第5讲 用频率估计概率及概率的应用（2.3～2.4）专题讲义 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

第5讲　用频率估计概率及概率的应用(2.3~2.4)　　浙教版 · 数学九年级上册 数学 · 九年级上册 第 2 章　简单事件的概率 第 5 讲　用频率估计概率及概率的应用(2.3~2.4) (一)用频率估计概率 　例题精析 例1 在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，九(2)班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将15个与红球大小、形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复。下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： (1)a=＿⁠＿⁠＿. (2)请估计：当次数s很大时，摸到红球的频率将会接近＿⁠＿⁠＿(精确到0.01)；请推测：摸到红球的概率是＿⁠＿⁠＿(精确到0.1). (3)求口袋中红球的数量. ▸思路点拨　利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率. (1)根据频率＝频数÷样本总数可求得a的值. (2)从表中的统计数据可知，摸到红球的频率稳定在0.4左右. (3)根据红球的概率公式列出相应方程，求解即可. ▸过程详解　解：(1)a=603÷1500=0.402。故答案为0.402. (2)当次数s很大时，摸到红球的频率将会接近0.40，推测摸到红球的概率是0.4。故答案为0.40；0.4. (3)设口袋中有红球x个，则，解得，∴口袋中有红球10个. ▸总结升华　用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率。公式为：频率＝频数÷总数. 　变式训练 1. 如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果。 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为＿⁠＿⁠＿。(精确到0.1) 2. 在一个暗箱里放有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回。通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为（　　） A．7 B．3 C．10 D．65 (二)用概率判断事件的公平性问题 　例题精析 例2 在庆祝元旦联欢会上，某班进行抽奖活动，活动规则如下：将4张正面标有龙、蛇、马、羊的纸牌(纸牌反面完全相同)洗匀后，反面朝上放在桌子上，参与者每次随机从中抽取两张纸牌，只有当抽到“龙”和“马”，即组成“龙马精神”这个成语，则参与者可获得奖品。 (1)王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是＿⁠＿⁠＿. (2)丽丽决定参加游戏，请用树状图说明丽丽获得奖品的概率. (3)游戏规定：所抽取的2张卡片中，能够组成“龙马精神”的，则丽丽获胜，否则小虎获胜，你觉得这个游戏公平吗？请说明理由. ▸思路点拨　(1)利用概率公式求解即可。(2)利用树状图列举出所有可能，进而利用概率公式得出丽丽获奖品的概率即可得出答案。(3)比较他们获胜的概率，判断是否公平. ▸过程详解　解： (2)画树状图如图所示。 由树状图可知共有12种等可能的情况数，其中能同时抽到“龙”和“马”的有2种等可能的情况数，即能获得奖品的情况数有2种，∴丽丽获得奖品的概率为 (3)不公平。理由如下：由(2)知，丽丽获胜的概率是，小虎获胜的概率是，而，∴这个游戏不公平. ▸总结升华　判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平. 　变式训练 3. 如图是两个转盘，每个转盘都被圆的半径三等分，甲转盘的三个扇形上标有数字2,4,6，乙转盘的三个扇形上标有数字1,3,5，小明和小力分别转动甲、乙转盘，每人转动一次，记录转盘停止后指针指向的数字，若指针指在分界线上则重转. (1)两人分别转动甲、乙转盘后，可能出现的全部可能有哪些？请用列表或画树状图的方法表示. (2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小明赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小力赢，此游戏公平吗？为什么？ (三)用概率判断获奖的可能性问题 　例题精析 例3 某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘(转盘被平均分成3份)的机会。为了活跃气氛，该商场设计了两个方案： 方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品； 方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品。(若指针指向分界线，则重转) (1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为＿⁠＿⁠＿. (2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果. (3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由. ▸思路点拨　(1)直接利用概率公式求解即可. (2)根据题意直接画树状图即可. (3)由(2)树状图可得方案二中领取到一份奖品的概率，再与方案一中领取到一份奖品的概率作比较，即可得出结论. ▸过程详解　解：(1)∵转动转盘一次，指针指向数字1的概率为，∴转动转盘一次，领取到一份奖品的概率为。故答案为 (2)画树状图如图所示。 共有9种等可能的结果. (3)会选择方案二。理由如下：由(2)可知，方案二中，共有9种等可能的结果，其中两次指针指向的数字之和为奇数的结果有4种，∴方案二中，领取到一份奖品的概率为，，∴选择方案二. ▸总结升华　用列表法或树状图法列出所有情况，再用概率公式求解. 　变式训练 4. 为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动。活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会。抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖。同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球(它们的大小质地与袋中的4个球完全相同)，然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份。现已知某顾客获得抽奖机会. (1)求该顾客首次摸球中奖的概率. (2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由. 　链接好题 1. 在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1,2,3,4。甲、乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜. (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率. (2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请说明理由. 参考答案 【变式训练】 1. 0.9 2. C 3. (1)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有9种不同结果，即(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5),(6,1),(6,3),(6,5). (2)将题(1)出现的结果相加，其中“和为3的倍数”的情况有3种，“和为7的倍数”的情况有3种，∴P(小明胜)=，P(小力胜)=，因此游戏是公平的. 4. (1)该顾客首次摸球的所有等可能结果为红，黄①，黄②，黄共4种结果，其中摸到红球只有1种结果，∴P(该顾客首次摸球中奖)= (2)他应往袋中加入黄球。理由如下：记往袋中加球为“新”，列表如下： ①若加入的为红球，两种颜色相同的结果共有8种，∴该顾客获得的获得精美礼品的概率；②若加入的为黄球，两种颜色相同的结果共有12种，∴该顾客获得的获得精美礼品的概率。，，∴他应往袋中加入黄球. 【链接好题】 1. (1)画树状图如图所示。 共有12种等可能的结果，其中甲获胜的结果有8种，∴甲获胜的概率为 (2)不公平。理由如下：由树状图可知，乙获胜的结果有4种，∴乙获胜的概率为。，∴游戏不公平. 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $