第8讲 比例及比例线段 优等生讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第8讲 比例及比例线段 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 比例性质 比例线段 黄金分割 平行线分线段 比例计算 📚 知识梳理 ☆ 1.比例性质 ad=bc 合比等比性质 设k法 概念辨析例题：3x=5y则x:y= 解析：内项积=外项积 ☆ 2.比例线段 a:b=c:d则成比例 黄金分割约0.618 概念辨析例题：AB=4黄金分割AP= 解析：AP=0.618×4 ☆ 3.平行线分线段 平行截对应线段成比例 A字型8字型 概念辨析例题：DE∥BC,AD=3,DB=6,AE=2求AC 解析：= 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 比例性质 ad=bc 内项=外项 黄金分割 约0.618 较长=全×0.618 平行线分线段 对应线段成比例 A字8字 设k法 常设比值为k 常用技巧 ⚠️ 核心考点 【考点1】比例性质（第1-12题） ad=bc 设k法 1．（2026春•浦东新区期中）已知三个数为2、4、8，如果再添加一个数，使这四个数能组成一个比例，那么这个数可以是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026•秦州区校级二模）若，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025秋•合肥期末）已知p是m，n的比例中项，那么下列等式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2026春•茂南区期末）若，则的值是（　　） A．1 B．5 C．4 D．3 5．（2026•西湖区校级模拟）如果，则（　　） A． B． C． D． 6．（2026•闵行区校级开学）设，则k的值为____________________ ． 7．（2026•青羊区校级模拟）如果（b+d≠0），那么 __________________ ． 8．（2026春•青浦区校级期末）已知，且a﹣3b+2c＝6，那么a＝_____ ． 9．（2026•龙凤区校级一模）已知，且b+d+f≠0，则 __________________ ． 10．（2026春•浦东新区校级月考）已知3a＝4b＝5c，比较（a+b+c）2与（3b）2的大小：（a+b+c）2_____ （3b）2． 11．（2025秋•青阳县期末）已知，且a+2b＝22，求c的值． 12．（2026春•青浦区校级月考）如果，求2x：（y﹣3z）的比值． 【考点2】比例线段（第13-20题） 按大小排列判断 13．（2026春•浦东新区期末）若长度分别为2，3，x，6的四条线段是成比例线段，则x的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 14．（2024秋•六盘水期中）下列四条线段中，能成为成比例线段的是（　　） A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝2，b＝4，c＝6，d＝12 C．a＝2，b＝2，c＝3，d＝4 D．a＝1，b＝3，c＝4，d＝5 15．（2025秋•杨浦区期末）下列各组线段的长度中，成比例的是（　　） A．1，2，3，4 B．2，4，4，8 C．1.5，3，4.5，6 D．3，4，5，6 16．（2026春•龙口市期末）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（　　） A．2cm，2.5cm，3cm，3.5cm B．，3cm，3cm， C．2cm，4cm，8cm，18cm D． 17．（2026春•青浦区校级月考）在比例尺为80：1的工程图纸上，量得一个圆形零件的半径是4厘米，那么这个圆形零件的实际面积是____________ 平方厘米．（π取3.14） 18．（2026春•崇明区期中）在2、3、6中添加一个数x，使得这四个数成比例，x的值为__________ ． 19．（2025秋•松江区期末）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且． （1）如果△ABC的周长为60，求a的值； （2）如果△ABC的面积为60，求a的值． 20．（2025秋•慈溪市校级期中）已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：4，且a+2b+c＝33． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【考点3】黄金分割（第21-26题） 0.618 21．（2025秋•宁夏校级期末）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（AC＞BC）时，可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝8cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为（　　） A． B． C． D． 22．（2026•阜阳校级一模）鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB的长为8，则AP的长为（　　） A． B． C． D． 23．（2026•南山区二模）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比．如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC＝20cm，则BC的长为 ____________________ cm．（结果保留根号） 24．（2025秋•驻马店校级期末）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则AC＝_________________ ． 25．（2026春•合阳县期末）黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．小凡在美术课上设计了一个黄金矩形图片ABCD（即宽与长的比是），已知该黄金矩形图片的长AB＝10cm，求该黄金矩形图片的周长． 26．（2025秋•临汾期中）黄金分割是几何学中的瑰宝之一，给人以震撼的美感．课本第56页这样定义“黄金分割点”：如图1，点P将线段AB分成两部分（AP＞BP），若，则称点P为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比． （1）如图1，若AB＝1，求黄金比的值．（保留根号） （2）某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，如图2，在△ABC中，点D是BC边上一点，AD将△ABC分割成两个三角形（S△ABD＞S△ACD），当满足，则称AD为△ABC的黄金分割线． ①求证：此时点D是线段BC的黄金分割点； ②若△ABC的面积为4，请直接写出△ACD的面积． 【考点4】平行线分线段（第27-39题） 找对应线段 A字8字 27．（2026•南岗区校级一模）如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若AC：BC＝5：2，EF＝4，则DE的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 28．（2025秋•中山市期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，，若AC＝6，则EC＝（　　） A． B． C． D． 29．（2026•芜湖二模）如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AB的中点，CE与AD相交于点F，若，则（　　） A．3 B． C． D．4 30．（2026春•沂源县期末）如图，直线l1∥l2∥l3，AC＝6，DE＝3，EF＝2，则AB的长为（　　） A．3 B． C． D． 31．（2025秋•黄浦区期末）如图，D、E是△ABC边AB、AC上的两点，在下列条件中，能够判定DE∥BC的是（　　） A．DB＝1，CE＝2，AD＝3，AE＝4 B．DB＝1，CE＝2，AB＝3，AC＝4 C．DB＝1，CE＝2，AD＝3，AC＝4 D．DB＝1，CE＝2，AB＝3，AE＝4 32．（2025秋•长宁区期末）如图，两条直线被三条平行线m、n、l所截，分别相交于点A、B、C、D、E、F，若，那么当时，DF的长为___________________ ． 33．（2026•漳州模拟）如图，若l1∥l2∥l3，AB＝6，BC＝4，DF＝15，则EF的长为_____ ． 34．白银比例是相对于黄金分割比的另一个美学比例，在建筑、绘画、雕塑等艺术领域有着广泛的应用，具体比例数值为．如图，AB∥CD，OC：OB为白银比例．已知OD＝3，则AD的长为 ________________ ． 35．（2026春•济宁期末）如图，l1∥l2∥l3，DE＝3，EF＝4，AB＝2，则BC的长为 __________________ ． 36．（2025秋•尉氏县月考）已知DE∥BC，AD＝4，DB＝2，AE＝6，求EC的长． 37．（2025秋•修文县期中）如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC． （1）如果AE＝7，EB＝5，FC＝4，那么AF的长是多少？ （2）如果AB＝10，AE＝6，AF＝5，那么FC的长是多少？ 38．（2026秋•单元）如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，AD，BE相交于点G，AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3．求AE：EC的值． 39．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3． （1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DF的长； （2）如果DE：EF＝2：3，AC＝15，求AB的长． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•让胡路区校级期末）如果x、y都不为零，且3x＝5y，那么下列比例中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【练习 2】（2026春•济宁期末）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝5cm，c＝3cm，则d为（　　）cm A．15 B． C． D． 【练习 3】（2025秋•庐阳区校级期末）如图，直线AE，BF交于点O，AB∥CD∥EF．若OA＝1，AC＝2，CE＝4，则的值为 __________________ ． 【练习 4】（2025秋•岳池县校级期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，且S△ADE＝4，S△BCE＝24，则S△BDE＝_____ ． 💯 课后巩固 复习建议 ad=bc 设k法 黄金比0.618 找准对应 识别基本图形 【作业 1】（2026春•莱阳市期末）在3、4、12中添加一个数x，使得这四个数成比例，则x的值不能为（　　） A．1 B．9 C．16 D．25 【作业 2】（2026春•环翠区期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　） A．1，2，4，6 B．2，3，5，8 C．2，3，6，9 D．1，，， 【作业 3】（2026•哈尔滨模拟）已知l1∥l2∥l3，，DE＝9，则EF＝（　　） A．12 B．15 C．28 D．24 【作业 4】（2025秋•盐田区期末）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝3，BC＝4，EF＝8，则DF的长为（　　） A．9 B．3 C．5 D．14 【作业 5】（2025秋•二七区校级期末）若线段a，b，c，d依次成比例线段，且a＝1cm，b＝5cm，c＝3cm，则d为_______ cm． 【作业 6】（2025秋•梅县区期末）已知，则的值为 __________________ ． 【作业 7】（2026•高密市校级模拟）已知线段AB的长为4cm，如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么AP的值是____________________ cm． 【作业 8】（2026春•海淀区校级期中）黄金分割被视为美的比例，宽与长的比是（约为0.618）的矩形是黄金矩形．如果有一黄金矩形的一边长为，则该黄金矩形另一边的长为___________________ ． 【作业 9】（2026春•浦东新区校级期中）已知，求k的值． 【作业 10】（2026秋•单元）已知，求下列算式的值： （1）； （2）． 【作业 11】（2026•岳西县模拟）如图，直线a∥b∥c，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． （1）若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长； （2）若，DF＝6，求DE的长． 【作业 12】（2024秋•富平县期中）如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是边BC，CD上的点，连接AE，AF，且EF∥BD，AE、AF分别交BD于点G、H． （1）求证：HF•AG＝GE•AH； （2）若，求的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 比例及比例线段 优等生讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）2026-2027北师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 比例性质 比例线段 黄金分割 平行线分线段 比例计算 📚 知识梳理 ☆ 1.比例性质 ad=bc 合比等比性质 设k法 概念辨析例题：3x=5y则x:y= 解析：内项积=外项积 ☆ 2.比例线段 a:b=c:d则成比例 黄金分割约0.618 概念辨析例题：AB=4黄金分割AP= 解析：AP=0.618×4 ☆ 3.平行线分线段 平行截对应线段成比例 A字型8字型 概念辨析例题：DE∥BC,AD=3,DB=6,AE=2求AC 解析：= 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 比例性质 ad=bc 内项=外项 黄金分割 约0.618 较长=全×0.618 平行线分线段 对应线段成比例 A字8字 设k法 常设比值为k 常用技巧 ⚠️ 核心考点 【考点1】比例性质（第1-12题） ad=bc 设k法 1．（2026春•浦东新区期中）已知三个数为2、4、8，如果再添加一个数，使这四个数能组成一个比例，那么这个数可以是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据比例的性质解答即可． 【解答】解：在三个数2，4，8中，2×8＝16，而16÷4＝4， 所以若添加一个数组成比例，这个数可以是4． 故选：B． 【点评】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 2．（2026•秦州区校级二模）若，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】将所求分式变形后代入已知条件即可计算出结果． 【解答】解：由题意可得：， ∵， 又∵， ∴原式＝3+1＝4． 故选：D． 【点评】本题考查比例的性质，正确进行计算是解题关键． 3．（2025秋•合肥期末）已知p是m，n的比例中项，那么下列等式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据比例中项的定义得到，据此可得答案． 【解答】解：∵p是m，n的比例中项， ∴， 由条件无法得到， 故选：D． 【点评】本题考查比例的性质，关键是掌握比例中项的定义． 4．（2026春•茂南区期末）若，则的值是（　　） A．1 B．5 C．4 D．3 【分析】利用设k法进行计算，即可解答． 【解答】解：设k， ∴x＝3k，y＝5k，z＝7k， ∴5， 故选：B． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键． 5．（2026•西湖区校级模拟）如果，则（　　） A． B． C． D． 【分析】将拆分为，代入已知条件计算即可． 【解答】解：原式＝1， ∵， ∴原式＝1． 故选：C． 【点评】本题考查比例的性质，熟练掌握拆分法是解题的关键． 6．（2026•闵行区校级开学）设，则k的值为　或﹣1　 ． 【分析】依据等比性质可得，，分两种情况讨论，即可得到k的值． 【解答】解：当a+b+c≠0时， ∵， ∴， 当a+b+c＝0时，b+c＝﹣a， ∴， ∴k的值为或﹣1． 故答案为：或﹣1． 【点评】本题考查了比例的性质用，掌握比例的性质是关键． 7．（2026•青羊区校级模拟）如果（b+d≠0），那么 　　 ． 【分析】直接利用等比性质求解． 【解答】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，灵活运用比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题关键． 8．（2026春•青浦区校级期末）已知，且a﹣3b+2c＝6，那么a＝　4　 ． 【分析】根据比例的性质解答即可． 【解答】解：∵， ∴设， ∴a＝2t，b＝5t，c＝8t， ∴a﹣3b+2c＝2t﹣3×5t+2×8t＝2t﹣15t+16t＝3t＝6， 解得t＝2， ∴a＝2t＝2×2＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查的是比例的性质，熟知比例的基本性质是解题的关键． 9．（2026•龙凤区校级一模）已知，且b+d+f≠0，则 　　 ． 【分析】根据已知条件得出ab，cd，ef，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【解答】解：∵， ∴ab，cd，ef， ∴． 故答案为：． 【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 10．（2026春•浦东新区校级月考）已知3a＝4b＝5c，比较（a+b+c）2与（3b）2的大小：（a+b+c）2　≥　 （3b）2． 【分析】设3a＝4b＝5c＝k，得，计算比较求解即可； 【解答】解：设3a＝4b＝5c＝k，则， 故， ， 当k＞0时， 由得： ， 故（a+b+c）2＞（3b）2； 当k＜0时，k2＞0， ， 当k＝0时，， 故（a+b+c）2≥（3b）2； 故答案为：≥． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握该知识点是关键． 11．（2025秋•青阳县期末）已知，且a+2b＝22，求c的值． 【分析】设，则a＝3k，b＝4k，c＝5k．再根据a+2b＝22，可得关于k的方程，解方程求出k，进一步求得c的值． 【解答】解：∵， ∴设， ∴a＝3k，b＝4k，c＝5k． ∵a+2b＝22， ∴3k+2×4k＝22， 解得k＝2． ∴c＝5k＝5×2＝10． 【点评】本题考查了比例的性质，利用设k法得到关于k的方程是解题的关键． 12．（2026春•青浦区校级月考）如果，求2x：（y﹣3z）的比值． 【分析】根据比例的性质，利用设参数法进行求解即可． 【解答】解：由题意得， 设，则x＝3k，y+z＝4k，z+x＝5k， ∴z＝2k，y＝2k， ∴． 【点评】本题考查的是比例的性质，能利用设出比例系数的方法求解是解题的关键． 【考点2】比例线段（第13-20题） 按大小排列判断 13．（2026春•浦东新区期末）若长度分别为2，3，x，6的四条线段是成比例线段，则x的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 【分析】根据题意得2：3＝x：6，根据比例的基本性质即可求解． 【解答】解：根据题意得2：3＝x：6， 解得x＝4． 故选：B． 【点评】本题主要考查比例线段的定义．注意根据已知条件写比例式的时候，一定要注意顺序．然后根据比例的基本性质进行求解． 14．（2024秋•六盘水期中）下列四条线段中，能成为成比例线段的是（　　） A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝2，b＝4，c＝6，d＝12 C．a＝2，b＝2，c＝3，d＝4 D．a＝1，b＝3，c＝4，d＝5 【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例如下． 【解答】解：根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例如下： A、2×5≠3×4，所以A选项不符合题意； B、2×12＝4×6，所以B选项符合题意； C、2×4≠2×3，所以C选项不符合题意； D、1×5≠3×4，所以D选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了比例线段，正确记忆判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．是解题关键． 15．（2025秋•杨浦区期末）下列各组线段的长度中，成比例的是（　　） A．1，2，3，4 B．2，4，4，8 C．1.5，3，4.5，6 D．3，4，5，6 【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断． 【解答】解：A、1×4≠2×3，不成比例线段，不符合题意； B、2×8＝4×4，成比例线段，符合题意； C、1.5×6≠3×4.5，不成比例线段，不符合题意； D、3×6≠4×5，不成比例线段，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例． 16．（2026春•龙口市期末）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（　　） A．2cm，2.5cm，3cm，3.5cm B．，3cm，3cm， C．2cm，4cm，8cm，18cm D． 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【解答】解：A．∵2×3.5≠3×2.5，∴四条线段不成比例，故不符合题意； B．∵43×3，∴四条线段不成比例，故不符合题意； C．∵2×18≠4×8，∴四条线段不成比例，故不符合题意； D．∵2＝2，∴四条线段成比例，故符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 17．（2026春•青浦区校级月考）在比例尺为80：1的工程图纸上，量得一个圆形零件的半径是4厘米，那么这个圆形零件的实际面积是　0.00785　 平方厘米．（π取3.14） 【分析】先根据比例尺的定义求出圆形零件的实际半径，再利用圆的面积公式计算实际面积，即可得到结果． 【解答】解：设该圆形零件的实际半径为r厘米， ∵在比例尺为80：1的工程图纸上，量得一个圆形零件的半径是4厘米， ∴80：1＝4：r 解得． ∴S＝3.14×（0.05）2＝3.14×0.0025＝0.00785（平方厘米）． 故答案为：0.00785． 【点评】本题考查的是比例线段，圆的面积，有关圆的应用题，熟知以上知识是解题的关键． 18．（2026春•崇明区期中）在2、3、6中添加一个数x，使得这四个数成比例，x的值为　1、4或9　 ． 【分析】根据比例的基本性质，分三种不同情况讨论计算即可． 【解答】解：当2和x为比例的两个外项时2x＝3×6，解得x＝9； 当3和x为比例的两个外项时3x＝2×6，解得x＝4； 当6和x为比例的两个外项时6x＝2×3，解得x＝1； 故答案为：1、4或9． 【点评】本题考查比例的意义与基本性质，掌握比例的基本性质是解答本题的关键． 19．（2025秋•松江区期末）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且． （1）如果△ABC的周长为60，求a的值； （2）如果△ABC的面积为60，求a的值． 【分析】（1）设k，易得a＝5k，b＝12k，c＝13k，然根据三角形周长定义得到5k+4k+6k＝60，解关于k的方程求出k，即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，根据三角形的面积即可求解． 【解答】解：（1）设k，易得a＝5k，b＝12k，c＝13k， ∴5k+12k+13k＝60， 解得k＝2， 所以a＝10． ∴5k+12k+13k＝60， 解得k＝2， 所以a＝10； （2）设k，易得a＝5k，b＝12k，c＝13k，则a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积为ab＝60， ∴5k×12k＝60，解得k（负值舍去）， 所以a＝5． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．也考查了勾股定理的逆定理． 20．（2025秋•慈溪市校级期中）已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：4，且a+2b+c＝33． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【分析】（1）设a＝3k，b＝2k，c＝4k，构建方程求解； （2）根据比例中项的定义构建方程求出x即可． 【解答】解：（1）∵a：b：c＝3：2：4， ∴可以假设a＝3k，b＝2k，c＝4k， ∵a+2b+c＝33， ∴3k+4k+4k＝33， ∴k＝3， ∴a＝9，b＝6，c＝12； （2）由题意x2＝ab＝54， ∴x＝3（负根已经舍去）． 【点评】本题考查比例线段，解题的关键是学会利用参数解决问题． 【考点3】黄金分割（第21-26题） 0.618 21．（2025秋•宁夏校级期末）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（AC＞BC）时，可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝8cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可． 【解答】解：由题意可得： ， 故选：B． 【点评】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 22．（2026•阜阳校级一模）鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB的长为8，则AP的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）， 所以． 因为AB的长为8， 所以AP． 故选：D． 【点评】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 23．（2026•南山区二模）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比．如图，B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC＝20cm，则BC的长为 　　 cm．（结果保留根号） 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵B为AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝20cm， ∴ABAC20＝（1010）cm， ∴BC＝AC﹣AB＝20﹣（1010）＝（30﹣10）cm， 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 24．（2025秋•驻马店校级期末）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则AC＝　　 ． 【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．据此列出方程计算即可． 【解答】解：设AC的长为x，则BC＝AB﹣AC＝2﹣x， 则，即， ∴x2+2x﹣4＝0， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴AC的长为； 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割的定义以及解一元二次方程，正确进行计算是解题关键． 25．（2026春•合阳县期末）黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．小凡在美术课上设计了一个黄金矩形图片ABCD（即宽与长的比是），已知该黄金矩形图片的长AB＝10cm，求该黄金矩形图片的周长． 【分析】先根据黄金矩形宽与长的比值，结合已知的边长求出矩形的宽，再利用矩形周长公式计算即可得到结果． 【解答】解：设该黄金矩形的宽为xcm， 由题意得：， 2x＝10（1）， 解得：， ∴， 即该黄金矩形图片的周长为． 【点评】本题考查黄金分割，二次根式的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 26．（2025秋•临汾期中）黄金分割是几何学中的瑰宝之一，给人以震撼的美感．课本第56页这样定义“黄金分割点”：如图1，点P将线段AB分成两部分（AP＞BP），若，则称点P为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比． （1）如图1，若AB＝1，求黄金比的值．（保留根号） （2）某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，如图2，在△ABC中，点D是BC边上一点，AD将△ABC分割成两个三角形（S△ABD＞S△ACD），当满足，则称AD为△ABC的黄金分割线． ①求证：此时点D是线段BC的黄金分割点； ②若△ABC的面积为4，请直接写出△ACD的面积． 【分析】（1）设AP＝x，则BP＝1﹣x，由题意，，即，整理得x2+x﹣1＝0，计算求出满足要求的解，然后代入求黄金分割比即可； （2）①设△ABC中AB边上的高为h，可得，即，进而可得点D是BC的黄金分割点； ②解：设△ACD的面积为s，则△ABD的面积为4﹣s，根据，可得，整理得s2﹣12s+16＝0，计算求出满足要求的解即可． 【解答】解：（1）设AP＝x，则BP＝1﹣x，根据题意可知， ∴， 整理得x2+x﹣1＝0， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． （2）①设△ABC中AB边上的高为h， ∵， ∴， ∴， ∴点D是BC的黄金分割点． ②设△ACD的面积为s，则△ABD的面积为4﹣s， 由条件可得， 整理得s2﹣12s+16＝0， 解得，（不合题意，舍去）， ∴△ACD的面积为． 【点评】本题考查了黄金分割，解一元二次方程．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【考点4】平行线分线段（第27-39题） 找对应线段 A字8字 27．（2026•南岗区校级一模）如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若AC：BC＝5：2，EF＝4，则DE的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可． 【解答】解：∵a∥b∥c，AC：BC＝5：2， ∴， ∵AB：BC＝3：2， ∴， ∴， ∴DE＝6． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 28．（2025秋•中山市期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，，若AC＝6，则EC＝（　　） A． B． C． D． 【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， ∴， ∴， ∴EC． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正确使用定理得出比例式是解题的关键． 29．（2026•芜湖二模）如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AB的中点，CE与AD相交于点F，若，则（　　） A．3 B． C． D．4 【分析】取AD的中点G，连接EG，得到，进而得到△EGF∽△CDF，得到，进而求出的值即可． 【解答】解：取AD的中点G，连接EG，则AG＝DG，如图， ∵E为AB的中点，CE与AD相交于点F， ∴， ∴△EGF∽△CDF， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 30．（2026春•沂源县期末）如图，直线l1∥l2∥l3，AC＝6，DE＝3，EF＝2，则AB的长为（　　） A．3 B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3 ∴， 即， ∴， 解得： 故选：D． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 31．（2025秋•黄浦区期末）如图，D、E是△ABC边AB、AC上的两点，在下列条件中，能够判定DE∥BC的是（　　） A．DB＝1，CE＝2，AD＝3，AE＝4 B．DB＝1，CE＝2，AB＝3，AC＝4 C．DB＝1，CE＝2，AD＝3，AC＝4 D．DB＝1，CE＝2，AB＝3，AE＝4 【分析】根据平行线分线段成比例对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：因为DB＝1，CE＝2，AD＝3，AE＝4， 所以． 因为3≠2， 则， 所以DE与BC不平行， 故A选项不符合题意； 因为DB＝1，CE＝2，AB＝3，AC＝4， 所以． 因为， 则， 所以DE与BC不平行， 故B选项不符合题意； 因为DB＝1，CE＝2，AD＝3，AC＝4， 所以． 因为， 则， 所以DE与BC不平行， 故C选项不符合题意； 因为DB＝1，CE＝2，AB＝3，AE＝4， 所以， 所以， 所以DE∥BC， 故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键． 32．（2025秋•长宁区期末）如图，两条直线被三条平行线m、n、l所截，分别相交于点A、B、C、D、E、F，若，那么当时，DF的长为　　 ． 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理得出，再将已知数据代入求出即可． 【解答】∵m∥n∥l， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查平行线分线段成比例的定理，找到对应线段的比是关键． 33．（2026•漳州模拟）如图，若l1∥l2∥l3，AB＝6，BC＝4，DF＝15，则EF的长为　6　 ． 【分析】根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∴， 解得：EF＝6． 故答案为：6． 【点评】此题考查平行线分线段成比例，关键是根据平行线分线段成比例得出解答． 34．白银比例是相对于黄金分割比的另一个美学比例，在建筑、绘画、雕塑等艺术领域有着广泛的应用，具体比例数值为．如图，AB∥CD，OC：OB为白银比例．已知OD＝3，则AD的长为 　　 ． 【分析】证明△OCD和△OBA相似得OD：OA＝OC：OB，再根据OD＝3可得OA，据此得AD＝OD+OA． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴△OCD∽△OBA， ∴OD：OA＝OC：OB， ∵OC：OB为白银比例， ∴OD：OA， ∴OA， ∵OD＝3， ∴OA， ∴AD＝OD+OA． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，实数的运算，熟练掌握相似三角形的性质，实数的运算是解决问题的关键． 35．（2026春•济宁期末）如图，l1∥l2∥l3，DE＝3，EF＝4，AB＝2，则BC的长为 　　 ． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵DE＝3，EF＝4，AB＝2， ∴， 解得：BC， 故答案为：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 36．（2025秋•尉氏县月考）已知DE∥BC，AD＝4，DB＝2，AE＝6，求EC的长． 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，代入数值计算即可． 【解答】解：∵DE∥BC，AD＝4，DB＝2，AE＝6， ∴，即， 解得EC＝3． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 37．（2025秋•修文县期中）如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC． （1）如果AE＝7，EB＝5，FC＝4，那么AF的长是多少？ （2）如果AB＝10，AE＝6，AF＝5，那么FC的长是多少？ 【分析】（1）由EF∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出，再把相关的数据代入即可求出AF； （2）由EF∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出，求出AC，再根据FC＝AC﹣AF，即可求出FC． 【解答】解：（1）∵EF∥BC， ∴， ∵AE＝7，EB＝5，FC＝4， ∴， ∴AF＝5.6； （2）∵EF∥BC， ∴， ∵AB＝10，AE＝6，AF＝5， ∴， ∴AC， ∴FC＝AC﹣AF5． 【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 38．（2026秋•单元）如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，AD，BE相交于点G，AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3．求AE：EC的值． 【分析】过D作DH∥AC交BE于H，利用平行线分线段成比例，可求出AE＝4DH，CEDH，二者作比后，即可得出结论． 【解答】解：过D作DH∥AC交BE于H， ∴，， ∴AE＝4DH，CEDH， ∴． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键． 39．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3． （1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DF的长； （2）如果DE：EF＝2：3，AC＝15，求AB的长． 【分析】（1）根据l1∥l2∥l3，利用平行线分线段成比例，可得：，结合已知AB＝4，BC＝8，EF＝12，即可得出DE的长，最后由DF＝DE+EF即可得出答案． （2） 【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵AB＝4，BC＝8，EF＝12， ∴， ∴， ∴DF＝DE+EF＝6+12＝18； （2）∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵DE：EF＝2：3， ∴． 设AB＝2k，则BC＝3k， ∵AC＝15， ∴AB+BC＝15， ∴2k+3k＝15， ∴5k＝15， 解得：k＝3， ∴AB＝2k＝2×3＝6． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•让胡路区校级期末）如果x、y都不为零，且3x＝5y，那么下列比例中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质进行判断即可． 【解答】解：由题意得， 故选：B． 【点评】本题考查的是比例的性质，熟知比例的内项之积等于外项之积是解题的关键． 【练习 2】（2026春•济宁期末）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝5cm，c＝3cm，则d为（　　）cm A．15 B． C． D． 【分析】利用比例线段的定义得到a：b＝c：d，然后根据比例性质求出d的值． 【解答】解：∵线段a，b，c，d成比例线段， ∴a：b＝c：d，即1：5＝3：d， ∴d＝15（cm）． 故选：A． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d满足 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说a、b、c、d是成比例线段，简称比例线段． 【练习 3】（2025秋•庐阳区校级期末）如图，直线AE，BF交于点O，AB∥CD∥EF．若OA＝1，AC＝2，CE＝4，则的值为 　　 ． 【分析】由CD∥EF，利用平行线分线段成比例，可得出，结合OC＝OA+AC＝3，CE＝4，即可推理求出结论． 【解答】解：∵CD∥EF， ∴， 又∵OA＝1，AC＝2，CE＝4， ∴OC＝OA+AC＝1+2＝3， ∴ 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键． 【练习 4】（2025秋•岳池县校级期末）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，且S△ADE＝4，S△BCE＝24，则S△BDE＝　8　 ． 【分析】设S△BDE＝x，则可得出△ABE，△BCE的面积之比，由平行线分线段成比例定理可得，进而得出，再将x的值代入，即可得出答案； 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， ∵， ∴， ∴， 设S△BDE＝x， 又∵S△BCE＝24，S△ADE＝4， ∴， ∴解方程并检验得：x1＝8，x2＝﹣12（舍）， ∴S△BDE＝8． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解一元二次方程，结合同高的三角形面积比等于底边的比，解题关键结合图形正确写出对应线段． 💯 课后巩固 复习建议 ad=bc 设k法 黄金比0.618 找准对应 识别基本图形 【作业 1】（2026春•莱阳市期末）在3、4、12中添加一个数x，使得这四个数成比例，则x的值不能为（　　） A．1 B．9 C．16 D．25 【分析】根据比例的基本性质解答即可．在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积，叫做比例的基本性质． 【解答】解：由题意得：3x＝4×12或4x＝3×12或12x＝4×3， 解得x＝16或x＝9或x＝1． 即x的值为16或9或1． 故选：D． 【点评】本题考查了比例的意义，掌握比例的基本性质是解答本题的关键． 【作业 2】（2026春•环翠区期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（　　） A．1，2，4，6 B．2，3，5，8 C．2，3，6，9 D．1，，， 【分析】由成比例线段知，证明线段a、b、c、d成比例，则需a：b＝c：d，分别求出比值是否相等即可得出答案． 【解答】解：A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故符合题意； D．，故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了比例线段，熟知比例线段的定义是解题的关键． 【作业 3】（2026•哈尔滨模拟）已知l1∥l2∥l3，，DE＝9，则EF＝（　　） A．12 B．15 C．28 D．24 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可求解． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∴， ∴EF＝15， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【作业 4】（2025秋•盐田区期末）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝3，BC＝4，EF＝8，则DF的长为（　　） A．9 B．3 C．5 D．14 【分析】由平行线分线段成比例定理，得，代入已知线段得长度求解即可． 【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截， ∴， ∵BC＝4，EF＝8，AB＝3， ∴即， ∴DE＝6． ∴DF＝DE+EF＝6+8＝14， 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 【作业 5】（2025秋•二七区校级期末）若线段a，b，c，d依次成比例线段，且a＝1cm，b＝5cm，c＝3cm，则d为　15　 cm． 【分析】根据成比例线段的定义，可得比例关系a：b＝c：d，进而利用比例性质求解． 【解答】解：根据成比例线段的定义可得：a：b＝c：d， ∴ad＝bc， ∴， ∴， 故答案为：15． 【点评】本题主要考查了比例线段的定义．熟练掌握该知识点是关键． 【作业 6】（2025秋•梅县区期末）已知，则的值为 　　 ． 【分析】利用比例的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵， ∴设a＝2k，b＝3k， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【作业 7】（2026•高密市校级模拟）已知线段AB的长为4cm，如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么AP的值是　（22）　 cm． 【分析】根据黄金分割的定义列式计算即可． 【解答】解：∵线段AB的长为4cm，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）， ∴APAB4＝（22）（cm）， 故答案为：（22）． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 【作业 8】（2026春•海淀区校级期中）黄金分割被视为美的比例，宽与长的比是（约为0.618）的矩形是黄金矩形．如果有一黄金矩形的一边长为，则该黄金矩形另一边的长为　2或　 ． 【分析】根据黄金矩形的定义，宽与长的比为，已知边长未明确是长还是宽，因此分两种情况讨论，分别计算另一边长即可． 【解答】解：设该黄金矩形另一边的长为x，分两种情况讨论如下： ①若为矩形的长， 则， 解得：x＝2， ②若为矩形的宽， 则， 解得：， 故答案为：2或． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 9】（2026春•浦东新区校级期中）已知，求k的值． 【分析】讨论：当a+b+c+d≠0时，根据等比性质得到k，再化简分式得到k；当a+b+c+d＝0，则b+c+d＝﹣a，所以k，约分得到k＝﹣2． 【解答】解：当a+b+c+d≠0时， ∵k， ∴k， 即k， ∴k； 当a+b+c+d＝0， ∴b+c+d＝﹣a， ∴k， 解得k＝﹣2， 综上所述，k的值为或﹣2． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 【作业 10】（2026秋•单元）已知，求下列算式的值： （1）； （2）． 【分析】（1）根据比例的性质进行计算，即可解答； （2）利用设k法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）∵， ∴11； （2）∵， ∴设a＝3k，则b＝5k， ∴11． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键． 【作业 11】（2026•岳西县模拟）如图，直线a∥b∥c，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． （1）若AB＝3，BC＝5，DE＝4，求EF的长； （2）若，DF＝6，求DE的长． 【分析】（1）由a∥b∥c得到，然后代数求解； （2）由a∥b∥c得到，然后结合得到，进而求解即可． 【解答】解：（1）∵a∥b∥c，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F，AB＝3，BC＝5，DE＝4， ∴，即， ∴； （2）∵a∥b∥c，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 【作业 12】（2024秋•富平县期中）如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是边BC，CD上的点，连接AE，AF，且EF∥BD，AE、AF分别交BD于点G、H． （1）求证：HF•AG＝GE•AH； （2）若，求的值． 【分析】（1）由EF∥BD即可得到，即可求证； （2）由平行四边形得到BC∥AD，则． 【解答】（1）证明：在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是边BC，CD上的点，EF∥BD， ∴， ∴HF•AG＝GE•AH； （2）解：∵， 又∵， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键要明确：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $