3.1 方程与列方程（第1课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

第3章 一元一次方程 3.1 方程与列方程 （第1课时）方程、方程的解与列方程 年 级：六年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 从字母表示数走向方程 已有知识 长方形的长为、宽为，周长可表示为。 今天的问题 如果周长已经知道，怎样用一个等式把已知量与未知量联系起来？ 学习任务 认识方程和方程的解，依据数量关系列出方程，并通过代入检验。 复习引入 式子与等式有什么区别 比较、和，哪些是等式？哪些含有未知数？ 答：后两个是等式；含有未知数。 解 有等号并表示相等关系的式子是等式。 中的表示待确定的数。 方法：先看有无等号，再看是否含未知数。 注意：含有未知数和含有等号是两个观察角度。 新知讲授 问题1　用未知数表示原来的钱 欢欢的爸爸给了欢欢元，欢欢买文具花了元，还剩元。问：欢欢原来有多少钱？ 答：欢欢原来有元。 解 设原来有元，得。 合并同类项，得。 根据减法意义，。 方法：按事情发生的顺序表示钱数变化。 注意：等式两边都表示最后剩下的钱。 新知讲授 两种方法都依靠同一个数量关系 列算式 。先算花钱前有多少，再减去爸爸给的钱。 列方程 设原来有元，，直接表示钱数的变化。 共同关系：原有钱数＋增加的钱－花去的钱＝剩余钱数。 新知讲授 问题2　用一份表示香蕉的质量 香蕉 苹果 总质量千克 设未知数： 设香蕉的质量为千克。 表示苹果： 苹果的质量是香蕉的倍，表示为千克。 列等量关系： 苹果质量＋香蕉质量＝总质量，即。 新知讲授 问题2　由总量求出每一种水果 某水果店有苹果与香蕉共 kg，其中苹果的质量是香蕉质量的倍。问：该水果店的苹果与香蕉各有多少？ 答：香蕉千克，苹果千克。 解 设香蕉为千克，。 合并得，所以。 苹果为千克，合计千克。 方法：把香蕉看作一份，苹果看作三份。 注意：求出后，还要回答两种水果的质量。 新知讲授 方程、未知数与元 未知数 在等式和中，字母、都表示未知的数量，称为未知数。 方程 含有未知数的等式叫作方程。 元 在方程中，所含的未知数又称为元。 新知讲授 辨认方程需要同时满足两个条件 （1）是方程。 × 它是等式，但没有未知数。 （2）是方程。 × 它含未知数，但不是等式。 （3）是方程。 √ 它是含有未知数的等式。 方法：检查“含未知数”和“是等式”。 注意：必须同时满足两个条件。 新知讲授 相同的字母式可以组成不同的方程 只有式子 表示一个数量，单独写出时不是方程。 建立等式 表示这个数量等于，是方程。 列方程既要正确表示数量，也要找到数量之间的相等关系。 新知讲授 什么是方程的解 方程的解 如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫作方程的解。 回到钱数问题 时，，左右两边的值相等。 回到水果问题 时，，所以是方程的解。 新知讲授 怎样检验一个数是不是方程的解 第一步：代入 把同一个数分别代入方程的左边和右边，原式中的每个未知数都要替换。 第二步：计算 左右两边分别计算。负数代入乘法时要加括号，如。 第三步：比较 两边的值相等，就是方程的解；不相等，就不是。答案写成未知数等于某个数的形式。 例题讲解 例 1 根据下列条件列出方程： （1） 一个正方形的边长为 cm，周长为 cm。 （2） 减去数的一半所得的差是。 （3） 甲队有人，乙队有人，甲队人数比乙队多。 （4） 爱心志愿队共有名队员，其中女队员有人，男队员比女队员多人。 解第（1）题 正方形周长＝边长的倍。 解第（2）题 先表示的一半，再从中减去它。 方法：先写数量表达式，再连接相等的量。 注意：“减去数的一半”要先确定减数。 例题讲解 例 1 根据下列条件列出方程： （1） 一个正方形的边长为 cm，周长为 cm。 （2） 减去数的一半所得的差是。 （3） 甲队有人，乙队有人，甲队人数比乙队多。 （4） 爱心志愿队共有名队员，其中女队员有人，男队员比女队员多人。 解第（3）题 多出的人数是乙队人数的。 解第（4）题 男队员人数可表示为或。 方法：找出比较的标准量或同一个量的两种表示。 注意：“比乙队多三分之一”的标准量是乙队人数。 例题讲解 依据 男队员人数 根据人数差 根据总人数 例 1 女队员有人，男队员比女队员多人，总人数为人。 答： 两种表示描述的是同一个量，所以相等。 方法：抓住同一数量的两种表示。 注意：方程两边都表示男队员人数。 例题讲解 例 2 欢欢和乐乐一起去购物，两人一共花了元。已知乐乐购物的花费比欢欢多元，求欢欢购物的花费。请引入未知数，列出方程。 答：设欢欢花了元，列方程。 解 欢欢花费为元，乐乐为元。 欢欢花费＋乐乐花费＝元。 方法：先设所求量，再表示另一个量。 注意：题目要求列出方程，本题到方程即可。 例题讲解 例 2 不同设法对应不同方程 设欢欢的花费 设为元，乐乐为元，。 设乐乐的花费 设为元，欢欢为元，。 未知数的含义不同，方程会不同；都必须符合总花费与花费差。 例题讲解 例 3 判断、是不是方程的解。 答：不是方程的解；是方程的解。 解 ：左边，右边，不相等。 ：左边，右边，相等。 方法：每一个待检验的值都要代入方程的两边。 注意：左边算对还不够，要比较两边。 例题讲解 例 3 检验时不能只算一边 不完整的检验 代入，算出，就认定它是解。 完整的检验 左边，右边，两边相等。 判定依据是左边＝右边，不是某一边算出了一个数。 新知讲授 思考　一个数可以是两个方程的解吗 是不是方程和方程的解？ 答：是这两个方程的解。 解 第一个方程：左边，右边。 第二个方程：左边，右边。 方法：对每一个方程分别做一次完整检验。 注意：不能因为是一个方程的解，就直接判定另一个。 新知讲授 变式　等式成立不一定就是题目的条件 小明说：“时，，所以也是的解。”他的结论正确吗？ 答：不正确；代入后左边为，右边为。 解 左边：。 右边：，所以两边不相等。 方法：检验必须使用题目给出的完整方程。 注意：右边也含有未知数时，右边同样要代入。 课堂练习 练习1 判断下列式子中有哪些是方程： （1）。 × 不含未知数。 （2）。 √ 含有未知数的等式。 （3）。 × 不是等式。 （4）。 √ 含有未知数的等式。 方法：按照方程的定义逐个判断。 注意：这里是判断方程，不要求求出未知数。 课堂练习 练习2 根据下列条件列出方程： （1） 长方形的长是，宽是长的，长方形的周长是。 （2） 小海用元买了本练习本，找回元，设每本练习本的单价为元。 （3） 与的积减去所得差的一半为。 （4） 蜘蛛有条腿，蜻蜓有条腿。现有蜘蛛、蜻蜓若干只，它们共有条腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的倍，设蜘蛛有只。 解第（1）题 宽为，周长是长与宽之和的倍。 方法：按周长公式列方程。 注意：先用长表示宽。 课堂练习 练习2 根据下列条件列出方程： （1） 长方形的长是，宽是长的，长方形的周长是。 （2） 小海用元买了本练习本，找回元，设每本练习本的单价为元。 （3） 与的积减去所得差的一半为。 （4） 蜘蛛有条腿，蜻蜓有条腿。现有蜘蛛、蜻蜓若干只，它们共有条腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的倍，设蜘蛛有只。 解第（2）题 总价＋找回的钱＝付出的钱。 方法：总价加找零等于付款。 注意：不要漏掉找回的元。 课堂练习 练习2 根据下列条件列出方程： （1） 长方形的长是，宽是长的，长方形的周长是。 （2） 小海用元买了本练习本，找回元，设每本练习本的单价为元。 （3） 与的积减去所得差的一半为。 （4） 蜘蛛有条腿，蜻蜓有条腿。现有蜘蛛、蜻蜓若干只，它们共有条腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的倍，设蜘蛛有只。 解第（3）题 先表示差，再表示这个差的一半。 方法：先表示差，再取一半。 注意：整个差除以。 课堂练习 练习2 根据下列条件列出方程： （1） 长方形的长是，宽是长的，长方形的周长是。 （2） 小海用元买了本练习本，找回元，设每本练习本的单价为元。 （3） 与的积减去所得差的一半为。 （4） 蜘蛛有条腿，蜻蜓有条腿。现有蜘蛛、蜻蜓若干只，它们共有条腿，且蜻蜓的只数是蜘蛛的倍，设蜘蛛有只。 解第（4）题 蜻蜓有只，两种动物的腿数相加为。 方法：分别算腿数，再相加。 注意：蜻蜓有只。 课堂练习 练习3 判断、是不是方程的解。 答：不是方程的解；是方程的解。 解 ：左边，右边。 ：左边，右边。 方法：先计算分子，再进行除法与加法。 注意：左边是先除以4，再加5；右边分子是。 方法总结 从课堂练习归纳两种基本方法 方法1　列方程 ① 把题中每一个数量用数或字母式表示。 ② 选择周长、总价、总腿数等相等关系。 ③ 检查等式两边的数量含义与单位。 方法2　检验方程的解 ① 把待检验的值分别代入两边。 ② 独立算出两边的值，再比较。 ③ 依据是否相等作出明确结论。 课堂总结 方程与 列方程 识别方程 含有未知数的等式；两个条件缺一不可。 引入未知数 写清所设字母代表什么数量，以及单位。 寻找等量关系 用总量、数量差、倍数或同量的两种表示列方程。 检验方程的解 把数代入两边，比较是否相等。 特别提醒：列方程先理解数量关系；检验一个解必须计算方程两边。 针对训练 训练1　选择：识别方程 下列式子中，是方程的是（　）。 A. B. C. D. 答：C 解 A没有未知数；B不是等式。 C是含未知数的等式；D没有未知数。 方法：对照定义逐项排除。 注意：判断方程时，不必先求解。 针对训练 训练2　选择：判断一个数是不是解 下列方程中，是其解的是（　）。 A. B. C. D. 答：B 解 A两边为与；B两边都为。 C两边为与；D两边为与。 方法：把分别代入各个方程。 注意：不要把“出现”误当作判定依据。 方法总结 方法一　识别与检验 方法1　识别方程 ① 先看是不是表示相等关系的等式。 ② 再看是否含有未知数。 方法2　检验给定数 ① 每个选项都代入同一个给定数。 ② 两边值相等才说明它是方程的解。 针对训练 训练3　填空：把“差的一半”译成方程 一个数为，这个数与的差的一半等于。列出的方程是________。 答：。 解 “这个数与的差”是。 “差的一半”是。 方法：按文字的运算顺序逐层表示。 注意：不是；一半作用于整个差。 针对训练 训练4　填空：表示多出的部分 甲班人数比乙班多，乙班有人，甲班有人。列出的方程是________。 答：。 解 多出的人数为。 乙班人数＋多出的人数＝甲班人数。 方法：先找“比谁多”中的标准量。 注意：多表示多出乙班人数的五分之一。 方法总结 方法二　准确翻译文字条件 方法1　按运算顺序表示 ① 先表示“和”“差”“积”等整体。 ② 整体的一半要使用括号或分数线。 方法2　找准分率的标准量 ① 看到“比乙多”，先写乙所对应的量。 ② 多出的部分＝标准量×多出的分率。 针对训练 训练5　判断并说明理由 （1）一定不是方程，因为左边只有一个字母。 × 它仍然是含未知数的等式。 （2）是方程的解。 √ 代入后左右两边都等于。 （3）检验时，方程中的两个可代入不同的数。 × 同一个未知数在各处必须代入同一个值。 方法：用定义和具体代入结果说明理由。 注意：零也可以是方程的解。 针对训练 训练6　纠错：找回的钱应怎样表示 小宁付元买支同样的笔，找回元。设每支笔元，有同学列方程。请改正。 答：，也可写。 解 是商品总价，是找回的钱。 商品总价＋找回的钱＝付出的钱。 方法：先用一句话说清等量关系。 注意：找回的钱不属于商品总价。 方法总结 方法三　用含义检查表达式 方法1　判断题说明理由 ① 对的结论用代入或定义支持。 ② 错的结论指出具体不满足的条件。 方法2　纠正应用题方程 ① 说出每个式子表示的量和单位。 ② 将方程读成一句数量关系，再检查。 针对训练 训练7　解答：同一个量的两种表示 某小组有人，女生比男生少人。设男生有人，请分别用两种方法表示女生人数，再列出方程。 答：女生为人或人；方程。 解 根据人数差，女生为人。 根据总人数，女生为人。 方法：用同一个量的两种表示建立等式。 注意：所列等式的左右两边都表示女生人数。 针对训练 训练8　解答：给方程配上实际意义 请根据方程编一道购物情境题，并说明的意义。 答：示例：买本同价笔记本和元的笔，共用元，求笔记本单价。 解 设笔记本单价元，则笔记本总价元。 笔记本总价＋笔的价钱＝元。 方法：让方程中的每个数和式子都有对应的实际量。 注意：题意需包含单价、数量、另付金额和总额。 方法总结 方法四　用多种表示理解方程 方法1　同量两种表示 ① 从总量关系得到一种表示。 ② 从数量差或倍数关系得到另一种表示。 方法2　由方程编问题 ① 先确定字母代表的量和单位。 ② 再为系数、常数和等号指定实际含义。 针对训练 训练9　利用已知的解确定一个数 已知是方程的解，求的值。 答：。 解 代入，得。 因为，所以。 方法：已知是解，就可把给定值代入形成数的等式。 注意：代入的是已知的解，不要把也代成。 针对训练 训练10　同一个数能否同时满足两种关系 不求方程的解，判断是否同时满足和，并说明理由。 答：同时满足；是这两个方程的解。 解 第一个方程：，左右相等。 第二个方程：，左右相等。 方法：用两个完整检验确认两种关系。 注意：两个方程可以具有相同的解。 方法总结 方法五　用方程的解反查条件 方法1　由解求未知的常数 ① 将已知的解代入方程。 ② 利用加减乘除的意义确定剩下的数。 方法2　检验多个条件 ① 每个条件都要分别代入。 ② 全部符合才能说“同时满足”。 针对训练 训练11　应用：图书角的数量关系 班级图书角共有本书，其中文学书比科普书多本。设科普书有本，请表示文学书的本数，并列出方程。 答：文学书有本；。 解 科普书为本，文学书为本。 两类图书本数之和为。 方法：根据数量差表示另一个未知量，再用总量列方程。 注意：两类本数都要计入总数。 针对训练 训练12　应用：运动会门票的收入 运动会售出成人票和学生票共张。成人票每张元，学生票每张元，共收入元。设成人票售出张，列出方程。 答：学生票售出张；。 解 成人票收入元，学生票收入元。 两种票的收入之和是元。 方法：用总张数表示另一类张数，再依据总收入列方程。 注意：列方程即可；张数与金额不能直接相加。 方法总结 应用方法总结　由数量关系走向方程 方法1　有总量与数量差 ① 先设较少或较容易表示的量。 ② 另一量用“未知数＋差”表示。 ③ 把两部分相加，等于总量。 方法2　有两类数量与总金额 ① 用总数量减去已设数量表示另一类。 ② 分别计算“单价×数量”。 ③ 检查两边单位相同、题中条件用全。 $