第11讲 相似三角形的性质 优等生讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第11讲 相似三角形的性质 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 对应线段比 周长面积比 判定性质综合 实际应用 对应高中线 📚 知识梳理 ☆ 1.相似性质 对应高中线角平分线比=相似比 周长比=相似比 面积比=相似比平方 概念辨析例题：相似比2:3面积比 解析：平方关系 ☆ 2.性质应用 先判定相似再用性质 同高三角形面积比=底之比 概念辨析例题：AD:DB=2:3,S△ADE=4求S△ABC 解析：相似比2:5面积比4:25 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 对应线段 高/中线/角平分线比=相似比 线性 周长比 =相似比 线性 面积比 =相似比平方 平方 同高三角形 面积比=底之比 同高模型 ⚠️ 核心考点 【考点1】求线段长（共5题） 列比例式 1．（2026•遵义模拟）如图，已知△ADE∽△ABC，若AD：AB＝1：2，则DE：BC＝（　　） A．1： B．1：2 C．2：3 D．1：4 【分析】根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【解答】解：∵△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：2， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边的比相等是解题的关键． 2．（2025秋•单县期末）两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（　　） A．18cm B．16cm C．14cm D．20cm 【分析】先根据最长边之比得出相似比，再结合周长之和求解较小三角形的周长即可． 【解答】解：∵两个相似三角形的最长边分别为10cm和6cm， ∴它们的相似比为10：6＝5：3 ∴它们的周长比为5：3， 设较小三角形的周长为3xcm，较大三角形的周长为5xcm， ∵它们的周长之和为48cm， ∴3x+5x＝48， 解得x＝6， ∴3×6＝18cm，即较小三角形的周长为18cm， 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的性质，关键掌握相似三角形的周长比等于相似比． 3．（2026春•南京月考）如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，AD＝2cm，点E在AC上．若△ADE与△ABC相似，则AE＝　或　 cm． 【分析】分两种情况讨论①DE∥BC，②∠ADE＝∠C，先证明△ADE∽△ABC，再通过对应线段成比例，求出AE，综合两种情况，得到AE的值． 【解答】解：分两种情况讨论： ①DE∥BC，如图1， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵AB＝6cm，AC＝8cm，AD＝2cm， ∴； ②∠ADE＝∠C，如图2， ∵∠DAE＝∠CAB，∠C＝∠ADE，AB＝6cm，AC＝8cm，AD＝2cm， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， 综上所述，AE的值为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键． 4．（2026•新华区二模）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，点D在线段BC上从点B向点C运动．当BD＝1时，则CE＝　　 ；设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 　4　 ． 【分析】证明△BAD∽△CAE，推出，可得结论；证明∠DCE＝90°，推出CPDE，求出DE的最小值，可得结论． 【解答】解：∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，，℃ ∴△BAD∽△CAE， ∴， ∵BD＝1． ∴CE， ∵△BAD∽△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABD+∠ACB＝90°， ∴∠ACB+∠ACE＝90°， ∴∠DCE＝90°， ∵DP＝PE， ∴CPDE， ∵△ABC∽△ADE， ∴AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小， ∵AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°， ∴BC10， 根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，此时AD， ∴DEAD＝8， ∴CP的最小值为8＝4， 故答案为：，4． 【点评】本题考查相似三角形的性质，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 5．（2025秋•黔江区期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上任意一点，连接AE，DE． （1）若△ABE∽△ECD，AE＝6，DE＝8，点F是AD的中点，连接EF，求EF的长； （2）若∠BAE＝∠CED，AB＝2，BC＝5，求BE的长． 【分析】（1）根据△ABE∽△ECD可推断出∠AED＝90°，使用勾股定理计算出AD，结合点F是AD的中点可得，； （2）设BE＝x，则EC＝BC﹣BE＝5﹣x，结合矩形的性质和∠BAE＝∠CED可证明△ABE∽△ECD，则，解方程求出x的值即可． 【解答】解：（1）∵△ABE∽△ECD， ∴∠BAE＝∠CED（相似三角形对应角相等）， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝180°﹣∠B＝90°， ∴∠AEB+∠CED＝∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠AED＝180°﹣∠AEB﹣∠CED＝180°﹣90°＝90°， 在直角△ADE中，， ∵点F是AD的中点， ∴； （2）设BE＝x，则EC＝BC﹣BE＝5﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝2， ∵∠BAE＝∠CED， ∴△ABE∽△ECD， ∴（相似三角形对应边成比例），即BE•EC＝AB•CD， ∴x（5﹣x）＝4， 解得，x1＝1，x2＝4， ∴BE＝1或4． 【点评】本题考查相似三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质是解题关键． 【考点2】求面积（共5题） 面积比=平方 6．（2026•广州校级模拟）如果两个相似三角形的面积比为1：2，那么它们的对应角平分线的比为（　　） A．1：4 B．1：2 C．1：16 D． 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得到两个三角形的相似比，而相似三角形的对应角平分线的比等于相似比，由此得解． 【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为1：2， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应角平分线的比为． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 7．（2025秋•尉氏县月考）若△ABC∽△DEF，且，则S△DEF＝　27　 ． 【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且， ∴， ∴， 则S△DEF的值为27， 故答案为：27． 【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是相似三角形性质的熟练掌握． 8．（2026•安阳县一模）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．如图，在Rt△ABC中，，，以AB为对角线，作垂等四边形ACBD．过点D作CB延长线的垂线，垂足为E，且△ACB与△DBE相似，则四边形ACBD的面积为　或　 ． 【分析】如图，过点D作DF⊥AC，垂足为F，构造矩形CEDF．在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC＝4，BC＝2．再由垂等四边形ACBD的性质知．分两种情况：①当△ACB∽△BED时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB求得结果；②当△ACB∽△DEB时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB求得结果． 【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∴∠DFC＝90°， ∵∠FCE＝∠DEC＝90°， ∴四边形CEDF为矩形， ∵， ∴AC＝2CB． ∵， ∴AC2+BC2＝AB2，即（2BC）2+CB2＝20， 解得：BC＝2（负值已舍去）， ∴AC＝4， ∵四边形ACBD为垂等四边形， ∴． ①当△ACB∽△BED时，， ∴， 设DE＝x，则BE＝2x， ∴CE＝2+2x． 在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE2+DE2＝CD2，即（2+2x）2+x2＝20， 解得：，（舍去）， ∴，， ∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB ； ②当△ACB∽△DEB时，， ∴， 设BE＝y，则DE＝2y， ∴CE＝2+y． 根据勾股定理得，（2+y）2+（2y）2＝20， 解得：，（舍去）， ∴，， ∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB， ∴综上所述，四边形ACBD的面积为或， 故答案为：或． 【点评】本题考查相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 9．（2026秋•同步）如图，AB与CD相交于点O，△BOD∽△AOC，，OB＝6，S△AOC＝50． （1）求OA的长； （2）求S△BOD． 【分析】（1）根据相似三角形对应边成比例计算即可； （2）根据相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：（1）∵△BOD∽△AOC， ∴， ∵，OB＝6， ∴， ∴OA＝10； （2）∵△BOD∽△AOC， ∴， ∵S△AOC＝50， ∴18． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 10．（2025秋•铁西区期末）两个相似三角形的最长边分别是5cm和7cm，并且它们的周长之和为48cm，求这两个三角形的周长分别是多少cm． 【分析】两个相似三角形的周长比等于相似比，由最长边之比得出相似比，再根据周长之和求解即可． 【解答】解：∵两个相似三角形的最长边分别是5cm和7cm， ∴这两个相似三角形的相似比为5：7， ∴这两个相似三角形的周长比为5：7， ∵这两个相似三角形的周长之和为48cm， ∴较大三角形的周长是， 较小三角形的周长是， 答：较大三角形的周长是28cm、较小三角形的周长是20cm． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【考点3】判定性质综合（共14题） 先判定后用性质 11．（2026•云南）如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，记△COD的面积为S1，△AOB的面积为S2．若，则（　　） A． B． C． D． 【分析】先证明△CDO∽△ABO，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴△CDO∽△ABO， ∴（）2＝（）2． 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示两个三角形面积之间的关系或进行几何计算． 12．（2026春•开州区月考）如图，四边形ABCD是正方形，点E是线段CD上一点，连接AE并延长至点F，连接AC、CF，连接BF分别交AC、CD于点H、G，若CE＝CF，S△CEF＝30，CF＝10，则线段EG的长度为（　　） A． B．4 C． D． 【分析】过点F作FN⊥DC交DC于点N，由S△CEF求出FN的长度，由勾股定理得出CN、EN的长度，通过假设未知数，结合△ADE∽△FNE，求出正方形的边长，即可得BC的长度，再通过△BCG∽△FNG可求出NG的长度，最后计算出EG的长度． 【解答】解：过点F作FN⊥DC交DC于点N，如图所示： ∵S△CEF＝30，CE＝CF＝10， ∴， 解得FN＝6， ∴， ∴EN＝CE﹣CN＝2， 令DE＝x，则AD＝BC＝DC＝x+10， ∵∠ADE＝∠FNE＝90°， ∠AED＝∠FEN， ∴△ADE∽△FNE， ∴， ∴， 解得x＝5， ∴BC＝x+10＝15， 令NG＝y，则CG＝8﹣y， 同理可证△BCG∽△FNG， ∴， 15y＝6（8﹣y）， 15y＝48﹣6y， 解得， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点和准确添加适当的辅助线是解题的关键． 13．（2026•信阳二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，点E为OC的中点，过点E作EF∥AB，已知AC＝6，BD＝10，则EF的长为（　　） A． B． C． D．1 【分析】先根据勾股定理求出AB＝4，再证明△CEF∽△CAB，进而即可求解． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝10， ∴，． ∵AC⊥AB， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得：， ∵点E为OC的中点， ∴， ∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB， ∴，即， 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 14．（2025秋•萍乡期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形的性质得出CD∥AB，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【解答】解：A．∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC， ∵CD∥AB， ∴， ∵AB＝CD， ∴，正确； B．∵AE∥BC， ∴， ∵AD＝BC， ∴，正确； C．∵AE∥BC， ∴， 即， ∵AB＝CD， ∴， ∴，错误． D．∵AE∥BC， ∴，正确； 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 15．（2025•桂阳县校级开学）如图，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，E为BD中点，AD＝2，CE＝CA，则CD＝ 　　 ． 【分析】作EF⊥AD于点F，可证得△EAD∽△CAE，从而，可证得△CEF∽△BCA，从而，进一步得出结果． 【解答】解：如图， 作EF⊥AD于点F， ∵∠BAC＝90°，点E是BD的中点， ∴AE＝BE＝DEBD， ∴AF＝DFAD＝1，∠CAE＝∠ADE，∠ABE＝∠BAE， ∴∠AED＝∠ABE+∠BAE＝2∠BAE， ∵BAD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠BAE， ∴∠AED＝∠ABC， ∵CE＝CA， ∴∠CAE＝∠AEC， ∴△EAD∽△CAE，∠ACE＝∠AED， ∴，∠ACE＝∠ABC， ∴， 设AE＝a，CD＝x， ∴①，EF， ∴AB＝2EF＝2， ∵∠BAC＝∠EFD＝90°， ∴△CEF∽△BCA， ∴， ∴②， 由①②得， x1或（舍去）， ∴CD， 故答案为：． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是根据相似三角形的性质列出方程组． 16．（2026春•西城区校级月考）如图，在矩形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE并延长交CD于点F，过点E作EG⊥AE交BC于点G，若AB＝8，AD＝6，BG＝2，则AE＝　　 ． 【分析】过点E作AB的平行线，分别交AD，BC于点M，N，先根据矩形的性质与判定可得四边形ABNM和四边形CDMN都是矩形，设EM＝x（x＞0），则EN＝8﹣x，再根据相似三角形的判定证出△DEM∽△DBA，根据相似三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定证出△AEM∽△EGN，根据相似三角形的性质可得x的值，最后在Rt△AEM中，利用勾股定理即可得． 【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，过点E作AB的平行线，分别交AD，BC于点M，N， ∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠C＝90°，AD∥BC， ∴四边形ABNM是矩形， ∴MN＝AB＝8，∠AME＝∠ENG＝90°， 同理可得：四边形CDMN是矩形， ∴DM＝CN， 设EM＝x（x＞0），则EN＝MN﹣EM＝8﹣x， ∵EM∥AB， ∴△DEM∽△DBA， ∴，即， 解得：， ∴， ∵BG＝2， ∴， ∵∠AME＝90°，EG⊥AE， ∴∠EAM+∠AEM＝90°＝∠GEN+∠AEM， ∴∠EAM＝∠GEN， ∵∠AME＝∠ENG＝90°， ∴△AEM∽△EGN， ∴，即， 解得：或x＝8（经检验，是分式方程的根，且符合题意；x＝8不是分式方程的根，舍去）， ∴， 在直角三角形AEM中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 17．（2026春•廉江市期中）如图，矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，且BE：ED＝1：3，AB＝4cm，则BD＝　8　 cm． 【分析】由矩形的性质得，进而可证AE垂直平分OB，可得OA＝AB＝4cm，即可得解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∵BE：ED＝1：3， ∴， ∴， ∴BE＝OE， ∵AE⊥BD， ∴AE垂直平分OB， ∴OA＝AB＝4cm， ∴BD＝2OA＝8cm， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 18．（2026•红河州一模）如图，若DE∥BC，且，则　　 ． 【分析】先证明△ADE∽△ABC，得到，再根据比例的性质，从而得出答案． 【解答】解：∵DE∥BC，且， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 19．（2026春•浦东新区期中）如图，四边形ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10：7．上底AB与下底CD的长度之比为　3：14　 ． 【分析】连接AC，根据三角形中线的性质得出△ACE与△DCE面积相等，设出面积参数，分别表示出△ABC与△ACD的面积，利用等高三角形面积比等于底边比即可求解． 【解答】解：四边形ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，如图，连接AC， 由题意得，设S△DCE＝7x，S四边形ABCE＝10x， ∵点E是AD的中点， ∴S△ACE＝S△DCE＝7x， ∴S△ACD＝S△ACE+S△DCE＝14x， ∴S△ABC＝S四边形ABCE﹣S△ACE ＝10x﹣7x ＝3x， ∵四边形ABCD是梯形， ∴AB∥CD， ∴△ABC与△ACD的AB，DC边上的高相等， ∴AB：CD ＝S△ABC：S△ACD ＝3x：14x ＝3：14． 故答案为：3：14． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，正确进行计算是解题关键． 20．（2026•上海校级模拟）如图，在菱形ABCD中，E是CD上一点，联结BE并延长交AD的延长线于点G，交AC于点F． （1）求证：BE•BF＝BG•EF； （2）若E是CD的中点，且AF•CF＝2BF2，求证：BE⊥CD． 【分析】（1）证明△GAB∽△BCE得到，证明△ABF∽△CEF，得到，则可得到，据此可证明结论； （2）连接DF，证明△CFD≌△CFB（SAS），得到DF＝BF，由相似三角形的性质得到，则AF＝2CF，则可证明CF＝BF，即CF＝DF，再由三线合一定理可证明结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AD∥BC，∠BCD＝∠BAD，∠G＝∠EBC， ∴△GAB∽△BCE， ∴， ∵AB∥CD， ∴△ABF∽△CEF， ∴， ∴， ∴BE•BF＝BG•EF； （2）如图所示，连接DF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ACD＝∠ACB，AB＝CD＝BC， 又∵CF＝CF， ∴△CFD≌△CFB（SAS）， ∴DF＝BF， ∵E是CD的中点， ∴， 由（1）得△ABF∽△CEF， ∴， ∴AF＝2CF， ∵AF•CF＝2BF2， ∴2CF•CF＝2BF2， ∴CF＝BF或CF＝﹣BF（舍去）， ∴CF＝DF， 又∵E是CD的中点， ∴EF⊥CD，即BE⊥CD． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，熟知菱形的性质和相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． 21．（2026•长宁区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点G在边BC上，联结AG交BD于点F，若AO2＝OF•OB． （1）求证：△AOF∽△DOC； （2）若AG⊥BC，∠BCA＝∠ACD，求证：四边形ABCD是菱形． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得OB＝OD，AO＝OC，则AO•OC＝OF•OD，即，结合∠AOF＝∠DOC即可得出结论； （2）根据条件推理，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行推理判定． 【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O， ∴AO＝OC，OB＝OD， ∵AO2＝OF•OB， ∴AO•OC＝OF•OD，即，， 又∵∠AOF＝∠DOC， ∴△AOF∽△DOC； （2）证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∵∠BCA＝∠ACD， ∴∠BAC ＝∠BCA， ∴AB＝BC． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形． 【点评】本题考查平行四边形性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22．（2026•江油市二模）如图，四边形ABCD是正方形，点G为边CD上一点，连接AG并延长，交BC的延长线于点F，连接BD交AF于点E，连接EC． （1）求证：△ADE≌△CDE； （2）求证：AE2＝EF•EG． 【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，然后通过“SAS”证明△ADE≌△CDE即可； （2）由四边形ABCD是正方形，得AD∥BC，所以∠DAF＝∠F，由全等三角形性质可得∠DAF＝∠DCE，AE＝CE，故有∠DAF＝∠F，然后证明△GEC∽△CEF，得，即CE2＝EF•EG，所以AE2＝EF•EG． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝CD， 在△ADE和△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE（SAS）； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠DAF＝∠F， ∵△ADE≌△CDE， ∴AE＝CE，∠DAF＝∠DCE， ∴∠DAF＝∠F， 又∵∠GEC＝∠CEF， ∴△GEC∽△CEF， ∴， ∴CE2＝EF•EG， ∴AE2＝EF•EG． 【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 23．（2025•临平区二模）如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，连结AC交DE于点P，连结BP． （1）求证：PB2＝PE•PF． （2）若AD＝6，PB＝2PE，求BF的长． 【分析】（1）利用菱形的性质得AB＝CD＝CB＝AD，∠DCP＝∠BCP，AD∥BC，CD∥AB，证明△DCP≌△BCP，得∠CDP＝∠CBP，再证明∠CBP＝∠F，证明△BPE∽△FPB，即可证明； （2）由△BPE∽△FPB，结合PB＝2PE，得，得BF＝2BE，由AD∥BC，得△BEF∽△ADF，可得，得AF＝2AD，即可计算． 【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，点E在边BC上，AC是菱形的对角线， ∴AB＝CD＝CB＝AD，∠DCP＝∠BCP，AD∥BC，CD∥AB， ∴∠CDP＝∠F， 在△DCP与△BCP中， ， ∴△DCP≌△BCP（SAS）， ∴∠CDP＝∠CBP， ∴∠CBP＝∠F， 又∵∠BPE＝∠FPB， ∴△BPE∽△FPB， ∴， ∴PB2＝PE•PF； （2）解：由（1）得：△BPE∽△FPB， ∴， ∵AD＝6，PB＝2PE， ∴， ∴BF＝2BE， ∵AD∥BC， ∴△BEF∽△ADF， ∴， ∴， ∴AF＝2AD， ∵AB＝AD＝6， ∴AF＝2AD＝12， ∴BF＝AF﹣AB＝6． 【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键． 24．（2026•奉贤区三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，M为边AB的中点，点N在边AC上，MN∥BC，交AD于点E，联结DM、DN． （1）求证：四边形AMDN是矩形． （2）联结BE，交DM于点F．如果DF＝EF，求证：BD•BC＝2BF•BE． 【分析】（1）先利用三角形中线的定义得到BD＝DC，再根据三角形中位线定理得到DM∥AC，MDAC，接着利用平行线分线段成比例定理，由MN∥BC得到，所以ANAC，然后证明四边形AMDN为平行四边形，最后利用∠MAN＝90°得到结论； （2）先根据斜边上的中线性质得到AD＝BD，则利用等腰三角形的性质得到DM平分∠ADB，所以∠BDM＝∠ADM，由DF＝EF得到∠EDF＝∠FED，所以∠BDM＝∠FED，接着证明△BDF∽△BED得到BD：BE＝BF：BD，然后利用BDBC和比例的性质可得到结论． 【解答】证明：（1）∵AD是边BC上的中线， ∴BD＝DC， ∵M为边AB的中点， ∴DM为△ABC的中位线， ∴DM∥AC，MDAC， ∵MN∥BC， ∴， ∴ANAC， ∴DM＝AN， ∵DM∥AN， ∴四边形AMDN为平行四边形， ∵∠MAN＝90°， ∴四边形AMDN是矩形； （2）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线， ∴AD＝BD， ∵M为边AB的中点， ∴DM平分∠ADB， ∴∠BDM＝∠ADM， ∵DF＝EF， ∴∠EDF＝∠FED， ∴∠BDM＝∠FED， ∵∠DBF＝∠EBD， ∴△BDF∽△BED， ∴BD：BE＝BF：BD， ∵BDBC， ∴BD：BE＝BF：BC， ∴BD•BC＝2BF•BE． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线性质和矩形的判定与性质． 【考点4】实际应用（共9题） 测高小孔成像 25．（2025秋•奉贤区期末）一个三角形框架模型的边长分别为20cm、30cm、40cm，工人师傅要利用两根30cm和50cm的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（　　） A．80cm B．67.5cm C．60cm D．52.5cm 【分析】分30cm与20cm对应、30cm与30cm对应、30cm与40cm对应三种情况，根据相似三角形的性质、三角形周长公式计算即可． 【解答】解：设另一根上截出作为另外两边的长为xcm，ycm， 当30cm与20cm对应时，， 解得：x＝45，y＝60，不符合题意； 当30cm与30cm对应时，x＝20，y＝40，不符合题意； 当30cm与40cm对应时，， 解得：x＝15，y＝22.5， 则这个三角形的周长为：30+15+22.5＝67.5（cm）， 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 26．（2025•内江）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（　　） A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm 【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得AC的长度． 【解答】解：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴AC∥BD， ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∵OA＝150cm，OB＝50cm，BD＝20cm， ∴， ∴AC＝60， ∴AC的长为60cm． 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 27．（2025秋•闵行区期末）如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的　　 （填“几分之几”）． 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵点O为光源，CD为小狗手影，AB为小明的手， ∴AB∥CD， 作OE⊥AB交AB于点E，延长OE交CD于点F，则OF⊥CD， ∵AB∥CD， ∴∠OBA＝∠ODC，∠OAB＝∠OCD， ∴△OAB∽△OCD， ∴， ∵OF＝3+1＝4米，OE＝1米， ∴， 设AB＝x， ∴CD＝4x， ∵在光源不动的情况下，光源与手的距离增加1米， ∴OE′＝2米， ∵△OAB∽△OC′D′， ∴， ∴， ∴C′D′x， ∴， 答：小狗手影的高度变为原来的， 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 28．（2025秋•河南校级期末）如图，小南利用三角板测量大树AB的高度．他通过不断调整自己的姿势和三角板的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知“三角板的两边EF＝0.2m，DE＝0.3m，小南的眼睛到地面的距离DM为1.6m，测得AM＝21m，则树高AB的长为　15.6m ． 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可得到答案． 【解答】解：由题可知：∠DEF＝∠DCB＝90°， ∠EDF＝∠CDB， ∴△DEF∽△DCB， ∴， ∵EF＝0.2m，DE＝0.3m，AM＝CD＝21m， ∴，DE＝0.3m，AM＝CD＝21m， ∴， ∴BC＝14， ∵DM＝AC＝1.6m， ∴AB＝BC+AC＝14+1.6＝15.6m， 故答案为：15.6m． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的对应边成比例是解题关键． 29．（2025秋•昌平区期末）如图，小树AB在路灯O的照射下形成影子BC．若路灯灯泡底端距离地面的高度OP＝12m，BC＝4.8m，CP＝7.2m，则小树高度AB＝　8　 m． 【分析】根据相似三角形的判定证出△ABC∽△OPC，然后利用相似三角形的性质求解即可得． 【解答】解：根据题意得：AB⊥CP，OP⊥CP， ∴AB∥OP， ∴△ABC∽△OPC， ∴， ∵OP＝12m，BC＝4.8m，CP＝7.2m， ∴， ∴AB＝8． ∴小树高度AB＝8m． 故答案为：8． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 30．（2023秋•福田区校级期中）如图所示的是一圆柱形笔筒在灯光P下的投影，已知该笔筒底面圆的直径BC＝6，笔筒的高CD＝8，点D在灯光P下的投影为点B，点A在灯光P下的投影为点A′，过点P作PE⊥BE于点E，CE＝4，点A′，B，C，E在同一直线上． （1）求PE的长； （2）求点A′到CD的距离． 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵笔筒的高CD＝8，即CD⊥BE，PE⊥BE， ∴CD∥PE，∠BCD＝∠BEP＝90°， ∴∠BDC＝∠BPE， ∴△BCD∽△BEP， ∴， ∵BC＝6，CE＝4，点A′，B，C，E在同一直线上， ∴， ∴PE， 经检验，PE是原方程的解且符合题意， 答：PE的长为； （2）根据题意：AB∥PE， ∴∠A′AB＝∠A′PE，∠A′BA＝∠A′EP， ∴△A′BA∽△A′EP， ∴， ∵笔筒的高CD＝8，BC+CE＝6+4＝10， ∴， 解得：A′B＝15， 经检验，A′B＝5是原方程的解且符合题意， ∴A′C＝A′B+BC＝15+6＝21． 答：点A′到CD的距离为21． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力，解题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 31．（2025秋•安新县期末）某校开发了一块四边形学农实践基地，如图，在四边形ABCD中，△ABD是蔬菜，△CDB是水果园，AB∥CD，AB＝40m，BD＝60m，CD＝90m． （1）求证：△ABD∽△BDC； （2）若蔬菜园△ABD的面积为800m2，求水果园△CDB的面积． 【分析】（1）根据题意得出，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDC，证明△ABD∽△BDC； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算． 【解答】（1）证明：∵AB＝40m，BD＝60m，CD＝90m， ∴，， ∴， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC， ∴△ABD∽△BDC； （2）解：（）2＝（）2， ∵△ABD的面积为800m2， ∴水果园△CDB的面积为1800m2． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判断方法、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 32．（2026春•静安区期中）电阻是表示导体对电流的阻碍作用大小的物理量，通常用符号R表示，电阻在国际单位制中的单位是欧姆，简称欧，符号是Ω，电阻值一般为非负数．如图，为一测量电路，Rx，Ry均为可调电阻，R，R1，R2为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表．若调节Rx的电阻大小，可使得电流表读数为0，此时的电阻R对整个电路没有影响，电路中的其他电阻满足，这个现象叫做电桥平衡．现已知R1＝4Ω，R2＝9Ω．诗诗发现Ry＝Rx时，出现了电桥平衡，贝贝将Ry调大了6Ω，若诗诗想通过调节Rx再次实现电桥平衡，则需要将Rx的电阻大小怎么调整？ 【分析】根据R1＝4Ω，R2＝9Ω结合Ry＝Rx，利用计算出初始时Rx，Ry的值，由贝贝将Ry调大了6Ω得新的Ry＝6+6＝12（Ω），代入计算出新的Rx，对比初始值，即可得Rx的电阻大小的调整． 【解答】解：将R1＝4Ω，R2＝9Ω代入， 得， 得Rx•Ry＝36， 当Ry＝Rx时，电桥平衡， 则Rx•Rx＝36， ∴初始时，Rx＝Ry＝6， 贝贝将Ry调大了6Ω，则新的Ry＝6+6＝12（Ω）， 设此时新的Rx＝xΩ， 则， 解得x＝3， ∴新的Rx＝3Ω， ∵6﹣3＝3Ω， ∴需将Rx的电阻调小3Ω． 【点评】本题主要考查了比的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 33．（2025•新昌县一模）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米． （1）求像A′B′的长度． （2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长． 【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明△OAB∽△OA′B′与△OAC∽△OA′D解答即可； （2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】解：（1）由题意得：AB∥MN∥A′B′，OC＝32cm，OD＝12.8cm，AB＝8cm， ∵AB∥A′B′， ∴△OAB∽△OA′B′， ∴． ∵AB∥A′B′， ∴△OAC∽△OA′D， ∴， ∴， ∴， ∴A′B′＝3.2． 答：像A′B′的长度3.2厘米． （2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，如图， ∵A′E∥OD，MN∥A′B′， ∴四边形A′EOD为平行四边形， ∴A′E＝OD＝12.8cm，OE＝A′D． 同理：四边形ACOP为平行四边形， ∴AP＝OC＝32cm， ∵AP∥CD，A′E∥OD， ∴AP∥A′E， ∴△APO∽△A′EO， ∴， ∴． ∵MN∥A′B′， ∴△POF∽△A′DF， ∴， ∴OFOD（厘米）． 答：凸透镜焦距OF的长为厘米． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•凉州区一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，AD＝3BD，△ABC的面积为32，则△ADE的面积为 　18　 ． 【分析】由题意易得，△ADE∽△ABC，于是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【解答】解：∵AD＝3BD， ∴AB＝4BD，即， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴，即， ∴S△ADE＝18． 故答案为：18． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 【练习 2】（2023春•长兴县月考）如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，AD∥BC，BD为∠ADC的平分线，AD＝3，AC＝4．过AC与BD的交点E作EF∥BC，交CD于点F，则EF的长为 　　 ． 【分析】根据勾股定理看求得DC＝5，根据△AED∽△CEB，求得，根据EF∥BC求得，从而得解． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB＝90°， ∴DC2＝AC2+AD2， ∵AD＝3，AC＝4， ∴DC＝5， ∵BD为∠ADC的平分线， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠BDC＝∠DBC， ∴BC＝CD＝5， ∵AD∥BC， ∴△AED∽△CEB， ∴， ∵EF∥BC， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【练习 3】（2025秋•静安区期末）如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，AD＝4，DB＝5，∠ACD＝∠B，那么　　 ． 【分析】根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【解答】解：∵AD＝4，DB＝5， ∴AB＝AD+BD＝9， ∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠B， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∴， ∴AC＝6（负值已舍）， ∴， 故答案为：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判断定理与性质定理是解题的关键． 【练习 4】（2026•凉州区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，E为BC边的中点，点D在AB边上，BD＝4AD，AE与CD相交于点F，则DF的长为　　 ． 【分析】先利用勾股定理求出AB，BD，AD，过点E作EG∥AB，则△CGE∽△CDB，则，同理△ADF∽△EGF，且相似比为：AD：EG＝1：2，则可得出FG＝2DF，过点D作DH⊥BC于点H，得出△BDH∽△BAC，由相似三角形的性质得出，再根据勾股定理求出CD，最后根据线段的数量关系即可求出DF． 【解答】解：在Rt△ABC中，， ∵BD＝4AD， ∴BD＝4，AD＝1， 过点E作EG∥AB， 则△CGE∽△CDB， ∵E为BC边的中点， ∴CG＝CD，EG：BD＝CE：CB＝1：2， ∴， 同理：相似比为：AD：EG＝1：2，△ADF∽△EGF， ∴DF：FG＝AD：EG＝1：2，即FG＝2DF， 过点D作DH⊥BC于点H， ∴HD∥AC， ∴△BDH∽△BAC， ∴BD：BA＝BH：BC＝DH：AC， ∴，， ∴， 在Rt△DCH中，， ∵CD＝DF+FG+CG＝DF+2DF+3DF＝6DF， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【练习 5】（2026•虹口区三模）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，点E是对角线BD上一点，联结AE、EC，AE＝EC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）延长AE交边BC于点F，当BD•BE＝2BF•CD时，求证：AF⊥BC． 【分析】（1）连结AC交BD于O点，如图，先证明AB∥CD，则可判断四边形ABCD为平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD，再根据等腰三角形的性质，由EA＝EC得到OE⊥AC，所以BD与AC互相垂直平分，然后根据菱形的判定方法得到结论； （2）先根据菱形的性质得到BC＝CD，BD＝2BO，则BO•BE＝BF•BC，所以，加上∠EBF＝∠CBO，则根据相似三角形的判定方法得到△BEF∽△BCO，所以∠BFE＝∠BOC＝90°，从而得到结论． 【解答】证明：（1）连结AC交BD于O点，如图， ∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠ADC+∠BAD＝180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵EA＝EC， ∴OE⊥AC， ∴BD与AC互相垂直平分， ∴四边形ABCD为菱形； （2）∵四边形ABCD为菱形， ∴BC＝CD，BD＝2BO， ∵BD•BE＝2BF•CD， ∴2BO•BE＝2BF•BC 即BO•BE＝BF•BC， ∴， ∵∠EBF＝∠CBO， ∴△BEF∽△BCO， ∴∠BFE＝∠BOC＝90°， ∴AF⊥BC． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质． 【练习 6】（2026春•徐汇区校级月考）如图，已知点D、E分别是△ABC边AB、AC上的两点，DE∥BC，AD＝3，BD＝4，CD和BE相交于点O，且S△DOE＝3，求△BOC与△BCD的面积． 【分析】先通过相似三角形的判定和性质得出，则，即可求出△BOC 的面积，进一步求出△DOB的面积，即可求解． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵DE∥BC， ∴△DOE∽△COB， ∴，， ∴； 在△CDB中， ∴ ∴； ∴． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 【练习 7】（2025秋•九台区期末）如图，在△ABC中．过点B作∠ABD＝∠C，使边BD交AC于点D． （1）求证：△ABD∽△ACB． （2）若AB＝6，AD＝4，求线段CD的长． 【分析】（1）由∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABD∽△ACB； （2）由相似三角形的性质得，而AB＝6，AD＝4，则AC9，求得CD＝AC﹣AD＝5． 【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB． （2）解：∵△ABD∽△ACB， ∴， ∵AB＝6，AD＝4， ∴AC9， ∴CD＝AC﹣AD＝9﹣4＝5， ∴CD的长是5． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明△ABD∽△ACB是解题的关键． 【练习 8】（2025秋•海珠区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，EC与BD相交于点F． （1）求证：△BFE∽△DFC； （2）若DB＝6，求BF的长． 【分析】（1）利用平行四边形的性质，平行线的性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用线段的中点的定义和平行四边形的性质得到BECD，再利用相似三角形的性质解答即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EBF＝∠CDF，∠BEF＝∠DCF， ∴△BFE∽△DFC； （2）解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD， ∵点E是AB的中点， ∴BEAB， ∴BECD， ∵△BFE∽△DFC， ∴， ∴， ∵DB＝6， ∴BFBD＝2． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形点P的与性质，中点的定义，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 线性比=相似比 面积比=平方 先判定后性质 同高模型 建立相似 【作业 1】（2026•银川二模）我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屈内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人AB的距离、小孔O到所成像CD的距离均为6米，要使像CD的长度变为原来的1.5倍，下列操作正确的是（　　） A．人向暗室后退2米 B．人向暗室前进2米 C．人向暗室后退4米 D．人向暗室前进4米 【分析】设像CD的长度变为原来的1.5倍时小孔O到人AB的距离为x米，证明△OAB∽△ODC，利用相似比可计算出x＝4，所以人向暗室前进2米． 【解答】解：设像CD的长度变为原来的1.5倍时小孔O到人AB的距离为x米， ∵AB∥CD， ∴△OAB∽△ODC， ∴， 解得x＝4， 即人向暗室前进2米． 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． 【作业 2】（2025秋•芜湖期末）如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上的一点，AE交对角线BD于F点，如果BE：BC＝2：3，那么下列各式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意设BE＝2k，则BC＝3k，求出CE＝k，即可判断A选项；根据平行四边形的性质，证明△BEF∽△DAF，列出比例式即可判断B选项；根据题意设BE＝2k，则BC＝3k，求出CE＝k，即可判断C选项；根据题意证明△BEF∽△DAF，列出比例式即可判断D选项． 【解答】解：∵BE：BC＝2：3， ∴设BE＝2k，则BC＝3k， ∴EC＝BC﹣BE＝k， ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝CB， ∵BE：BC＝2：3， ∴， ∵AD∥BC， ∴△BEF∽△DAF， ∴， ∴， 故B选项错误，符合题意； ∵BE：BC＝2：3， ∴设BE＝2k，则BC＝3k， ∴EC＝BC﹣BE＝k， ∵AD＝BC＝3k， ∴， 故C选项正确，不符合题意； ∵BE：BC＝2：3，AD＝BC， ∴， ∵BC∥AD， ∴△BEF∽△DAF， ∴， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质是解题的关键． 【作业 3】（2025秋•闵行区期末）如图，已知△ABC，直线l1与边AB、AC分别相交于点D、E，直线l2与边AB、AC分别相交于点F、G，l1∥l2∥BC，那么下列比例式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判断定理与性质定理、平行线分线段成比例定理判断求解即可． 【解答】解：∵l1∥l2∥BC， ∴△ADE∽△AFG，△AFG∽△ABC，，， ∴，， 故A、C、D错误，不符合题意；B正确，符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质定理是解题的关键． 【作业 4】（2025秋•邵阳期末）如图，AC与BD相交于点O，∠1＝∠2．若AB＝3，CD＝6，OA＝2，则AC＝　6　 ． 【分析】证明△AOB∽△COD，则，求出CO＝4，即可得到答案． 【解答】解：∵∠1＝∠2，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD， ∴， ∴， ∴CO＝4， ∴AC＝AO+CO＝2+4＝6， 故答案为：6． 【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明△AOB∽△COD是解题的关键． 【作业 5】（2026•南京一模）如图，AD是△ABC的中线，ED＝2AE，BE的延长线交AC于点F，则的值为 　　 ． 【分析】过点D作DM∥BF交AC于M，证明△CDM∽△CBF可得，则可推出CM＝FM；证明△AEF∽△ADM，可得，则可推出CM＝FM＝2AF，进而得到AC＝5AF，则． 【解答】解：如图，AD是△ABC的中线，过点D作DM∥BF交AC于M， ∴， ∵ED＝2AE， ∴AD＝3AE， ∵DM∥BF， ∴△CDM∽△CBF， ∴， ∴， ∴CM＝FM； ∵DM∥BF， ∴△AEF∽△ADM， ∴， ∴， ∴CM＝FM＝2AF， ∴AC＝5AF， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 【作业 6】（2026•广元）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，连接DE，DF，EF，若∠EDF＝90°，AD＝AE，则EF的最小值为 　　 ． 【分析】勾股定理求得 AB＝5，设∠BAC＝2α，延长CA至H，使得AH＝AB＝5，则，进而求得，取EF的中点G，连接AG，CG，DG，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，三线合一，得出DG＝EG，，可得G点在∠CAB的角平分线上，CG⊥AG时，CG最小，此时EF最小，进而解Rt△ACG求得CG的最小值，即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴， 设∠BAC＝2α， 如图，延长CA至H，使得AH＝AB＝5，则， ∴HC＝AC+AH＝AC+AB＝3+5＝8，， ∴， 如图，取EF的中点G，连接AG，CG，DG， ∴DG＝EG，， 又∵AD＝AE， ∴AG垂直平分DE，AG是∠CAB的角平分线， ∴G点在∠CAB的角平分线上，CG⊥AG时，CG最小，此时EF最小， ∴此时， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业 7】（2026春•杨浦区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝12cm，AD＝18cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2cm/s的速度由点C向点B运动，　4或6　 s后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形． 【分析】设t秒时，直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形，AP＝tcm，DP＝（18﹣t）cm，CQ＝2tcm，BQ＝（12﹣2t）cm，根据平行四边形的性质，可得AP＝BQ或CQ＝PD，列方程并解方程即可求出t值． 【解答】解：设t秒时，直线QP将四边形截出一个平行四边形， 根据题意得：AP＝tcm，DP＝（18﹣t）cm，CQ＝2tcm，BQ＝（12﹣2t）cm， ∵直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形，AD∥BC， ∴AP＝BQ或CQ＝PD， ∴t＝12﹣2t 或2t＝18﹣t 解得t＝4或t＝6， 即4或6s后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形， 故答案为：4或6． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业 8】（2026春•闵行区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC＝5，AD＝3，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，如果设EF为x，矩形EFGH的面积为y，那么y关于x的函数关系式是　　 ． 【分析】设边EF的长为x（0＜x＜3），则AN＝3﹣x，进而利用已知得出△AEH∽△ABC，进而得出EH的长，即可得出答案． 【解答】解：如图，四边形EFGH为矩形，BC＝5，AD＝3，设AD交EH于点N，边EF的长为x（0＜x＜3），则AN＝3﹣x， ∴EH∥BC， ∴△AEH∽△ABC， ∴， ∴， 解得：， ∵矩形EFGH的面积为y， ∴y关于x的函数解析式是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，函数关系式，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 【作业 9】（2026•鹿城区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．若AB＝4，AD＝6，CF＝1，∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，则AE的长为　　 ． 【分析】延长AD、EF交于点M，根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，通过角度之间的等量代换，证出△AEF∽△MEA，△AEF∽△ECF，△DFM∽△CFE，设CE＝s，EF＝t， 利用上述三组相似三角形可得出线段之间的比例关系，建立方程进行求解即可． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点． 延长AD、EF交于点M，如下图所示： ∵∠FEC＝∠AMF，∠AEB＝∠AFE， ∠AEB＝180°﹣∠AEF﹣∠FEC，∠AFE＝180°﹣∠AEF﹣∠EAF， ∴∠EAF＝∠FEC＝∠AMF， ∴∠EAF＝∠AME， 又∵∠AEF＝∠AEM， ∴△AEF∽△MEA， ∵∠EAF＝∠FEC，∠AFE＝∠EFC， ∴△AEF∽△ECF， ∵AM∥EC， ∴△DFM∽△CFE， ∵AB＝4，AD＝6，CF＝1， ∴DF＝AB﹣CF＝3， 设CE＝s，EF＝t， ∵△AEF∽△ECF， ∴， 即， ∴AE＝st，AF＝t2， 又∵△DFM∽△CFE， ∴， 即， ∴FM＝3t，DM＝3s， ∴AM＝AD+DM＝6+3s， EM＝EF+FM＝t+3t＝4t， ∵△AEF∽△MEA， ∴， 即， ∴， 解得或（舍去）或s＝﹣2（舍去）， 则， 故答案为：． 【点评】题目主要考查平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 【作业 10】（2026•礼县二模）如图，在△ABC中，点D是BA上一点，且∠ACD＝∠B，若AC＝3，AD＝2，则BD＝　　 ． 【分析】利用两组角相等得到△ACD∽△ABC，进而利用求解即可． 【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∵AD＝2，AC＝3， ∴即：， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 11】（2025秋•普陀区期末）如图，△ABC中，OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，点M、N分别在边AB、AC上．过点O的线段MN∥BC．如果AB＝5，AC＝4，BC＝6，那么MN＝　　 ． 【分析】由OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，得∠MBO＝∠CBO，∠NCO＝∠BCO，由MN∥BC，得∠MOB＝∠CBO，∠NOC＝∠BCO，推导出∠MBO＝∠MOB，∠NCO＝∠NOC，由OM＝BM，ON＝CN，所以MN＝BM+CN，而AB＝5，AC＝4，BC＝6，求得△AMN的周长＝9，△ABC的周长＝15，可证明△AMN∽△ABC，则，求得MNBC，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，点M、N分别在边AB、AC上， ∴∠MBO＝∠CBO，∠NCO＝∠BCO， ∵过点O的线段MN∥BC， ∴∠MOB＝∠CBO，∠NOC＝∠BCO， ∴∠MBO＝∠MOB，∠NCO＝∠NOC， ∴OM＝BM，ON＝CN， ∴MN＝OM+ON＝BM+CN， ∵AB＝5，AC＝4，BC＝6， ∴AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝9，AB+BC+AC＝15， ∴△AMN的周长＝9，△ABC的周长＝15， ∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC， ∴， ∴MNBC6， 故答案为：． 【点评】此题重点考查角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质等知识，推导出OM＝BM，ON＝CN，并且求得△AMN的周长＝9是解题的关键． 【作业 12】（2026•海门区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且∠BAF＝∠DBC，． （1）求证：△ABC∽△AFD； （2）若AD＝2，BC＝5，△ADE的面积为4，求△BCE的面积． 【分析】（1）由∠AFD＝∠ABC，，即可得出△ABC∽△AFD； （2）证明△AED∽△BEC，得，从而可得结论． 【解答】（1）证明：∵∠BAF＝∠DBC， ∴∠BAF+∠ABF＝∠DBC+∠ABF， 即∠AFD＝∠ABC， ∵， ∴△ABC∽△AFD； （2）解：由（1）得：△ABC∽△AFD， ∴∠ADE＝∠ACB， ∵∠AED＝∠BEC， ∴△AED∽△BEC， ∵AD＝2，BC＝5， ∴， ∵S△ADE＝4， ∴S△BCE＝25． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握和灵活运用相似三角形性质． 【作业 13】（2026•普陀区二模）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在边BC上，DC2＝CE•CB，∠CED＝∠ABD． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）联结AC交BD于点O，联结OE．如果BE•AD＝BD•AB，求证：EO⊥BD． 【分析】（1）根据题意推出，结合∠ECD＝∠DCB，推出△CDE∽△CBD，根据相似三角形的性质求出∠CED＝∠CDB，则∠CDB＝∠ABD，即可判定AB∥DC，最后根据“两组对边互相平行的四边形是平行四边形”即可得证； （2）根据相似三角形的性质求出，结合平行四边形的性质推出DE•AD＝BD•AB，结合题意求出DE＝BE，最后根据等腰三角形的性质即可得证． 【解答】证明：（1）∵DC2＝CE•CB， ∴， 又∵∠ECD＝∠DCB， ∴△CDE∽△CBD， ∴∠CED＝∠CDB， ∵∠CED＝∠ABD， ∴∠CDB＝∠ABD， ∴AB∥DC， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）如图， ∵△CDE∽△CBD， ∴， ∴DE•BC＝BD•CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，OB＝OD， ∴DE•AD＝BD•AB， ∵BE•AD＝BD•AB， ∴DE＝BE， 又∵OB＝OD， ∴EO⊥BD． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟记有关定理是解题的关键． 【作业 14】（2026•青浦区二模）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF＝DE，AE的延长线与DF相交于点G，且DG2＝GE•GA． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果AE＝3EG，求证：点E是边CD的中点． 【分析】（1）先证明△GED∽△GDA，再证明△ADE≌△DCF（AAS），最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）设EG＝m，AE＝3m，由DG2＝GE•GA，求出DG，再由△GED∽△GDA证明即可． 【解答】证明：（1）如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠4＝∠3， ∵DG2＝GE•GA， ∴， ∵∠5＝∠5， ∴△GED∽△GDA， ∴∠1＝∠2， ∵CF＝DE， ∴△ADE≌△DCF（AAS）， ∴AD＝DC， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； （2）∵AE＝3EG， ∴设EG＝m，AE＝3m， ∴AG＝EG+AE＝4m， ∵DG2＝GE•GA＝m×4m， ∴DG＝2m（舍负）， ∵△GED∽△GDA， ∴， ∵AD＝CD， ∴， ∴DE＝CE， ∴点E是边CD的中点． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 相似三角形的性质 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 对应线段比 周长面积比 判定性质综合 实际应用 对应高中线 📚 知识梳理 ☆ 1.相似性质 对应高中线角平分线比=相似比 周长比=相似比 面积比=相似比平方 概念辨析例题：相似比2:3面积比 解析：平方关系 ☆ 2.性质应用 先判定相似再用性质 同高三角形面积比=底之比 概念辨析例题：AD:DB=2:3,S△ADE=4求S△ABC 解析：相似比2:5面积比4:25 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 对应线段 高/中线/角平分线比=相似比 线性 周长比 =相似比 线性 面积比 =相似比平方 平方 同高三角形 面积比=底之比 同高模型 ⚠️ 核心考点 【考点1】求线段长（共5题） 列比例式 1．（2026•遵义模拟）如图，已知△ADE∽△ABC，若AD：AB＝1：2，则DE：BC＝（　　） A．1： B．1：2 C．2：3 D．1：4 2．（2025秋•单县期末）两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（　　） A．18cm B．16cm C．14cm D．20cm 3．（2026春•南京月考）如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，AD＝2cm，点E在AC上．若△ADE与△ABC相似，则AE＝____________________ cm． 4．（2026•新华区二模）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，点D在线段BC上从点B向点C运动．当BD＝1时，则CE＝__________________ ；设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 _____ ． 5．（2025秋•黔江区期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上任意一点，连接AE，DE． （1）若△ABE∽△ECD，AE＝6，DE＝8，点F是AD的中点，连接EF，求EF的长； （2）若∠BAE＝∠CED，AB＝2，BC＝5，求BE的长． 【考点2】求面积（共5题） 面积比=平方 6．（2026•广州校级模拟）如果两个相似三角形的面积比为1：2，那么它们的对应角平分线的比为（　　） A．1：4 B．1：2 C．1：16 D． 7．（2025秋•尉氏县月考）若△ABC∽△DEF，且，则S△DEF＝_______ ． 8．（2026•安阳县一模）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．如图，在Rt△ABC中，，，以AB为对角线，作垂等四边形ACBD．过点D作CB延长线的垂线，垂足为E，且△ACB与△DBE相似，则四边形ACBD的面积为____________________ ． 9．（2026秋•同步）如图，AB与CD相交于点O，△BOD∽△AOC，，OB＝6，S△AOC＝50． （1）求OA的长； （2）求S△BOD． 10．（2025秋•铁西区期末）两个相似三角形的最长边分别是5cm和7cm，并且它们的周长之和为48cm，求这两个三角形的周长分别是多少cm． 【考点3】判定性质综合（共14题） 先判定后用性质 11．（2026•云南）如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，记△COD的面积为S1，△AOB的面积为S2．若，则（　　） A． B． C． D． 12．（2026春•开州区月考）如图，四边形ABCD是正方形，点E是线段CD上一点，连接AE并延长至点F，连接AC、CF，连接BF分别交AC、CD于点H、G，若CE＝CF，S△CEF＝30，CF＝10，则线段EG的长度为（　　） A． B．4 C． D． 13．（2026•信阳二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，点E为OC的中点，过点E作EF∥AB，已知AC＝6，BD＝10，则EF的长为（　　） A． B． C． D．1 14．（2025秋•萍乡期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 15．（2025•桂阳县校级开学）如图，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，E为BD中点，AD＝2，CE＝CA，则CD＝ ____________________ ． 16．（2026春•西城区校级月考）如图，在矩形ABCD中，点E是对角线上一点，连接AE并延长交CD于点F，过点E作EG⊥AE交BC于点G，若AB＝8，AD＝6，BG＝2，则AE＝____________________ ． 17．（2026春•廉江市期中）如图，矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，且BE：ED＝1：3，AB＝4cm，则BD＝_____ cm． 18．（2026•红河州一模）如图，若DE∥BC，且，则__________________ ． 19．（2026春•浦东新区期中）如图，四边形ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10：7．上底AB与下底CD的长度之比为_________ ． 20．（2026•上海校级模拟）如图，在菱形ABCD中，E是CD上一点，联结BE并延长交AD的延长线于点G，交AC于点F． （1）求证：BE•BF＝BG•EF； （2）若E是CD的中点，且AF•CF＝2BF2，求证：BE⊥CD． 21．（2026•长宁区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点G在边BC上，联结AG交BD于点F，若AO2＝OF•OB． （1）求证：△AOF∽△DOC； （2）若AG⊥BC，∠BCA＝∠ACD，求证：四边形ABCD是菱形． 22．（2026•江油市二模）如图，四边形ABCD是正方形，点G为边CD上一点，连接AG并延长，交BC的延长线于点F，连接BD交AF于点E，连接EC． （1）求证：△ADE≌△CDE； （2）求证：AE2＝EF•EG． 23．（2025•临平区二模）如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，连结AC交DE于点P，连结BP． （1）求证：PB2＝PE•PF． （2）若AD＝6，PB＝2PE，求BF的长． 24．（2026•奉贤区三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，M为边AB的中点，点N在边AC上，MN∥BC，交AD于点E，联结DM、DN． （1）求证：四边形AMDN是矩形． （2）联结BE，交DM于点F．如果DF＝EF，求证：BD•BC＝2BF•BE． 【考点4】实际应用（共9题） 测高小孔成像 25．（2025秋•奉贤区期末）一个三角形框架模型的边长分别为20cm、30cm、40cm，工人师傅要利用两根30cm和50cm的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（　　） A．80cm B．67.5cm C．60cm D．52.5cm 26．（2025•内江）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（　　） A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm 27．（2025秋•闵行区期末）如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的__________________ （填“几分之几”）． 28．（2025秋•河南校级期末）如图，小南利用三角板测量大树AB的高度．他通过不断调整自己的姿势和三角板的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知“三角板的两边EF＝0.2m，DE＝0.3m，小南的眼睛到地面的距离DM为1.6m，测得AM＝21m，则树高AB的长为__________ ． 29．（2025秋•昌平区期末）如图，小树AB在路灯O的照射下形成影子BC．若路灯灯泡底端距离地面的高度OP＝12m，BC＝4.8m，CP＝7.2m，则小树高度AB＝_____ m． 30．（2023秋•福田区校级期中）如图所示的是一圆柱形笔筒在灯光P下的投影，已知该笔筒底面圆的直径BC＝6，笔筒的高CD＝8，点D在灯光P下的投影为点B，点A在灯光P下的投影为点A′，过点P作PE⊥BE于点E，CE＝4，点A′，B，C，E在同一直线上． （1）求PE的长； （2）求点A′到CD的距离． 31．（2025秋•安新县期末）某校开发了一块四边形学农实践基地，如图，在四边形ABCD中，△ABD是蔬菜，△CDB是水果园，AB∥CD，AB＝40m，BD＝60m，CD＝90m． （1）求证：△ABD∽△BDC； （2）若蔬菜园△ABD的面积为800m2，求水果园△CDB的面积． 32．（2026春•静安区期中）电阻是表示导体对电流的阻碍作用大小的物理量，通常用符号R表示，电阻在国际单位制中的单位是欧姆，简称欧，符号是Ω，电阻值一般为非负数．如图，为一测量电路，Rx，Ry均为可调电阻，R，R1，R2为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表．若调节Rx的电阻大小，可使得电流表读数为0，此时的电阻R对整个电路没有影响，电路中的其他电阻满足，这个现象叫做电桥平衡．现已知R1＝4Ω，R2＝9Ω．诗诗发现Ry＝Rx时，出现了电桥平衡，贝贝将Ry调大了6Ω，若诗诗想通过调节Rx再次实现电桥平衡，则需要将Rx的电阻大小怎么调整？ 33．（2025•新昌县一模）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米． （1）求像A′B′的长度． （2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026•凉州区一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，AD＝3BD，△ABC的面积为32，则△ADE的面积为 _______ ． 【练习 2】（2023春•长兴县月考）如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，AD∥BC，BD为∠ADC的平分线，AD＝3，AC＝4．过AC与BD的交点E作EF∥BC，交CD于点F，则EF的长为 ___________________ ． 【练习 3】（2025秋•静安区期末）如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，AD＝4，DB＝5，∠ACD＝∠B，那么__________________ ． 【练习 4】（2026•凉州区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，E为BC边的中点，点D在AB边上，BD＝4AD，AE与CD相交于点F，则DF的长为____________________ ． 【练习 5】（2026•虹口区三模）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，点E是对角线BD上一点，联结AE、EC，AE＝EC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）延长AE交边BC于点F，当BD•BE＝2BF•CD时，求证：AF⊥BC． 【练习 6】（2026春•徐汇区校级月考）如图，已知点D、E分别是△ABC边AB、AC上的两点，DE∥BC，AD＝3，BD＝4，CD和BE相交于点O，且S△DOE＝3，求△BOC与△BCD的面积． 【练习 7】（2025秋•九台区期末）如图，在△ABC中．过点B作∠ABD＝∠C，使边BD交AC于点D． （1）求证：△ABD∽△ACB． （2）若AB＝6，AD＝4，求线段CD的长． 【练习 8】（2025秋•海珠区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，EC与BD相交于点F． （1）求证：△BFE∽△DFC； （2）若DB＝6，求BF的长． 💯 课后巩固 复习建议 线性比=相似比 面积比=平方 先判定后性质 同高模型 建立相似 【作业 1】（2026•银川二模）我国古书《墨经》中记载了世界上最早的“小孔成像”的现象．墨子曾进行如下实验：在暗室的墙上开一个小孔，一人立于墙前，当阳光照射时，屈内对面墙壁上会呈现一个倒立的人像．已知初始状态下，小孔O到人AB的距离、小孔O到所成像CD的距离均为6米，要使像CD的长度变为原来的1.5倍，下列操作正确的是（　　） A．人向暗室后退2米 B．人向暗室前进2米 C．人向暗室后退4米 D．人向暗室前进4米 【作业 2】（2025秋•芜湖期末）如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上的一点，AE交对角线BD于F点，如果BE：BC＝2：3，那么下列各式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【作业 3】（2025秋•闵行区期末）如图，已知△ABC，直线l1与边AB、AC分别相交于点D、E，直线l2与边AB、AC分别相交于点F、G，l1∥l2∥BC，那么下列比例式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【作业 4】（2025秋•邵阳期末）如图，AC与BD相交于点O，∠1＝∠2．若AB＝3，CD＝6，OA＝2，则AC＝_____ ． 【作业 5】（2026•南京一模）如图，AD是△ABC的中线，ED＝2AE，BE的延长线交AC于点F，则的值为 __________________ ． 【作业 6】（2026•广元）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，连接DE，DF，EF，若∠EDF＝90°，AD＝AE，则EF的最小值为 ____________________ ． 【作业 7】（2026春•杨浦区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝12cm，AD＝18cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2cm/s的速度由点C向点B运动，________ s后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形． 【作业 8】（2026春•闵行区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC＝5，AD＝3，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，如果设EF为x，矩形EFGH的面积为y，那么y关于x的函数关系式是____________________ ． 【作业 9】（2026•鹿城区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．若AB＝4，AD＝6，CF＝1，∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，则AE的长为________________ ． 【作业 10】（2026•礼县二模）如图，在△ABC中，点D是BA上一点，且∠ACD＝∠B，若AC＝3，AD＝2，则BD＝__________________ ． 【作业 11】（2025秋•普陀区期末）如图，△ABC中，OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，点M、N分别在边AB、AC上．过点O的线段MN∥BC．如果AB＝5，AC＝4，BC＝6，那么MN＝___________________ ． 【作业 12】（2026•海门区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且∠BAF＝∠DBC，． （1）求证：△ABC∽△AFD； （2）若AD＝2，BC＝5，△ADE的面积为4，求△BCE的面积． 【作业 13】（2026•普陀区二模）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在边BC上，DC2＝CE•CB，∠CED＝∠ABD． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）联结AC交BD于点O，联结OE．如果BE•AD＝BD•AB，求证：EO⊥BD． 【作业 14】（2026•青浦区二模）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF＝DE，AE的延长线与DF相交于点G，且DG2＝GE•GA． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果AE＝3EG，求证：点E是边CD的中点． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $