第12讲 图形的位似 优等生讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第12讲 图形的位似 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 位似概念 位似性质 画位似图 坐标位似 实际应用 📚 知识梳理 ☆ 1.位似概念 对应顶点连线交于一点 对应边平行 特殊相似 概念辨析例题：位似是特殊的 解析：位似必相似 ☆ 2.位似性质 对应点到中心距离比=相似比 对应边平行 概念辨析例题：位似比1:2距离比 解析：距离比=位似比 ☆ 3.坐标位似 原点为中心(x,y)→(kx,ky)或(-kx,-ky) 概念辨析例题：A(2,3)放大2倍 解析：乘k或-k 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 位似 特殊相似 对应边平行 距离比 =位似比 对应点到中心 坐标位似 (x,y)→(kx,ky) 两种方向 面积比 =位似比平方 同相似 ⚠️ 核心考点 【考点1】位似概念性质（共6题） 特殊相似 距离比 1．（2024•连云区一模）要在已知△ABC上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原△ABC相似．以下是甲、乙两人的作法： 甲：如图1，分别以点A，C为圆心，同样长度为半径画弧，交AB，BC，AC于点F，D，E；以F点为圆心，以D，E间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点G；作射线AG，交BC边与点H．则△HBA即为所求； 乙：如图2，分别以点A，B，C为圆心，大于的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点D、E，F，G；分别作直线DE和FG，直线DE和FG分别交AB，AC于点M，N；连接MN．则△AMN即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　） A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确 2．（2026•景宁县三模）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为5：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝15，则A′B′的长为（　　） A．6 B．9 C．10 D．25 3．（2026•深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，DF＝3AC，点E坐标为，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（2026•城中区二模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，且OA＝2AD．若△ABC的面积为8，则△DEF的面积是（　　） A．9 B．12 C．16 D．18 5．（2025秋•卢龙县期末）如图，△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，若△ABC的周长等于△A′B′C′周长的．AO＝2，则OA′的长度为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（2025秋•洪洞县期末）如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，若OC′：CC′＝2：1，△A′B′C′的面积为8，则△ABC的面积为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【考点2】画位似图（共8题） 连中心延长 7．如图所示，是以点O为位似中心，确定四边形ABCD的位似图形四边形A′B′C′D′的几种画法，其中画法正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，下列关于△ABC的位似图形△DEF的几种画法，正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 9．（2025秋•福田区期末）如图，已知五边形ABCDE，以P点为位似中心画出五边形A′B′C′D′E′，使五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，相似比为2．若五边形ABCDE的周长为26，则五边形A′B′C′D′E′的周长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 10．（2023秋•富锦市校级期末）在平面直角坐标系中，A（﹣2，4），B（1，3），现以原点O为位似中心画出A′B′，使A′B′与AB相似比为，则A的对应点A′的坐标为 __________________ ． 11．（2026春•高新区校级期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC． （1）以点B为位似中心，将线段AC作位似变换，且放大到原来的2倍，得到线段FE（点F、E分别为A、C的对应点），在网格内画出线段EF． （2）若D点在第一象限，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为__________ ． 12．（2025•金水区校级开学）如图所示，每个方格的边长表示1cm．请按照要求画一画，填一填． （1）图①中的平行四边形沿高分成了两部分，把其中的三角形向_____ 平移_____ 格，平行四边形就变成了长方形，请画出这个平行四边形变形后的长方形，再画出这个长方形按1：2缩小后的图形． （2）画出图②的另一半，使它成为轴对称图形．形成后的轴对称图形的面积是_______ cm2． （3）把图③绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的图形三角形A′B′C′．旋转后和点B对应的B′点的位置用数对表示是（_______ ，_____ ）． 13．（2026春•萨尔图区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）． （1）以原点O为位似中心，在y轴左侧将△OBC放大到原来的2倍，并画出放大后的△OB′C′； （2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标； （3）若点M（x，y）在△ABC的内部，请直接写出经过（1）的变化后，对应点M′的坐标是______________ ． 14．（2026春•江岸区校级月考）如图是由小正方形组成的8×7的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下问题，每问的画线不得超过三条． （1）在图1中，作△ABC的高线BE； （2）在图1中，在BC上画一点F，使∠CFA＝∠CAB； （3）在图1中，在AC上画一点G，使BG＝BA； （4）在图2中，P是AC上一点，连接BP，将△BCP以点B为位似中心缩小到原来的得到△BC′P′． 【考点3】位似中心坐标（共5题） 连线交点 15．（2026•株洲校级开学）在研究位似问题时，甲、乙同学的说法如下： 甲：如图①，已知矩形ABCD和矩形EFGO在平面直角坐标系中，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）．若矩形ABCD和矩形EFGO是位似图形，点P（点P在GC上）是位似中心，则点P的坐标为（0，2）． 乙：如图②，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，则点B1的坐标为（4，0）． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对乙不对 D．甲不对乙对 16．（2022•龙岗区校级模拟）如图，已知反比例函数y（x＜0）图象上一点A，以原点为位似中心得到第四象限的点B，位似比为1：2，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC，则△ABC的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 17．（2023秋•夏县月考）如图，已知反比例函数图象上一点A，以原点为位似中心得到第四象限的点B．位似比为1：2，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC，则△ABC的面积为 _____ ． 18．（2026春•南岗区校级期中）按要求作图． （1）照样子用数对表示图中各点的位置：A（14，5），B（_______ ，_____ ），C（_______ ，_____ ）； （2）在方格图中画出△ABC按2：1放大后的图形．（所画图形不能与原图形重叠）． 19．（2026•金安区校级二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△OAB的三个顶点均为格点（网格线的交点）．已知坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个△OA1B1，使它与△OAB位似，且相似比为2； （2）请写出点A的对应点A1的坐标____________ ； （3）若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【考点4】原点位似变换（共8题） 坐标乘k或-k 20．（2026•南山区二模）如图，在平面直角坐标系中，A（3，2），B（6，﹣2），以原点O为位似中心画一个三角形，使它与△AOB位似，位似比为1：2，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（3，﹣1） B．（12，﹣4） C．（3，﹣1）或（﹣3，1） D．（12，﹣4）或（﹣12，4） 21．（2026•重庆模拟）如图，在平面直角坐标系中，△O′A′B′与△OAB关于原点位似，位似比为，已知点B（﹣4，﹣2），则点B在第一象限的对应点B′的坐标是（　　） A．（1，3） B．（2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，﹣3） 22．（2025秋•扬州期末）如图，△AOB与△CDB关于点B位似，其中B（1，1），D（4，4），则△AOB与△CDB的面积之比是________ ． 23．（2026•京口区二模）如图，△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3，∠OCD＝120°，CO＝CD，若B（﹣2，0），则点C的坐标为____________________ ． 24．（2026•望奎县一模）在平面直角坐标系中，已知点A（4，﹣2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是 __________________ ． 25．（2025秋•达川区期末）△ABC在坐标系的位置所示，三点的坐标分别为A（﹣3，2）、B（﹣1，3）、C（﹣2，1），请按要求完成任务： （1）以坐标原点为位似中心，相似比为2：1，在x轴下方将△ABC放大得到△A'B'C'． （2）在（1）中，点A'的坐标为 ___________ ． （3）在（1）中，若点P，Q分别是线段AB，AC的中点，则线段PQ在△A'B'C'中对应线段P'Q'的长度为 _______________ ． 26．（2023秋•永城市期末）如图．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，已知点C的坐标为（﹣4，1）． （1）以点O为位似中心，在给出的网格内画△A1B1C1使△A1B1C1与△ABC位似，并且点C1的坐标为（8，﹣2）； （2）△ABC与△A1B1C1的相似比是 ________ ． 27．（2025秋•九江校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（1，1）的对应点A′的坐标为（2，2），求点B（﹣1，2）的对应点B′的坐标． 【考点5】实际应用（共6题） 放缩作图 28．（2025秋•邓州市期末）小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若OB＝30cm，OB'＝20cm，蜡烛火焰倒立像A'B'＝6cm，则下列说法中，错误的是（　　） A．蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A'B'可以看成是位似图形 B．线段AB中点与线段A'B'中点的连线不一定经过点O C．△ABO∽△A'B'O D．蜡烛火焰AB长9cm 29．（2026•两江新区模拟）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，，若OB＝4，则OE的值为（　　） A．1.6 B．2.5 C．5 D．10 30．（2024•柘城县校级四模）如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”是位似图形，且相似比为2：1，位似中心为坐标原点O，点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为（1，2），则点N的坐标为（　　） A．（2，3） B．（2，4） C．（3，4） D．（1，4） 31．如图，在水平桌面上的两个“E”字形图案为位似图形，观测点O为位似中心，在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同． （1）图中b1，b2，l1，l2满足怎样的关系式？ （2）若b1＝3.2cm，b2＝2cm，①号“E”的测试距离l1＝8m，要使测得的视力相同，则②号“E”的测试距离l2应为多少？ 32．利用画位似图形的方法把四边形ABCD放大2倍成四边形A1B1C1D1，其中A1与A重合，新图形与原图形分别在对称中心两侧． 33．（2024秋•浦东新区校级月考）位似图形：如图甲，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点A′、B′、…、P′、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． （1）下列各图，是位似图形的有 _________ （2）①由（1）可知，位似图形 ________ 相似图形，相似图形 _________ 位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图乙，BC∥ED，下列说法不正确的是 _____ A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为AE：AD D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 （3）请在图丙中作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形A1B1C1D1，使它与下列矩形ABCD的相似比是． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•铁岭模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，﹣3），B（3，0），以点O为位似中心，在第二象限内作与△OAB的相似比为2的放大的位似图形△OCD，则点C的坐标为___________ ． 【练习 2】（2026•钱塘区二模）如图，在△ABO中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作△ABO的位似图形△CDO．已知点A（﹣1，2）的对应点为C（2，﹣4），则点B（﹣3，1）的对应点D的坐标为___________ ． 【练习 3】（2026春•双流区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F），已知△ABC的顶点A（2，4），若点D的坐标为（1，2），△DEF的面积为2，则△ABC的面积为_____ ． 💯 课后巩固 复习建议 特殊相似 距离比=位似比 坐标乘k或-k 两种方向 连线交点 【作业 1】（2026•柳北区一模）如图，在正方形网格图中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC和△A′B′C′的顶点均在格点上，则位似中心是（　　） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【作业 2】（2026•新城区校级模拟）如图，已知△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，若C（2，1），D（3，0），B（9，0），则点A的坐标为（　　） A．（4，2） B．（6，3） C．（5，3） D．（6，4） 【作业 3】（2025秋•罗湖区期末）如图，已知△ABC与△DEF是位似图形，DE＝2AB，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，△ABC的面积是1，则△DEF的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【作业 4】（2025秋•万州区校级月考）如图，△ABC和△DEF是以O为位似中心的位似图形，且OC＝3OF，△DEF的周长是12，则△ABC的周长是（　　） A．4 B．6 C．36 D．24 【作业 5】（2025秋•镇海区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，DF＝2AC，点B坐标为，则点E的坐标为（　　） A． B． C．（﹣2，1） D．（﹣1，2） 【作业 6】（2025秋•沛县期末）如图，△ABC与△DEF位似，其位似中心为点O，且，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为_______ ． 【作业 7】（2025秋•小店区月考）如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A（6，7），B（10，4），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B的对应点D的坐标为__________ ． 【作业 8】（2025•浙江模拟）在平面直角坐标系中，P，Q两点的坐标分别为（﹣5，﹣2），（﹣1，﹣3）．以原点O为位似中心，把线段PQ放大，得到线段P′Q′，点P的对应点P′的坐标是（15，6），则点Q′的坐标是__________ ． 【作业 9】（2025秋•石狮市期中）如图，▱ABCD与▱AEFG关于点A成位似图形．若它们的相似比为2：3，且▱AEFG的周长为12，则▱ABCD的周长为_____ ． 【作业 10】（2025•长春校级开学）图①，图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中的线段AB上找一点D，线段BC上找一点E，连结DE，使DE是△ABC的中位线． （2）在图②中，以点A为位似中心，作△ABC的位似△AMN，使S△AMN：S△ABC＝4：25． 【作业 11】（2026春•博白县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1． 【作业 12】（2026春•松江区校级月考）如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A（0，1），B（0，﹣2），C（﹣3，﹣1），D（﹣2，3）． （1）求这个四边形的面积； （2）如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标都乘﹣1，纵坐标都乘﹣1，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形ABCD的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【作业 13】（2026•合肥模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为（3，2），（1，4），（5，3）． （1）画出△ABC的重心G，并写出重心G的坐标； （2）以原点O为位似中心，将△ABC按位似比1：2将△ABC放大得到△A1B1C1并画出其图形； （3）填空：△A1B1C1的面积为_______ ． 【作业 14】（2025秋•盐田区期末）如图1、图2均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上，在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图1中以点A为位似中心、以线段AD为边画一个△ADE，使它与△ABC位似； （2）在图2中的线段AB上画一个点P，使． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 图形的位似 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 位似概念 位似性质 画位似图 坐标位似 实际应用 📚 知识梳理 ☆ 1.位似概念 对应顶点连线交于一点 对应边平行 特殊相似 概念辨析例题：位似是特殊的 解析：位似必相似 ☆ 2.位似性质 对应点到中心距离比=相似比 对应边平行 概念辨析例题：位似比1:2距离比 解析：距离比=位似比 ☆ 3.坐标位似 原点为中心(x,y)→(kx,ky)或(-kx,-ky) 概念辨析例题：A(2,3)放大2倍 解析：乘k或-k 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 位似 特殊相似 对应边平行 距离比 =位似比 对应点到中心 坐标位似 (x,y)→(kx,ky) 两种方向 面积比 =位似比平方 同相似 ⚠️ 核心考点 【考点1】位似概念性质（共6题） 特殊相似 距离比 1．（2024•连云区一模）要在已知△ABC上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原△ABC相似．以下是甲、乙两人的作法： 甲：如图1，分别以点A，C为圆心，同样长度为半径画弧，交AB，BC，AC于点F，D，E；以F点为圆心，以D，E间的距离为半径画弧，与先画的弧交于点G；作射线AG，交BC边与点H．则△HBA即为所求； 乙：如图2，分别以点A，B，C为圆心，大于的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点D、E，F，G；分别作直线DE和FG，直线DE和FG分别交AB，AC于点M，N；连接MN．则△AMN即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　） A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确 【分析】根据甲的作法可知，∠BAH＝∠BCA，根据相似三角形的判定可得△HBA∽△ABC，即甲的作法正确；根据乙的作法可知，直线DE为线段AB的垂直平分线，直线FG为线段AC的垂直平分线，则点M为AB的中点，点N为AC的中点，即MN为△ABC的中位线，从而可证明△AMN∽△ABC，即乙的作法正确． 【解答】解：根据甲的作法可知，∠BAH＝∠BCA， ∵∠ABH＝∠CBA， ∴△HBA∽△ABC． 故甲的作法正确． 根据乙的作法可知，直线DE为线段AB的垂直平分线，直线FG为线段AC的垂直平分线， ∴点M为AB的中点，点N为AC的中点， ∴MN为△ABC的中位线， ∴MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC． 故乙的作法正确． ∴甲、乙两人的作法都正确． 故选：A． 【点评】本题考查作图﹣相似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握基本尺规作图的方法、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 2．（2026•景宁县三模）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为5：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝15，则A′B′的长为（　　） A．6 B．9 C．10 D．25 【分析】根据位似图形的性质，位似图形的对应线段的比等于位似比，据此列出比例式计算即可 【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为5：3， ∴， ∵AB＝15， ∴， ∴A′B′＝9． 故选：B． 【点评】本题考查的是位似图形，解题的关键是掌握位似图形的位似比是对应边的比． 3．（2026•深圳模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，DF＝3AC，点E坐标为，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意得，△ABC与△DEF的相似比为AC：DF＝1：3，进而可得答案． 【解答】解：∵DF＝3AC， ∴△ABC与△DEF的相似比为AC：DF＝1：3， ∵点E的坐标为，点B位于第四象限 ∴点B的坐标为（（），3×（）），即（，﹣1）． 故选：B． 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 4．（2026•城中区二模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，且OA＝2AD．若△ABC的面积为8，则△DEF的面积是（　　） A．9 B．12 C．16 D．18 【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，证明△OAB∽△ODE，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴△OAB∽△ODE， ∵OA＝2AD， ∴OA：OD＝2：3， ∴， ∴（）2， ∵△ABC的面积为8， ∴△DEF的面积为18， 故选：D． 【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 5．（2025秋•卢龙县期末）如图，△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，若△ABC的周长等于△A′B′C′周长的．AO＝2，则OA′的长度为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】根据位似的性质可得△ABC∽△A′B′C′，且AC∥A′C′，结合周长比进而可得相似比为1：4，即有，再证明△AOC∽△A′OC′，问题得解． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′位似， ∴△ABC∽△A′B′C′，且AC∥A′C′， ∵△ABC的周长等于△A′B′C′周长的， ∴相似比为1：4， ∴， ∵AC∥A′C′， ∴△AOC∽△A′OC′， ∴， ∵AO＝2， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 6．（2025秋•洪洞县期末）如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，若OC′：CC′＝2：1，△A′B′C′的面积为8，则△ABC的面积为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【分析】根据位似图形的性质得到△A′B′C′∽△ABC，相似比为2：3，再根据相似三角形的性质作答即可． 【解答】解：∵OC′：CC′＝2：1， ∴OC′：OC＝2：3， ∵△ABC与△A′B′C′位似， ∴△A′B′C′∽△ABC，相似比为2：3， ∴， ∵△A′B′C′的面积为8， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 【考点2】画位似图（共8题） 连中心延长 7．如图所示，是以点O为位似中心，确定四边形ABCD的位似图形四边形A′B′C′D′的几种画法，其中画法正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用位似图形的定义可判断第二种画法不正确． 【解答】解：以点O为位似中心，确定四边形ABCD的位似图形四边形A′B′C′D′的几种画法，其中画法正确的为第一种、第三种和第4种． 故选：C． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键． 8．如图，下列关于△ABC的位似图形△DEF的几种画法，正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】利用位似的定义和位似图形的画法可判断4个画法都正确． 【解答】解：下列关于△ABC的位似图形△DEF的几种画法，正确有 故选：A． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换，熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．也考查了位似的性质． 9．（2025秋•福田区期末）如图，已知五边形ABCDE，以P点为位似中心画出五边形A′B′C′D′E′，使五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，相似比为2．若五边形ABCDE的周长为26，则五边形A′B′C′D′E′的周长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】结合位似的性质以及相似三角形的性质可得答案． 【解答】解：∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的相似比为2，五边形ABCDE的周长为26， ∴五边形A′B′C′D′E′的周长为13． 故选：D． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质以及相似三角形的性质是解答本题的关键． 10．（2023秋•富锦市校级期末）在平面直角坐标系中，A（﹣2，4），B（1，3），现以原点O为位似中心画出A′B′，使A′B′与AB相似比为，则A的对应点A′的坐标为 　（﹣1，2）或（1，﹣2）　 ． 【分析】利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的A的横纵坐标都乘以或得到A的对应点A′的坐标． 【解答】解：∵以原点O为位似中心画出A′B′，使A′B′与AB相似比为， 而A（﹣2，4）， ∴A的对应点A′的坐标为（﹣2，4）或[﹣2×（），4×（）]， 即（﹣1，2）或（1，﹣2）． 故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）． 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 11．（2026春•高新区校级期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC． （1）以点B为位似中心，将线段AC作位似变换，且放大到原来的2倍，得到线段FE（点F、E分别为A、C的对应点），在网格内画出线段EF． （2）若D点在第一象限，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为　（2，5）　 ． 【分析】（1）根据位似变换的作图要求找到对应点连线即可； （2）结合点A和点B的位置，根据平行四边形的性质即可根据点C求得点D． 【解答】解：（1）根据位似变换的作图要求找到对应点连线，如图，线段EF为所求； （2）如图， ∵A（﹣5，1），B（﹣2，2）， ∴根据平行四边形的性质将点C向上平移1个单位，向右平移3个单位， ∵C（﹣1，4）， ∴D（2，5）． 故答案为：（2，5）． 【点评】本题考查作图—位似变换，平行四边形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．（2025•金水区校级开学）如图所示，每个方格的边长表示1cm．请按照要求画一画，填一填． （1）图①中的平行四边形沿高分成了两部分，把其中的三角形向　右　 平移　8　 格，平行四边形就变成了长方形，请画出这个平行四边形变形后的长方形，再画出这个长方形按1：2缩小后的图形． （2）画出图②的另一半，使它成为轴对称图形．形成后的轴对称图形的面积是　10　 cm2． （3）把图③绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的图形三角形A′B′C′．旋转后和点B对应的B′点的位置用数对表示是（　16　 ，　3　 ）． 【分析】（1）将三角形左边的顶点平移到平行四边形底边右侧的端点即可；将所得长方形的长和宽分别缩小2倍，可画出缩放的图形； （2）找出图②各顶点关于对称轴的对称点，即可补全图形，再计算梯形的面积即可； （3）找出三角形各顶点旋转后的对应点，顺次连接即可． 【解答】解：（1）平行四边形变形后的长方形及缩小后的图形，如图： 图①中的平行四边形沿高分成了两部分，把其中的三角形向右平移8格，平行四边形就变成了长方形； 故答案为：右，8； （2）解：图②的另一半，如图： 6+4×2÷2＝10cm2， 答：形成后的轴对称图形的面积是10cm2， 故答案为：10； （3）△A′B′C′如图所示；旋转后和点B对应的B′点的位置用数对表示是（16，3）， 故答案为：16，3． 【点评】本题考查图形变换，位置与方向．掌握平移、旋转、缩放的特点是解题的关键． 13．（2026春•萨尔图区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）． （1）以原点O为位似中心，在y轴左侧将△OBC放大到原来的2倍，并画出放大后的△OB′C′； （2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标； （3）若点M（x，y）在△ABC的内部，请直接写出经过（1）的变化后，对应点M′的坐标是　（﹣2m，﹣2n）　 ． 【分析】（1）根据位似图形的性质和位似比作图即可，； （2）由（1）中图形即可写出B′，C′的坐标； （3）利用位似比及点M的坐标即可求解． 【解答】解：（1）放大后的△OB′C′，如图即为所求； （2）由图可得，B，C两点的对应点B′，C′的坐标为B′（﹣6，2），C′（﹣4，﹣2）； （3）∵△OBC内部有一点M（m，n），位似比为2， ∴其对应点M′的坐标为（﹣2m，﹣2n）， 故答案为：（﹣2m，﹣2n）． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换，掌握位似图形的性质是解题的关键． 14．（2026春•江岸区校级月考）如图是由小正方形组成的8×7的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下问题，每问的画线不得超过三条． （1）在图1中，作△ABC的高线BE； （2）在图1中，在BC上画一点F，使∠CFA＝∠CAB； （3）在图1中，在AC上画一点G，使BG＝BA； （4）在图2中，P是AC上一点，连接BP，将△BCP以点B为位似中心缩小到原来的得到△BC′P′． 【分析】（1）取格点P、Q，连接BP并延长与AC交于点E，可通过全等得出∠ACQ＝∠PBC，再结合∠BCQ＝90°，得出∠BEC＝90°，即BE⊥AC； （2）取格点H，连接AH与BC交于点F，先利用相似三角形的性质，得出，则，结合勾股定理进而推出，则△ACF∽△BCA，即∠CFA＝∠CAB； （3）取格点M、N，连接MN并延长与AC交于点G，则MN∥BE，得MG⊥AC，AE＝EG，即BE垂直平分AG，即可得出BG＝BA； （4）在BC上取三等分点C′，取格点K，连接C′K与BP交于点P′，由C′K∥AC可得△BC′P′与△BCP相似，且相似比比为． 【解答】解：（1）如图，线段BE即为所求； （2）如图，点F即为所求； （3）如图，点G即为所求； （4）如图即为所求． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【考点3】位似中心坐标（共5题） 连线交点 15．（2026•株洲校级开学）在研究位似问题时，甲、乙同学的说法如下： 甲：如图①，已知矩形ABCD和矩形EFGO在平面直角坐标系中，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）．若矩形ABCD和矩形EFGO是位似图形，点P（点P在GC上）是位似中心，则点P的坐标为（0，2）． 乙：如图②，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，则点B1的坐标为（4，0）． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对乙不对 D．甲不对乙对 【分析】根据题意求出CG，根据相似三角形的性质求出GP，求出点P的坐标．根据位似的性质得到点B1的坐标为（5，0）． 【解答】4解：∵矩形ABCD和矩形EFGO 是位似图形， ∴B和F是对应点， 设直线BF为y＝kx+b，则， 解得：， ∴． ∵位似中心是直线BF和CG的交点， ∴x＝0， ∴y＝2， ∴位似中心为P（0，2）， 故甲正确； 由图可知，点B的坐标为（3，﹣2），以点C为位似中心，在网格中画△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC位似，且△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，则点B1的坐标为（4，0），故乙正确． 故选：A． 【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 16．（2022•龙岗区校级模拟）如图，已知反比例函数y（x＜0）图象上一点A，以原点为位似中心得到第四象限的点B，位似比为1：2，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC，则△ABC的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据点A在反比例函数y（x＜0）图象上，设，根据位似比为1：2得B（﹣2a，），设过点B的反比例函数解析式为：y（k≠0），计算得k＝﹣8，可得过点B的反比例函数解析式为：y，根据反比例函数中k的几何意义，可得△BCO的面积，再算出△AOC的面积即可得． 【解答】解：∵点A在反比例函数y（x＜0）图象上， ∴设， ∵以原点为位似中心得到第四象限的点B，位似比为1：2， ∴B（﹣2a，）， 设过点B的反比例函数解析式为y（k≠0）， ∴则k＝﹣2a•（）＝﹣8， ∴过点B的反比例函数解析式为y， ∴S△BCO4， ∵S△AOC•2a•2， ∴S△ABC＝S△AOC+S△BCO＝2+4＝6， 故选：A． 【点评】本题考查了位似比，待定系数法求反比例函数，反比例函数k的几何意义，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 17．（2023秋•夏县月考）如图，已知反比例函数图象上一点A，以原点为位似中心得到第四象限的点B．位似比为1：2，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC，则△ABC的面积为 　6　 ． 【分析】设，根据位似比为1：2得，设过点B的反比例函数解析式为：，计算得k＝﹣8，可得过点B的反比例函数解析式为：，根据反比例函数中k的几何意义，可得△BCO的面积，再算出△AOC的面积即可得． 【解答】解：∵点A在反比例函数图象上， ∴设， ∵以原点为位似中心得到第四象限的点B，位似比为1：2， ∴， 设过点B的反比例函数解析式为：， 则， ∴过点B的反比例函数解析式为：， ∴， ∵， ∴S△ABC＝S△AOC+S△BCO＝2+4＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了位似比，待定系数法求反比例函数，反比例函数k的几何意义，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 18．（2026春•南岗区校级期中）按要求作图． （1）照样子用数对表示图中各点的位置：A（14，5），B（　11　 ，　3　 ），C（　14　 ，　3　 ）； （2）在方格图中画出△ABC按2：1放大后的图形．（所画图形不能与原图形重叠）． 【分析】（1）根据题意即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质画出图形即可． 【解答】解：（1）B（11，3），C（14，3）， 故答案为：11，3；14，3； （2）如图所示，△DEF即为所求． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换，正确地画出图形是解题的关键． 19．（2026•金安区校级二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△OAB的三个顶点均为格点（网格线的交点）．已知坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画一个△OA1B1，使它与△OAB位似，且相似比为2； （2）请写出点A的对应点A1的坐标　（﹣4，﹣2）　 ； （3）若以点A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【分析】（1）结合位似的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）结合平行四边形的性质确定点P的位置，进而可得答案． 【解答】解：（1）如图，△OA1B1即为所求． （2）由图可得，点A的对应点A1的坐标为（﹣4，﹣2）． 故答案为：（﹣4，﹣2）． （3）如图，点P1，P2，P3均满足题意， ∴点P的坐标为（1，3）或（3，﹣1）或（﹣1，﹣3）． 【点评】本题考查作图﹣位似变换、坐标与图形性质、平行四边形的性质，熟练掌握位似的性质、平行四边形的性质是解答本题的关键． 【考点4】原点位似变换（共8题） 坐标乘k或-k 20．（2026•南山区二模）如图，在平面直角坐标系中，A（3，2），B（6，﹣2），以原点O为位似中心画一个三角形，使它与△AOB位似，位似比为1：2，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（3，﹣1） B．（12，﹣4） C．（3，﹣1）或（﹣3，1） D．（12，﹣4）或（﹣12，4） 【分析】根据位似变换的性质解答． 【解答】解：∵以原点O为位似中心画一个三角形，使它与△AOB位似，位似比为1：2，B（6，﹣2）， ∴点B′的坐标为（6，﹣2）或（6×（），﹣2×（）），即（3，﹣1）或（﹣3，1）， 故选：C． 【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 21．（2026•重庆模拟）如图，在平面直角坐标系中，△O′A′B′与△OAB关于原点位似，位似比为，已知点B（﹣4，﹣2），则点B在第一象限的对应点B′的坐标是（　　） A．（1，3） B．（2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，﹣3） 【分析】根据位似比为，点B′在第一象限，得出对应点的横坐标、纵坐标都乘以，即可得出答案． 【解答】解：∵△O′A′B′与△OAB关于原点位似，位似比为，点B′在第一象限， ∴B（﹣4，﹣2），点B′的横坐标、纵坐标都乘以， ∴点B′的坐标是（2，1）． 故选：B． 【点评】本题考查位似变换，坐标与图形性质，正确作出辅助线是解题的关键． 22．（2025秋•扬州期末）如图，△AOB与△CDB关于点B位似，其中B（1，1），D（4，4），则△AOB与△CDB的面积之比是　1：9　 ． 【分析】根据两点之间的距离，得出OB和BD的长，再根据三角形位似，得出相似比，再根据面积比等于相似比的平方即可求解． 【解答】解：∵B（1，1），D（4，4）， ∴，， ∵△AOB与△CDB关于点B位似， ∴相似比为， ∴△AOB与△CDB的面积之比是1：9， 故答案为：1：9． 【点评】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，熟练掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键． 23．（2026•京口区二模）如图，△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3，∠OCD＝120°，CO＝CD，若B（﹣2，0），则点C的坐标为　（3，）　 ． 【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，由题意得∠COE＝30°，OE，由位似的性质可得D（6，0），即OD＝6，OE＝3，则可得CEOE，进而可得点C的坐标． 【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E， ∵∠OCD＝120°，CO＝CD， ∴∠COE＝30°，OE． ∵△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中心的位似图形，位似比为1：3，B（﹣2，0）， ∴D（6，0）， ∴OD＝6， ∴OE＝3， ∴CEOE， ∴点C的坐标为（3，）． 故答案为：（3，）． 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24．（2026•望奎县一模）在平面直角坐标系中，已知点A（4，﹣2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是 　（2，﹣1）或（﹣2，1）　 ． 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点A（4，﹣2）， ∴点A的对应点A′的坐标是（4，﹣2）或（4×（），﹣2×（）），即（2，﹣1）或（﹣2，1）， 故答案为：（2，﹣1）或（﹣2，1）． 【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 25．（2025秋•达川区期末）△ABC在坐标系的位置所示，三点的坐标分别为A（﹣3，2）、B（﹣1，3）、C（﹣2，1），请按要求完成任务： （1）以坐标原点为位似中心，相似比为2：1，在x轴下方将△ABC放大得到△A'B'C'． （2）在（1）中，点A'的坐标为 　（6，﹣4）　 ． （3）在（1）中，若点P，Q分别是线段AB，AC的中点，则线段PQ在△A'B'C'中对应线段P'Q'的长度为 　　 ． 【分析】（1）根据以坐标原点为位似中心，相似比为2：1，得到△A'B'C'的顶点，依次连接即可； （2）由点A（﹣3，2），以坐标原点为位似中心，相似比为2：1，可得A'（6，﹣4）； （3）点P，Q分别是线段AB，AC的中点，则线段，相似比为2：1，即可得：． 【解答】解：（1）∵△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2）、B（﹣1，3）、C（﹣2，1），且以坐标原点为位似中心，相似比为2：1， ∴△A'B'C'三个顶点的坐标分别为A'（6，﹣4）、B'（2，﹣6）、C'（4，﹣2）， 依次连接三个顶点可得△A'B'C'，如图所示： （2）∵A（﹣3，2），且以坐标原点为位似中心，相似比为2：1， ∴A'（6，﹣4）， 故答案为：A'（6，﹣4） （3）∵点P，Q分别是线段AB，AC的中点， ∴PQ是△ABC的一条中位线， ∴， ∵相似比为2：1， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形的相似比是解题的关键． 26．（2023秋•永城市期末）如图．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，已知点C的坐标为（﹣4，1）． （1）以点O为位似中心，在给出的网格内画△A1B1C1使△A1B1C1与△ABC位似，并且点C1的坐标为（8，﹣2）； （2）△ABC与△A1B1C1的相似比是 　1：2　 ． 【分析】（1）根据C点和C1点的坐标特征得到位似比，然后把A、B的横纵坐标都乘以﹣2得到A1、B1的坐标，然后描点即可； （2）根据位似图形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示． （2）△ABC与△A1B1C1的相似比是1：2． 故答案为：1：2． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换：掌握以原点为位似中心的对应点的坐标特征是解决问题的关键． 27．（2025秋•九江校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（1，1）的对应点A′的坐标为（2，2），求点B（﹣1，2）的对应点B′的坐标． 【分析】根据点的坐标可得到位似比为1：2，再根据位似比即可求解． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A（1，1）的对应点A′的坐标为（2，2）， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2， ∴点B（﹣1，2）的对应点B′的坐标为（﹣1×2，2×2），即（﹣2，4）． 【点评】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 【考点5】实际应用（共6题） 放缩作图 28．（2025秋•邓州市期末）小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若OB＝30cm，OB'＝20cm，蜡烛火焰倒立像A'B'＝6cm，则下列说法中，错误的是（　　） A．蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A'B'可以看成是位似图形 B．线段AB中点与线段A'B'中点的连线不一定经过点O C．△ABO∽△A'B'O D．蜡烛火焰AB长9cm 【分析】根据位似图形的概念、相似三角形的性质计算，判断即可． 【解答】解：A、蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像A′B′可以看成是位似图形，说法正确，不符合题意； B、线段AB中点与线段A′B′中点的连线一定经过点O，故本选项说法错误，符合题意； C、∵AB∥A′B′， ∴△ABO∽△A′B′O，说法正确，不符合题意； D、∵△ABO∽△A′B′O， ∴，即， 解得：AB＝9， ∴蜡烛火焰AB长9cm，说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 29．（2026•两江新区模拟）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，，若OB＝4，则OE的值为（　　） A．1.6 B．2.5 C．5 D．10 【分析】根据位似图形的性质得出△OAC∽△ODF，△OAB∽△ODE，根据相似三角形的性质得出，即可求出OE的值． 【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心， ∴△OAB∽△ODE，△OAC∽△ODF， ∴，， ∵， ∴， ∵OB＝4， ∴OE＝10． 故选：D． 【点评】本题考查位似变换，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 30．（2024•柘城县校级四模）如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”是位似图形，且相似比为2：1，位似中心为坐标原点O，点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为（1，2），则点N的坐标为（　　） A．（2，3） B．（2，4） C．（3，4） D．（1，4） 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【解答】解：∵两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为2：1，若点M的坐标为（1，2）， ∴点N的坐标为（1×2，2×2），即（2，4）， 故选：B． 【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 31．如图，在水平桌面上的两个“E”字形图案为位似图形，观测点O为位似中心，在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同． （1）图中b1，b2，l1，l2满足怎样的关系式？ （2）若b1＝3.2cm，b2＝2cm，①号“E”的测试距离l1＝8m，要使测得的视力相同，则②号“E”的测试距离l2应为多少？ 【分析】根据全等三角形的性质解答即可．根据P1D1∥P2D2，可得△P1D1O∽△P2D2O，即对应边成比例，从而进一步求解． 【解答】解：（1）∵P1D1∥P2D2， ∴△P1D1O∽△P2D2O， ∴， 即． （2）∵且b1＝3.2cm，b2＝2cm，l1＝8m， ．（注：可不进行单位换算） ∴l2＝5m． 答：②号“E”的测试距离l2应为5m． 【点评】本题主要考查了位似变换，解答本题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出树的高度． 32．利用画位似图形的方法把四边形ABCD放大2倍成四边形A1B1C1D1，其中A1与A重合，新图形与原图形分别在对称中心两侧． 【分析】根据位似变换、位似比的概念作图． 【解答】解：如图，四边形A′B′C′D′即为所求． 【点评】本题考查的是位似变换，位似图形是两个图形必须是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行． 33．（2024秋•浦东新区校级月考）位似图形：如图甲，如果一个图形的点A、B、…、P、…和另一个图形上的点A′、B′、…、P′、…分别对应，并且它们的连线都经过同一个点O，且，那么这两个图形叫做位似图形，点O是位似中心．这两个位似图形的对应边之比叫做它们的相似比． （1）下列各图，是位似图形的有 　①②④⑤　 （2）①由（1）可知，位似图形 　一定是　 相似图形，相似图形 　不一定是　 位似图形．（选填“一定是”、“一定不是”、“不一定是”） ②如图乙，BC∥ED，下列说法不正确的是 C A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心 C．两个三角形的位似比为AE：AD D．点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点 （3）请在图丙中作出符合要求的图形（用尺规作图，留下作图痕迹）：以点P为位似中心，作出矩形A1B1C1D1，使它与下列矩形ABCD的相似比是． 【分析】（1）根据位似图形的定义，进行判断即可； （2）①根据位似图形和相似图形之间的关系作答即可；②根据位似图形和位似比的定义进行判断即可； （3）连接AC，BD，交于点P，作线段AP的中垂线，交AP于点A1以P为圆心，A1P的长为半径，画弧，分别交PB，PC，PD于点B1，C1，D1，连接A1D1，A1B1，B1D1，C1D1，则矩形A1B1C1D1即为所求． 【解答】解：（1）由题意，可知：①②④⑤为位似图形，③的对应点的连线没有交于一点，不是位似图形， 故答案为：①②④⑤； （2）①由（1）可知：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形； 故答案为：一定是，不一定是； ②∵BC∥ED， ∴△AED∽△ACB， 又对应点C，E和对应点B，D的连线交于点A， 两个三角形是位似图形，点A为位似中心，点B与点D，点C与点E是两个位似图形的对应顶点，位似比为AE：AC； 综上，只有选项C的说法不正确，符合题意， 故答案为：C； （3）如图，矩形A1B1C1D1即为所求． 由作图可知：， ∴矩形A1B1C1D1与矩形ABCD位似，位似中心为P，且相似比为1：2． 【点评】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的定义，是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•铁岭模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，﹣3），B（3，0），以点O为位似中心，在第二象限内作与△OAB的相似比为2的放大的位似图形△OCD，则点C的坐标为　（﹣8，6）　 ． 【分析】利用相似比直接求解即可． 【解答】解：由题可知△OAB∽△OCD，且相似比为1：2， ∴， ∵A（4，﹣3），且点B在第二象限， ∴B（﹣8，6）， 故答案为：（﹣8，6）． 【点评】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． 【练习 2】（2026•钱塘区二模）如图，在△ABO中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作△ABO的位似图形△CDO．已知点A（﹣1，2）的对应点为C（2，﹣4），则点B（﹣3，1）的对应点D的坐标为　（6，﹣2）　 ． 【分析】根据题意可得△CDO与△ABO的位似比为2：1，再根据点B在第二象限，点D在第四象限即可得到答案． 【解答】解：∵以点O为位似中心，A（﹣1，2），C（2，﹣4）， ∴△CDO与△ABO的位似比为2：1， ∵点B的坐标是（﹣3，1）， ∴点B的对应点D的坐标是（6，﹣2）， 故答案为：（6，﹣2）． 【点评】本题主要考查了位似变换，坐标与图形性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 【练习 3】（2026春•双流区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F），已知△ABC的顶点A（2，4），若点D的坐标为（1，2），△DEF的面积为2，则△ABC的面积为　8　 ． 【分析】由题意得△ABC与△DEF的相似比为2：1，则可得△ABC与△DEF的面积比为4：1，进而可得答案． 【解答】解：∵△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，A（2，4），D（1，2）， ∴△ABC与△DEF的相似比为2：1， ∴△ABC与△DEF的面积比为4：1， ∵△DEF的面积为2， ∴△ABC的面积为8． 故答案为：8． 【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 特殊相似 距离比=位似比 坐标乘k或-k 两种方向 连线交点 【作业 1】（2026•柳北区一模）如图，在正方形网格图中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC和△A′B′C′的顶点均在格点上，则位似中心是（　　） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【分析】根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解． 【解答】解：根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心， 如图，连接AA′、BB′，交点即为位似中心， 由图形可得位似中心是点O， 故选：D． 【点评】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【作业 2】（2026•新城区校级模拟）如图，已知△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，若C（2，1），D（3，0），B（9，0），则点A的坐标为（　　） A．（4，2） B．（6，3） C．（5，3） D．（6，4） 【分析】由题意得△OAB与△OCD相似比为3：1，再结合位似的性质可得答案． 【解答】解：∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，D（3，0），B（9，0）， ∴△OAB与△OCD相似比为3：1， ∵C（2，1）， ∴点A的坐标为（6，3）． 故选：B． 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 【作业 3】（2025秋•罗湖区期末）如图，已知△ABC与△DEF是位似图形，DE＝2AB，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，△ABC的面积是1，则△DEF的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由题意得△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为1：4，进而可得答案． 【解答】解：∵DE＝2AB， ∴△ABC与△DEF的相似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的面积比为1：4， ∵△ABC的面积是1， ∴△DEF的面积是4． 故选：D． 【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． 【作业 4】（2025秋•万州区校级月考）如图，△ABC和△DEF是以O为位似中心的位似图形，且OC＝3OF，△DEF的周长是12，则△ABC的周长是（　　） A．4 B．6 C．36 D．24 【分析】由题意得△ABC与△DEF的相似比为3：1，则△ABC与△DEF的周长比为3：1，进而可得答案． 【解答】解：∵△ABC和△DEF是以O为位似中心的位似图形，且OC＝3OF， ∴△ABC与△DEF的相似比为3：1， ∴△ABC与△DEF的周长比为3：1， ∵△DEF的周长是12， ∴△ABC的周长为36． 故选：C． 【点评】本题考查位似变换、相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． 【作业 5】（2025秋•镇海区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，DF＝2AC，点B坐标为，则点E的坐标为（　　） A． B． C．（﹣2，1） D．（﹣1，2） 【分析】由题意得，△ABC与△DEF的相似比为AC：DF＝1：2，进而可得答案． 【解答】解：∵DF＝2AC， ∴△ABC与△DEF的相似比为AC：DF＝1：2， ∵点B坐标为， ∴点E的坐标为（﹣2，﹣2×（﹣1）），即（﹣1，2）． 故选：D． 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 【作业 6】（2025秋•沛县期末）如图，△ABC与△DEF位似，其位似中心为点O，且，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为　25　 ． 【分析】由题意得，则△ABC与△DEF的相似比为，可得△ABC与△DEF的面积比为，进而可得答案． 【解答】解：∵， ∴， ∴△ABC与△DEF的相似比为， ∴△ABC与△DEF的面积比为． ∵△ABC的面积为4， ∴△DEF的面积为25． 故答案为：25． 【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键． 【作业 7】（2025秋•小店区月考）如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A（6，7），B（10，4），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则点B的对应点D的坐标为　（5，2）　 ． 【分析】结合位似的性质可得答案． 【解答】解：由题意得，点B的对应点D的坐标为（10，），即（5，2）． 故答案为：（5，2）． 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 【作业 8】（2025•浙江模拟）在平面直角坐标系中，P，Q两点的坐标分别为（﹣5，﹣2），（﹣1，﹣3）．以原点O为位似中心，把线段PQ放大，得到线段P′Q′，点P的对应点P′的坐标是（15，6），则点Q′的坐标是　（3，9）　 ． 【分析】由题意知线段PQ与线段P′Q′的相似比为1：3，再结合位似的性质可得答案． 【解答】解：∵点P（﹣5，﹣2）的对应点P′的坐标是（15，6）， ∴线段PQ与线段P′Q′的相似比为1：3， ∴点Q′的坐标是（﹣1×（﹣3），﹣3×（﹣3）），即（3，9）． 故答案为：（3，9）． 【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 【作业 9】（2025秋•石狮市期中）如图，▱ABCD与▱AEFG关于点A成位似图形．若它们的相似比为2：3，且▱AEFG的周长为12，则▱ABCD的周长为　8　 ． 【分析】由题意易得▱ABCD∽▱AEFG，然后根据相似多边形的性质可进行求解． 【解答】解：∵▱ABCD与▱AEFG关于点A成位似图形，它们的相似比为2：3， ∴▱ABCD∽▱AEFG，它们的周长之比也为2：3， ∵▱AEFG的周长为12， ∴▱ABCD的周长为； 故答案为：8． 【点评】本题主要考查位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键． 【作业 10】（2025•长春校级开学）图①，图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中的线段AB上找一点D，线段BC上找一点E，连结DE，使DE是△ABC的中位线． （2）在图②中，以点A为位似中心，作△ABC的位似△AMN，使S△AMN：S△ABC＝4：25． 【分析】（1）分别取AB，BC的中点D，E即可； （2）由位似的性质得，△AMN∽△ABC，相似比为2：5，点M在AB上，点N在AC上，进而可得AM：MB＝AN：NC＝2：3．结合相似三角形的判定与性质画图即可． 【解答】解：（1）如图①，点D，E即为所求； （2）如图②，△AMN即为所求． 证明；由题意得，△AMN∽△ABC，相似比为2：5，点M在AB上，点N在AC上， ∴AM：AB＝AN：AC＝2：5， ∴AM：MB＝AN：NC＝2：3． 【点评】本题考查作图﹣位似变换、勾股定理、三角形中位线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业 11】（2026春•博白县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1． 【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴对称的点A1，B1，C1的坐标，再顺次连接即可； （2）将点A，B，C的横纵坐标分别乘以﹣2即可得到点A2，B2，C2，再顺次连接即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点B1的坐标为（﹣2，3）； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求． 【点评】本题主要考查了位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 【作业 12】（2026春•松江区校级月考）如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A（0，1），B（0，﹣2），C（﹣3，﹣1），D（﹣2，3）． （1）求这个四边形的面积； （2）如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标都乘﹣1，纵坐标都乘﹣1，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形ABCD的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【分析】（1）作DM⊥y轴于点M，CN⊥y轴于点N，如图所示，数形结合得到S四边形ABCD＝S△CBN+S四边形ADCN＝S△CBN+S梯形MNCD﹣S△ADM，代值求解即可得到答案； （2）由题意可知，所得的四边形和原四边形ABCD关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，即可得到答案． 【解答】解：（1）CN⊥y轴于点N，作DM⊥y轴于点M，如图所示： ∴S四边形ABCD＝S△CBN+S四边形ADCN＝S△CBN+S梯形MNCD﹣S△ADM ； （2）由题意可知，如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标都乘﹣1，纵坐标都乘﹣1，再顺次连接得到的各点， 所得的四边形和原四边形ABCD关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，其面积是． 【点评】本题考查图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． 【作业 13】（2026•合肥模拟）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为（3，2），（1，4），（5，3）． （1）画出△ABC的重心G，并写出重心G的坐标； （2）以原点O为位似中心，将△ABC按位似比1：2将△ABC放大得到△A1B1C1并画出其图形； （3）填空：△A1B1C1的面积为　12　 ． 【分析】（1）确定各边中点，可得中线，即可得解； （2）A、B、C三点坐标扩大两倍即可； （3）利用大长方形面积减去几个小三角形的面积即可得解． 【解答】解：（1）如图，点G即为所求； 重心G坐标为（3，3）； （2）如图，△A1B1C1即为所求； （3）△ABC的面积＝4×84×44×22×8＝12． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了位似变换、格点作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业 14】（2025秋•盐田区期末）如图1、图2均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上，在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹． （1）在图1中以点A为位似中心、以线段AD为边画一个△ADE，使它与△ABC位似； （2）在图2中的线段AB上画一个点P，使． 【分析】（1）利用网格特点得到AD：AB＝1：3，然后在AC上找到格点E使AE：AC＝1：3即可； （2）先确定格点C得到△ABC，在AC上找到格点D使AD：DC＝1：4，把BC向上平移4格，C点与D点重合，B点的对应点为E，则DE交AB于P点． 【解答】解：（1）如图1，△ADE为所作； （2）如图2，点P为所作； 【点评】本题考查了位似变换，熟练掌握画位似图形的一般步骤是解决问题的关键．也考查了位似的性质． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $