第07讲 一元二次方程根与系数的关系 讲义（考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程根的判别式（△的符号与根的情况及逆用）和根与系数的关系（韦达定理及应用），通过知识点梳理、8类题型（含基础应用与中考综合题）及变式练习，构建从概念到综合应用的学习支架。 资料以探究式学习和新定义题型（如“根对四边形”“美丽方程”）为亮点，培养创新意识与模型意识，题型分层设计提升推理能力，课后检测与复盘笔记助力查漏补缺，课中辅助教师教学，促进学生用数学语言表达与解决实际问题。

简一数理 初中专题讲义 第07讲 一元二次方程的根与系数的关系 （新教材北师大版） 知识点一、一元二次方程根的判别式 2 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系 2 【题型1 根据根的判别式判断根的情况】 4 【题型2 根与系数的关系直接应用（求两根和、两根积）】 6 【题型3 利用韦达定理求代数式的值（对称式）】 8 【题型4 已知方程的根，求参数的值】 10 【题型5 已知两根的数量关系求参数（韦达定理 + 参数）】 12 【题型6 根据根的正负情况确定参数范围】 14 【题型7 判别式与韦达定理综合大题（中考高频综合）】 17 【题型8 构造一元二次方程与阅读新定义题型】 21 【探究式学习】 28 【课后检测】 33 【复盘笔记】 44 知识点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 【题型1 根据根的判别式判断根的情况】 【例1】对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 【变式1-1】关于x的一元二次方程，则下列分析正确的是（     ） A．当时，方程有两个不相等的实数根 B．当时，方程有两个相等的实数根 C．当时，方程没有实数根 D．方程的根的情况与p的值无关 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，先将方程整理为一般形式，计算根的判别式，再根据判别式的符号逐一判断选项即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， 根的判别式， 当时，，方程有两个不相等的实数根，选项A正确，符合题意； 当时，，方程有两个不相等的实数根，选项B错误，不符合题意； 当时，若，则，此时方程有两个不相等的实数根，选项C错误，不符合题意； ，的正负与的取值有关， 方程根的情况与的值有关，选项D错误，不符合题意． 【变式1-2】下列一元二次方程中有两个相等的实数根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项判别式即可得出结果． 【详解】解：A．方程，，，方程有两个不相等的实数根，不符合要求． B．方程整理为，，，方程有两个相等的实数根，符合要求． C．方程，，，方程没有实数根，不符合要求． D．方程整理为，，，方程有两个不相等的实数根，不符合要求． 【变式1-3】已知二次函数，当时，y的值随x值的增大而减小，则下列结论正确的是（   ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．该函数的最大值不小于 D．方程没有实数根 【答案】C 【分析】先根据二次函数的增减性确定开口方向与对称轴的位置，再据此逐一分析选项的正确性． 【详解】解：∵当时，的值随值的增大而减小， ∴抛物线开口向下，即，且对称轴为轴或在轴左侧， ∴对称轴． 又∵， ∴可推出． 对于选项A：∵，， ∴，故A错误． 对于选项B：顶点的横坐标为， ∴顶点可能在轴的左侧或轴上，不在第四象限，故B错误． 对于选项C：∵抛物线开口向下， ∴函数有最大值，且最大值为顶点的纵坐标， ∵抛物线过点，开口向下， ∴顶点在上方或与重合，即最大值不小于，故C正确． 对于选项D：方程的判别式， ∵， ∴，，方程有两个不相等的实数根，故D错误． 【题型2 根与系数的关系直接应用（求两根和、两根积）】 【例2】若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，，，， ∴，， ∴． 【变式2-1】若方程的两实根为，那么下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再对各选项变形计算，即可找出错误选项. 【详解】解：∵方程的两实根为、， ∴，； 对选项A：，A正确； 对选项B：，B正确； 对选项C：，C正确； 对选项D：，D不正确. 【变式2-2】已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 【变式2-3】已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程，则，． 先利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两根， ∴，． ∴ ． 【题型3 利用韦达定理求代数式的值（对称式）】 【例3】已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 【变式3-1】如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】由题意可知，两个不相等的实数，都满足同一个二次关系式，因此，是一元二次方程的两个不等实根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再对所求代数式降次变形，整体代入计算即可． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， ，是一元二次方程的两个不相等实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， 又， ， 将代入所求代数式得： ． 【变式3-2】一元二次方程的两个实数根为m和n，则代数式的值为（     ） A．17 B．6 C．33 D．26 【答案】C 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为和， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得：，， ． 【变式3-3】若，且，，则=（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将第二个方程变形为关于的一元二次方程，与第一个方程形式一致，结合根与系数的关系求解，即可解答． 【详解】解：∵时，，与题设矛盾， ∴， 将两边除以， 整理得， ∵，且， 即， ∴，是方程的两个不等实根， ∴，即． 【题型4 已知方程的根，求参数的值】 【例4】定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新定义的运算规则，将整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式大于，求解得到的取值范围． 【详解】解：∵定义运算， ∴， ∵， ∴， 即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 【变式4-1】已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时判别式，整理等式即可求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 展开整理得， 即， ∴，得， ∵， 等式两边同除以得． 【变式4-2】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则一次函数的图象一定不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】结合一元二次方程根的判别式、二次根式的性质，考查一次函数图象的性质，先求出k的取值范围，再根据一次函数系数的符号判断图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根 ∴ 化简得， 解得． ∵ ∴， 解得． ∴k的取值范围为． 对于一次函数 ∵ ∴， 即一次函数的图象经过第一、二、四象限 ∴图象一定不经过第三象限． 【变式4-3】已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（     ） A．且 B． C．且 D． 【答案】D 【分析】题目已知方程为一元二次方程，二次项系数为1，满足二次项系数不为0的要求，只需利用方程有实数根得判别式，解不等式即可得到的取值范围； 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 【题型5 已知两根的数量关系求参数（韦达定理 + 参数）】 【例5】若方程的两个实数根为，，且，则k的值为（     ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， 当时，， ∴方程有2个相等的实数根，满足题意． 【变式5-1】已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，将两根和与两根积代入已知等式，得到关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 解得． 【变式5-2】若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值． 【详解】∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 【变式5-3】已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据两根之积得到关于的方程，求解后再利用判别式验证，舍去无实根的情况，得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴由根与系数的关系得， 又∵， ∴，整理得：，解得：或， ∵方程有两个实数根， ∴判别式， ， 当时，，此时方程无实数根，舍去； 当时，，符合题意， ∴的值为． 【题型6 根据根的正负情况确定参数范围】 【例6】若二次函数与轴两交点横坐标为与，且，均为正实数，那么a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．先得出关于的方程有两个不相等的实数根，且，利用一元二次方程根的判别式可得，再利用一元二次方程的根与系数的关系可得，，则，由此即可得． 【详解】解：∵二次函数与轴有两个交点， ∴关于的方程有两个不相等的实数根，且， ∴这个方程根的判别式， ∴， 又∵关于的方程的两根，均为正实数， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式6-1】关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，则k的范围为______． （2）若，是这个方程的两个根，且，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据题意及根的判别式可进行求解参数的范围； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）由方程有两个实数根，所以， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 故答案为，． 【变式6-2】设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及的值； (2)若，求的范围． 【答案】(1)， (2)为任意实数 【分析】本题考查了一元二次方程的根、解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． （1）先将代入方程可得，则可得，再将代入方程，利用因式分解法解方程即可得； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入求解即可得． 【详解】（1）解：∵是关于的方程， ∴， ∴， 将代入方程得：，即， 解得或， ∴． （2）解：方程可变形为， 方程根的判别式为，有两个不相等的实数根， ∵，是关于的方程的两根， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴为任意实数． 【变式6-3】关于x的一元二次方程． (1)如果方程有两个不相等的实数根，求k的范围； (2)如果方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根； (3)如果x1，x2是这个方程的两个根，且，求k的值． 【答案】(1)k的取值范围为 (2)k的值为8，方程的另一个根为4 (3)k的值为 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． （1）利用根的判别式的意义得到△，然后解不等式； （2）设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得，，然后解方程组即可； （3）根据根与系数的关系得，，再由得到，所以，然后解一次方程即可． 【详解】（1）根据题意得△， 解得， 即的取值范围为； （2）设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得，， 解得，， 即的值为8，方程的另一个根为4； （3）根据根与系数的关系得，， ， ， ， 解得， 即的值为． 【题型7 判别式与韦达定理综合大题（中考高频综合）】 【例7】 已知关于x的方程．若，是方程的两根． (1)当时，求m的值； (2)直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)； (2)0 【分析】（1）把代入方程，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：把代入方程，得， ． （2）解：将，整理得， ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 【变式7-1】“若一元二次方程的两个实数根分别为、，则，．”此定理是由法国数学家弗朗索瓦·韦达在16世纪提出的，因此得名“韦达定理”．若、是一元二次方程的两个实数根，求证：． 【答案】证明：∵ 整理得，， 由“韦达定理”可得：，， ∵， ∴． 【分析】首先由“韦达定理”得，，然后将展开后代入证明即可． 【详解】略 【变式7-2】阅读材料： 已知，，且，求的值． 解：由及，可知，． 又， 可变形为． 所以与是方程的两个不相等的实数根． 则， 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：，，且．求：的值． 【答案】 【分析】由题意可知：可以将方程化简为的形式，然后根据根与系数的关系可解得：的值；也可将方程化简为的形式，再根据根与系数的关系可解得的值． 【详解】 解：解法一：由知， ， ， 由得， 根据与的特征， 是方程的两个不相等的实数根， ． 解法二：由得， 根据与的特征，且， 与是方程的两个不相等的实数根， ，， ． 【变式7-3】若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 【答案】(1) (2)①证明：，是方程的根， ∴，， ∴， 因为，， 所以原式 ②； 【分析】（1）先计算根的判别式，根据原方程有两个不相等的实数根，得出不等式，解不等式，得出，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知可得或，解一元二次方程，即可求解． （2）①由，是方程的根得到，，结合的定义进行证明； ②根据根与系数的关系写出、的值，运用完全平方公式变形求得的值，利用①中的结论求得的值． 【详解】（1）解：． 原方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或， 又， ； （2）①略 ②，是方程的两根， ，， ； 由①知： ． 【题型8 构造一元二次方程与阅读新定义题型】 【例8】【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． (1)当时，求这两条对角线的长． (2)若该根对四边形是矩形，求对角线的长． (3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． 【答案】(1)两条对角线的长分别为和 (2)对角线的长为 (3)的值为 【分析】（1）把代入方程，得到具体一元二次方程，解方程求出两个正根，即为对角线长度； （2）矩形对角线相等，说明一元二次方程有两个相等实数根，即判别式，先求出，再解方程得到对角线长度； （3）菱形对角线互相垂直平分，设对角线为，则半对角线与菱形边长构成直角三角形，满足勾股定理：；结合韦达定理：，，再利用完全平方变形求解，最后检验且根为正数． 【详解】（1）解将代入方程： ， 化简： ， 因式分解： ， 解得，． 两根均为正数，符合对角线长度要求， 两条对角线长分别为和． （2）解：由矩形对角线相等， 则方程有两个相等实数根，． ， 令： ， ， ， 解得（满足）， 把代入原方程： ， ， ， ， 矩形对角线的长为6． （3）解：设方程两根（对角线长）为，由韦达定理： ， 菱形对角线互相垂直平分，边长为，由勾股定理： ， 两边同乘4：， 由完全平方公式，代入： ， ， ， 解得， 检验：，代入原方程： ， 解得，，两根均为正实数，符合对角线长度要求． 的值为． 【变式8-1】定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)，理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解； （3）设方程（）的两个根为，，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导和的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． （3）略． 【变式8-2】【阅读材料】 材料1：一元二次方程的两个根有如下的关系： 材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决． 下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数满足，且，则可将看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数满足，则可以将看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，则___________，___________； (2)已知实数满足，且，求的值； (3)已知实数满足，且，求的最大值． 【答案】(1)2， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程的根与系数的关系即可得结论； （2）可以看作是方程的两根，利用根与系数的关系即可求解； （3）将看作是方程的两实数根，利用判别式的意义即可求解． 【详解】（1）解：由一元二次方程的根与系数的关系可得，，． 故答案为：2，． （2）解：∵，实数满足，， ∴可看作方程的两根， ∴， ∴原式 ∴原式的值为． （3）解：∵， ∴将看作是方程的两实数根； ∴，且， ∴， ∴， 解得， ∴的最大值为1． 【变式8-3】请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，同时涉及方程的构造、代数式的恒等变形，识别 材料中的“同型结构”，构造对应方程是解题关键． （1）根据根与系数的关系可得，，进而根据完全公式变形即可得出； （2）首先把方程进行变形可得出，结合，可得出和为的两个不相等实数根，进而根据根与系数的关系可得出，，进一步即可得出； （3）首先根据已知条件进行变形，可得出，，即可得出和为方程的两个实数根，进一步根据根的判别式可得出，解得，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：由题意得：、为的两个不相等实数根， 可得，， 故． 答：． （2）解：， ， ， ，，， 和为的两个不相等实数根， ，， ． 答：． （3）解：由 ，， 可构造，和是方程的两个实数根， ， ， 可得的最大值为2． 答：2． 【探究式学习】 1．我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 (1)若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】 (2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 (3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 【答案】(1)，， (2)有实数根，方程的解为， (3) 【分析】（1）利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （2）设，则关于的方程可化为，再利用题干给出的一元二次方程根与系数关系求解即可； （3）设原方程两根为，得到，设关于的方程两根为，令，得到，进而进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两根，，，． ∴根据根与系数关系，得 ∴； （2）解：设，则关于的方程可化为， ∵方程两根为， ∴， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴该方程有实数根，根为，． （3）解：设原方程两根为， 由题意，得， 设关于的方程两根为，令， 变形得，则 两根之积： ∴两根之积为． 2.学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【答案】(1) (2) (3) 证明： ∵①，②， ①②得：， 整理得：， ∵， ∴， 等式两边同时除以得：，即， ∴ 将代入①得：， 整理得：， 移项整理得：， 同理，将代入②，整理得， ∵， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴. 【分析】（1）代入，利用求根公式求出方程的正根即可； （2）将已知等式变形，得到和是原一元二次方程的两个不相等根，利用根与系数的关系求出的值； （3）对两个已知等式作差，结合得到的关系式，再推导出，是新一元二次方程的两个根，利用根与系数关系证明结论. 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， ∴， ∴， ∴“黄金分割数”为； （2）解：∵，， 将两边同时除以，得， ∵， ∴， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （3）略 3．定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： (1)“快乐方程”的“快乐数”为______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． (3)对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 【答案】(1) (2)， (3)所有可能的快乐数为和 【分析】（1）根据“快乐数”的定义求解； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）首先表示出 ，得到，然后利用根与系数的关系得到，，表示出 ，得到，根据题意求出或4，进而求解即可． 【详解】（1）解：方程的“快乐数”为 ； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又∵方程是“快乐方程”，且m为整数， ∴方程的根为整数， ∴为完全平方数， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， ∴， ∴其“快乐数”数是； （3）解：根据题意得， ， ∴， ∵方程的两根为，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵是“快乐方程”， ∴，是整数， ∴是整数， ∵n为正整数， ∴n为完全平方数， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴或4， ∴ 或． 【课后检测】 1．下列一元二次方程两实数根的和为2的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需同时满足有两实数根、两根和为2，结合根与系数的关系及判别式判断； 【详解】解：A选项：方程，两根和为，不符合； B选项：方程，两根和为，，有两个实数根，符合； C选项：方程，，无实数根，不符合； D选项：方程，两根和为，不符合． 2．在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点：如果方程的两根是，，那么，，若关于x的方程的两个实数根满足关系式，则k的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式变形求解k，再验证方程有两个实数根，即可得到结果． 【详解】解：∵方程的两根为 ∴根据根与系数的关系得， ∵ ∴两边平方得 由完全平方公式变形得 代入得 整理得 解得 ∵方程有两个实数根， ∴判别式 当时，，符合要求 当时，，符合要求 ∴的值为或． 3．已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系，从第一个方程得到两根和与两根积，再对第二个方程利用根与系数的关系得到的表达式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵一元二次方程的两根为，， ∴两根之积满足， ∴． 4．若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 【答案】A 【分析】先根据两根互为倒数得到两根乘积为1，求出k的可能值，再利用判别式验证方程存在实根，舍去不符合的解得到结果． 【详解】解：设方程的两根为． ∵ 方程两根互为倒数， ∴ ． 又∵由根与系数的关系得． ∴ ，解得或． ∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴． ∴． ∵ ，不符合要求舍去， ∴ ． 5．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（     ） ①方程是2倍方程；②若为3倍方程，则；③若，满足，则关于的方程为2倍方程；④若关于的方程为倍方程，则． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据新定义“倍方程”，一元二次方程的解法与根与系数的关系，逐个验证每个说法即可得到结论． 【详解】解：①解方程， 因式分解得， 解得， ，满足2倍方程定义，①正确； ②方程的两根为， ∵方程是3倍方程， 故分两种情况讨论： 当时，，解得， 当时，，解得， 或，故②错误； ③若，则方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 由求根公式得， 即， ∴，满足2倍方程定义，故③正确； ④设方程的两根为， 由根与系数的关系得：，， 则，， 将代入得：， 两边同乘整理得：，故④正确． 6．下列方程的两个实数根的和为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据判别式判断方程是否有两个实数根，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：A． ，，该方程有实根，，不符合题意； B． ，，该方程有实根，且，不符合题意； C． ，，该方程有实根，且，符合题意； D． ，，该方程无实根，不符合题意 7．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系，先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴， 将，代入得：． 8．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用根的定义对所求代数式降次化简，再利用根与系数的关系整体代入计算即可. 【详解】∵和是方程的根， ∴，， ∴， ∴. 9．的面积是S，一直角边长是x，根据题意可列方程 若该方程的两根为 其中，，则另一直角边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先整理原方程，根据直角边长度为正确定的取值，再利用根与系数的关系得到m与两根a、b的关系，最后代入另一直角边的表达式即可求出结果． 【详解】解：， 整理得：， ∵直角边长度为正数，方程两根为， ∴，，， ∴，， 根据三角形面积公式得： ， 10．已知一个矩形相邻两边长（单位：）是关于的方程（是常数）的两个根，则这个矩形的面积（单位：）可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】矩形相邻两边是方程的两个实根，矩形面积等于两根乘积，利用一元二次方程判别式得到面积的取值范围，即可得到符合条件的选项． 【详解】解：设矩形相邻两边长为方程的两个根， ∵矩形面积， 由一元二次方程根与系数的关系得， ∴， ∵方程有两个正实根， ∴判别式， ∵， ∴，解得， 即， 观察选项，只有A选项，符合要求． 11．若，分别是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为___． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系:，， 求出两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形后，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系，可得：，． ∴． 12．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】 15 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ，可得， 根据根与系数的关系可得， 展开所求代数式：， 将代入得：， 将代入得：． 13．已知关于的方程的两个不相等的实数根分别是，那么的值是___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到关于、的等式，结合两个根不相等的条件排除不符合的解，即可得到结果． 【详解】解：∵方程的两个不相等的实数根分别是，， ∴， 由得， ∴或， 当时，代入得，此时原方程为，两根相等，不符合题意，舍去； 当时，代入，得，解得，此时原方程的判别式，符合有两个不相等实数根的条件， ∴． 14．古希腊在研究黄金分割时得到方程，已知m，n是方程的两个根，则代数式________． 【答案】4 【分析】利用方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系计算结果． 【详解】解：是方程的根， ，即， ，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得， 原式． 15．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则___________． 【答案】 【分析】先根据方程有两个实数根得到判别式非负，再利用根与系数的关系表示和，代入已知等式求解，最后根据判别式舍去不符合的解即可． 【详解】解：∵ ，是方程的两个实数根， ∴ 判别式， 即， 根据根与系数的关系得，， ∵，即， ∴， 解得或， 当时，，不存在两个实数根，舍去， 当时，，符合条件， 因此． 16．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，若m取最大正整数值，设是该方程的两根，求的值． 【答案】(1)的取值范围是且； (2)所求代数式的值为． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可求解； （2）根据（1）中m的取值范围确定m的值，代入一元二次方程，利用根与系数的关系得到、的值，对算式变形后代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得：， 又∵， ∴， ∴m的取值范围为：且； （2）解：∵， ∴m的最大正整数值为2， 当时，一元二次方程为， ∴，， ∴原式 ． 17．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请解答下列问题： (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根之积为，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】（1）根据判别式与根的个数的关系，列不等式，求解即可； （2）根据根与系数的关系可得两根之积，结合题干列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得； （2）解：设方程的两根为、， 由根与系数的关系可得， 根据题意可得， 整理，得， 解得或，均符合， ∴的值为或． 18．设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求解． （2）根据完全平方公式变形，即可求解． （3）先进行分式的加法计算，再代入求值． 【详解】（1）解：∵，是一元二次方程的两个根 ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴． 19．在复习一元二次方程（）时，在有实数根的前提下，阳仔同学总结了根与系数的关系：若一元二次方程的两个实数根为，，则，． 根据以上知识点完成下列问题： (1)方程的两根为与，则 ， ． (2)已知：、是方程的两个实数根，求的值. 【答案】(1)5，3 (2) 【分析】（1）直接根据根与系数的关系得到两根和与两根积； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再展开所求代数式，整体代入计算结果. 【详解】（1）解：∵方程的两根为与， ∴，； （2）解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ . 20．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 43 页 第 1 页 共 43 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第07讲 一元二次方程的根与系数的关系 （新教材北师大版） 知识点一、一元二次方程根的判别式 2 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系 2 【题型1 根据根的判别式判断根的情况】 4 【题型2 根与系数的关系直接应用（求两根和、两根积）】 5 【题型3 利用韦达定理求代数式的值（对称式）】 5 【题型4 已知方程的根，求参数的值】 5 【题型5 已知两根的数量关系求参数（韦达定理 + 参数）】 6 【题型6 根据根的正负情况确定参数范围】 6 【题型7 判别式与韦达定理综合大题（中考高频综合）】 7 【题型8 构造一元二次方程与阅读新定义题型】 9 【探究式学习】 12 【课后检测】 14 【复盘笔记】 18 知识点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 【题型1 根据根的判别式判断根的情况】 【例1】对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式1-1】关于x的一元二次方程，则下列分析正确的是（     ） A．当时，方程有两个不相等的实数根 B．当时，方程有两个相等的实数根 C．当时，方程没有实数根 D．方程的根的情况与p的值无关 【变式1-2】下列一元二次方程中有两个相等的实数根是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知二次函数，当时，y的值随x值的增大而减小，则下列结论正确的是（   ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．该函数的最大值不小于 D．方程没有实数根 【题型2 根与系数的关系直接应用（求两根和、两根积）】 【例2】若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 【变式2-1】若方程的两实根为，那么下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【题型3 利用韦达定理求代数式的值（对称式）】 【例3】已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 【变式3-1】如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【变式3-2】一元二次方程的两个实数根为m和n，则代数式的值为（     ） A．17 B．6 C．33 D．26 【变式3-3】若，且，，则=（     ） A． B． C． D． 【题型4 已知方程的根，求参数的值】 【例4】定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（     ） A． B． C． D．2 【变式4-2】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则一次函数的图象一定不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-3】已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（     ） A．且 B． C．且 D． 【题型5 已知两根的数量关系求参数（韦达定理 + 参数）】 【例5】若方程的两个实数根为，，且，则k的值为（     ） A．1 B．2 C． D．4 【变式5-1】已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 【变式5-2】若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式5-3】已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【题型6 根据根的正负情况确定参数范围】 【例6】若二次函数与轴两交点横坐标为与，且，均为正实数，那么a的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，则k的范围为______． （2）若，是这个方程的两个根，且，则______． 【变式6-2】设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及的值； (2)若，求的范围． 【变式6-3】关于x的一元二次方程． (1)如果方程有两个不相等的实数根，求k的范围； (2)如果方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根； (3)如果x1，x2是这个方程的两个根，且，求k的值． 【题型7 判别式与韦达定理综合大题（中考高频综合）】 【例7】 已知关于x的方程．若，是方程的两根． (1)当时，求m的值； (2)直接写出代数式的最小值． 【变式7-1】“若一元二次方程的两个实数根分别为、，则，．”此定理是由法国数学家弗朗索瓦·韦达在16世纪提出的，因此得名“韦达定理”．若、是一元二次方程的两个实数根，求证：． 【变式7-2】阅读材料： 已知，，且，求的值． 解：由及，可知，． 又， 可变形为． 所以与是方程的两个不相等的实数根． 则， 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：，，且．求：的值． 【变式7-3】若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 【题型8 构造一元二次方程与阅读新定义题型】 【例8】【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． (1)当时，求这两条对角线的长． (2)若该根对四边形是矩形，求对角线的长． (3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． 【变式8-1】定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【变式8-2】【阅读材料】 材料1：一元二次方程的两个根有如下的关系： 材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决． 下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数满足，且，则可将看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数满足，则可以将看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，则___________，___________； (2)已知实数满足，且，求的值； (3)已知实数满足，且，求的最大值． 【变式8-3】请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 【探究式学习】 1．我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元二次方程的两个根是，，那么可推出，．请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 (1)若，是方程的两根，则 ， ， ； 【问题探究】 (2)如果关于的一元二次方程的两个根是，，那么关于的一元二次方程是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解，如果没有，请说明理由； 【问题解决】 (3)若关于的方程的两根之和是，两根之积是，请求出关于的方程的两根之积的值（用字母，表示）． 2.学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 3．定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： (1)“快乐方程”的“快乐数”为______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． (3)对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 【课后检测】 1．下列一元二次方程两实数根的和为2的是（     ） A． B． C． D． 2．在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点：如果方程的两根是，，那么，，若关于x的方程的两个实数根满足关系式，则k的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 3．已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 4．若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 5．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（     ） ①方程是2倍方程；②若为3倍方程，则；③若，满足，则关于的方程为2倍方程；④若关于的方程为倍方程，则． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 6．下列方程的两个实数根的和为的是（     ） A． B． C． D． 7．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 9．的面积是S，一直角边长是x，根据题意可列方程 若该方程的两根为 其中，，则另一直角边长是（     ） A． B． C． D． 10．已知一个矩形相邻两边长（单位：）是关于的方程（是常数）的两个根，则这个矩形的面积（单位：）可能是（     ） A． B． C． D． 11．若，分别是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为___． 12．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则______． 13．已知关于的方程的两个不相等的实数根分别是，那么的值是___________． 14．古希腊在研究黄金分割时得到方程，已知m，n是方程的两个根，则代数式________． 15．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则___________． 16．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，若m取最大正整数值，设是该方程的两根，求的值． 17．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，请解答下列问题： (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根之积为，求的值． 18．设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 19．在复习一元二次方程（）时，在有实数根的前提下，阳仔同学总结了根与系数的关系：若一元二次方程的两个实数根为，，则，． 根据以上知识点完成下列问题： (1)方程的两根为与，则 ， ． (2)已知：、是方程的两个实数根，求的值. 20．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 43 页 第 1 页 共 43 页 学科网（北京）股份有限公司 $