3.2 一元一次方程及其解法（第4课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

第3章 一元一次方程 3.2 一元一次方程及其解法 （第4课时）分数系数方程与综合求解 年 级：六年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 本课学习任务 简化分数系数 根据等式性质，使方程中的分数系数转化为整数系数。 选择合适方法 能处理小数分母，能观察重复出现的整体。 利用已知的解 把已知的解代入原方程，求另一个字母的值。 复习引入 温故：解含括号的方程 解方程：。 答： 解 去括号，得。 移项、合并，得，所以。 方法：按去括号、移项、合并的顺序求解。 注意：先核对去括号，再进行后续变形。 复习引入 分数系数怎样合并 同类项 。 计算系数 。 提出问题 如果先把分数系数化成整数系数，计算是否会更方便？ 例题讲解 例 7 解方程：。 答： 解 移项，得。 合并，得，所以。 方法：同类项的系数先通分再相减。 注意：是负数。 例题讲解 例 7 解方程：。 答： 解 根据等式性质，两边同乘，得。 移项、合并，得，所以。 方法：用分母的公倍数乘方程两边。 注意：常数项也要乘。 新知讲授 例 7 ：两种解法怎样选择 方法一 先移项：，再除以分数系数。 方法二 先同乘：，再移项求解。 两种方法均根据等式性质；先化成整数系数可减少分数运算。 新知讲授 用等式性质化去分母 依据 根据等式性质，方程两边可以同时乘同一个非零数。 选择乘数 通常取各分母的最小公倍数，使分母都能约去。 逐项落实 等号两边的每一项都要乘这个数，整数项也不能遗漏。 新知讲授 等号左边 等号右边 同乘一个数，分项核对 解方程：。 答：得到。 乘法要分配到左边的两项。 例题讲解 例 8 解方程：。 答： 解 两边同乘，得。 去括号、整理，得，所以。 方法：先把分子作为整体保留下来，再去括号。 注意：分数前的负号作用于整个分子。 新知讲授 例 8 ：去分母后为何仍有括号 方法一 正确：，再得。 方法二 错误：，没有把整个分子相减。 先去分母，保留多项分子的括号，再处理符号。 例题讲解 例 9 解方程：。 答： 解 转化为。 两边同乘，得；整理得。 方法：先利用分数的基本性质把分母化为整数。 注意：扩大分母时，分子必须扩大相同倍数。 新知讲授 小数分母怎样化为整数 第一项 ，分子、分母同时乘。 第二项 。 两类操作 改变分数写法时，只在该分数内分子分母同乘；方程两边同乘时，所有项都要乘。 新知讲授 不要混淆两种“同时乘” 方法一 等值改写：，分数本身的值不变。 方法二 方程两边同乘：每一项都乘同一个非零数，左右仍相等。 先说明当前是改写一个分数，还是对整个等式进行变形。 例题讲解 例 10 解方程：。 答： 解 将看作整体，移项得。 两边同除以，得，所以。 方法：观察重复出现的，先合并整体。 注意：移项时整个变成。 新知讲授 例 10 ：展开与保留整体 方法一 展开：，整理得。 方法二 整体：，先得。 两法都得；重复的式子可先作为整体处理。 例题讲解 例 11 已知是方程的解，求的值。 答： 解 代入，得。 两边同乘，得，所以。 方法：利用方程的解的意义，先代入已知的。 注意：此时待求未知数变为。 新知讲授 例 11 ：代入后检查每一步 代入 ，变为。 整理 ，得。 检验 当时，，满足原式。 方法总结 方法：综合方程先观察结构 方法1　分数或小数系数 ① 先化整数分母，再选合适公倍数。 ② 两边每项同乘，多项分子保留括号。 方法2　整体或已知解 ① 重复的式子可整体合并。 ② 已知一个字母的值时先代入。 课堂练习 练习1 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 两边同乘，得。 整理，得，所以。 方法：观察分母、整体，选择便于计算的变形。 注意：每次等式变形都要保持两边相等。 课堂练习 练习1 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 解第（2）题 两边同乘，得。 整理，得，所以。 方法：观察分母、整体，选择便于计算的变形。 注意：每次等式变形都要保持两边相等。 课堂练习 练习1 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 转化为。 两边同乘，得，所以。 方法：观察分母、整体，选择便于计算的变形。 注意：每次等式变形都要保持两边相等。 课堂练习 练习1 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 解第（4）题 合并整体，得。 所以，解得。 方法：观察分母、整体，选择便于计算的变形。 注意：每次等式变形都要保持两边相等。 课堂练习 练习2 已知是方程的解，求的值。 答： 解 代入，得。 去括号、整理，得，所以。 方法：先代入，再把作为未知数求解。 注意：负数相乘得正数。 课堂总结 一元一次方程 的综合求解 化去分母 两边每项同乘分母的公倍数。 处理括号 多项分子保留括号，展开时逐项相乘。 观察结构 小数分母先改写，重复式子可看作整体。 利用已知解 先代入已知的解，再求另一个字母。 特别提醒：整数项也要乘；负号管整个分子；结果代回原方程。 针对训练 训练1　选择：确定共同乘数 要使方程的系数都成为整数，两边可同乘的最小正整数是（　）。 A. B. C. D. 答：D 解 与的最小公倍数是。 与的最小公倍数是。 方法：找所有分母的最小公倍数。 注意：不能只看含未知数项的分母。 针对训练 训练2　选择：去分母后的等式 方程两边同乘，正确结果是（　）。 A. B. C. D. 答：B 解 ，。 所以得到。 方法：逐项乘，再约去分母。 注意：整数也乘，分子保留括号。 方法总结 方法：选对乘数，逐项落实 方法1　选择公倍数 ① 列出所有分母。 ② 通常用最小公倍数减少计算量。 方法2　核对新等式 ① 每一项都乘了同一个数。 ② 约去分母后，多项分子仍是整体。 针对训练 训练3　填空：分数项与整数项 方程的解是________。 答： 解 两边同乘，得。 移项，得。 方法：同乘把分数系数化为整数系数。 注意：常数项变为。 针对训练 训练4　填空：两边分子都含两项 方程的解是________。 答： 解 两边同乘，得。 去括号、整理，得，所以。 方法：去分母后再去括号。 注意：。 方法总结 方法：分步骤处理不同运算 方法1　先化去分母 ① 同乘公倍数后先完整写出等式。 ② 检查整数项和括号是否保留。 方法2　再解整数系数方程 ① 去括号、移项、合并同类项。 ② 两边同除以未知数的系数。 针对训练 训练5　判断与改正 （1）。 √ 。 （2）。 × 应为。 （3）方程两边同乘公倍数时，整数项保持不变。 × 整数项也必须乘同一个数。 方法：辨清改写分数和等式变形。 注意：分母扩大时，分子也要同比扩大。 针对训练 训练6　改错：整数项没有乘 小明解，写成。请改正并求解。 答：右边应为；正确解为。 解 正确等式是。 展开得，所以。 方法：找同乘时遗漏的项。 注意：去分母作用于整个方程，不只作用于分数。 方法总结 方法：两个常见错误的订正 方法1　整数项漏乘 ① 写出每项与公倍数相乘的式子。 ② 核对等号两边的项数。 方法2　负号处理错误 ① 分子先加括号。 ② 负数与分子每项相乘后再合并。 针对训练 训练7　解答：异分母相减 解方程：。 答： 解 两边同乘，得。 展开、合并，得，所以。 方法：先确定公倍数，再处理分子。 注意： 针对训练 训练8　解答：先写完整新等式 解方程：。 答： 解 两边同乘，得。 展开、整理，得，所以。 方法：化去分母后再分别展开两边。 注意：首项变成。 方法总结 方法：长算式的检查位置 方法1　变形后立即检查 ① 去分母后核对每一项。 ② 去括号后核对每一项的符号。 方法2　结果最后检查 ① 代入原方程而非最后的简化式。 ② 分数解可先约分再代入。 针对训练 训练9　解答：小数分母 解方程：。 答： 解 改写为。 两边同乘，得，所以。 方法：把小数分母先化为整数并约分。 注意：分子中的整体扩大。 针对训练 训练10　解答：小数系数 解方程：。 答： 解 两边同乘，得。 移项、合并，得，所以。 方法：同乘把一位小数系数化成整数。 注意：常数也要变成。 方法总结 方法：小数可以先化整 方法1　小数在分母 ① 分子、分母同比扩大。 ② 有公因数时先约分。 方法2　小数作系数 ① 方程两边每项同乘或等。 ② 化成整数系数后再求解。 针对训练 训练11　解答：观察重复整体 解方程：。 答： 解 将看作整体，得。 所以，解得。 方法：先合并重复出现的整体。 注意：被合并的两个括号必须完全相同。 针对训练 训练12　已知解，求另一个字母 已知是方程的解，求。 答： 解 代入，得。 两边同乘，得，所以。 方法：把替换为已知数，再解关于的方程。 注意：代入后没有，待求量是。 方法总结 方法：整体与代入分别适用何处 方法1　有重复结构 ① 观察完全相同的括号。 ② 把括号整体合并，再求括号内未知数。 方法2　已知一个解 ① 用已知数替代相应字母。 ② 把剩下的字母作为未知数求解。 针对训练 训练13　按数量关系列方程 一个数的比它的少，求这个数。 答：这个数是。 解 设这个数为，列。 两边同乘，得，所以。 方法：用较大量减较小量表示“少”。 注意：不要把“少”写成两数之和。 针对训练 训练14　两个方程有相同的解 方程与方程的解相同，求。 答： 解 由得。 代入另一个方程，得，所以。 方法：先解不含待求字母的方程。 注意：“解相同”表示同一个使两个等式都成立。 方法总结 方法：列式求数与同解问题 方法1　列式求数 ① 设所求数为。 ② 把分数倍与差的关系准确写出。 方法2　同解问题 ① 先求其中一个方程的解。 ② 代入另一个方程求待定字母。 针对训练 训练15　应用：购书后的余款 小青原有一笔钱，买书用了总钱数的，买本子用了总钱数的，还剩元。她原有多少钱？ 答：她原有元。 解 设原有元，列。 两边同乘，整理得，所以。 方法：用“买书钱＋本子钱＋余款＝总钱数”列式。 注意：两次花费都以原来的总钱数为基准。 针对训练 训练16　应用：水桶中原有的水 一桶水先用去原有水量的，又用去升，这时剩下的水是原有水量的。原有多少升水？ 答：原有升水。 解 设原有升，列。 两边同乘，整理得，所以。 方法：用“原有－两次用去＝剩余”列式。 注意：升是固定水量，不是原有量的分数。 方法总结 方法：分数关系应用题 方法1　列出相等关系 ① 说明每个分数以哪个量为整体。 ② 部分之和、用去与剩余构成等量关系。 方法2　求解并核实 ① 化去分母后求解。 ② 回代数量关系，带上单位完整作答。 $