湖北省仙桃中学2026-2027学年高一上学期数学周测试卷（9.27）

仙桃中学高一数学周练2026.9.27 命题：胡泽雄 审题：曹庆涛 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．已知命题：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．“”是“”（     ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．已知，且，那么（    ） A． B． C． D．与的大小随变化而变化 6．设集合，则（    ） A． B． C． D． 7．已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 8．已知与是集合的两个子集，满足：与的元素个数相同，且为空集，若时总有，则集合的元素个数最多为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下面命题正确的是（   ） A．“”的必要不充分条件是“” B．命题“若，则”的是真命题 C．设，则“且”是“”的必要不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 10．设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 11．已知，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园（阴影部分），矩形花园面积最大值为______． 13．若关于x的二次方程的两个根分别为，且满足，则m的值为______ 14．已知且恒成立，实数的最大值是_________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知全集，集合． (1)求； (2)如图阴影部分所表示的集合可以是 （把正确答案序号填到横线处），并求图中阴影部分表示的集合． ①  ②  ③  ④ 16．（15分）已知，. (1)求证：； (2)若，求a+4b的最小值. 17．（15分） 已知集合，非空集合． (1)若，求的取值范围； (2)设；，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 18．（17分） 设，b，c分别是ABC的三条边，且≤b≤c.我们知道，如果ABC为直角三角形，那么(勾股定理).反过来，如果那么ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知，是ABC为直角三角形的充要条件. 请利用边长，b，c给出ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 19．已知正数，满足. (1)求的最小值，并求此时，的值； (2)求的最小值，并求此时，的值. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D B A B B B AD ABC 题号 11 12 13 14 答案 AC 400 6．B 【详解】由题意可知：比如，即， 对任意，则， ∵，则，即， ∴，且，B正确，D错误； 又∵，令，解得，即， ∴，且不是的子集，A、C错误 7．B 【详解】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 8．B【详解】令，解得，所以，集合是集合的一个非空子集. 再由，先从中去掉形如的数，由，可得，，此时，中有个元素. 由于集合中已经去掉了、、、、、、这个数，而它们对应的形如的数分别为、、、、、、，并且、、、、、、对应的形如的数都在集合中. 故集合中还可有以下个特殊元素：、、、、、、， 故集合中元素最多时，集合中共有个元素，对应的集合也有个元素， 因此，中共有个元素. 9．AD 10．ABC 11．AC【详解】A，已知，且， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，A选项成立； B，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，B选项错误； C，由，有，则， ， 所以当，时，的最小值为，C选项正确； D，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，D选项错误. 12．400【详解】解：由题意设矩形花园的长为，宽为，矩形花园的面积为，根据题意作图如下，因为花园是矩形，则与相似，所以,又因为, 所以，，所以 由基本不等式，则， 当且仅当时，矩形花园面积最大，最大值为400 13. 14． 15（1）因为， 所以 ……….5分 （2）根据韦恩图确定阴影部分所表示的集合为③：， 或，所以. ……….13分 16．(1)证明:∵， ∴ ……….7分 （2）由，即， 所以. ……….15分 17．（1）由题意，知， 又，且， 所以或，解得， 故的取值范围为． ……….7分 （2）是的必要不充分条件， 集合是集合的真子集，且， ∴（等号不能同时成立），解得， 综上，的取值范围为． ……….15分 18．设，b，c分别是ABC的三条边，且≤b≤c.△ABC是锐角三角形的充要条件是a²+b²>c². 证明：必要性：当△ABC是锐角三角形时，如图①，过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD=x，则BD=a−x，根据勾股定理，得b²−x²=c²−(a−x)²，整理得a²+b²=c²+2ax. ∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a²+b²>c². 充分性：在△ABC中，a²+b²>c²，∴∠C不是直角.假设∠C为钝角，如图②，过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D。设CD=y，则BD²=a²−y²，根据勾股定理，得c²=(b+y)²+(a²−y²)=a²+b²+2by。∵b>0，y>0，∴2by>0，∴a²+b²<c²，与a²+b²>c²矛盾.∴∠C为锐角，即△ABC为锐角三角形. ∴△ABC为锐角三角形的一个充要条件是a²+b²>c². 19．（1）因为，，且，则，     所以，     当且仅当，即，即，时等号成立，     故的最小值为. ……….7分 （2）因为，，且，所以，     可得且,则, …… ….10分 所以， 当且仅当，即时等号成立，     故的最小值为18. ……….17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $