第五单元 用字母表示数和数量关系 单元整合作业-2026-2027学年数学五年级上册人教版

五年级上册 第五单元 用字母表示数和数量关系 单元整合分层作业设计 应用场景：本单元新授全部结束后的课后巩固作业，也可用作单元复习课前的自我检测（课后作业／单元复习）。 五年级数学上学期单元整合分层作业设计 人教版小学数学五年级上册（2024年版）第五单元 用字母表示数和数量关系 【适用地区：郑州市】（本作业设计的适用范围不超过市级） 【考查范围】人教版小学数学五年级上册（2024年版）第五单元《用字母表示数和数量关系》，含用字母表示数和数量关系、省略乘号的写法与a的平方、用字母表示运算律与周长面积公式、等式的基本性质、利用等式的基本性质求未知数、用含有字母的式子表示变化规律。 【作业类型】单元整合分层作业　　【学段学科】小学数学　　【年级学期】五年级上学期 【题量与用时】作业前测3小题（5分钟）＋作业15题，满分100分；建议完成总时间57分钟（前测5分钟＋基础18分钟＋提高21分钟＋拓展13分钟），不超过60分钟。 【原创声明】本作业全部题目为原创命制，情境与数据均自行设计，未选用任何现成试题；每题题干前用红色标注“（原创）”，每题后标注建议用时。 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 第五单元 用字母表示数和数量关系 单元整合分层作业 学段学科 小学数学 适用年级 五年级上学期 教材版本 人教版（2024年版） 对应内容 五年级上册第五单元《用字母表示数和数量关系》：用字母表示数和数量关系、含有字母的式子的写法与求值、用字母表示运算律和公式、等式的基本性质及求未知数、探索变化规律 作业类型 单元整合分层作业（基础性／提高性／拓展性） 完成时长 前测5分钟＋作业52分钟，共57分钟，不超过60分钟 设计者 九章数学工作室 二、作业目标 编号 具体目标 A 能在具体情境中用字母表示数和数量之间的关系，会按规范书写含有字母的式子（省略乘号、数字写在字母前面、x×x写作x²），体会字母表示的简洁性与一般性，发展符号意识。 B 会把具体的数代入含有字母的式子求值，理解含有字母的式子既可以表示一个数量，也可以表示数量之间的关系，发展运算能力。 C 会用字母表示学过的运算律和长方形、正方形的周长与面积公式，能运用分配律把含有相同字母的式子合并，发展推理意识。 D 理解等式的基本性质，能利用等式的基本性质由已知的数量关系求出未知数，并用代入的办法检验结果，发展运算能力与推理意识。 E 能在收费方案比较、数学魔术、图形规律等问题中用含有字母的式子表示一般规律，并用字母推理说明结论为什么总成立，发展模型意识与应用意识。 三、作业内容与目标对应表 题号 层次 题型 主要考查内容 对应目标 用时 1 基础 填空 用字母表示总价与找回的钱，并代入求值 目标1、2 2分钟 2 基础 填空 省略乘号的书写规则与x的平方 目标1 2分钟 3 基础 填空 用字母表示长方形的周长、面积公式并求值 目标2、3 3分钟 4 基础 判断 代入具体的数比较x²与2x 目标1 2分钟 5 基础 判断 同一个含有字母的式子在不同情境中的含义 目标1 2分钟 6 基础 选择 等式两边同时减去同一个数 目标4 2分钟 7 基础 选择 用字母表示兄弟年龄，年龄差不变 目标1 2分钟 8 基础 选择 利用等式的基本性质求未知数 目标4 3分钟 9 提高 解决问题 游泳卡收费的数量关系与由总费用求次数 目标2、4 4分钟 10 提高 解决问题 相遇问题中路程的字母表示与求速度 目标2、3、4 5分钟 11 提高 解决问题 摆小棒的图形规律与由总根数求个数 目标4、5 4分钟 12 提高 解决问题 用分配律合并含有字母的式子（演出服与帽子） 目标3 4分钟 13 提高 解决问题 海拔与气温的关系式（跨学科·科学） 目标2、4 4分钟 14 拓展 探究说理 用字母揭秘数学魔术并自行设计 目标5 6分钟 15 拓展 实践决策 羽毛球馆两种收费方案的比较与建议 目标2、5 7分钟 四、作业内容 本作业共15题，按基础性作业、提高性作业、拓展性作业三个层次编排，题号从第1题连续排到第15题；作业前另设3小题学情前测（不计入15题、不计分），用来确定每名学生今天完成哪几个层次。全部题目为原创命制。 （〇）分层依据：作业前测（3小题，5分钟） 动笔做作业之前，先独立完成下面3小题，限时5分钟。做完后由教师公布答案、同桌互批（前测不计分），再对照下面的表格确定今天要完成的作业层次。 前测1．一本故事书有p页，小红已经看了25页，还剩________页没有看。 前测2．5×a省略乘号写作________；a×a写作________。 前测3．如果y－7＝20，那么y＝________。 【分层依据】前测结果 → 今天完成的作业层次 前测结果 今天完成的作业 题号与用时 教师跟进 3小题全对 提高性作业＋拓展性作业（基础性作业改为口答，快速过一遍） 第9～15题，约34分钟 重点看第14题的字母推理与第15题的建议是否讲得清 对2小题 基础性作业＋提高性作业（拓展题鼓励尝试其中1题） 第1～13题，约39分钟 收齐后只批出错的那一层，第二天面批订正 对1小题或全错 基础性作业，提高性作业只做第9、11两题 第1～8题和第9、11题，约26分钟 教师面批，先把省略乘号的规则和等式的基本性质各说一遍，再补做提高题 前测只用来确定今天的作业层次，不计入等级评定；分层不固定，每个单元的作业前都重新前测一次。 分到哪一层，那一层的题目就要全部独立完成——分层是调整题量，不是降低每道题的要求。 （一）基础性作业（全体学生必做） 第1～8题，共8题，每题5分，共40分；建议用时18分钟。重点检测用字母表示数量、含有字母的式子的书写与求值、等式的基本性质等必备知识。 1．（原创）秋季运动会前，五（1）班为运动员买了a瓶矿泉水，每瓶2元。 ①买矿泉水一共花了________元； ②如果付给售货员100元，应找回________元； ③当a＝36时，应找回________元。 建议2分钟 2．（原创）按省略乘号的规范写一写。 ①b×7写作________； ②x×x写作________，读作________； ③a×1写作________； ④m×n×3写作________。 建议2分钟 3．（原创）学校要在操场边铺一块长方形塑胶场地，场地长a米、宽b米。用C表示周长，用S表示面积。 ①C＝________； ②S＝________； ③当a＝12，b＝7.5时，这块场地的周长是________米，面积是________平方米。 建议3分钟 4．（原创）当x＝3时，x²的值与2x的值相等。（　　） 建议2分钟 5．（原创）式子48÷n（n不为0）既可以表示48名同学平均分成n组时每组的人数，也可以表示48米长的彩带剪成每段n米时剪出的段数。（　　） 建议2分钟 6．（原创）由x＋4＝11得到x＝7，是在等式的两边同时（　　）。 A．加上4 B．乘4 C．减去4 D．除以4 建议2分钟 7．（原创）今年哥哥k岁，弟弟（k－4）岁。8年后，兄弟俩的年龄相差（　　）岁。 A．4 B．12 C．k＋4 D．8 建议2分钟 8．（原创）如果x＋3.6＝10，那么x＝（　　）。 A．13.6 B．6.4 C．6.6 D．36 建议3分钟 （二）提高性作业：情境应用（必做5题，基础薄弱的同学至少完成其中3题） 第9～13题，共5题，每题8分，共40分；建议用时21分钟。侧重在生活情境中用含有字母的式子表示数量关系，并由已知结果反过来求未知数。 9．（原创）某游泳馆的收费办法是：办一张游泳卡先交50元卡费，以后每游一次再付15元。小军办卡后一共游了n次。 （1）小军的卡费连同这些次的游泳费一共花了多少元？写出含有字母的式子； （2）当n＝12时，小军一共付了多少元？ （3）如果小军一共付了410元，他游了多少次？ 建议4分钟 10．（原创）一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地相对开出，3小时后在途中相遇。客车的速度是v千米/时，货车的速度是65千米/时。 （1）甲、乙两地相距s千米，写出s与v之间的关系式； （2）当v＝80时，甲、乙两地相距多少千米？ （3）如果甲、乙两地相距420千米，客车的速度是多少？ 建议5分钟 11．（原创）用同样长的小棒一个挨一个地摆三角形，排成一排，相邻的两个三角形共用一根小棒。数一数：1个三角形需要3根，2个三角形需要5根，3个三角形需要7根…… （1）照这样摆下去，4个三角形需要________根小棒； （2）当三角形的个数是n时，所需小棒的根数怎样用含有字母的式子表示？ （3）小明手里恰好有41根小棒，全部用完，能摆出几个这样的三角形？ 建议4分钟 12．（原创）学校给合唱团的y名队员每人买一件演出服和一顶帽子。演出服每件86元，帽子每顶14元。 （1）用两种不同的式子表示一共要付多少元； （2）买演出服比买帽子多付多少元？用含有字母的式子表示； （3）当y＝40时，一共要付多少元？ 建议4分钟 13．（原创）科学课上同学们了解到：在一定高度范围内，海拔每升高1千米，气温大约下降6℃。某天山脚下的气温是28℃，从山脚往上升高h千米处的气温大约是t℃。 （1）写出t与h之间的关系式； （2）当h＝2.5时，那里的气温大约是多少摄氏度？ （3）如果某处的气温大约是16℃，那里比山脚高出多少千米？ 建议4分钟 （三）拓展性作业：探究与实践（能力较强的同学独立完成，其他同学任选1题尝试） 第14～15题，共2题，每题10分，共20分；建议用时13分钟。第14题用字母揭秘数学魔术，第15题是运动馆收费方案的比较与决策，要列式、要列表、要把理由说清楚。 14．（原创）小亮给同学表演了一个数学魔术：“请你心里任意想一个数，先加上6，再乘2，再减去4，然后除以2，最后减去你心里想的那个数。我猜结果一定是4！” （1）任选两个数试一试，看看结果是不是都是4； （2）用字母a表示心里想的数，一步一步写出式子，说明为什么结果总是4； （3）仿照这个魔术，自己设计一个“结果总是同一个数”的数学魔术，并用字母写出推算过程。 建议6分钟 15．（原创）（实践）爸爸想去社区羽毛球馆锻炼，球馆有两种收费方案： 方案A：先交会员费180元，以后每次付20元； 方案B：不交会员费，每次付30元。 （1）如果去n次，分别用含有字母的式子表示两种方案的费用； （2）如果爸爸一年去12次，选哪种方案更省钱？省多少元？ （3）把下表填写完整：去15次、18次、21次时，方案A分别要付________元、________元、________元；方案B分别要付________元、________元、________元； （4）根据表中的数据，给爸爸写一条选择方案的建议，并写出所依据的数据。 建议7分钟 五、作业实施建议 【课前（新授之前）】　本单元第1课时上课前，布置学生回家找一找生活中“一个数量变化、另一个数量跟着变化”的例子（如买东西的数量与总价、年龄与年份），用一句话记录下来带到课堂交流。 课前只做观察记录，不布置书面练习，时间控制在5分钟以内，不占用本作业的完成时间。 【课中（随堂）】　新授每一课时后，从基础性作业中选取与本课时对应的题目当堂完成：第1、5、7题配合“用字母表示数量关系”，第2、3、4题配合“用字母表示运算律和公式”，第6、8题配合“等式的基本性质”。 当堂完成的题目在课内立即核对，出错集中的题目当场重讲，保证学生带着正确的写法进入下一课时。 【课后（单元整合）】　本单元全部新授结束后，把本作业一次性发给学生，在一次家庭作业时段内完成：先用5分钟做前测并当场核对，再按“（〇）分层依据”表确定今天完成哪几个层次，总用时控制在57分钟以内；如果第1～8题已在各课时当堂完成，单元整合时只需完成前测与第9～15题，用时约39分钟。 第9～13题求未知数时，要求学生写出“两边同时加（减、乘、除以）几”的过程，并把结果代回原式检验；教师批改时重点看过程与检验。 第15题表格中的6个费用要求逐项写出算式，不用计算器；第4问的建议要引用表中的数据。 【分层布置办法】　分层不凭印象：每次作业前先用5分钟做前测，按“（〇）分层依据”表确定每名学生今天完成哪几个层次。 基础性作业（第1～8题）全体学生必做，是本单元的保底要求；未过关的学生由教师面批后重做同类题。 提高性作业（第9～13题）全体学生完成；学有困难的学生允许只完成其中3题（建议保留第9、11、13题），其余两题在面批时口头完成。 拓展性作业（第14～15题）由学有余力的学生独立完成，其余学生鼓励尝试其中1题；不完成拓展题不影响本次作业评为“合格”及以上等级。 三个层次在作业纸上分别用“★”“★★”“★★★”标注，学生完成后自评难度，教师据此调整下一单元的分层比例。 【典型错因与跟进表】 批改时按“错因→题号→跟进”对号入座，不把订正停留在“再做一遍”。 典型错因 对应题号 跟进策略（教师可直接照做） 把x²当成2x（两个x相加） 第2、4题 让学生分别把x＝3、x＝5代进x²和2x算一算，把结果并排写出来比较。 结果是含加减号的式子时带单位不加括号 第1、9题 对比“100－2a元”和“（100－2a）元”两种写法，让学生说出前一种为什么会被误读。 等式两边只对一边加减乘除 第8～11、13题 用天平图演示：左盘拿走3.6，右盘也要拿走3.6，天平才平衡；再让学生口述每一步“两边同时做了什么”。 求出未知数后不检验 第9～13题 规定检验是作业的一部分：把结果代回原式，写出“左边＝右边”才算完成。 只会举例，不会用字母说明规律 第11、14题 先让学生举三个例子，再问“第一百个、第n个怎么算”，引导把具体的数换成字母。 比较方案只算一种次数就下结论 第15题 让学生把次数从12次到24次每隔3次都算一遍，看出两种方案的费用在哪里“交叉”。 跟进以后在原题旁写上“已订正”；同一条错因在下一个单元再次出现，该生即列入面批名单。 六、作业评价 本作业用“等级＋要点”评价，不排名；教师写出等级并圈出要订正的题号，学生订正后可申请复评。 等级 基础性作业（第1～8题） 提高性作业（第9～13题） 拓展性作业（第14～15题） 评价方式 优秀 8题全部正确，式子书写规范 5题全部正确；求未知数有过程、有检验 2题都完成；字母推理每一步正确，方案建议能用数据说理 自评＋互评＋教师终评 良好 错1～2题，订正后能说清错因 错1题，或结果对但缺检验 完成1题，另1题有尝试过程；结论对但理由不完整 自评＋教师终评 合格 错3～4题，经提示能改正 完成3题以上且方法基本正确 有尝试即可，未完成不影响本项 教师终评＋面批订正 待达标 错5题及以上，书写规则混淆 完成不足3题，或不会用等式的基本性质 — 面批后重做，一周内复评 评价要点：①含有字母的式子是否按规范书写；②代入求值是否正确；③能否用分配律合并含有相同字母的式子；④求未知数时能否说清用了等式的哪条性质并检验；⑤能否用字母推理说明规律，而不只是举例。 用时记录：学生在作业纸末尾写下实际用时；全班中位数超过60分钟，即删减下一单元的提高题量。 七、参考答案与解析 （〇）学情前测参考答案（不计分，只用于分层） 前测1．【答案】（p－25） 前测2．【答案】5a；a² 前测3．【答案】27 （一）基础性作业（全体学生必做） 1．【答案】①2a；②（100－2a）；③28 【解析】单价×数量＝总价，每瓶2元、买a瓶，一共花a×2元，省略乘号并把数字写在字母前面，写作2a元。 应找回的钱＝付的钱－花的钱，所以是（100－2a）元，含有字母的式子作为结果带单位时要加上括号。 当a＝36时，100－2a＝100－2×36＝100－72＝28（元）。 2．【答案】①7b；②x²，x的平方；③a；④3mn 【解析】数字与字母相乘时，省略乘号，并且一般把数字写在字母前面，所以b×7写作7b。 两个x相乘可以写作x²，读作x的平方。 1与字母相乘时，1通常省略不写，所以a×1写作a。 字母与字母相乘时乘号可以省略，数字仍写在最前面，所以m×n×3写作3mn。 3．【答案】①2（a＋b）（或2a＋2b）；②ab；③39；90 【解析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，用字母表示为C＝2（a＋b），根据分配律也可以写成C＝2a＋2b。 长方形的面积＝长×宽，用字母表示为S＝ab。 把a＝12，b＝7.5代入：C＝2×（12＋7.5）＝39（米），S＝12×7.5＝90（平方米）。 4．【答案】× 【解析】x²表示两个x相乘，2x表示两个x相加，意义不同。 当x＝3时，x²＝3×3＝9，2x＝2×3＝6，9≠6，两个值不相等。所以这种说法是错误的。 5．【答案】√ 【解析】48名同学平均分成n组，求每组人数用除法，是48÷n。 48米长的彩带每段剪n米，求能剪几段，也是求48里面有几个n，用48÷n。 同一个含有字母的式子，放在不同的情境里可以表示不同的数量。所以这种说法是正确的。 6．【答案】C 【解析】要让等式左边只剩下x，需要把“＋4”去掉。 根据等式的基本性质，等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立：x＋4－4＝11－4，得到x＝7，选C。 检验：7＋4＝11，正确。 7．【答案】A 【解析】今年哥哥比弟弟大k－（k－4）＝4（岁）。 每过一年两人都长1岁，年龄差始终不变，所以8年后兄弟俩仍相差4岁，选A。 8．【答案】B 【解析】根据等式的基本性质，等式两边同时减去3.6，等式仍然成立：x＋3.6－3.6＝10－3.6，所以x＝6.4。 检验：6.4＋3.6＝10，结果正确，选B。 （二）提高性作业：情境应用（必做5题，基础薄弱的同学至少完成其中3题） 9．【答案】（1）（50＋15n）元；（2）230元；（3）24次 【解析】一共付的钱＝卡费＋每次付的钱×次数，所以是（50＋15n）元。 当n＝12时，50＋15×12＝50＋180＝230（元）。 50＋15n＝410，根据等式的基本性质，两边同时减去50得15n＝360，两边再同时除以15得n＝24。检验：50＋15×24＝410，所以他游了24次。 10．【答案】（1）s＝3（v＋65）（或s＝3v＋195）；（2）435千米；（3）75千米/时 【解析】两车1小时一共行驶（v＋65）千米，3小时一共行驶的路程就是两地之间的路程，所以s＝3（v＋65），根据分配律也可以写成s＝3v＋195。 当v＝80时，s＝3×（80＋65）＝3×145＝435（千米）。 3（v＋65）＝420，两边同时除以3得v＋65＝140，两边再同时减去65得v＝75，所以客车的速度是75千米/时。 11．【答案】（1）9；（2）（2n＋1）根；（3）20个 【解析】摆第1个三角形用3根，以后每多摆1个三角形只需再加2根，所以摆4个三角形用3＋2×3＝9（根）。 也可以看成先摆1根，每个三角形再各加2根：摆n个三角形用（2n＋1）根。用n＝3验证：2×3＋1＝7，与题中一致。 2n＋1＝41，两边同时减去1得2n＝40，两边再同时除以2得n＝20，所以摆了20个三角形。 12．【答案】（1）（86y＋14y）元，或（86＋14）y元，都等于100y元；（2）72y元；（3）4000元 【解析】方法一：先分别算演出服、帽子的钱再相加，是（86y＋14y）元；方法二：先算一套（一件演出服和一顶帽子）多少钱再乘人数，是（86＋14）y元。根据分配律，86y＋14y＝（86＋14）y＝100y。 买演出服比买帽子多付86y－14y＝（86－14）y＝72y（元）。 当y＝40时，100y＝100×40＝4000（元）。 13．【答案】（1）t＝28－6h；（2）13℃；（3）2千米 【解析】升高h千米，气温大约下降6h℃，所以t＝28－6h。 当h＝2.5时，t＝28－6×2.5＝28－15＝13，气温大约是13℃。 28－6h＝16，两边同时加上6h得28＝16＋6h，两边再同时减去16得6h＝12，所以h＝2。那里比山脚高出2千米。 （三）拓展性作业：探究与实践（能力较强的同学独立完成，其他同学任选1题尝试） 14．【答案】（1）例如想5：（5＋6）×2＝22，22－4＝18，18÷2＝9，9－5＝4；想10：（10＋6）×2＝32，32－4＝28，28÷2＝14，14－10＝4，结果都是4。（2）（a＋6）×2＝2a＋12，2a＋12－4＝2a＋8，（2a＋8）÷2＝a＋4，a＋4－a＝4，所以结果总是4。（3）答案不唯一，例如：“想一个数，加上5，乘3，减去15，再除以3”，用字母表示为（a＋5）×3＝3a＋15，3a＋15－15＝3a，3a÷3＝a，结果总是原来的数；只要设计的步骤能用字母推出与a无关（或恒等于a）的结果即可。 【解析】举例验证只能说明“这几个数”是这样，要说明“任何数”都是这样，就要用字母来推理。 用a表示想的数：加上6得a＋6；乘2得2a＋12（分配律）；减去4得2a＋8；除以2得a＋4；最后减去a，只剩下4，和a是多少无关，所以结果总是4。 设计魔术时，关键是最后要把含有字母的部分全部“抵消”掉；评分时看两点：步骤能算通、字母推理每一步都正确。 15．【答案】（1）方案A：（180＋20n）元；方案B：30n元；（2）选方案B，省60元；（3）480，540，600；450，540，630；（4）去18次时两种方案一样多；一年少于18次选方案B，多于18次选方案A，正好18次选哪种都可以（建议能结合表中数据说明理由即可）。 【解析】方案A的费用＝会员费＋每次的钱×次数＝（180＋20n）元；方案B的费用＝30n元。 当n＝12时，方案A：180＋20×12＝420（元），方案B：30×12＝360（元），420－360＝60（元），选方案B省60元。 代入计算：方案A去15、18、21次分别是480元、540元、600元；方案B分别是450元、540元、630元。 去18次时两种方案都是540元；次数少时方案B便宜，次数多时方案A便宜，因为方案A每次比方案B少付10元，去的次数越多，省下的钱越能抵消180元会员费。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $