第1章第2讲二次函数的性质（1.3）专题训练 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

数学 · 九年级上册 第1章 二次函数　第2讲　二次函数的性质（1.3） 　A组　 1. 函数 的图象经过点 ，则 的值为（　　） A. B. C. D. 2. 已知二次函数 的图象如图所示，那么 的符号为（　　） A. B. C. D. 3. 已知在二次函数 的图象上有三点 ，，，且 ，，则 的值为（　　） A. 正数 B. 负数 C. D. 非负数 4. 已知二次函数 在 时， 取得的最大值为 15，则 的值为（　　） A. B. C. D. 5. 已知二次函数 的图象如图所示，有下列 5 个结论：①；②；③；④；⑤（ 的实数）. 其中结论正确的有（　　） A. ①② B. ②③⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 6. 若抛物线 经过原点，则抛物线的表达式为________. 7. 一个二次函数图象上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如表： (1) 这个二次函数的对称轴为直线________，顶点坐标为________. (2) 的值是________， 的值是________. (3) 这个二次函数的表达式为________. 8. 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度 （m）与足球被踢出后经过的时间 （s）之间的函数表达式为 . 已知足球被踢出后经过 4s 落地，则足球距地面的最大高度是________m. 9. 已知函数 的图象恒在 轴的上方，则 ________. 10. 已知二次函数 （其中 是自变量），当 时， 随 的增大而减小，且 时， 的最小值为 15，则 ________. 11. 如图，二次函数 的图象经过点 和点 . (1) 求该二次函数的表达式. (2) 求该抛物线的对称轴及顶点坐标. (3) 点 ， 都在该函数图象上（其中 ），且点 与点 关于抛物线的对称轴对称，求点 的坐标. 12. 已知关于 的二次函数 过点 ，，. (1) 求函数的表达式及顶点坐标. (2) 若 ，求 的取值范围. (3) 若 时，函数的最大值为 1，求 的取值范围. 13. 已知关于 的二次函数 的顶点为 . (1) 求点 的坐标（用含 的代数式表示）. (2) 若函数 的图象在直线 的上方，求 的取值范围. (3) 若 时，求 的取值范围（用含 的代数式表示）. 　B组　 14. 如图，小明在画二次函数 （ 为常数）图象的过程中，在正确描出顶点 后，再依次描出点 . 若其中只有一个点是描错的，则描错的点是（　　） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 15. 如图，点 的坐标分别为 和 ，抛物线 的顶点在线段 上运动，与 轴交于 两点（点 在点 的左侧），点 的横坐标最小值为 ，则点 的横坐标最大值为________. 16. 抛物线 上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如表：从表可知，下列说法中正确的是________.（填写序号）①抛物线与 轴的一个交点为 ；②函数 的最大值为 6；③抛物线的对称轴是直线 ；④在对称轴左侧， 随 增大而增大. 17. 已知二次函数 （ 为常数，且 ），当 时， 随着 的增大而增大，则满足条件的整数 的值为________.（写出一个即可） 18. 在直角坐标系中，设函数 （ 是常数，）. (1) 若函数 的图象经过点 和 ，求函数 的表达式. (2) 若函数 图象的顶点在函数 的图象上，求证：. (3) 若 ，当 时，函数 随 的增大而增大，求 的取值范围. 19. 设二次函数 （ 是常数）的图象与 轴交于 两点. (1) 若 两点的坐标分别为 ，，求函数 的表达式及其图象的对称轴. (2) 若函数 的表达式可以写成 （ 是常数）的形式，求 的最小值. (3) 设一次函数 （ 是常数），若函数 的表达式还可以写成 的形式，当函数 的图象经过点 时，求 的值. 　C组　 20. 在“探索函数 的系数 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，. 同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中 的值最大为（　　） A. B. C. D. 21. 已知二次函数 当 时，函数最小值为 ，则 ________. 22. 设二次函数 （ 是常数，）. (1) 判断该二次函数图象与 轴交点的个数，说明理由. (2) 若该二次函数图象经过 ，， 三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式. (3) 若 ，点 在该二次函数图象上，求证：. 23. 如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上，其对称轴是直线 . 为该抛物线上的点，其横坐标分别为 ，设该抛物线在点 与点 之间部分（含点 和点 ）的图象记为 ，图象 的最高点与最低点的纵坐标之差为 . (1) 求该抛物线的表达式. (2) 点 的纵坐标为 2 时，求点 的坐标. (3) 当图象 的最低点是该抛物线的顶点时，①求 与 之间的函数关系式；②当 时，直接写出 的值. 24. 已知二次函数 的图象经过点 和 . (1) 求 满足的关系式. (2) 当自变量 的值满足 时， 随 的增大而增大，求 的取值范围. (3) 若函数图象与 轴无交点，求 的取值范围. 参 考 答 案 1. C　解析：把 代入 ，得 ，解得 . 2. A　解析：图象开口向下，故 ；对称轴在 轴左侧，，与 结合得 ；图象与 轴交于正半轴，故 . 所以 . 3. B　解析：把 代入得 ，，，与 轴交于 ，. 当 时 ；当 时 . 故 ，为负数. 4. D　解析：， 时 . 若 ，最大值为 ，不合题意；故 ，最大值在 处取得，，解得 或 （舍去）. 5. B　解析：开口向下得 ；对称轴 得 ；与 轴交于正半轴得 ，故① 错误. 由图 时 ，即 ，②正确. 与 关于 对称，，③正确. 故 ，④错误. 为最大值点，，即 ，⑤正确. 正确的是②③⑤. 6. 或 　解析：把 代入得 ，，均满足 . 故表达式为 或 . 7. (1) 直线 ，顶点 ；(2) ，；(3) 　解析：(1) 表中 与 纵坐标相等，故对称轴为直线 ；顶点为 . (2)(3) 由顶点式设 ，代入 得 ，. 验证 时 ， 时 ， 时 均吻合. 于是 ；由 得 ， 或 （舍去， 在 2 与 4 之间），故 . 8. 20　解析：由 时 ，得 ，. ，当 时最大高度为 20 m. 9. 　解析：图象恒在 轴上方需 且 ，解得 . 10. 　解析：对称轴为直线 . 当 时 随 增大而减小，故 . 在 上，离对称轴最远的端点 处取最小值：，即 ，解得 或 （舍去）. 故 . 11. (1) 把 、 分别代入： 即 ； 即 . 两式相减得 ，，. 故 . (2) 对称轴为直线 ，顶点纵坐标 ，即顶点 . (3) 把 代入：，即 ，， 或 （舍去，）. 故 . 点 与 关于直线 对称，横坐标为 ，纵坐标不变，故 . 12. (1) 设 ，代入 得 ，，故 ，顶点 . (2) 当 时，最大值 （）；端点处 时 ， 时 ，故最小值为 . 所以 . (3) 因 恒成立且仅当 时取等，区间 上的最大值为 1 当且仅当 在该区间内，即 ，解得 . 13. (1) ，故顶点 . (2) 图象的最低点为 ，要使整个图象在直线 的上方，需 ，即 . (3) 由 得 ，，，故 . 14. D　解析：顶点 在 轴下方且为正确点，故抛物线开口向上， 为最低点，对称轴为过 且平行于 轴的直线. 点 、 在对称轴左侧，随 增大而降低；点 在对称轴右侧靠近对称轴，纵坐标介于 与 轴之间，、、 三点与顶点 的位置关系相互吻合. 而点 到对称轴的距离与点 到对称轴的距离相仿，其纵坐标却明显偏大（与 、、 所确定的开口大小矛盾），故描错的点是点 . 15. 　解析：顶点 在线段 上，故 ，，且 . 令 得 ，，，两点间水平距离固定. 点 的横坐标 的最小值在 时取得：，得 . 点 的横坐标 的最大值在 时取得：. 16. ①③④　解析：由表知 与 、 与 的纵坐标分别相等，故对称轴为直线 ，③正确. 设 ，代入 、 解得 ，，. 令 得 或 ，故①正确；最大值为 ，②错误；，在对称轴左侧 随 增大而增大，④正确. 综上，正确的是①③④. 17. （答案不唯一，不超过 的整数均可）　解析：二次项系数为 ，抛物线开口向下，对称轴为直线 ，在对称轴左侧 随 增大而增大. 要使 时 随 增大而增大，需 对一切符合条件的 恒可取到，因 可无限接近 ，故整数 . 如 . 18. (1) 代入 ：，得 ；代入 ：，即 ，. 故 . (2) 的顶点为 . 顶点在 上：，去分母得 ，即 ，，故 . (3) 时 ，对称轴 . 若 ，开口向下， 充分大时 减小，不合题意. 故 ，开口向上，在对称轴右侧 随 增大而增大，需 ，即 ，. 综上 . 19. (1) ，对称轴为直线 . (2) 展开 ，得 ，. ，当 时 取最小值 . (3) . 图象过 ，即 ，得 或 . 故 的值为 或 . 20. A　解析：四点任取三点共四组. 设 代入：过 得 . 组 ：，，解得 ；组 ：，，解得 ；组 ：解得 ；组 ：解得 . 故 的最大值为 . 21. 　解析：，对称轴 . 若 ，最小值在 ：，（满足 ）；若 ，最小值 ， 均不在 内，舍去；若 ，最小值在 ：，（满足 ）. 综上 . 22. (1) 令 ：，. 当 时 ，图象与 轴有两个交点；当 时 ，图象与 轴有唯一交点. 故交点个数为一个或两个.（另注： 恒有 ，图象必过 ）. (2) 因 时 ，图象不可能经过 ，故只能经过 、 两点. 代入 ：，；代入 ：，，. 故 . (3) . 若 ，由 得 ；又 得 . 于是 ，推出 ，即 ，矛盾. 故假设不成立，. 23. (1) 代入 得 ；对称轴 得 . 故 ，顶点 . (2) 由 得 ， 或 . 当 时 的横坐标为 ，；当 时 的横坐标为 ，. 故 或 . (3) 图象 的最低点为顶点须 ，即 . 此时 . 比较两端点到对称轴的距离： 为 ， 为 . 当 时 ，最高点在 ，；当 时最高点在 ，，. ②：由 得 ，取 （在 内）；由 得 ，取 （在 内）. 故 或 . 24. (1) 代入 ：；代入 ：. 两式相减得 ，即 （）. (2) 由 (1) 及 得 . 对称轴 . ，开口向上，在对称轴右侧 随 增大而增大. 要使 内 随 增大而增大，需 ，即 ，. 故 . (3) 图象与 轴无交点：，解得 . 又 . 当 时， 取最小值 ； 时值趋于 （ 时值为 ），且恒小于 . 故 . 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $