第2章第4讲事件的可能性与概率（2.1～2.2）专题讲义 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

第4讲　事件的可能性与概率(2.1~2.2)　　浙教版 · 数学九年级上册 数学 · 九年级上册 第 2 章　简单事件的概率 第 4 讲　事件的可能性与概率(2.1~2.2) (一)事件发生的类型 　例题精析 例1 九(2)班从三名男生(含小强)和五名女生中选四名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”,规定女生选 n 名. (1)当 n 为何值时,男生小强参加是必然事件? (2)当 n 为何值时,男生小强参加是不可能事件? (3)当 n 为何值时,男生小强参加是随机事件? ▸思路点拨　(1)选1名女生时,其余3名学生全是男生,据此可得答案. (2)选4名女生时,1名男生都不能选中,据此可得答案. (3)结合(1)(2)结果和随机事件的定义可得. ▸过程详解　解:(1)当 n 为1时,男生小强参加是必然事件. (2)当 n 为4时,男生小强参加是不可能事件. (3)当 n 为2或3时,男生小强参加是随机事件. ▸总结升华　必然事件是指一定条件下一定发生的事件;不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件;随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件. 　变式训练 1. 一个不透明的盒子中装有1个黑球,2个白球,这些球除颜色外没有其他差别. 随机从盒子中摸出2个球,下列事件属于必然事件的是（　　） A．摸出的2个球中有黑球 B．摸出的2个球中有白球 C．摸出的2个球都是黑球 D．摸出的2个球都是白球 2. 下列事件中,属于不可能事件的是（　　） A．一匹马奔跑的速度是100米/秒 B．射击运动员射击一次,命中10环 C．班里有两名同学的生日在同一天 D．在地面上向空中抛掷一石块,石块终将落下 3. “明天下雨的可能性为80%”这句话指的是（　　） A．明天一定下雨 B．明天80%的地区下雨,20%的地区不下雨 C．明天不一定下雨 D．明天80%的时间下雨,20%的时间不下雨 (二)概率的意义 　例题精析 例2 校篮球队员小亮训练定点投篮以提高命中率. 下表是小亮一次训练时的进球情况: 则下列说法正确的是（　　） A. 小亮每投10个球,一定有8个球进 B. 小亮投球前8个进,第9,10个一定不进 C. 小亮比赛中的投球命中率一定为80% D. 小亮比赛中投球命中率可能超过80% ▸思路点拨　根据在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件,据此可判断A,B选项;概率是反映随机事件发生可能性大小的量,概率越大发生的可能性就越大,据此可判断C,D选项. ▸过程详解　解:从表格数据得小亮的命中率为%. A. 小亮每投10个球,不一定有8个球进,故A不符合题意;B. 小亮投球前8个进,第9,10个不一定不进,故B不符合题意;C. 小亮比赛中的投球命中率可能为80%,故C不符合题意;D. 小亮比赛中投球命中率可能为100%,D符合题意. 故选D. ▸总结升华　概率的意义在于它是随机事件发生可能性大小的度量,反映了随机事件中的规律性. 　变式训练 4. 下列说法正确的是（　　） A．10张票中有1张奖票,10人去摸,先摸的人摸到奖票的概率较大 B．从1,2,3,4,5中随机抽取一个数,取得偶数的可能性较大 C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子,3颗全是6点朝上是随机事件 D．抛一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率为,连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 (三)简单事件的概率公式 　例题精析 例3 在一个黑色盒子里有1个白球,现在放入若干个黑球,它们与白球除了颜色外都相同,搪匀后从中任意摸出两个球,使得P(摸出一白一黑)=P(摸出两黑),则放入的黑球个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 ▸思路点拨　设放入的黑球为x个,分别表示出摸出两个黑球的概率,摸出一白一黑的概率,利用P(摸出一白一黑)=P(摸出两黑),建立方程求解即可. ▸过程详解　解:设放入的黑球为x个,则共有(x+1)个球,一共出现的情况数为x(x+1),其中摸出两个黑球的有x(x-1)种,摸出一白一黑的有2x种,∴P(摸出两黑)=(摸出一白一黑)=(摸出一白一黑)=P(摸出两黑),∴,解得. 经检验,当时,是原方程的解,∴放入的黑球个数为3个. 故选A. ▸总结升华　当事件的概率较难表示时,可以通过设元,利用方程思想求解. 　变式训练 5. 盒中有x枚黑棋和y枚白棋,这些棋除颜色外无其他差别. 从盒中随机取出一枚棋子,如果它是黑棋的概率是,那么的值为＿⁠＿⁠＿. 例4 2024年“五一”假期,扬州各旅游景区持续火热. 小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园(分别记作A,B,C,D,E)参加公益讲解活动. (1)若小明在这5个景区中随机选择1个景区,则选中东关街的概率是＿⁠＿⁠＿. (2)小明和小亮在C,D,E三个景区中,各自随机选择1个景区,请用画树状图或列表的方法,求小明和小亮选到相同景区的概率. ▸思路点拨　(1)先求出总结果,再求出选中东关街的结果,再根据等可能事件的概率公式直接列举代入计算即可. (2)先用树状图或表格列出事件的所有结果,共有9种,其中小明和小亮选到相同景区的结果有3种,根据概率公式计算即可. ▸过程详解　解:(1)小明在这5个景区中随机选择1个景区,共有5种结果,每种结果出现的可能性相等,选中东关街的结果只有1种,则选中东关街的概率是 故答案为 (2)列表如下: 共有9种等可能结果,其中小明和小亮选到相同景区的结果有3种,∴小明和小亮选到相同景区的概率 答:小明和小亮选到相同景区的概率是 ▸总结升华　用列表法或树状图法求概率,随机事件A的概率公式是事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数. 　变式训练 6. 共享经济已经进入人们的生活. 小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标,分别代表共享出行、共享服务、共享物品、共享知识,制成编号为A,B,C,D的四张卡片(除字母和内容外,其余完全相同),如图. 现将这四张卡片背面朝上,洗匀放好. (1)小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是＿⁠＿⁠＿. (2)小沈从中随机抽取一张卡片(不放回),再从余下的卡片中随机抽取一张,请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率.(这四张卡片分别用它们的编号A,B,C,D表示) (四)简单事件的概率分析 　例题精析 例5 有三张正面分别标有数字-1,1,2的不透明卡片,它们除数字不同外其余全部相同. 现将它们背面朝上,洗匀后从中任意抽取一张,将该卡片正面上的数字记为a;不放回,再从中任意抽取一张,将该卡片正面朝上的数字记为b,则使关于 x 的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的概率为＿⁠＿⁠＿. ▸思路点拨　先通过列表把抽取的卡片情况罗列出来,再求一元一次不等式组的特殊解,确定的值,最后用公式法计算概率. ▸过程详解　解:列表法表示所有情况: 则的值可以是关于 x 的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的值是2,∴使关于 x 的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的概率为 故答案为 ▸总结升华　一般在一次试验中有两个因素时,用列表法较为简单直观;当一次试验中有两个或两个以上因素时常用树状图法. 　变式训练 7. 现有四张背面完全相同、正面分别写着数字-1,0,4,5的不透明卡片. 把卡片背面朝上洗匀,随机抽取一张,记下数字后放回. 再次背面朝上洗匀,随机抽取一张. 将两次抽取的数字分别记为 m 和 n,则的值为整数的概率是＿⁠＿⁠＿. 例6 如图,“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形,其中1,2,3,5,7是等腰直角三角形,4是正方形,6是平行四边形,一只体型微小的小虫在七巧板上随机停留,则刚好停在6号板区域的概率是＿⁠＿⁠＿. ▸思路点拨　设4号正方形的边长为1,根据七巧板的特点及正方形、等腰直角三角形的性质分别算出七巧板拼成的大正方形的对角线长及6号平行四边形的边长及一边上的高,然后算出大正方形及6号平行四边形的面积,根据几何概率计算可得答案. ▸过程详解　解:设4号正方形的边长为1,则3,5号两个等腰直角三角形的直角边长也分别为1,∴6号平行四边形的短边也为1,长边为号平行四边形长边上的高为,七巧板拼成的正方形的对角线为4,∴6号平行四边形的面积为,七巧板拼成的正方形的面积为一只体型微小的小虫在七巧板上随机停留,刚好停在6号板区域的概率是 故答案为 ▸总结升华　七巧板与拼图制作考查的是几何概率,几何概率的计算方法为:概率=所在面积与总面积之比. 　变式训练 8. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的. 如图是一个用七巧板拼成的正方形,如果在此正方形中随机取一点,那么此点取自涂色部分的概率是＿⁠＿⁠＿. 例7 嘉嘉在学完物理“电学”知识后,进行“灯泡亮了”的实验,设计了如图所示的电路图,电路图上有5个开关和一个小灯泡,当开关闭合时,再同时闭合开关或都可以使小灯泡发亮. (1)当开关已经闭合时,再任意闭合开关中的一个,小灯泡能亮起来的概率是＿⁠＿⁠＿. (2)当开关已经闭合时,再任意闭合开关中的两个,请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率. ▸思路点拨　画出树状图,由图可知共有12种等可能的结果,其中能让灯泡L发光的结果数为4种,从而根据概率公式求解即可. ▸过程详解　解 (2)画树状图如图所示. 共有12种等可能的结果,其中能让灯泡L发光的结果数为4,P(小灯泡亮起来)= ▸总结升华　电路问题,属于跨学科题型,对于这类复合事件概率的计算,用列表法或树状图法求概率思路较清晰. 　变式训练 9. 如图,电路图上有四个开关A,B,C,D和一个小灯泡,闭合开关D或同时闭合开关A,B,C都可使小灯泡发光. (1)求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率. (2)求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率. 例8 在一个不透明的盒子里,装有四个分别标有数字-2,-1,1,2的小球,它们的形状、大小、质地等完全相同. (1)从盒子里随机取出一个小球,记下数字为 a;放回盒子摇匀后,再随机取出一个小球,记下数字为 b. 用树状图或列表法,求两次取出小球所确定的点(a,b)落在二次函数 的图象上的概率. (2)从盒子中一次取两球,求取出小球所确定的数 a,b 满足直线 经过第一、二、三象限的概率. ▸思路点拨　(1)先画树状图展示所有16种等可能的结果,再根据二次函数图象上点的坐标特征可判断点(-1,1)和(1,1)满足条件,然后根据概率公式求解. (2)先画树状图展示所有12种等可能的结果,再根据一次函数的性质找出 的结果数,然后根据概率公式求解. ▸过程详解　解:(1)画树状图如图1所示. 共有16种等可能的结果,其中落在二次函数 的图象上的点有(-1,1),(1,1),所以点(a,b)落在二次函数 的图象上的概率 (2)画树状图如图2所示. 共有12种等可能的结果,其中满足直线 经过第一、二、三象限的结果数为2,所以取出小球所确定的数 a,b 满足直线 经过第一、二、三象限的概率 ▸总结升华　用列表法或树状图法列出所有情况,再用概率公式求解. 　变式训练 10. 现有四张正面分别标有数字-1,0,1,2的不透明卡片,它们除数字外其余完全相同,将它们背面朝上洗匀. 若从中随机抽取一张记下数字,抽到的卡片不放回,再从剩余的卡片中随机抽取一张记下数字,前后两次抽取的数字分别记为 m,n. (1)请利用画树状图或列表的方法表示出点 A(m,n)所有等可能的结果. (2)求点 A(m,n)在第一象限的概率. 　链接好题 1. 甲、乙、丙三张卡片正面分别写有 a+b,2a+b,a-b,除正面的代数式不同外,其余均相同. (1)将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,当 时,求取出的卡片上代数式的值为负数的概率. (2)将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,放回后重新洗匀,再随机抽取一张. 请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果(化为最简),并求出和为单项式的概率. 参考答案 【变式训练】 1. B 2. A 3. C 4. C 5. 6. (2)画树状图如图所示. 共有12种等可能的结果,其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种,∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率 7. 8. 9. (1)共有四个开关A,B,C,D,当闭合一个开关时,单独闭合A时小灯不亮,单独闭合B时小灯不亮,单独闭合C时小灯不亮,单独闭合D时小灯亮,所以任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是 (2)闭合其中两个开关时,出现等可能得结果如图所示. 共有12种等可能结果,其中小灯泡发光的是(A,D),(B,D),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C),共6种,所以任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是 10. (1)由题意列表如下: (2)由(1)中表格可知,共有12种等可能的结果,其中点A(m,n)在第一象限共有2种等可能的结果点A(m,n)在第一象限的概率为 【链接好题】 1. (1)当 时,. 从三张卡片中随机抽取一张,共有3种等可能的结果,其中取出的卡片上代数式的值为负数的结果有1种,∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为 (2)补全表格如下: 共有9种等可能的结果,其中和为单项式的结果有2a,3a,2a,3a,共4种,∴和为单项式的概率为 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $