AC＝5， ∴菱形ABCD的面积AC×BD5×8＝20， 故答案为：20． 【点评】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的面积公式是解题的关键． 7．（2025秋•金牛区校级月考）如图，在菱形ABCD中，已知AD＝10，DE⊥AB交AB于点E，且DE＝6，则对角线BD的长为　　 ． 【分析】根据菱形的性质得到AB＝AD＝10，由DE⊥AB，DE＝6，利用勾股定理求出，求出BE＝AB﹣AE＝2，再利用勾股定理即可求出BD． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10， ∴AB＝AD＝10， ∵DE⊥AB，DE＝6， ∴， ∴BE＝AB﹣AE＝10﹣8＝2， ∴BD2， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 8．（2025春•靖江市校级期末）已知：如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． （1）求证：DE＝BF； （2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，B＝CD，然后证明出四边形DEBF是平行四边形，即可得到DE＝BF； （2）首先证明出四边形AGBD是平行四边形，如图所示，连接DG，由菱形得到DE＝BE，然后证明出AB＝DG，即可得到平行四边形AGBD是矩形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵E、F分别为边AB、CD的中点， ∴，， ∴BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE＝BF； （2）解：矩形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵AG∥DB， ∴四边形AGBD是平行四边形， 如图所示，连接DG ∵E为边AB的中点， ∴点E在DG上， ∵四边形BEDF是菱形， ∴DE＝BE， ∵AE＝BE，DE＝EG， ∴AB＝DG， ∴平行四边形AGBD是矩形． 【点评】此题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，解题的关键是相关性质的熟练掌握． 9．（2026•城关区模拟）如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F． （1）求证：BF＝DE； （2）若∠A＝45°，DF＝1，求DE的值． 【分析】（1）由菱形的性质推出BC＝DC，由垂直的定义得到∠BEC＝∠DFC＝90°，判定△BEC≌△DFC（AAS），推出CE＝CF，即可证明BF＝DE； （2）由菱形的性质推出∠C＝∠A＝45°，判定△DFC是等腰直角三角形，求出CDDF，即可求出ED的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝DC， ∵BE⊥CD 于点E，DF⊥BC 于点F， ∠BEC＝∠DFC＝90°， 在△BEC与△DFC 中， ， ∴△BEC≌△DFC（AAS）， ∴CE＝CF， ∴BC﹣CF＝DC﹣CE， ∴BF＝DE； （2）解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠C＝∠A＝45°， ∵DF⊥BC， ∴∠DFC＝90°， ∴△DFC是等腰直角三角形， ∴CF＝DF＝1， ∴CDDF， 由（1）知：CE＝CF＝1， ∴ED＝CD﹣CE1． 【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是判定△BEC≌△DFC（AAS），推出CE＝CF，由等腰直角三角形的性质求出CD， 【考点2】菱形判定（第10-19题） 先证平行四边形 注意与矩形区分 10．（2025秋•双流区期末）如图，▱ABCD，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件，能使▱ABCD变为菱形的是（　　） A．AB＝AC B．AC＝BD C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD 【分析】根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当▱ABCD的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使▱ABCD变为菱形， 逐一对比选项，其中选项D能使▱ABCD变为菱形，符合对角线相互垂直，A、B、C均不能使▱ABCD变为菱形，不符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 11．（2025春•黄浦区期末）已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO，再添加一个条件使四边形ABCD是菱形，添加条件不正确的是（　　） A．AB＝AD B．AB∥CD C．OB＝OD D．AD＝CD 【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：A、AB＝AD，∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠COB＝90°， ∵∠ABO＝∠CBO， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝AC，AO＝OC， ∴DA＝DB， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形，本选项正确，不符合题意； B、AB∥CD， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB＝∠CBD， ∴CB＝CD， ∵AC⊥BD， ∴OD＝OB， ∴AB＝AD， ∵AB＝AC， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形，本选项正确，不符合题意； C、OB＝OD， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠COB＝90°， ∵∠ABO＝∠CBO， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝AC，AO＝OC， ∴四边形ABC都是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形，本选项正确，不符合题意； D、由AD＝CD，无法判断四边形ABCD是菱形． 故选：D． 【点评】本题考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法． 12．（2024•金山区二模）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，对角线AC、BD相交于点O．下列说法能使四边形ABCD为菱形的是（） A．AB＝CD B．∠ACB＝∠ACD C．∠BAC＝∠DAC D．AC＝BD 【分析】证明∠BCA＝∠BAC，得AB＝BC，再证明AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 【解答】解：能使四边形ABCD为菱形的是∠BAC＝∠DAC，理由如下： 如图，∵AD∥BC， ∴∠BCA＝∠DAC， ∵∠BAC＝∠DAC， ∴∠BCA＝∠BAC， ∴AB＝BC， ∵AB＝AD， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB＝AD， ∴平行四边形ABCD为菱形， 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定，证明四边形ABCD为平行四边形是解题的关键． 13．（2025春•霸州市期末）四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O．下列条件中，不能判定▱ABCD为菱形的是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．∠BAD＝90° D．∠ADB＝∠CDB 【分析】由菱形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形， 不能判定▱ABCD为菱形，故选项C符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， 又∵∠ADB＝∠CDB， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴BC＝DC， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的判定、等腰三角形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 14．（2025春•静宁县期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个菱形，只需添加的一个条件是 AB＝BC（答案不唯一）　 ． 【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论． 【解答】解：需添加的一个条件是AB＝BC，理由如下： ∵AB∥DC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：AB＝BC（答案不唯一）． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 15．（2023春•浦东新区期末）在四边形ABCD中，AC⊥BD，AB＝CD，要使四边形ABCD是菱形，只需添加一个条件，这个条件可以是 AB∥CD（本题答案不唯一）　 （只要填写一种情况）． 【分析】首先根据条件可得∠AOD＝∠AOB＝90°，再证明Rt△ABO≌Rt△ADO，从而得到BO＝DO，再证明△ABO≌Rt△CDO，进而得到AB＝CD，再加上条件AB∥CD可得到四边形ABCD是平行四边形，又有AB＝AD可证出四边形ABCD是菱形． 【解答】解：添加条件AB∥CD，理由如下： ：∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝90°， 在Rt△ABO和Rt△ADO中， ， ∴Rt△ABO≌Rt△ADO（HL）， ∴BO＝DO， ∵AB∥CD， ∴∠ABO＝∠CDO， 在△ABO和Rt△CDO中， ， ∴△ABO≌Rt△CDO（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． 故答案为：AB∥CD（本题答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解决问题的关键是证明AB＝CD，从而得到四边形ABCD是平行四边形． 16．（2025•陈仓区校级模拟）如图，点E为▱ABCD的边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，CF＝2CE．求证：四边形ABCD为菱形． 【分析】由平行四边形的性质得出AD∥CF，则∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，由点E是CD的中点，得出DE＝CE，由AAS证得△ADE≌△FCE，得到AD＝CF． 结合CF＝2CE，证得AD＝CD，根据菱形的性质即可证得结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CF， ∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE， ∵点E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴AD＝CF， ∵CF＝2CE， ∴CF＝CD， ∴AD＝CD， ∴四边形ABCD为菱形． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定，根据全等三角形全等的判定定理AAS证得△ADE≌△FCE是解题的关键． 17．（2025春•长安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为边AB、AC上的点，DE∥BC，联结BE，点G为BE的中点，联结DG，并延长交边BC于F． （1）求证：四边形DBFE是平行四边形； （2）如果∠C＝2∠BEF，求证：四边形DBFE是菱形． 证明： 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DEG＝∠FBG，∠EDG＝∠BFG，由AAS定理证明，△DEG≌△FBG，得到DE＝FB，根据平行四边形的判定即可证的结论； （2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质证得∠EFC＝∠C，由三角形外角定理与已知条件证得∠BEF＝∠EBF，得到BF＝EF，即可证的结论． 【解答】证明：（1）∵DE∥BC， ∴∠DEG＝∠FBG，∠EDG＝∠BFG，DE∥FB， ∵点G为BE的中点， ∴EG＝BG， 在△DEG和△FBG中， ， ∴△DEG≌△FBG（AAS）， ∴DE＝FB， ∴四边形DBFE是平行四边形； （2）由（1）知四边形DBFE是平行四边形， ∴BD∥EF， ∴∠ABC＝∠EFC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠EFC＝∠C， ∵∠C＝2∠BEF， ∴∠EFC＝2∠BEF＝∠BEF+∠EBF， ∴∠BEF＝∠EBF， ∴BF＝EF， ∴平行四边形DBFE是菱形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，等腰三角形的性质和判定，三角形外角定理，综合运用相关知识是解决问题的关键． 18．（2026•当阳市模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO． （1）求证：△AOF≌△COE； （2）连接AE，CF．请添加一个条件，使四边形AECF为菱形．（不需要说明理由） 【分析】（1）利用平行可知两组对应的内错角相等，即可证明全等； （2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论． 【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，AO＝CO， ∴∠FAO＝∠ECO，∠AFO＝∠CEO， 在△AOF与△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（AAS）； （2）解：如图，添加EF⊥AC， 理由：∵△AOF≌△COE； ∴OF＝OE， ∵AO＝CO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴四边形AECF为菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及判定方法是解题关键． 19．（2026春•沁阳市期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F． （1）求证：AE＝CF； （2）连接DE，BF．请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出OA＝OC，BE∥DF，推出∠AEO＝∠CFO，再证△AOE≌△COF（AAS），即可得出结论； （2）先由平行四边形的性质得出OB＝OD，再由全等三角形的性质得OE＝OF，推出四边形BFDE是平行四边形，然后由EF⊥BD，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，BE∥DF， ∴∠AEO＝∠CFO， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴AE＝CF； （2）解：添加EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下： 如图：连接DE、BF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， 由（1）得：△AOE≌△COF， ∴OE＝OF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形BFDE是菱形． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的判定与性质以及菱形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． 【考点3】性质判定综合（第20-31题） 动点设t 折叠对应边 20．（2025秋•桥东区期末）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得A、C之间的距离为4，B、D之间的距离为3，则线段AB的长为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【分析】连接AC与BD，交于点O，作DE⊥AB，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，由题意可判断出四边形ABCD是平行四边形．由于两张纸条等宽，可以推断出AB＝BC，则平行四边形ABCD是菱形．根据菱形的性质和勾股定理，计算出线段AB的长即可． 【解答】解：由题意可知，AD∥BC，AB∥DC，如图，连接AC与BD，交于点O，作DE⊥AB，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵两张纸条等宽， ∴DE＝DF， ∵S▱ABCD＝AB•DE＝BC•DF，A、C之间的距离为4，B、D之间的距离为3， ∴AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，，， 在直角△OAB中，． 故选：A． 【点评】本题考查菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定定理与性质是解题关键． 21．（2025秋•桥西区期末）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为80的纸条，则a+b的值为（　　） A．80 B．100 C．120 D．140 【分析】根据题意列出方程组求出a，b的值，即可解决问题． 【解答】解：根据题意得：， 解方程组得：， ∴a+b＝100， 故选：B． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程组． 22．（2025秋•渠县校级月考）如图，按以下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接BC，CD，BD．若∠ABD＝68°，则∠ABC的度数是（　　） A．68° B．124° C．136° D．158° 【分析】根据尺规作图得出四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质即可求解． 【解答】解：根据题意可知，AB＝AD＝BC＝CD＝1， ∴四边形ABCD为菱形， ∴∠CBD＝∠ABD＝68°， ∴∠ABC＝2∠ABD＝2×68°＝136°． 故选：C． 【点评】本题考查了作图，菱形的判定与性质，掌握菱形的判定与性质的方法是关键． 23．（2025春•茄子河区期末）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为6cm的蓝丝带，若∠BAD＝45°，则重叠部分图形的面积是 　　 cm2． 【分析】过点B作BE⊥AD于点E，过点D作DF⊥AB于点F，依题意得AB∥CD，BC∥AD，则四边形ABCD是平行四边形，根据蓝丝带宽为6cm得BE＝DF＝6cm，再根据等腰直角三角形勾股定理AB＝ADcm，进而得平行四边形ABCD是菱形，然后根据菱形的面积公式即可得出重叠部分图形的面积． 【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，过点D作DF⊥AB于点F，如图所示： 依题意得：AB∥CD，BC∥AD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵蓝丝带宽为6cm， ∴BE＝DF＝6cm， ∵∠BAD＝45°， ∴△ABE和△ADF都是等腰直角三角形， ∴AE＝BE＝6cm，AF＝DF＝6cm， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB（cm）， 同理：ADcm， ∴AB＝ADcm， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴重叠部分图形的面积是：AD•BE（cm2）， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 24．（2025秋•宿豫区校级月考）如图，等边三角形ABC边长为2，点D在BC边上，且BD＜CD，点E在AB边上，连接AD，CE交于点F，若∠AEC+∠ADC＝180°，在线段FC上截取FG＝FA，连接BG，则线段BG的最小值是　　 ． 【分析】先根据等边三角形的性质证明△ABD≌△CAE，得出∠AFE＝60°，进而得到∠AGC＝150°，从而得到点G在以AC为弦、所对圆周角为150°的一段弧上运动，然后作辅助线图如图，得到BG+OG≥OB（当且仅当B，G，O三点共线时取等号），得出BG的最小值即为BO﹣OG，再求出BO，GO即得答案． 【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°， ∵∠AEC+∠ADC＝180°， 又∵∠ADB+∠ADC＝180°， ∴∠AEC＝∠ADB， ∴∠AEC＝∠ADB，∠ABC＝∠BAC，AB＝AC， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴∠BAD＝∠ACE， ∴∠AFE＝∠FAC+∠ACE＝∠FAC+∠FAE＝∠BAC＝60°， 连接AG，如图， ∵FG＝FA， ∴∠FAG＝∠FGA＝30°， ∴∠AGC＝150°， ∴点G在以AC为弦、所对圆周角为150°的一段弧上运动， 设这段弧所在的圆心为O，连接AO，CO，BO，GO， 则BG+OG≥OB（当且仅当B，G，O三点共线时取等号）， ∴BG的最小值即为BO﹣OG， 设BO，AC交于点H， ∵∠AGC＝150°， ∴∠AOC＝2×（180°﹣150°）＝60°， ∵AO＝CO， ∴△ACO是等边三角形， ∴AO＝CO＝AC＝AB＝BC＝2， ∴四边形ABCO是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴BG的最小值为； 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，得出点G取最小值的位置是解题的关键． 25．（2026春•长春期末）如图，在等腰三角形ABC中，P是底边BC上一动点，作PF∥AB交AC于点F，PE∥AC交AB于点E．给出下面四个结论： ①四边形AEPF是平行四边形； ②PE+PF＝BC； ③若点P运动至BC中点，则四边形AFPE是菱形； ④若∠A＝90°，连结EF，则EF的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号是　①③④　 ． 【分析】①正确：由PF∥AB、PE∥AC，直接得四边形AEPF两组对边分别平行，符合平行四边形定义； ②错误：解析中误认为PE＝BE，实则仅当△ABC为等边时才有PE+PF＝BC；一般等腰三角形中，PE+PF＝AB（腰长），不等于底边BC； ③正确：当P为BC中点时，E、F分别为AB、AC中点，故AE＝AF，结合①知平行四边形邻边相等，为菱形； ④正确：∠A＝90°时，AEPF为矩形，其对角线EF＝AP；AP最小时为BC边上的高，在等腰直角三角形中该高恰为，故． 故正确结论为①③④． 【解答】解：结论①：题目给出PF∥AB，PE∥AC， 四边形AEPF的两组对边都分别平行， 符合平行四边形的定义， 因此四边形AEPF是平行四边形， 结论①正确； 结论②：因为PE∥AC， 三角形BEP也是等腰三角形， PE＝BE； 同时四边形AEPF是平行四边形， PF＝AE， 所以PE+PF＝BE+AE＝AB， 只有当三角形ABC是等边三角形时AB＝BC， 这里PE+PF不等于BC， 结论②错误； 结论③：当点P是BC中点时， PE∥AC，E就是AB的中点， ； 同理F是AC中点，， 等腰三角形里AB＝AC， 所以AE＝AF． 邻边相等的平行四边形是菱形， 因此四边形AFPE是菱形， 结论③正确； 结论④：如果∠A＝90°，平行四边形AEPF四个角都是直角，是长方形， 长方形的对边相等， 所以EF＝AP． 要让EF最短，就是让线段AP最短， 点到直线的垂线段最短， 当AP垂直BC时AP长度最小． 等腰直角三角形ABC里，斜边BC上的高AP的长度正好是， 也就是EF的最小值为， 结论④正确． 综上，①③④正确． 故答案为：①③④． 【点评】题目考查菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、轴对称——最短路线问题，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 26．（2025秋•揭东区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，O是AC的中点，连接BO并延长至点D，使OD＝OB，连接AD，CD． （1）求证四边形ABCD是菱形． （2）若AC＝5，BD＝3，则菱形ABCD的面积为 　　 ． 【分析】（1）根据菱形的判定定理即可得到结论； （2）根据菱形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵O是AC的中点， ∴AO＝OC， ∵OD＝OB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴菱形ABCD的面积AC•BD5×3． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． 27．（2026•沛县一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，OE＝8，求BD的长． 【分析】（1）根据BD平分∠ABC得到∠CBD＝∠DBA，证明∠CBD＝∠CDB，得到AB＝CD，证明四边形ABCD是平行四边形，再根据AB＝BC即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到BD⊥AC，OA＝OC，BO＝DO，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到OE＝OA＝OC＝8，根据勾股定理，在Rt△BOC中，求得OB＝4，即可得到答案． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠DBA＝∠CBD， ∵AB∥CD， ∴∠DBA＝∠CDB， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴BC＝CD， ∵AB＝BC， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，BO＝DO，BD⊥AC， ∵CE⊥AB， ∴∠CEA＝90°， 在Rt△ACE中，O是AC的中点， ∴OE＝OA＝OC＝8， ∴AC＝2OE＝16， ∵， 在Rt△BOC中，， ∵OB＝OD， ∴BD＝2OB＝8． 【点评】本题主要考查菱形的判定定理以及菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边对等角，熟练掌握菱形的判定定理和性质是解题的关键． 28．（2021春•昌平区期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC，CE∥AB，两线交于点E． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若∠B＝45°，CD＝2，求四边形AECD的面积． 【分析】（1）由∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，得CD＝AD＝BDAB，由CE∥AB，AE∥DC，证明四边形AECD是平行四边形，而CD＝AD，则四边形AECD是菱形． （2）由∠ACB＝90°，∠B＝45°，得∠CAB＝∠B＝45°，所以AC＝BC，则CD⊥AB，可证明四边形AECD是正方形，则S四边形AECD＝CD2＝4． 【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线， ∴CD＝AD＝BDAB， ∵CE∥AB， ∴CE∥AD， ∵AE∥DC， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵CD＝AD， ∴四边形AECD是菱形． （2）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝45°， ∴∠CAB＝∠B＝45°， ∴AC＝BC， ∵CD是斜边AB上的中线， ∴CD⊥AB， ∵四边形AECD是菱形，∠ADC＝90°， ∴四边形AECD是正方形， ∵CD＝2， ∴S四边形AECD＝CD2＝22＝4， ∴四边形AECD的面积为4． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定、正方形的判定等知识，推导出四边形AECD是平行四边形及CD＝AD是解题的关键． 29．（2024春•奉贤区期末）已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＜90°，AD∥BC，AB∥CD，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，DE＝DF． （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）联结AC交BD于点O，联结OF，求证：∠BDC＝∠OFB． 【分析】证明四边形ABCD是平行四边形，再由平行四边形面积证明AB＝BC，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得OB＝OD，BC＝DC，则∠BDC＝∠DBC，再由直角三角形斜边上的中线性质得OFBD＝OB，则∠DBC＝∠OFB，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴S平行四边形ABCD＝AB•DE＝BC•DF， ∵DE＝DF， ∴AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）如图，由（1）可知，四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，BC＝DC， ∴∠BDC＝∠DBC， ∵DF⊥BC， ∴∠DFB＝90°， ∴OFBD＝OB， ∴∠DBC＝∠OFB， ∴∠BDC＝∠OFB． 【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 30．（2025秋•五华区校级期末）如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BD⊥AD，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若AD＝3，四边形ABCD的面积为12，求BF的长． 【分析】（1）先证明DF∥BE，DF＝BE，得到四边形BEDF是平行四边形，再结合直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半得到，从而得证； （2）先根据四边形的面积求得BD的长，再由勾股定理求得AB的长，从而得到BE的长，最后根据菱形的性质即可得解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AB∥DC（平行四边形的对边平行且相等）， ∴DF∥BE， ∵点E，F分别是AB，CD的中点， ∴，（三角形的中位线等于第三边的一半）， ∴DF＝BE， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵DB⊥AD，E是AB的中点， ∴， ∴平行四边形BEDF是菱形． （2）解：∵▱ABCD的面积是12，BD⊥AD，AD＝3， ∴AD•BD＝12，即3BD＝12， ∴BD＝4， ∴， ∴， 由（1）知，四边形BEDF是菱形， ∴． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关性质定理． 31．（2026•河南模拟）如图，△ABC为锐角三角形，AD平分∠BAC． （1）请用无刻度的直尺和圆规分别在AB，AC上取点E，F，使得DE∥AC，DF∥AB．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：四边形AEDF是菱形． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）由（1）知 DE∥AF，AE∥DF，得到四边形AEDF为平行四边形．根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠EDA＝∠DAC．求得∠EAD＝∠EDA．根据菱形的判定定理得到结论． 【解答】（1）解：如图，点E，F即为所求作； （2）证明：由（1）知 DE∥AF，AE∥DF， ∴四边形AEDF为平行四边形． 又∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE∥AF， ∴∠EDA＝∠DAC． ∴∠EAD＝∠EDA． ∴AE＝DE． ∴平行四边形AEDF为菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的定义，作图﹣基本作图，正确地作出图形是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025春•南岗区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝2，则菱形的周长为 　16　 ． 【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线性质求出AB的长，即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA， ∴△AOB为直角三角形， ∵OE＝2，且点E为线段AB的中点， ∴AB＝2OE＝4， ∴菱形的周长＝4AB＝4×4＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握菱形的性质解题的关键． 【练习 2】（2025秋•莱州市期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝6，则菱形的高为　　 ． 【分析】直接利用菱形的性质得出AC的长，进而利用菱形的面积求出答案． 【解答】解：连接AC， ∵菱形ABCD中，BD＝6， ∴BO＝DO＝3，∠AOB＝90°，AO＝CO， ∴AO＝CO4， ∴AC＝8， ∴设菱形的高为x，则5x6×8， 解得：x． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得出AC的长是解题关键． 【练习 3】（2026春•昆都仑区校级月考）如图，在边长为15的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC延长线上，OE与CD相交于点F．若∠ACD＝2∠OEC，，则菱形ABCD的面积为　216　 ． 【分析】取CD的中点H，连接OH，由菱形的性质得BC＝DC＝15，CA⊥BD，OA＝OC，OD＝OB，由三角形中位线定理得OH∥BC，OHBC，可证明△OFH∽△EFC，得，则ECOH＝9，推导出∠COE＝∠OEC，则OC＝EC＝9，求得OB12，所以AC＝18，BD＝24，则S菱形ABCDAC•BD＝216，于是得到问题的答案． 【解答】解：取CD的中点H，连接OH， ∵四边形ABCD是边长为15的菱形，对角线AC，BD相交于点O， ∴BC＝DC＝15，CA⊥BD，OA＝OC，OD＝OB， ∴∠BOC＝90°，∠ACD＝∠ACB， ∵O是BD的中点，H是CD的中点， ∴OH∥BC，OHBC， ∵点E在BC延长线上， ∴OH∥EC， ∴△OFH∽△EFC， ∴， ∴ECOH9， ∵∠ACD＝∠ACB＝∠COE+∠OEC，且∠ACD＝2∠OEC， ∴∠COE+∠OEC＝2∠OEC， ∴∠COE＝∠OEC， ∴OC＝EC＝9， ∴OB12， ∴AC＝2OC＝18，BD＝2OB＝24， ∴S菱形ABCDAC•BD18×24＝216， 故答案为：216． 【点评】此题重点考查菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【练习 4】（2026•齐齐哈尔）菱形ABCD中，点E是边AD的中点，EF⊥BC交直线BC于点F．若DE＝3CF，EF＝4，则菱形ABCD的边长为 　或　 ． 【分析】设CF＝a，则DE＝3a，AD＝2DE＝6a，由菱形性质得CD＝AD＝6a，AD∥BC，则EF⊥BC，再分两种情况讨论如下：①当点F在BC上时，过点CH⊥AD于点H，证明四边形CHEF是矩形得HE＝CF＝a，CH＝EF，则DH＝2a，在Rt△CHD中，由勾股定理得a，进而得CD＝6a；②当点F在BC的延长线上时，过点CH⊥AD于点H，同①得四边形CHEF是矩形，则HE＝CF＝a，CH＝EF，进而得DH＝4a，在Rt△CHD中，由勾股定理得a，则CD＝6a，综上所述即可得出菱形ABCD的边长． 【解答】解：∵DE＝3CF， ∴设CF＝a，则DE＝3a，其中a＞0， ∵点E是边AD的中点， ∴AD＝2DE＝6a， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AD＝6a，AD∥BC， ∵EF⊥BC交直线BC于点F， ∴EF⊥BC， ∴∠EFC＝∠FED＝90°， 依题意有以下两种情况： ①当点F在BC上时，过点CH⊥AD于点H，如图1所示： ∴∠CHE＝∠CHD＝90°， ∴∠CHE＝∠EFC＝∠FED＝90°， ∴四边形CHEF是矩形， ∴HE＝CF＝a，CH＝EF， ∴DH＝DE﹣HE＝3a﹣a＝2a， 在△CHD中，∠CHD＝90°， 由勾股定理得：CH， 解得：a， ∴CD＝6a， ∴菱形ABCD的边长为； ②当点F在BC的延长线上时，过点CH⊥AD于点H，如图2所示： ∴∠CHD＝90°， 同①得：四边形CHEF是矩形， HE＝CF＝a，CH＝EF， ∴DH＝DE+HE＝3a+a＝4a， 在△CHD中，∠CHD＝90°， 由勾股定理得：CH， 解得：a， ∴CD＝6a， ∴菱形ABCD的边长为， 综上所述：菱形ABCD的边长为或． 故答案为：或． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，理解菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键，分类讨论是易错点． 【练习 5】（2024秋•闵行区校级月考）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形． 【分析】由AB∥DC，证明∠ABO＝∠CDO，由CE⊥AB交AB的延长线于点E，得∠AEC＝90°，由OC＝OE，得∠OCE＝∠OEC，推导出∠OAE＝∠OEA，则OA＝OE，所以OA＝OC，再证明△AOB≌△COD，得OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形，由∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CDB，证明∠ADB＝∠ABD，则AB＝AD，即可证明四边形ABCD是菱形． 【解答】证明：∵在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O， ∴∠ABO＝∠CDO， ∵CE⊥AB交AB的延长线于点E， ∴∠AEC＝90°， ∵OC＝OE， ∴∠OCE＝∠OEC， ∵∠OAE+∠OCE＝90°，∠OEA+∠OEC＝90°， ∴∠OAE＝∠OEA， ∴OA＝OE， ∴OA＝OC， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵∠ABD＝∠CDB， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． 【点评】此题重点考查平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、等角的余角相等、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，推导出OA＝OC，进而证明△AOB≌△COD是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 四边等对角线垂直 勾股定理 面积两公式 先证平行四边形 区分矩形菱形 【作业 1】（2024秋•闵行区校级月考）菱形ABCD的边长为1，AE垂直平分BC于点E，则BD的长为（　　） A． B． C． D．以上均不对 【分析】由菱形的性质可得AB＝BC，BD平分∠ABC，AC⊥BD，可证△ABC是等边三角形，可求∠ABD＝∠CBD＝30°，即可求解． 【解答】解：如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，BD平分∠ABC，AC⊥BD， ∵AE垂直平分BC于E， ∴AB＝AC， ∴AB＝AC＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝∠CBD＝30°， ∴AOAB，BOAO， ∴BD＝2BO， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【作业 2】（2025•淅川县二模）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC'D'，如果∠DAD'＝30°，那么菱形ABC'D'与正方形ABCD的面积之比是（　　） A． B． C． D．1 【分析】过D'作D'M⊥AB于M，求出正方形ABCD的面积＝AB2，再由含30°角的直角三角形的性质得AMAD'，D'MAMAD'，然后求出菱形ABCD的面积＝AB×D'MAB2，即可求解． 【解答】解：过D'作D'M⊥AB于M，如图所示： 则∠D'MA＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴正方形ABCD的面积＝AB2，AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵∠DAD′＝30°， ∴∠D'AM＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AD'M＝30°， ∴AMAD'，D'MAMAD'， ∵四边形ABC′D′是菱形， ∴AB＝AD'＝AD，菱形ABCD的面积＝AB×D'MAB2， ∴菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和正方形的性质，证出D'MAD'是解题的关键． 【作业 3】（2024•南皮县二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，添加下列一个条件后，不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AD＝AB B．∠BOC＝90° C．∠ABC＝∠BCD D．∠ADB＝∠CDB 【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论． 【解答】解：A、当AD＝AB时，平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、当∠BOC＝90°时，平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠BCD， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°，平行四边形ABCD是矩形，故C符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADB＝∠DBC＝∠CDB，∴CD＝CB，平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 【作业 4】（2025•富县模拟）菱形ABCD的边长为2，∠B＝60°，则它的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AC，作AF⊥BC于点F，由菱形的性质得AB＝BC＝2，而∠B＝60°，则△ABC是等边三角形，所以BF＝CFBC＝1，求得AF，则S菱形ABCD＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接AC，作AF⊥BC于点F，则∠AFB＝90°， ∵四边形ABCD是边长为2的菱形， ∴AB＝BC＝2， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴BF＝CFBC＝1， ∴AF， ∴S菱形ABCD＝BC•AF＝2， 故选：C． 【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【作业 5】（2025秋•宝鸡期中）如图，BD为四边形ABCD的对角线，点E、F为BD的两个三等分点，分别连接AE、EC、CF、AF，四边形AECF为菱形，若AE＝5，BD＝24，则四边形ABCD的面积为（　　） A．144 B．72 C．36 D．24 【分析】连接AC交BD于点O，根据菱形性质得，AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OFEF，再根据点E、F为BD的两个三等分点得BE＝EF＝DFBD＝8，进而得OE＝OFEF＝4，在Rt△AOE中，由勾股定理得OA＝OC＝3，由此得S△ABD＝S△CBDBD•OA＝36，据此即可得出四边形ABCD的面积． 【解答】解：连接AC交BD于点O，如图所示： ∵四边形AECF是菱形， ∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OFEF， ∴△AOE是直角三角形， ∵点E、F为BD的两个三等分点，BD＝24， ∴BE＝EF＝DFBD＝8， ∴OE＝OFEF＝4， 在Rt△AOE中，AE＝5，OE＝4， 由勾股定理得：OA3， ∴OA＝OC＝3， ∴S△ABD＝S△CBDBD•OA24×3＝36， ∴四边形ABCD的面积为：S△ABD+S△CBD＝72． 故选：B． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，三角形的面积，熟练掌握菱形的性质，三角形的面积公式，勾股定理是解决问题的关键． 【作业 6】（2025秋•兴化市期末）中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小敏家有一个菱形中国结装饰．测得AB＝5cm，AC＝6cm，则该菱形的面积是　24　 cm2． 【分析】根据菱形的性质得出直角三角形以及对角线的数量关系，利用勾股定理求出对角线长度，然后利用菱形面积公式求解即可． 【解答】解：如图所示，AC，BD交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴，∠AOB＝90°， 由勾股定理得， ∴BD＝2OB＝8cm， ∴，即该菱形的面积是24cm2， 故答案为：24． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积，解题的关键是掌握以上性质． 【作业 7】（2023秋•瑞昌市校级月考）如图，在菱形ABCD中，AB＝20，∠A＝45°，点E在边AB上，AE＝13，点P从点A出发，沿着A→D→C→B的路线向终点B运动，连接PE，若△APE是以AE为腰的等腰三角形，则AP的长可以是 　13或13或5　 ． 【分析】过点D作DH⊥AB于H，可求得AH＝DH＝10，分四种情况：当点P在AD边上时，若AP＝AE，若PE＝AE，可分别求得AP的长；当点P在CD边上时，AP＞PE＞AE，不可能为等腰三角形；当点P在BC边上，且PE＝AE＝13时，可求得AP＝5． 【解答】解：过点D作DH⊥AB于H， ∵四边形ABCD是菱形，AB＝20，∠A＝45°， ∴AD＝DC＝BC＝AB＝20， ∴AH＝DHAD＝1013， 又点E在边AB上，AE＝13， 当点P在AD边上时， 若AP＝AE，则AP＝13； 若PE＝AE，则∠APE＝∠A＝45°， ∴∠AEP＝90°， ∴△APE是等腰直角三角形， ∴APAE＝13； 当点P在CD边上时，AP＞PE＞AE，不可能为等腰三角形； 当点P在BC边上，且PE＝AE＝13时，如图，过点P作PG⊥AB于G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠PBG＝∠A＝45°， ∴△PBG是等腰直角三角形， ∴PG＝BG， 设PG＝BG＝y， 则EG＝y+7， ∵EG2+PG2＝PE2， ∴（y+7）2+y2＝132， 解得：y＝5（负值舍去）， ∴PG＝5，AG＝25， ∴AP5； 综上所述，AP的长为13或13或5． 故答案为：13或13或5． 【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理以及等腰三角形的性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用是解此题的关键． 【作业 8】（2025•湖南模拟）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，O是BD上的点，BO＝DO，∠ABD＝∠CBD，连结AO并延长交BC于点E． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）过点C作CF⊥AE，垂足为点F，若BE＝CE，求证：四边形ODCF是矩形． 【分析】（1）由AD∥BC，得到∠ADB＝∠CBD，∠DAE＝∠BEA，结合BO＝DO，证明△AOD≌△EOB（AAS），推出AO＝EO，易证四边形ABED是平行四边形，再根据∠ABD＝∠CBD，推出∠ABD＝∠ADB，得到AB＝AD，即可证明； （2）由（1）知四边形ABED是菱形，可得∠BOF＝∠DOF＝90°，由CF⊥AE，推出∠CFE＝90°，结合BE＝CE，证明△ECF≌△EOB（AAS），推出OB＝CF，进而得到CF＝DO，由∠BOF＝∠CFE＝90°证明BD∥CF，易证四边形ODCF是平行四边形，结合∠CFE＝90°，即可证明结论． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD，∠DAE＝∠BEA， ∵BO＝DO， ∴△AOD≌△EOB（AAS）， ∴AO＝EO， ∵BO＝DO， ∴四边形ABED是平行四边形， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴四边形ABED是菱形； （2）由（1）知四边形ABED是菱形， ∴BD⊥AE， ∴∠BOF＝∠DOF＝90°， ∵CF⊥AE， ∴∠CFE＝90°，即∠CFE＝∠BOF， ∵BE＝CE，∠CEF＝∠BEO， ∴△ECF≌△EOB（AAS）， ∴OB＝CF， ∴CF＝DO， ∵∠BOF＝∠CFE＝90°， ∴BD∥CF， ∴四边形ODCF是平行四边形， ∵∠CFE＝90°， ∴四边形ODCF是矩形． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 【作业 9】（2026•德州）如图，在Rt△ACE中，∠CAE＝90°，点D是CE的中点．连接AD，在平面内找一点B，使得AB∥CE，BE∥AD． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）若，四边形ABED的面积为，求线段AC的长． 【分析】（1）由AB∥CE得AB∥DE，结合BE∥AD，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，判定四边形ABED为平行四边形．在Rt△ACE中，∠CAE＝90°，点D是斜边CE的中点，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，得．平行四边形ABED中一组邻边AD＝DE，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，判定四边形ABED为菱形； （2）求线段AC的长设菱形ABED的高为h，由菱形面积公式得；因AB∥CE，点A到CE的距离等于h，且CE＝2DE（D是CE中点），故△ACE的面积．又Rt△ACE的面积也可表示为，已知，代入得，化简后解得AC＝4． 【解答】证明：（1）∵AB∥CE，点D在CE上， ∴AB∥DE． 又∵BE∥AD， ∴四边形ABED是平行四边形． 在Rt△ACE中，∠CAE＝90°，点D是CE的中点， ∴． ∵四边形ABED是平行四边形且AD＝DE， ∴四边形ABED是菱形． 解：（2）设菱形ABED边DE上的高为h． ∵四边形ABED是菱形， ∴菱形ABED的面积． ∵AB∥CE， ∴点A到CE的距离等于h． ∴△ACE的面积． ∵点D是CE的中点， ∴CE＝2DE． ∴△ACE的面积． 在Rt△ACE中，∠CAE＝90°， ∴△ACE的面积． ∵， ∴， ∴， ∴AC＝4． 【点评】题目考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 【作业 10】（2024•普陀区校级三模）如图，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC、AF⊥CD，垂足分别为点E、F，AE、AF分别交BD于点G、H． （1）求证：AG＝AH； （2）延长AF、BC相交于点P，当BG＝GH时，求证：． 【分析】（1）根据菱形的性质即可解决问题； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明△AGH是等边三角形，△ADC是等边三角形，进而可以解决问题． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴AE⊥AD，AF⊥AB， ∴∠DAG＝∠BAH＝90°， ∴∠AHB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣∠ADB＝∠AGD， ∴AH＝AG； （2）∵BG＝GH， ∴G是直角三角形ABH斜边BH的中点， ∴AG＝BG＝GH， 由（1）知：AH＝AG， ∴AG＝AH＝GH， ∴△AGH是等边三角形， ∴∠AHG＝60°， ∴∠ABH＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵AF⊥AB， ∴∠BAP＝90°， ∴∠P＝30°， ∴PFCF， 如图，连接AC， ∵∠ADC＝∠ABC＝60°，AD＝CD， ∴△ADC是等边三角形， ∵AF⊥CD， ∴CF＝DF， ∴． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 【作业 11】（2025•湖南模拟）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为CD、AD边上的点． （1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得AE＝CF，你添加的条件是 DE＝DF（答案不唯一，符合题意即可）　 ； （2）添加了条件后，证明AE＝CF． 【分析】（1）根据菱形的性质可知AD＝CD，∠D＝∠D，要使得AE＝CF，只需要添加的条件使得△ADE≌△CDF即可； （2）根据（1）的思路，利用查菱形的性质，全等三角形的判定及性质证明即可． 【解答】（1）解：添加DE＝DF，可根据全等三角形的性质得到结果， 故答案为：DE＝DF（答案不唯一，符合题意即可）； （2）证明：在菱形ABCD中，AD＝CD， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF． 【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定及性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【作业 12】（2024春•河北期末）如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，E，F是线段BD上的两点，连接AE，EC，CF，FA，已知∠AEB＝∠CFD． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若AB＝BC，求证：四边形AECF为菱形． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD，AB∥CD，再证明△ABE≌△CDF（AAS），得BE＝DF，进而得OE＝OF，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）证明平行四边形AB＝BC是菱形，得AC⊥BD，再由菱形的判定即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF． 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF， 即OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形． （2）∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD． 由（1）可知，四边形AECF是平行四边形， ∴平行四边形AECF是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $